2025-2026學(xué)年河南省濮陽第一高級中學(xué)高二（±）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題紿出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知復(fù)數(shù)z滿足（l-i）z=2i,則W的虛部為（）

A.-1B.1C.-iD.i

2.某羽毛球俱樂部有4隊和B隊，其中川隊有80名學(xué)員，B隊有60名學(xué)員，為了解俱樂部學(xué)員的羽毛球水

平，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從該俱樂部中抽取一個容量為加的樣本，己知從8隊中抽取了15名

學(xué)員，則m的值為（）

A.30B.25C.40D.35

3.某校為了加強食堂用餐質(zhì)量，該校隨機(jī)調(diào)瓷了400名學(xué)生，得到這400名學(xué)生對食堂用餐質(zhì)量給出的評

分?jǐn)?shù)據(jù)（評分均在[50,100]內(nèi)），將所得數(shù)據(jù)分成五組：[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],得

到如圖所示的頻率分布直方圖，估計學(xué)生對食堂用餐質(zhì)量的評分的第60百分位數(shù)為（）

A.82.5B.81.5C.87.5D.85

4.在△ABC中，內(nèi)角4B,C的市邊分別為mb,c,且a=8,A=^則△ABC外接圓的直徑為（）

A.4/2B.8/2C.12<2D.16/2

5.已知九是兩條不同的直線，優(yōu)表示平面，且m1a,則“九//a”是“TH1九”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

6.記的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且，cosC+?cosB=sizM,則△力"是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形

7.已知一個圓錐和圓柱的底面半徑和側(cè)面積分別相等，且圓錐的軸截面是等邊三角形，則這個圓錐和圓柱

的體積之比為（）

A.JB.<2C.4D.

第1頁，共14頁

8.已知正方形4BC0的邊長為3,點E是邊BC上的一點，且CE=2E8,點P是邊0C上的一點，則而?市的最

小值為（）

A.—8DB.—8CJ—4D—4

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.在△48C中，內(nèi)角4B,。的末邊分別為a,b,c,且a=/6,b=>[2,則c的可能取值為（）

O

A.5B.72C.2x<2D.

xf

10.已知一組數(shù)據(jù)修，X2?345，%6，%7（%1V%2<%3<*4VX5Vx6Vx7），由％=4即+3（i=

1,234,5,6,7）生成的一組新數(shù)據(jù)y2,y3?如、5，%，丫7，則（）

A.新數(shù)據(jù)的極差可能與原數(shù)據(jù)的極差相等

B.新數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等

C.新數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定比原數(shù)據(jù)的中位數(shù)大

D.新數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差一定比原數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差大

11.在直三棱柱力BC—4]8]Ci中，44]=3,AB=BC=2,AC=2yTz,點M是棱上的一點，則下列說

法正確的是（）

X.AM1BC

B.四棱錐M-ACCm1的體積為2

C.直三棱柱48。-Aeig外接球的表面積是177r

D.+MC的最小值為5

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量優(yōu)石的夾角為金|函二門，歷|=4,則函+萬）?方=____.

13.從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中不放回地隨機(jī)抽取3張，則抽到的3張卡片上的數(shù)字之和不

小于10的概率為_____.

14.在棱長為2的正方體A6CO-,4ibiC[Di中，點E是棱。必的中點，則直線為E與AC所成角的余弦值為

;點。是正方體表面上的一動點，且滿足EP1A1C,則動點P的軌跡長度是一.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題13分）

設(shè)復(fù)數(shù)Z]=Q+2Kz2=2a+3+i.

（1）若z-Z2為純虛數(shù)，求實數(shù)a的值；

（2）若復(fù)數(shù)Z]是關(guān)于%的方程公+nix+5=0（7neR）的一個根，求m+a的值.

第2頁，共14頁

16.(本小題15分)

己知平面向量五=(2,—3),1=(3,m),meR.

(1)若？=(7,-5),且2=%+石，求工和血的值；

(2)淑1及求隨+2目的值;

(3)若五與石的夾角為銳角，求m的取值范圍.

17.(本小題15分)

小張和小胡兩位同學(xué)進(jìn)行兩輪語文常識答題比賽，每輪由小張和小胡各回答一個問題，已知小張每輪答對

的概率為今小胡每輪答對的概率為:在每輪比賽中，小張和小胡答對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影

響.

(1)求小張在兩輪比賽中至少答對1題的概率；

(2)求在兩輪比賽中，小張和小胡答對題目的個數(shù)相等的概率.

18.(本小題17分)

在△力8c中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且￡=fsinB+cos￡

a3

(1)求A：

(2)若a=8,求△48c的面積的最大值；

(3)若cosBcos。=-b+c二號求Q.

19.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P-ABCD^,四邊形48CD是平行四邊形，平面PB。_L平面4BCD,PB=PD=AB=2,AD=

26，PBiPD,點￡是棱40上的一點.

⑴記平面尸力。與平面尸8。的交線為Z,求證：

(2)若4E=2ED,求二面角E-PB-。的正弦值.

第3頁，共14頁

所以4/1BC外接圓的直徑為8V2.

故選:B.

利用正弦定理求出外接圓直徑.

本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，已知zn_La,若n//a,必有mJ.?;,

反之，若mln,則九//a或71ua,

故‘"http:///’是“血1孔”的充分不必要條件.

故選：A.

根據(jù)題意，由直線與平面垂直的性質(zhì)分析“n//a”和的關(guān)系，綜合可得答案.

本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，涉及充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】4

【解析】解:因為2cosc+」cos8=sizM,

aa

所以bcosC+ccosB=asinA,

由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin27l,整理得sin(F+C)=sinA=sin27l,

因為力G(O,TT),sinA*0,

可得si和4=1,

故4=

所以△4BC為直角三角形.

故選:A.

由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡已知等式，結(jié)合si7L4Ho，可得sirM=1,可求A即可判斷三角

形的形狀.

本題考直了正弦定理，兩角和的正弦公式在解三角形中的應(yīng)用，屬丁基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解:根據(jù)題意設(shè)圓錐的底面半徑為r,則高為母線長為2r,且圓柱的底面半徑為r,

設(shè)圓柱的高為九，根據(jù)圓錐與圓柱的側(cè)面積相等可得：

nr2r=2nr-h,所以h=r,

所以這個圓錐和圓柱的體積之比為加誓=

第5頁，共14頁

故選:c.

根據(jù)圓錐與圓柱的幾何性質(zhì)，即可求解.

本題考查圓錐與圓柱的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：已知正方形48co的邊長為3,點E是邊BC上的一點，且8=

2EB,點P是邊0C上的一點，

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則4(0,0),E(3,l),P(/l,3),其中04/I43,

則麗?=(A,3)?(A-3,2)

=a2-3A+6

=(A-1)2+^>^當(dāng)且僅當(dāng)/I=5時取等號，

即麗?前的鼓小值為卓

故選：C.

先建系，求出對應(yīng)點的坐標(biāo)，然后結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算及二次函數(shù)最值的求法求解即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，重點考查了二次函數(shù)最值的求法，屬中檔題.

9.【答案】BC

【解析】解:在△ABC中，B=2a=/6,b=G

22

由余弦定理可得W=a+c-2accosBr

即2=6+c?—2-\Z-6cx",即c?—3-\Z-2+4=0,可得c=2V~^或c=V~2.

故選：BC.

由余弦定理可得c的值.

本題考查余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BD

【解析】解：對于4原數(shù)據(jù)的極差為工7-與，新數(shù)據(jù)的極差為力-乃=4(叼-/)，

因為％7>，所以47-修>0，

所以4(x7-41)>%7—，

即新數(shù)據(jù)的極差不可能與原數(shù)據(jù)的極差相等，故力錯誤；

對干8,設(shè)新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3=41+3,

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令才=4%+3,得％=—1,

所以當(dāng)新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為-1時，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故8正確;

對于C,原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4，新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為%=44+3，

當(dāng)羽=-1時，新數(shù)據(jù)的中位數(shù)與原數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，故C錯誤；

對于。，設(shè)原數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為s,則新數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為4s,

又因為<x2<X3<x4<xs<<x7,

所以s>0,所以4s>s,

即新數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差一定比原數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差大，故。正確.

故選：BD.

根據(jù)極差、平均數(shù)、中位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的定義求解.

本題主要考查了平均數(shù)、極差、中位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的定義，屬于基礎(chǔ)題.

1L【答案】ACD

【解析】解：在直三棱柱/WC-Ai/Ci中，4411平面A8C,

又BCu平面4BC,所以，BC,

又A8=BC=2,AC=2x^7，

所以482+8。2=4。2,

所以481BC,又AAiCiA8=A,AAlfABu平面488遇［,

所以BCJ?平面?1991力1，又u平面

所以4M_L8C,故力正確：

因為8B]〃/L4i，881c平面/CG4,人為u平面ACG4,

所以/平面

所以=^B-ACAt=Ax-ABC=gxgx2x2x3=2,

所以PMYCCIAI=2VMfCAi=4,故8錯誤；

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直三棱柱力BC-ABiG外接球的半徑R=1J力速+BC2+BB彳=|V22+22+32=乎,

表面積為47r(手y=17幾，故C正確：

將矩形BCg4與矩形48當(dāng)仆展開到同一平面內(nèi)，連接4。，與BB］相交于點M,

故,4傳的長即為M4+MC的最小值，

故最小值為J32+(2+2尸=5,故。正確.

故詵：ACD.

對于4先證8C_L平面即可得證；

對于B：利用等體積轉(zhuǎn)換法求解即可；

對于C：求出直三棱柱外接球半徑即可求解；

對于小將矩形BCCiBi與矩形488］為展開到同一平面內(nèi)，即可求解.

本題考查立體幾何綜合問題，屬于中檔題.

12.【答案】-2

【解析】解：已知向量五，石的夾角為穿，同=C,\b\=4,

O

則七?G=4x4x(一半)=-6,

—?2

則(3五+b)-b=3a-b+b=-18+16=-2.

故答案為：一2.

結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算求解即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，屬基礎(chǔ)題.

13.【答案】j

【解析】解:根據(jù)題意，設(shè)力="抽到的3張卡片上的數(shù)字之和不小于10”，

從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中不放回地隨機(jī)抽取3張，

則。={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),

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(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)),

4={(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},

則P⑷=磊4

故答案為：|.

根據(jù)題意，設(shè)力="抽到的3張卡片上的數(shù)字之和不小于10”，由列舉法分析。和4的基本事件數(shù)目，由古

典概型公式計算可得答案.

本題考查古典概型的計算，注意列舉法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】駕671

【解析】解：連接4G，易得力iC"/AC，

所以4GAE為直線4"與所成的角或其補角，

又AiG=2Vl,AXE=CXF.=>/5.

由余弦定理得cos乙G4E="優(yōu)丁="飛”、霓附一=

112x2V2xv5

即直線4E與4c所成角的余弦值為半；

D

分別取。1。1，B?,BBi，AB,4D的中點F,G,M,N,H,連接EF,FG,GM,MN,NH,HE,力學(xué)，DCV

因為4D///G且40=BG，

所以四邊形人當(dāng)?shù)?。是平行四邊形?/p>

所以O(shè)G〃力名,因為F,MN分別是CWi，BBi，48的中點，

所以EF//GD，MN//力當(dāng)，

所以MN//"，

同理可得MG〃HE,FG//NH,

所以E,F,G,M,N,H六點共面，且六邊形EFGMNH為邊長為心的正六邊形，

因為Cg_L平面/18C0,BDu平面48C0,

所以CglBD,XFD1AC,AC^CCi=C,AC,Cgu平面力。力1，

所以BDLf面力&4i，又4iCu平面4a4],

所以BD.14C，

因為N,，分別為48,4。的中點，所以NH//BD,NHl.A}C,

同理可得MN1力道，又NHCMN=N,NH,MNu平面EFGMNH,

所以Th。J?平面EFGMNH,因為PEJ.力iC,

第9頁，共14頁

所以點P的軌跡長度為6dl.

故答案為：6V-2.

?

空一：先確定乙G4E為直線4]E與力C所成的角或其補角，再解三角形即可求解；

空二：先證明4cl平面EFGMNH,得出P點的軌跡形狀求解即可.

本題考查異面直線所成角的計算，以及動點軌跡問題，屬于難題.

15.【答案】a=-2或Q二去±L

【解析】(1)由題意,Z[?Z2=(a+2i)(2a+3+i)=2a2+3a-2+(5a+6)i,

則2a2+3a—2=0,5a+6H0,

解得a=-2或a=I：

(2)由題意,(a+2i)2+m(a+2i)+5=0,

即a2+ma+1+(4a+2m)i=0.

所以層+ma+1=0,4a+2m=0,

解得a=1,m=—2或Q=—1,m=2,

所以m+a=±1.

(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的運算，以及純虛數(shù)的定義求解；

(2)利用待定系數(shù)法求解.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】X=2,7H=1；

765：

Q9

(-8,一加(號2).

【解析】(1)因為W=+反c=x(2,-3)+(3,m)=(2x+3,-3%+m)=(7,-5),

所以~7,r：解得％=2,m=1；

1—3%+m=—5,

(2)若Hlb,則五?b=(2,-3)?(3,zn)=6-3m=0,解得m=2,

所以石=(3,2),五+2%=(2,-3)+2(3,2)=(8,1),

|a+2b\=,82+/=＜65；

(3)因為五與石的夾角為銳角，

所以五?方＞0且五，石不同向，即￡:37＞藍(lán)解得租＜2且租工一3；

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故機(jī)的取值范圍是(一8,-?)U(-?，2).

(1)結(jié)合向量的坐標(biāo)運算法則，即可求解；

(2)結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解；

(3)結(jié)合向量的數(shù)量積運算法則，即可求解.

本題主要考查向量的坐標(biāo)運算法則，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】(1)根據(jù)題意，設(shè)河=“小張在兩輪比賽中至少答對1題”，

則)=”小張在兩輪比賽中全部答錯”，

則P(M)=1-P(M)=l-(l-|)x(l-|)=|；

(2)根據(jù)題意，4=”小張在兩輪比賽中答對i題"，a="小胡在兩輪比賽中答對i題"，(i=0,1,2),

C="小張和小胡答對題目的個數(shù)相等“，

221

P(X0)=(l-1)x(l-1)=|,

1224

P(4])=Clx(1)x(l-1)=^

224

P(>42)=1X|=|,

P(Bo)=(J)x(W

P(R1)=Clx(1)X(l-i)=|,

P(Z?2)=lx|=i,

故P(C)=P(Ao)P(Bo)+P(4)P?)+P(42)P(B2)=ixl+1xl+|xi=1|.

【解析】略

18.【答案】力=孑

16/3；

Q=V-3

【解析】(1)由題意￡=?SMB+COSB,

aj

可得當(dāng)=與sinB+cosB,

sinA3

可得sin?！猻inAcosB=gsinAsinB,

又因為=sin(7l+F)=sinAcosB+cosAsinB,

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of^cosAsinB=—sinAsinB,

因為B6(0,4)，得s譏B>0,

可得coszl=^-sinA,

所以tam4=/3,

由于46(0,"),

可得4=今

(2)因為a?=b2+c2-2bccosA,結(jié)合(1)可得8?=b2+c2—be>2bc-he=be,

則￡cW64,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=8時，等號成立，

可得△ABC的面積為S=\bcsinA=^-be<16，5,

24

所以△力BC的面積的最大值為164；

(3)因為一cos/=cos(8+C)=cosBcosC-sinBsinC=-1,

因為cosBcosC=一1,

o

可得sEBsinC=1，

o

..r由a_b_c_2a

'sin/l—sinB~sinC~\T5*

可得si〃BsinC=^,嚷=券=看得尻=療，

所以Q2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-be=(b+c)2—3bc,

可得。2=(萼)2—3X：Q2,解得Q=M.

(1)利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式求解即可：

(2)結(jié)合(1)、余弦定理及基本不等式得到加464,再根據(jù)三角形的面積公式求解即可；

(3)根據(jù)題意及和角的余弦公式得到s)8sme=再根據(jù)正弦定理得到加=療，最后根據(jù)余弦定理求解

即可.

本題考查了正弦定理，和角的正弦公式，余弦定理，基本不等式以及三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)

用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

19.【答案】證明：???四邊形48CD是平行四邊形，??.BC//AD,

又BCC平面PAD,力Qu平面P4D,8C//平面P4。，

又平面P4Dn平面08c=，，BCu平面P8C,

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A1//BC；

E

【解析】(1)證明：???四邊形4BCD是平行四邊形，「.BC//AD，

又8CC平面PAD,4。u平面P4Z),8C//平面P4D,

又平面P/DCI平面P8C=，，