第四章基本平面圖形1線(xiàn)段、射線(xiàn)、直線(xiàn)第2課時(shí)比較線(xiàn)段的長(zhǎng)短

1.

兩點(diǎn)之間的所有連線(xiàn)中，

線(xiàn)段

最短，可以簡(jiǎn)述

為

兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短

。2.

我們把兩點(diǎn)之間線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫作

兩點(diǎn)之間的距

。比較線(xiàn)段長(zhǎng)短的方法：度量法、疊合法。用尺規(guī)作

圖的方法可以將一條線(xiàn)段移到另一條線(xiàn)段上。3.

若線(xiàn)段上一點(diǎn)把線(xiàn)段分成兩條

相等

的線(xiàn)段，則這

點(diǎn)叫作這條線(xiàn)段的中點(diǎn)。線(xiàn)段兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短兩點(diǎn)之間的距離

相等4.

只用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)畫(huà)圖稱(chēng)為

尺規(guī)作圖

。

用尺規(guī)作圖的方法可以將一條線(xiàn)段移到另一條線(xiàn)段上。尺規(guī)作圖

線(xiàn)段的性質(zhì)及兩點(diǎn)之間的距離

【例1】如圖，A，B兩個(gè)村莊在一條河l（不計(jì)河的

寬度）的兩側(cè)，現(xiàn)要建一座碼頭，使它到A，B兩個(gè)村莊

的距離之和最小，請(qǐng)?jiān)趫D中作出修建碼頭的位置點(diǎn)C，并

說(shuō)明理由。解：作直線(xiàn)AB，與l交于點(diǎn)C，點(diǎn)C即為修建碼頭的位

置，作圖如下。理由：在連接兩點(diǎn)的所有連線(xiàn)中，線(xiàn)段最短，所以AC＋

BC＝AB，此時(shí)點(diǎn)C（碼頭）到A，B兩個(gè)村莊的距離之和

最小。

在本例中，需理解“線(xiàn)段和最小”的意義：當(dāng)兩條

線(xiàn)段在同一條直線(xiàn)上時(shí)，兩條線(xiàn)段和等于一條線(xiàn)段的

長(zhǎng)，此時(shí)線(xiàn)段和的值最小，利用的依據(jù)就是“兩點(diǎn)之間

線(xiàn)段最短”這一基本事實(shí)。

線(xiàn)段的大小比較

【例2】有不在同一直線(xiàn)上的兩條線(xiàn)段AB和CD，李

明很難判斷出它們的長(zhǎng)短，因此他借助圓規(guī)，操作如圖所

示，由此可得出AB

＞

CD（填“＞”“＜”或

“＝”）。＞

比較線(xiàn)段長(zhǎng)短的方法：（1）度量法：利用刻度尺分別量出線(xiàn)段的長(zhǎng)度，由線(xiàn)段

長(zhǎng)度的大小判斷線(xiàn)段的長(zhǎng)短；（2）疊合法：一般用尺規(guī)進(jìn)行疊合比較。

線(xiàn)段的中點(diǎn)

【例3】已知線(xiàn)段AB＝10

cm，點(diǎn)C是直線(xiàn)AB上一

點(diǎn)，BC＝4

cm，若M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，則

線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度是（D）A.7

cmB.3

cmC.7

cm或3

cmD.5

cmD

因?yàn)橹本€(xiàn)是兩邊無(wú)限延伸的，所以若已知條件是

“點(diǎn)C在直線(xiàn)AB上”時(shí)，需分兩種情況討論：點(diǎn)C在線(xiàn)

段AB上或點(diǎn)C在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，再分別求出正確

的結(jié)果。

尺規(guī)作線(xiàn)段

【例4】如圖，已知線(xiàn)段a，b，c，用尺規(guī)作圖（保

留作圖痕跡，并用字母表示出所作線(xiàn)段）。（1）作一條線(xiàn)段，使它等于a＋b；解：（1）先畫(huà)一條直線(xiàn)l，在l上找一點(diǎn)A，以A為圓心，

線(xiàn)段a的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓交直線(xiàn)于B點(diǎn)，再以B為圓心，以線(xiàn)

段b的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交l于點(diǎn)C（點(diǎn)C在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)

上），則線(xiàn)段AC即為所求。如圖所示：（2）作一條線(xiàn)段，使它等于a－c。先畫(huà)一條直線(xiàn)l，在l上找一點(diǎn)A，以A為圓心，線(xiàn)段a的

長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓交直線(xiàn)于B點(diǎn)，再以B為圓心，以線(xiàn)段c的長(zhǎng)

為半徑畫(huà)圓，交l于點(diǎn)C（點(diǎn)C在線(xiàn)段AB內(nèi)），則線(xiàn)段AC

即為所求。如圖所示：

尺規(guī)作線(xiàn)段有時(shí)需要靈活運(yùn)用線(xiàn)段的和、差轉(zhuǎn)化線(xiàn)

段之間的數(shù)量關(guān)系，以便求解。

1.

平面上有三點(diǎn)A，B，C，如果AB＝8，AC＝5，BC

＝3，那么下列說(shuō)法正確的是（A）A.

點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上B.

點(diǎn)C在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上C.

點(diǎn)C在直線(xiàn)AB外D.

點(diǎn)C可能在直線(xiàn)AB上，也可能在直線(xiàn)AB外A

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)C

A.6

cmB.8

cmC.10

cmD.12

cmD4.

如圖（1）中，已知線(xiàn)段a，b，則圖（2）中線(xiàn)段AB

的長(zhǎng)為（D）A.

a＋bB.

a－bC.

2a＋bD.

2a－bD5.

如圖，從長(zhǎng)春站去往勝利公園，與其他道路相比，走

人民大街路程最近，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是

兩點(diǎn)之間線(xiàn)段

最短

。兩點(diǎn)之間線(xiàn)段

最短6.

線(xiàn)段AB上有P，Q兩點(diǎn)，AB＝26，AP＝14，PQ＝

11，那么BQ＝

23或1

。23或17.

如圖，C為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)C把線(xiàn)

段AD分成4∶1兩部分，且AB＝12。（1）求AC的長(zhǎng)；8。（2）若點(diǎn)E在直線(xiàn)AB上，且AE＝3，求DE的長(zhǎng)。7或13。8.

如圖，已知△ABC，用尺規(guī)作出一條線(xiàn)段a，使a＝AC

＋BC，然后比較a與AB的長(zhǎng)短。線(xiàn)段a比AB長(zhǎng)，作圖略。9.

如圖所示，比較線(xiàn)段AB，CD的長(zhǎng)短，并用尺規(guī)驗(yàn)

證。略。

10.

如圖，有公共端點(diǎn)P的兩條線(xiàn)段MP，NP組成一條折

線(xiàn)M－P－N，若該折線(xiàn)M－P－N上一點(diǎn)Q把這條折線(xiàn)

分成相等的兩部分，我們把這個(gè)點(diǎn)Q叫作這條折線(xiàn)的“折

中點(diǎn)”，已知D是折線(xiàn)A－C－B的“折中點(diǎn)”，E為AC

的中點(diǎn)，CD＝1，CE＝3，則線(xiàn)段BC的長(zhǎng)為

8或4

。8或4

12.

已知點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，AC＝2BC，點(diǎn)D，E在直線(xiàn)

AB上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)。（1）若AB＝15，DE＝6，線(xiàn)段DE在線(xiàn)段AB上移動(dòng)。①如圖，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，求AD的長(zhǎng)；②點(diǎn)F（異于A(yíng)，B，C點(diǎn)）在線(xiàn)段AB上，AF＝3AD，

CF＝3，求AD的長(zhǎng)。解：（1）因?yàn)锳C＝2BC，AB＝15，所以BC＝5，AC＝10。①因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以CE＝2.5，因?yàn)镈E＝6，所以CD＝3.5，所以AD＝AC－CD＝10－3.5＝6.5。②如圖（1），當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，（1）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，因?yàn)镃F＝3，BC＝5，所以AF＝AC＋CF＝13，

（2）因?yàn)锳C＝10，CF＝3，所以AF＝AC－CF＝7，

（2）如圖（3），當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上時(shí)，（3）設(shè)BC＝x，則AC＝2BC＝2x，所以AB＝3x。因?yàn)锳B＝2DE，所以DE＝1.5x。再設(shè)CE＝y(tǒng)，所以AE＝2x＋y，BE＝x－y，所以AD＝AE－DE＝2x＋y－1.5x＝0.5x＋y。

如圖（4），當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，（4）設(shè)BC＝m，則DE＝1.5m，又設(shè)CE＝n，所以DC＝EC＋DE＝n＋1.5m，所以AD＝DC－AC＝n＋1.5m－2m＝n－0.5m。BE＝EC＋BC＝m＋n。

所以CD＝n＋1.5m＝4m＋1.5m＝5.5m，BD＝DC＋BC＝n＋1.5m＋m＝6.5m，

當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上即點(diǎn)E在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，無(wú)解。

1.

如圖，從學(xué)校A處到書(shū)店B處有①，②，③，④四條路

線(xiàn)，其中最短的路線(xiàn)是（B