2/2 第十五章軸對(duì)稱（知識(shí)清單、易錯(cuò)總結(jié)） 【知識(shí)點(diǎn)01】軸對(duì)稱圖形1．軸對(duì)稱圖形（1）定義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的．這時(shí)，我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱．（2）判斷一個(gè)圖形是不是軸對(duì)稱圖形，可利用軸對(duì)稱圖形的定義，將圖形對(duì)折，看是否能夠完全重合，若能夠完全重合，則這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，否則這個(gè)圖形不是軸對(duì)稱圖形．【注意】（1）對(duì)稱軸是，而不是射線或線段．（2）一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸可以有1條，也可以有多條，還可以有無數(shù)條．（3）軸對(duì)稱圖形是對(duì)于一個(gè)圖形而言的，它表示具有一定特性（軸對(duì)稱性）的某一類圖形．2．軸對(duì)稱把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做．軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系名稱關(guān)系軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形區(qū)別意義不同兩個(gè)圖形之間的特殊一個(gè)形狀特殊的圖形圖形個(gè)數(shù)圖形圖形對(duì)稱軸的位置不同可能在兩個(gè)圖形的外部，也可能經(jīng)過兩個(gè)圖形的內(nèi)部或它們的公共邊（點(diǎn)）一定經(jīng)過這個(gè)圖形對(duì)稱軸的數(shù)量有或聯(lián)系（1）如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形（2）如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱3．軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)（1）兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的性質(zhì)：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連．（2）軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連．（3）軸對(duì)稱圖形（或關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形）的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)折后重合的線段），對(duì)應(yīng)角（對(duì)折后重合的角）．（4）成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形；軸對(duì)稱圖形被對(duì)稱軸分成的兩部分也全等，但全等的兩個(gè)圖形不一定是軸對(duì)稱圖形．4．軸對(duì)稱變換一個(gè)圖形與其關(guān)于直線l對(duì)稱后的圖形之間的關(guān)系．（2）新圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)．（3）連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸．【注意】的．（2）一個(gè)軸對(duì)稱圖形也可以看成是以它的一部分為基礎(chǔ)經(jīng)過軸對(duì)稱變換而得到的．5．畫軸對(duì)稱圖形幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，對(duì)于某些圖形，我們只要畫出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線段端點(diǎn)）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形．畫軸對(duì)稱圖形的方法：（1）找——在原圖形上找特殊點(diǎn)（如線段的端點(diǎn)）；（2）畫——畫各個(gè)特殊點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)；（3）連——依次連接各對(duì)稱點(diǎn)．6．用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：（1）點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．已知兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1=x2，y1+y2=0，則點(diǎn)P1，P2關(guān)于x軸對(duì)稱；若x1+x2=0，y1=y2，則點(diǎn)P1，P2關(guān)于y軸對(duì)稱．反之也成立．在坐標(biāo)系中畫軸對(duì)稱圖形的方法：（1）計(jì)算——計(jì)算對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）描點(diǎn)——根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)描點(diǎn)；（3）連接——依次連接所描各點(diǎn)得到成軸對(duì)稱的圖形．【知識(shí)點(diǎn)02】線段垂直平分線1．線段垂直平分線的定義及其性質(zhì)（1）線段垂直平分線的定義：經(jīng)過于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線．（2）性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的．書寫格式：如圖所示，點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，則PA=PB．（3）判定：與線段兩個(gè)端點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．書寫格式：如圖所示，若PA=PB，則點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．【知識(shí)點(diǎn)03】等腰三角形1．等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）．性質(zhì)2：等腰三角形的、、（簡(jiǎn)寫成“”）．等腰三角形的其他性質(zhì)：（1）等腰三角形兩腰上的、分別．（2）等腰三角形兩底．（3）等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到等于一腰上的高．（4）當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時(shí)，此等腰三角形為等腰直角三角形，它的兩條直角邊相等，兩個(gè)銳角都是45°．2．等腰三角形的判定判定等腰三角形的方法：（1）定義法：有的三角形是等腰三角形；（2）如果一個(gè)三角形有，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）．?dāng)?shù)學(xué)語言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角對(duì)等邊）．【注意】（1）“等角對(duì)等邊”不能敘述為：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)底角相等，那么它的兩腰也相等．因?yàn)樵跊]有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”這些名詞，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．（2）“等角對(duì)等邊”與“等邊對(duì)等角”的區(qū)別：由兩邊相等得出它們所對(duì)的角相等，是等腰三角形的性質(zhì)；由三角形有兩角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．3．等邊三角形及其性質(zhì)等邊三角形的概念：的三角形是等邊三角形．等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的，并且．【注意】（1）等邊三角形是，它有對(duì)稱軸；（2）等邊三角形是等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質(zhì)．4．等邊三角形的判定定等邊三角形的方法：（1）定義法：的三角形是等邊三角形．（2）的三角形是等邊三角形．（3）有一個(gè)角是是等邊三角形．5．含30°角的直角三角形的性質(zhì)一在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于．【注意】（1）該性質(zhì)是含30°角的特殊直角三角形的性質(zhì)，一般的直角三角形或非直角三角形沒有這個(gè)性質(zhì)，更不能應(yīng)用．（2）這個(gè)性質(zhì)主要應(yīng)用于計(jì)算或證明線段的倍分關(guān)系．（3）該性質(zhì)的證明出自于等邊三角形，所以它與等邊三角形聯(lián)系密切．（4）在有些題目中，若給出的角是15°時(shí)，往往運(yùn)用一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和將15°的角轉(zhuǎn)化后，再利用這個(gè)性質(zhì)解決問題．【知識(shí)點(diǎn)04】最短路問題（1）求直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離的和最小的問題，只要連接這兩點(diǎn)，所得線段與直線的交點(diǎn)即為所求的位置．（2）求直線同側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離的和最小的問題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，所得線段與該直線的交點(diǎn)即為所求的位置．易錯(cuò)點(diǎn)1求等腰三角形的周長時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)1.忽略腰長與底邊長的合理性：計(jì)算時(shí)若已知兩邊長，需分“已知邊為腰”和“已知邊為底”兩種情況討論．例如兩邊為3和6，若3為腰，3+3=6，不滿足“兩邊之和大于第三邊”，故只能6為腰，周長15．2.忽視周長計(jì)算的前提條件：無論按哪種情況假設(shè)，都需驗(yàn)證三邊是否滿足“任意兩邊之和大于第三邊”．若忽略驗(yàn)證，直接相加會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤，如誤將2、2、5當(dāng)作等腰三角形，實(shí)際無法構(gòu)成三角形．例1．解答下面兩個(gè)小題：(1)已知等腰三角形的兩邊長是2和6，求這個(gè)等腰三角形的周長．(2)已知等腰三角形的周長是12，一邊長為5，求它的另外兩邊的長．易錯(cuò)點(diǎn)2當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)1.未明確已知角為頂角或底角：已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角，需分情況討論該角是頂角還是底角．若已知角為鈍角或直角，只能是頂角；若為銳角，可能是頂角或底角．例如已知內(nèi)角為70°，當(dāng)它是頂角時(shí)，底角為(180°-70°)÷2=55°；當(dāng)它是底角時(shí)，另一個(gè)底角也為70°，頂角為40°．2.未考慮三角形內(nèi)角和定理：分類討論后，要確保每種情況所得的三個(gè)內(nèi)角之和為180°，符合三角形的基本性質(zhì)，避免因邏輯不完整出現(xiàn)錯(cuò)誤．例2．等腰三角形的一個(gè)角比另一個(gè)角2倍少20度，等腰三角形底角的度數(shù)是．易錯(cuò)點(diǎn)3求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)1.

邊與角的不確定性分類缺失：等腰三角形邊的問題中，未區(qū)分腰與底，如已知兩邊求周長未驗(yàn)證三邊關(guān)系；角的問題里，未明確已知角是頂角或底角，像已知一個(gè)銳角未分情況計(jì)算其他角．2.

圖形位置與條件組合漏解：涉及高、中線等輔助線時(shí)，未考慮高在形內(nèi)或形外，中線分割后的邊長關(guān)系等多種位置情形，同時(shí)對(duì)題目條件的不同組合未全面分析，導(dǎo)致遺漏多種可能情況．例3．如圖，中，，，，D為斜邊上不與端點(diǎn)A、B重合的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作，垂足為E，將沿翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，連接．若為等腰三角形，則的長為．易錯(cuò)點(diǎn)4三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)1.三角形形狀與高線位置關(guān)系不清：銳角三角形的三條高均在形內(nèi)；直角三角形兩條直角邊的高為另一條直角邊；鈍角三角形有兩條高在形外．若未根據(jù)三角形形狀討論高的位置，在計(jì)算邊長、面積或角度時(shí)易出錯(cuò)，如求鈍角三角形面積，忽略高在形外的情況會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤．2.多種線段組合的情形遺漏：當(dāng)三角形存在高線、中線、角平分線等多種線段時(shí)，未考慮不同形狀下這些線段的位置組合，如等腰三角形底邊上的高與中線重合，但非等腰三角形不重合，不分類討論易漏解．例4．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角的度數(shù)是．易錯(cuò)點(diǎn)5等腰三角形中與新定義型問題的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)1.新定義規(guī)則下的等腰屬性分類缺失：未依據(jù)新定義明確等腰三角形的邊、角對(duì)應(yīng)關(guān)系，如定義“特殊等腰三角形”對(duì)腰長與底邊存在特殊限制，未分情況討論腰與底是否滿足新規(guī)則，易漏解．2.新定義與等腰性質(zhì)組合的多解遺漏：忽略新定義條件與等腰三角形三線合一、內(nèi)角和等性質(zhì)的多種組合情形，如定義“關(guān)聯(lián)等腰三角形”涉及角度計(jì)算，未考慮頂角與底角在新規(guī)則下的不同取值范圍，導(dǎo)致錯(cuò)解．例5．等腰三角形的底邊長與其腰長的比值稱為這個(gè)等腰三角形的“優(yōu)美比”．若等腰的周長為20，其中一邊長為8，則它的“優(yōu)美比”為（

）A． B． C．或2 D．或一、單選題1．在等腰中，與的度數(shù)之比是，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．或2．已知一個(gè)等腰三角形的一個(gè)外角等于，則它頂角的度數(shù)是（

）A． B． C．或 D．不能確定3．等腰三角形一腰上的高與另一腰所夾的角為，則頂角的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或4．等腰三角形的一邊長為4，它的周長為16，則它的腰長為（

）A．4 B．6 C．4或6 D．10或125．等腰三角形一腰上的中線把周長分成和兩部分，則腰長為（

）A．8 B． C．8或 D．6．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則以a，b的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（

）A．18 B．25 C．29 D．25或29二、填空題7．等腰三角形的兩邊長分別為和，則該等腰三角形的周長為．8．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則這個(gè)等腰三角形的頂角是．9．已知三角形的一個(gè)內(nèi)角，則當(dāng)此三角形的另外兩個(gè)角中有一個(gè)角等于時(shí)，這個(gè)三角形是等腰三角形．10．如圖，，A是延長線上的一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿以的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，用表示移動(dòng)的時(shí)間，那么當(dāng)時(shí)，是等腰三角形．11．如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形，這兩個(gè)相等的角是底角，另外一個(gè)角是頂角．如果一個(gè)等腰三角形，其一腰上的高與另一腰的夾角是度，那么這個(gè)等腰三角