§1.4基本不等式

【課標(biāo)要求】1.了解基本不等式的推導(dǎo)過程2會用基本不等式解決簡單的最值問題.

■落實(shí)主干知識

【知識梳理】

1.基本不等式：加運(yùn)粵

(1)基本不等式成立的條件：公>0,方X).

⑵等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.

⑶其中華叫做正數(shù)小力的算術(shù)平均數(shù)，標(biāo)叫做正數(shù)。，。的幾何平均數(shù).

2.利用基本不等式求最值

⑴已知x,y都是正數(shù)，如果枳孫等于定值P,那么當(dāng)產(chǎn))，時，和工+y有最小值2杯.

(2)已知心)，都是正數(shù)，如果和x+)，等于定值S,那么當(dāng)工=)，時，積孫有最大值扣.

注意：利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個條件“一正、二定、三相等”.

【常用結(jié)論】

幾個重要的不等式

(1)/+護(hù)22a伙a,〃￡R).

(2弓+，23，力同號).

(3(”,/?GR).

(4)"傳抄3,b￡R).

以上不等式等號成立的條件均為a=b.

【自主診斷】

1.判斷卜列結(jié)論是否止碓.(請在拈號中打"J”或"X”)

(1)不等式他與等號成立的條件是相同的.(x)

(2)y=工+：的最小值是2.(X)

(3)若文>0,>>0且x+y=xy,則孫的最小值為4.(J)

(4)函數(shù)尸sinx+J-；,xE(O,今)的最小值為4.(X)

sinx\乙)

2.（必修第一冊P48習(xí)題Tl（l）改編）若函數(shù)./U）=X+TE（Q2）在x=a處取最小值，則G等于

（）

A.1+也B.1+^3C.3D.4

答案C

解析當(dāng)x>2時，A—2>0,40=。-2）+占+222\%-2）?占+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x-2

=±。>2）,即x=3時，取等號，即當(dāng)./U）取得最小值時x=3,即a=3.

3.已知（XE1,則雙1一力的最大值為（）

B.1C.-j^D.1

答案A

解析因為0<r<I,所以I-Q0,

所以,雙1一工）<（-—）2=不

當(dāng)且僅當(dāng)工=1-乂即X=g時，等號成立，

故x（l—X）的最大值為小

4.（2023?重慶模擬）已知x>0,）>0,x+y=l,則的最小值為________.

xy

答案4

解析由彳+），=1得：+卜=6+9。+州=2+++：22+2\^=4,當(dāng)且僅當(dāng)時，等

號成立，即的最小值為4.

xy

■探究核心題型

題型一直接法求最值

例I（1）（多選）下列代數(shù)式中最小值為2的是（）

A.B.2葉2r

C.D.—T+2+I心

Ayjx-■F2

答案BC

解析選項A中，當(dāng)工<0時，函數(shù)y=x—=單調(diào)遞增，無最小值，不符合題意:

選項B中，2、+2122明聲=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立，滿足題意；

選項C中，『+七2=2,當(dāng)且僅當(dāng)工=±1時，等號成立，滿足題意;

選項D中，迎+2+7,+產(chǎn)27'f+2.7：+3=2,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號

成立，但此方程無實(shí)數(shù)解，不符合題意.

⑵已知X,），為正實(shí)數(shù)，且滿足4x+3y=12,則孫的最大值為.

答案3

解析由已知，得12=4x+3），22q4.iSy,

即1222匹不，

解得x）W3（當(dāng)且僅當(dāng)4x=3y時取等號）.

思維升華對基本不等式的準(zhǔn)確掌握要抓住以下三個方面：一正：符合基本不等式守元

成立的前提條件為。>0,b>0：二定：不等式的一邊轉(zhuǎn)換為定值；三相等：必須存在取等號

的條件，即等號成立.以上三點(diǎn)塊一不可.

跟蹤訓(xùn)練1（1）下列函數(shù)中最小值為4的是（）

A.），=f+2x+4

B.尸2計22。

4

C-ksinM+閑

4

D-)'=1門+/

答案B

解析對于），=『+2丫+4=。+1尸+3,

當(dāng)x=-l時，函數(shù)的最小值為3,故A錯誤；

），=2'+22r=2、+未22、^U=4,當(dāng)且僅當(dāng)尸|時取等號，故B正確;

〉'=|sinx|+而^22y|sin升而^=4,當(dāng)且僅當(dāng)|sin人1=訴時取等號，

4

由于丁山加=而三時,|sin「=2,

根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)可知|sinx|=2不成立，

4

故），=|sinM+需《24取不到等號，故C錯誤;

4

對于丁=3工+而？由于Inx可能小于0,

即），=1"丫+舟的函數(shù)值可能為負(fù)值，故其最小值為4不成立，故D錯誤.

2

跟蹤訓(xùn)練2（1）已知xvO,則自一x的最小值為（）

A.2吸B.4

C.272+1D.26一1

答案D

解析因為x<0,貝U1—G1,不二一x="jT=+（l—幻-lezd'jT，??！獂）—1=2g一I,

當(dāng)且僅當(dāng)亡=1—X,即X=1—6時取等號，

所以=一.1的最小值為2^2-1.

⑵已知正數(shù)x,），滿足％+2y=2,則"的最大值為（）

A.2B.1C.1D.；

答案C

解析因為正數(shù)x,y滿足x+2y=2,

所以孫=1r（2y）W要苧｝==

當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=1,時取等號，

所以外的最大值為;.

題型三常數(shù)代換法求最值

例3⑴已知正數(shù)小〃滿足則8〃+》的最小值為（）

A.54B.56C.72D.81

答案C

解析8〃+〃=（8a+〃）（J+，）

64a、4b,.」八164a4b，…

=丁+丁+4。22y丁工+40=72,

Azl//4〃

當(dāng)且僅當(dāng)詈=拳即。=6,0=24時取等號.

延伸探究已知正數(shù)。，〃滿足8。+4〃="，則8。+〃的最小值為.

答案72

解析V8a+4b=ab,a>0tb>0,

???8a+b=(8a+磁+§

64。?4b?164a4b一

=方+工+4022y丁1+t4。=72,

當(dāng)且僅當(dāng)華=?，即。=6,。=24時取等號.

(2)(2023?太原模擬)已知非負(fù)實(shí)數(shù)小〃滿足〃+6=1,則工+士的最小值為()

“十1。十2

A.1B.2C.3D.4

答案A

解析因為非負(fù)實(shí)數(shù)。，力滿足〃+力=1,

所以伍+1)+(〃+2)=4,

所以%S+1)+S+2)]=1,

所以擊+出

=然+1)+伯+2)】(擊+出)

小+巖+墨

((C/〃+24+|1

2v+2=1.

b+2a+1

當(dāng)且僅當(dāng)'a+l-8+Z'即，，

時取等號.

b=()

綜上，木+出的最小值為L

思維升華常數(shù)代換法解題的關(guān)鍵是通過代數(shù)式的變形，構(gòu)造和式或積式為定值的式子，然

后利用基本不等式求解最值.應(yīng)用此種方法求解最值時，應(yīng)把“I”的表達(dá)式與所求最值的表

達(dá)式相乘求積或相除求商.

4I

跟蹤訓(xùn)練3⑴若心0,心0且/〃I〃=2,則五I3的最小值是()

59

A.2B.5C.3D.5

答案D

解析因為6>0,〃>()且加+〃=2,

所吟+沁m+礁+滬

42

--

4/加Z

-〃-

3等號成立.

3'

(2)已知。>彳，%,且2a+b=2,則］li+z的最小值是()

乙11

45

-C2D-

A.32

答案C

解析因為2a+b=2,

所以（4〃-1）+（2人-1）=2,

則卷++=%（4。-l）+（2b—1力?（出+^?）=5捐+^1+2）22,

2b—14a-1

當(dāng)且僅當(dāng)

4a~\2/7-T

即。=+b=\時，等號成立.

題型四構(gòu)造不等式法求最值

例4⑴若公>0,b>0,且〃〃=〃+方+3,則"的最小值為()

A.9B.6C.3D.12

答案A

解析因為〃>0,歷>0,所以〃十人22標(biāo)，當(dāng)且僅當(dāng)。=。時，等號成立.

又帥=。+人+3,所以帥=。+8+322屈+3,整理可得時一2標(biāo)一320,

解得，7萬23或M7w—1(舍去).

所以歷23,所以岫29.所以當(dāng)。=6=3時，"的最小值為9.

延伸探究若必)，b>0,且而=a+A+3,則a+b的最小值為.

答案6

解析因為G>0,b>0,所以a+b22旅,當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.

又ab=a+/?+3,所以"==+6+34"整理可得(a+b)?—4(a+b)—1220,

解得a+/?26或a+bW-2(舍去)

所以當(dāng)。=)=3時，的最小值為6.

(2)若實(shí)數(shù)小滿足則出?的最小值為()

A.2/B.2小C.3小D.33

答案A

解析實(shí)數(shù)

2

一

〃

2寸1

值為

最小

他的

號.則

取等

2s時

〃=

/，

即。=

當(dāng)

當(dāng)且僅

為解

轉(zhuǎn)化

式”

用“公

可利

最值，

積”的

和與

求“

關(guān)系，

的等式

積”

“和與

已知

若

升華

思維

.

最值

式求

不等

）

（

值為

最小

x十），的

0，則

2封=

x十y—

y滿足

數(shù)X,

）若正

4（1

訓(xùn)練

跟蹤

2

D.

C.5

B.1

A.4

答案

D

解析

ry,

x+y=2

0,得

xy=

y—2

x+

一由

方法

yW

0,x

0,)>

又x>

y22,

得x+

）,解

。9

工+產(chǎn)

所以

.

號成立

時，等

），=l

當(dāng)x=

當(dāng)且僅

.y,

+y=2x

,得x

y=0

y—%

x+

二由

方法

）

,則（

2y=l

,j+

0,）>0

知x>

選）已

（2）（多

為、

大值

的最

A.刈

為專

大值

;的最

B?士

為4啦

小值

的最

?I】

2

為1

小值

的最

+y

D.f

AD

答案

;

A正確

）故

等號

時取

2y=W

當(dāng)）=

且僅

=既當(dāng)

￡E）

X）W（

，即

26而

y=l2

x+2.

解析

5

2

4

1

-

-

-

當(dāng)此故B錯誤

r

-

-

y

X

?

-

V

5，

X

5,

+y

:+3=（、+2），）?+3=3+§+：23+2啦（當(dāng)且僅當(dāng)天=也-1,），=勺但時取等號），

故C錯誤；

/+9=（1-2〉）2+）2=5）2—45，+l=5（y—|〉+/，當(dāng)x==,=］時，/+）2取最小值得，故D

正確.

課時精練

IR知識過關(guān)

一、單項選擇題

1.已知〃?>0,〃>0,加〃=81,則〃?+〃的最小值是（）

A.9B.18C.9v5D.27

答案B

解析