第一章勾股定理☆問(wèn)題解決策略：反思

解決問(wèn)題之后，對(duì)解決問(wèn)題的過(guò)程、方法及問(wèn)題的變

化等方面進(jìn)行反思，可以加深對(duì)問(wèn)題及解決問(wèn)題的思路、

策略與方法的理解，豐富解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，提高解決問(wèn)題

的能力。

最短路徑問(wèn)題的解決與反思【例】如圖，圓柱形玻璃杯底面周長(zhǎng)為30

cm，高為35

cm，杯底厚1

cm。在玻璃杯外壁距杯口2

cm的點(diǎn)A處有一

只螞蟻，螞蟻相對(duì)面的內(nèi)壁底部B處有一滴蜂蜜，螞蟻沿杯口爬入內(nèi)壁去吃蜂蜜，求螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)（玻璃杯的壁厚忽略不計(jì)）。解：展開(kāi)玻璃杯的側(cè)面，如圖，作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

A'，連接A'B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥A'A于點(diǎn)C，則BC＝15，A'M

＝AM＝2，CM＝35－1＝34，CA'＝CM＋A'M＝36。在Rt△A'BC中，根據(jù)勾股定理得A'B＝39

cm，所以螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為39

cm。歸納總結(jié)1.解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于將不在同一平面

上兩點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為展開(kāi)圖中兩點(diǎn)之間的線(xiàn)段

長(zhǎng)度問(wèn)題，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。

2.要理解螞蟻爬行的最短路徑問(wèn)題只是一種數(shù)學(xué)模型，

現(xiàn)實(shí)中螞蟻很難會(huì)沿著最短路徑走。3.當(dāng)圓柱的高和底

面半徑的比例變化到一定程度時(shí)，計(jì)算最短路徑的方法

也會(huì)發(fā)生改變。?跟蹤訓(xùn)練

如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為4

cm和8

cm，高為10

cm，一只螞蟻從點(diǎn)P開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q

點(diǎn)。若螞蟻的爬行速度為1.5

cm/s，則20

s內(nèi)螞蟻能否爬到Q點(diǎn)？解：如圖所示，將長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)在同一平面內(nèi)。因?yàn)镻A＝2×（8＋4）＝24（cm），QA＝10

cm，∠A＝90°，由勾股定理得PQ＝26

cm。因?yàn)?6÷1.5≈17.3（s），17.3＜20，所以20

s內(nèi)螞蟻能爬到點(diǎn)Q。

1.

如圖，有一個(gè)圓柱，它的高為7

cm，底面圓的周長(zhǎng)為

48

cm。在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃到上

底面與點(diǎn)A相對(duì)的點(diǎn)B處的食物，螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的

最短路程是多少？螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程為25

cm。2.

如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為10

cm，寬為8

cm，高為16

cm，

BC＝4

cm，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬

到點(diǎn)B，求螞蟻需要爬行的最短路程。螞蟻爬行的最短路程是20

cm。

1.

如圖是放在地面上的一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體形盒子，其

長(zhǎng)、寬、高分別為4

cm，4

cm，6

cm，一只螞蟻想從盒底

的點(diǎn)A沿盒的側(cè)面爬到盒頂?shù)狞c(diǎn)B，你能幫螞蟻設(shè)計(jì)一條最短的線(xiàn)路嗎？螞蟻要爬行的最短行程是多少？解：①如圖所示，連接AB即為所求路線(xiàn)。根據(jù)題意：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2×4＝8

（cm），CB＝6

cm，根據(jù)勾股定理AB2＝AC2＋BC2＝100，

所以AB＝10（cm）。②如圖所示，連接AB即為所求路線(xiàn)，根據(jù)題意：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6＋4＝10

（cm），CB＝4

cm，根據(jù)勾股定理，AB2＝102＋42＝116，因?yàn)?00＜116，所以最短行程是10

cm。2.

如圖，小明家住20樓，一天他與爸爸去買(mǎi)了一根長(zhǎng)3

m

的鋼管，如果電梯的長(zhǎng)、寬、高分別是1.5

m，1.5

m，

2.5

m，在不損壞鋼管的前提下請(qǐng)你幫小明計(jì)算一下這根

鋼管能否放進(jìn)電梯內(nèi)。解：如圖所示，由勾股定理得AB2＝1.52＋1.52＝4.5，所以BC2＝AB2＋AC2＝4.5＋2.52＝10.75＞32，所以鋼管能放進(jìn)電梯。

3.

如圖1，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為12，圓柱的高為8，在

圓柱的側(cè)面上，過(guò)點(diǎn)A，C嵌有一圈長(zhǎng)度最短的金屬絲。（1）現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AB剪開(kāi)，所得的圓柱側(cè)面展開(kāi)圖是

圖3中的

A

；A（2）