北師大版（2024）八年級上冊數(shù)學(xué)第一章1探索勾股定理教案

第?課時

一、教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容解析

（-）教學(xué)內(nèi)容

教材第2?3頁，探索勾股定理（1）

<-）教學(xué)內(nèi)容解析

勾股定理是數(shù)學(xué)中幾個重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三邊的數(shù)量關(guān)系。它在

數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著重要的作用，在現(xiàn)實世界中也有著廣泛的應(yīng)用。學(xué)生通過對勾股定理的學(xué)

習(xí)，可以在原有的基礎(chǔ)上對直角三角形有進一步的認識和理解。

一、課程標準內(nèi)容要求

了解勾股定理的內(nèi)容，理解并掌握直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，即直角三角形兩直

角邊的平方和等十斜邊的平方，若用a,b和c分別表小直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么

a2+b2=c2o能夠運用勾段定理進行簡單的計算，如己知直角三角形的兩邊求第三邊，或用

于求三角形面積、線段長等。

經(jīng)歷用數(shù)格子、測量等辦法探索勾股定理的過程，體驗“觀察-猜想-歸納-驗證”的探究

過程，體會由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化的思想方法。

在探究活動中，培養(yǎng)獨立思考、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣。通過解決實際問題，增強自信心，

激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體會勾股定理的文化價值。

問題解決：在具體現(xiàn)實情境中，學(xué)會從幾何的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，能運用勾股定

理解決一些簡單的實際問題，增強應(yīng)用意識。

三、教學(xué)目標和目標解析

（一）教學(xué)目標

1.了解勾股定理的文化背景，激發(fā)學(xué)生熱愛祖國悠久文化的情感，激勵學(xué)生奮發(fā)學(xué)習(xí)。

2.經(jīng)過勾股定理的探索過程，體驗獲得結(jié)論的快樂，鍛煉克服困難的勇氣，培養(yǎng)合作意

識和探索精神。

3.掌握勾股定理的內(nèi)容，能利用已知兩邊求直角三角形另一邊的長。（二）目標解析

理解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程：通過觀察方格紙中的直角三角形或則圖形拼接，探索直角三

角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系。初步感知a?+b2=c2掌的幾何意義。掌握定理的表述：能用文字

和數(shù)學(xué)符號正確表述勾股定理并識別定理適用的條件（僅針對直角三角形）。初步能利用勾

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股定理解決簡單的實際問題（如已知兩邊求第三邊）。

通過動手操作（如：拼圖、測量、計算）或者幾何面板等工具，經(jīng)歷“觀察一猜想一驗

證一歸納”的完整探究過程，培養(yǎng)科學(xué)思維。還能借助圖形分析問題，從面積角度理解勾股

定理的證明（如通過割補法說明a2+b2=c2的幾何關(guān)系）。并能結(jié)合數(shù)學(xué)史（如《周髀算經(jīng)》、

趙爽、畢達哥拉斯等），體會定理的文化價值。

新課標特別強調(diào)推理能力的培養(yǎng)：通過邏輯推理驗證猜想，例如從特殊（等腰直角三角

形）到一般（普通直角三角形）的推理。還要培養(yǎng)模型觀念：將實際問題抽象為直角三角形

模型，用勾股定理建立方程求解。還應(yīng)加強應(yīng)用意識：聯(lián)系生活場景（如梯子靠墻問題、最

短路徑問題），體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實用性。

四、學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生基礎(chǔ)情況

學(xué)生對幾何圖形的觀察，幾何圖形的分析能力已初步形成。部分學(xué)牛解題思維能力比較

高，能夠正確歸納所學(xué)知識，通過學(xué)習(xí)小組討論交流，能夠形成解決問題的思路?，F(xiàn)在的學(xué)

生已經(jīng)厭倦教師單獨的說教方式，希望教師設(shè)計便于他們進行觀察的幾何環(huán)境，給他們自己

探索、發(fā)表自己見解和展示自己才華的機會；更希望教師滿足他們的創(chuàng)造愿望。

五、教學(xué)策略分析

1.問題驅(qū)動，情境導(dǎo)入：創(chuàng)設(shè)真實問題情境（如“如何測量操場旗桿的高度？”），引

發(fā)學(xué)生對直角三角形邊角關(guān)系的思考.或者利用“臺風(fēng)天樹木折斷”的新聞圖片，提問“如

何計算未折斷部分的高度？”激發(fā)探究興趣。

2.動手操作，直觀感知：通過拼圖、測量、畫圖等實踐活動，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。又或者

在方格紙上畫直角三角形，分別以三邊為邊長畫正方形，計算面積并觀察關(guān)系。

六、教學(xué)重難點

（~）重點：探索和證明勾股定理。

（-）難點：探索和證明勾股定理。

七、教學(xué)過程

活動一：創(chuàng)設(shè)情境，新課引入芾

問題激趣：

展示電線桿圖片（直角三角形模型）提問：“從電線桿離地面8m\、

處向地面拉一條鋼索，如果這條鋼索在地面的固定點距離電線桿底部

X,

6

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6m,那么需要多長的鋼索？”

學(xué)生嘗試用已有知識（如全等三角形）解決，發(fā)現(xiàn)困難，引出課題。

在直角三角形中，任意兩條邊確定了，第三邊也就隨之確定，三條邊之間存在著一種特

定的數(shù)量關(guān)系。事實上，古人發(fā)現(xiàn)，直角三角形的三邊長度的平方之間存在?種特殊的關(guān)系。

設(shè)計意圖：這樣的引入可喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，激發(fā)學(xué)生對勾股定理的興趣，從

而自然的引入新課。

活動二：交流合作，探究新知

探究點1方格紙中的發(fā)現(xiàn)

任務(wù)：在方格紙上畫出直角邊為3和3的直角三角形，分別以三邊為邊長畫正方形，計

算面積并填表:

邊a2b2c2

直角邊a

直角邊b

斜邊C

任務(wù)：在方格紙上畫出直角邊為2和2的直角三角形，分別以三邊為邊長畫正方形，計

算面積并填表：

邊a1b2c2

直角邊a

直角邊b

斜邊c

任務(wù)：在方格紙上畫出直角邊為3和4的直角三角形，分別以三邊為邊長畫正方形，計

算面積并填表：

邊a2b2c2

直角邊a

直角邊b

斜邊c

頁共1：

這一節(jié)課我們一起學(xué)習(xí)了哪些知識和思想方法？

【作業(yè)布置】

教材P3隨堂練習(xí).

八、板書設(shè)計

1.1探索勾股定理

1.知識：勾股定理

如果直角三角形兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么口一-=c-

2.方法：（1）觀察一探索一猜想一驗證一歸納一應(yīng)用。（2）“割、補、拼、接”法.

3.思想：（1）特殊一一般一特殊；（2）.數(shù)形結(jié)合思想.

九、教學(xué)反思

（I）課前反思

對于教學(xué)內(nèi)容的課前反思：勾股定理是初中數(shù)學(xué)的核心定理，貫穿后續(xù)的三角函數(shù)、四

邊形、圓等知識，需確保學(xué)生牢固掌握其證明與運用。對于學(xué)生的學(xué)情預(yù)判：學(xué)生已具備直

角三角形性質(zhì)和平方運算基礎(chǔ)，但對“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想可能不熟悉。對于易錯點的預(yù)

判是容易忽略“直角三角形”前提；

對于教學(xué)策略設(shè)計的課前反思：對于探究活動是否合理設(shè)計拼圖活動？能否讓所有學(xué)生

參與其中？是否需補充其他證明方法供學(xué)有余力學(xué)生拓展？如何自然融入《周髀算經(jīng)》和趙

爽弦圖的歷史背景，避免“貼標簽”式說教？是否設(shè)計小組合作任務(wù)，培養(yǎng)學(xué)生的團隊協(xié)作

意識？等等方面都應(yīng)作慎重考慮。

（二）課后反思

1.成功之處是拼圖活動激發(fā)興趣時，80%學(xué)生能獨立完成趙爽弦圖的面積推導(dǎo)。利用生活

化問題（如梯子靠墻問題〕引發(fā)熱烈討論，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想。整節(jié)課的目標達成度從課堂

檢測來看，90%學(xué)生能正確運用公式求直角三角形的第三邊。

2.不足之處在于探究環(huán)節(jié)中部分小組在拼圖時未能發(fā)現(xiàn)面積關(guān)系，需增加教師示范或分

步提示。利用幾何畫板演示時間過短，部分學(xué)生未看清動態(tài)過程，下次可錄制微課供課后復(fù)

習(xí)。

（三）改進方向

1.優(yōu)化探究梯度：

對基礎(chǔ)薄弱學(xué)生提供“半成品”拼圖（如標出關(guān)鍵輔助線）。

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對能力較強學(xué)生增加開放性任務(wù)（如用其他方法證明定理）。

2.強化應(yīng)用意識：

下節(jié)課引入更多實際案例（如臺風(fēng)路徑預(yù)測、無人機飛行距離計算）。

3.技術(shù)輔助：

利用AR技術(shù)讓學(xué)生“掃描”教室中的直角三角形，實時計算邊長（需提前聯(lián)系信息技術(shù)

教師協(xié)作）。

第2課時

一、教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容解析

（-）教學(xué)內(nèi)容

教材第4?6頁，探索勾股定理（2）

（-）教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)課是在第一課時通過測量、數(shù)格子等方法探索勾股定理的基礎(chǔ)上，進一步引導(dǎo)學(xué)生

從代數(shù)角度證明勾股定理，并體會定理在實際問題中的應(yīng)用。教材以趙爽弦圖、總統(tǒng)證法等

經(jīng)典案例為載體，讓學(xué)生感受多種證明思路，理解數(shù)形結(jié)合思想。通過實際問題的解決，培

養(yǎng)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。勾股定理作為幾何與代數(shù)

知識的橋梁，是后續(xù)學(xué)習(xí)解直角三角形、三角函數(shù)等內(nèi)容的重要基礎(chǔ)，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)

展和綜合應(yīng)用能力的提升有關(guān)鍵作用。

二、課程標準內(nèi)容要求

通過小學(xué)階段圖形與兒何領(lǐng)域的學(xué)習(xí)，學(xué)生對立體圖形和平面圖形有了初步的認識，掌

握了簡單圖形的周長、面積、體積的計算方法，初步認識了圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱，能

判斷物體的方位，用數(shù)對描述平面上點的位置，形成了初步的空間觀念和幾何直觀。

初中階段圖形與幾何領(lǐng)域包括“圖形的性質(zhì)"''圖形的變化”和“圖形與坐標”三個主

題。學(xué)生將進步學(xué)習(xí)點、線、面、角、三角形、多邊形和圓等幾何圖形，從演繹證明、運

動變化、量化分析三個方面研究這些圖形的基本性質(zhì)和相互關(guān)系。

”圖形的性質(zhì)”強調(diào)通過實驗探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證來研究圖形，在用幾何直觀理

解幾何基本事實的基礎(chǔ)上，從基本事實出發(fā)推導(dǎo)圖形的幾何性質(zhì)和定理，理解和掌握尺規(guī)作

圖的基本原理和方法；”圖形的變化”強調(diào)從運動變化的觀點來研究圖形，理解圖形在軸對

稱、旋轉(zhuǎn)和平移時的變化規(guī)律和變化中的不變量：”圖形與坐標”強調(diào)數(shù)形結(jié)合，用代數(shù)方

法研究圖形，在平面直角坐標系中用坐標表示圖形上點的位置，用坐標法分析和解決實際問

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題。課標要求學(xué)生掌握探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題。

三、教學(xué)目標和目標解析

(-)教學(xué)目標

1.掌握用面積法如何驗證勾股定理，并能應(yīng)用勾股定理解決?些實際問題。

2.經(jīng)歷勾股定理的驗正過程，體會數(shù)形結(jié)合思想和從特殊到一般的思想。

3.了解勾股定理的文化背景，激發(fā)學(xué)生熱愛祖國悠久文化的情感，激勵學(xué)生奮發(fā)學(xué)習(xí)。

4.驗證勾股定理，體驗獲得結(jié)論的快樂，鍛煉克服困難的勇氣，培養(yǎng)合作意識和探索精

神。

5.能運用勾股定理解決實際問題。

(-)目標解析

通過對教材的分析，確定教學(xué)目標如卜.：

1.理解勾股定理的證明方法：學(xué)生能夠通過對趙爽弦圖、總統(tǒng)證法等不同證明方法的探

究，理解勾股定理證明中所綽含的數(shù)形結(jié)合思想，掌握至少兩種勾股定理的證明思路，能有

條理地表述證明過程，體會數(shù)學(xué)證明的嚴謹性與多樣性。

2.運用勾股定理解決實際問題：學(xué)生能準確識別實際問題中的直角三角形模型，將實際

問題抽象為數(shù)學(xué)問題，熟練運用勾股定理及其逆定理求解邊長、距離等問題，提高數(shù)學(xué)建模

和應(yīng)用意識，在解決問題的過程中增強分析和解決問題的能力。

3.感悟數(shù)學(xué)文化：通過了解勾股定理的歷史背景和不同文化中的證明方法，感受數(shù)學(xué)文

化的魅力，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強民族自豪感和文化自信，體會數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中

的重要作用。

4.發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力：在探索勾股定理證明和應(yīng)用的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、直

觀想象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，提高學(xué)生的自主探究能力和合作交流能力，促進學(xué)生思維的

深度和廣度發(fā)展。

四、學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生在第一課時已對勾股定理的內(nèi)容有了初步認識，掌握了通過測量、數(shù)方格等方法驗

證勾股定理，但對定理的代數(shù)證明思路較為陌生，尤其是對圖形的割補、拼接與代數(shù)表達式

之間的聯(lián)系理解可能存在困難。學(xué)生對幾何圖形的觀察，幾何圖形的分析能力已初步形成。

部分學(xué)生解題思維能力比較高，能夠正確歸納所學(xué)知識，通過學(xué)習(xí)小組討論交流，能夠形成

解決問題的思路?，F(xiàn)在的學(xué)生已經(jīng)厭倦教師單獨的說教方式，希望教師設(shè)計便于他們進行觀

察的幾何環(huán)境，給他們自己探索、發(fā)表自己見解和展示自己才華的機會；更希望教師滿足他

們的創(chuàng)造愿望。

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五、教學(xué)策略分析

學(xué)習(xí)困難預(yù)測:部分學(xué)生在將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題時，難以準確識別直角三角形和相

關(guān)的邊；在理解多種證明方法時，對于復(fù)雜圖形的分析和等量關(guān)系的推導(dǎo)會感到吃力，邏輯

推理能力有待加強。

學(xué)習(xí)優(yōu)勢：學(xué)生對新穎的數(shù)學(xué)文化素材和實際生活中的數(shù)學(xué)問題具有較高的興趣，可利

用這一點，通過豐富的案例和情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，促進知識的理解和應(yīng)用。

六、教學(xué)重難點

（一）重點：掌握用面積法如何驗證勾股定理，并能應(yīng)用勾股定理解決一些實際問題。

（二）難點：經(jīng)歷勾股定理的驗證過程，體會數(shù)形結(jié)合思想和從特殊到一般的思想。

七、教學(xué)過程

教學(xué)流程

1.情景引入

教師提出問題：

（1）勾股定理的內(nèi)容是什么？（請一名學(xué)生眄1答）

（2）上節(jié)課我們僅僅是通過測量和數(shù)格子，對具體的直角三角形探索發(fā)現(xiàn)了勾股定理,

對一般的直角三角形，勾段定理是否成立呢？這需要進一步驗證，如何驗證勾股定理呢？事

實上，現(xiàn)在已經(jīng)有幾百種勾股定理的驗證方法，這節(jié)課我們也將去驗證勾股定理.

設(shè)計意圖：（1）史習(xí)勾股定理內(nèi)容；

（2）回顧上節(jié)課探索過程，強調(diào)仍需對一般的直角三角形進行驗證，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)目?/p>

學(xué)態(tài)度；

（3）介紹世界上有數(shù)百種驗證方法，激發(fā)學(xué)生興趣.

通過這一環(huán)節(jié)，學(xué)生明確了：僅僅探索得到勾股定理還不夠，還需進行驗證.當學(xué)生聽到

有數(shù)百種驗證方法時，馬上就有了去尋求屬于自己的方法的渴望.

2.探究新課

活動1：教師導(dǎo)入，小組拼圖.

教師：今天我們將研究利用拼圖的方法驗證勾股定理，請你利用自己準備的四個全等的

直角三角形，拼出一個以斜邊為邊長的正方形.（請每位同學(xué)用2分鐘時間獨立拼圖，然后再

4人小組討論.）

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活動2：層層設(shè)問，完成驗證一

學(xué)生通過自主探究，小組討論得到兩個圖形：

在此基礎(chǔ)上教師提問：

（1）如圖1你能表示大正方形的面枳嗎？能用兩種方

圖1

法嗎？（學(xué)生先獨立思考，再4人小組交流）；

（2）你能由此得到勾股定理嗎？為什么？（在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上板書（a+b）2=4Xab+c2.

并得到）

從而利用圖1驗證了勾股定理.

教師小結(jié)：我們利用拼圖的方法，將形的問題與數(shù)的問題結(jié)合起來，聯(lián)系整式運算的有

關(guān)知識，從理論上驗證了勾股定理，你還能利用圖2驗證勾股定理嗎？

（學(xué)生先獨立探究，再小組交流，最后請一個小組同學(xué)上臺講解驗證方法二）

設(shè)計意圖：設(shè)計活動1的目的是為了讓學(xué)牛在活動e體會圖形的構(gòu)成，既為勾股定理的

驗證作鋪墊，同時也培養(yǎng)學(xué)生的動手、創(chuàng)新能力.在活動2中，學(xué)生在教師的層層設(shè)問引導(dǎo)下

完成對勾股定理的驗證，完成本節(jié)課的一個重點內(nèi)容.

活動3：讓學(xué)生利用另一個拼圖獨立驗證勾股定理的目的是讓學(xué)生再次體會數(shù)形結(jié)合的

思想并體會成功的快樂.

學(xué)生通過先拼圖從形上感知，再分析面積驗證，比較容易地掌握了本節(jié)課的重點內(nèi)容之

一，并突破了本節(jié)課的難點.

3.嘗試、思考：

為了計算圖1-4中大正方形的面積，小明對這個大正方形適當割補后，分別得到圖1-5、

圖16

(1)將所有三角形的面積和正方形的面積用a、b、c的式子表示出來;

(2)圖1-5、圖1-6中正方形ABCD的面積分別是多少？你有哪些表示方式？

(3)你能分別利用圖1-5、圖1-6驗證勾股定理嗎？

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設(shè)計意圖：學(xué)生將對直角三角形三邊的關(guān)系有進一步的認識，并為后續(xù)直角三角形的判

別打下基礎(chǔ)。

4應(yīng)用新知

例題1:如圖1-9在?次軍事演習(xí)中，紅方偵查員王叔叔在距離?條東西向公路400m處

偵察，發(fā)現(xiàn)一輛藍方汽車在公路上疾駛.他用紅外測距儀測得汽車與他相距400m10s后，測得汽

車與他相距500m,你能幫王叔叔計算藍方汽車這10s的速度嗎？

解：由題意得，AC=400米，AB=500米，由勾股定理得，~1

C跖烏

BC2=AB2+AC2=90000米，

500冽

BC=300米30030=30米/秒冽圖2

答：藍方汽車這10s的速度是30米/秒。

例2.如圖6,1架2.5米長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AC上，這時梯足B到墻底端

C的距離為0.7米，如果桃子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯足將向外A|

移多少米？Zf.

力圖6

解；在直角△ABC中，已知AB=2.5m,BC=0.7m,則//|

.C,iBc

AC2=AB2-BC2=5.76,AC=2.4m,

VAC=AAI+CAICAl=2m,'??在直角△A1B1C中，AB=AB，且AB為斜邊，

.,.CB）2=AB2-A|C2=2.25,CBi=1.5m,ABB1=CBi-CB=1.5-0.7=0.8m

答：梯足向外移動了

【課堂總結(jié)】師生?起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：

1.這節(jié)課的主要收獲是什么？

【作業(yè)布置】

1.課本P8習(xí)題LU