第

章集合.常用邏輯用語.不等式B

§1.1集合

【課標(biāo)要求】1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義2理解元素與集合的屬于關(guān)系，理解

集合間的包含和相等關(guān)系.3.會(huì)求兩個(gè)集合的并集、交集與補(bǔ)集.4.能用自然語言、圖形語言、

集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系和基本運(yùn)算.

■落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.集合與元素

⑴集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于,用符號(hào)且或g表示.

(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)常見數(shù)集的記法

非負(fù)整數(shù)集

集合正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

(或自然數(shù)集)

符號(hào)NN*（或N+）ZQR

2.集合的基本關(guān)系

(1)子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A,B,如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素,

就稱集合4為集合8的子集，記作AG8(或834).

(2)真子集：如果集合AU8,但存在元素且史&就稱集合A是集合8的真子集，記

作A8(或BA).

(3)相等：若且畦A，則人=氏

(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為0.空集是任何集合的集集,是任何非空集合的

真子集.

3.集合的基本運(yùn)算

表示

集合語言圖形語言記法

運(yùn)算

并集{巾￡A,或x￡8}3E

交集且工￡6)(正)

補(bǔ)集IxLiWU,且依Al￡tzd.

【常用結(jié)論】

1.若集合A有〃(〃21)個(gè)元素，則集合A有2〃個(gè)子集，2”一1個(gè)真子集.

2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.AGB=A0AQ8,AUB=AOBQA.

4.[認(rèn)4G〃)=([〃)□(CW),[MAUB)=([MC(C網(wǎng).

【自主診斷】

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)集合{xWN|?=x},用列舉法表示為(-1,0』}.(X)

(2){x|y=^+1)={1}=((x,加=W+1}.(X)

⑶若l￡{f,x},則％=-1或x=l.(X)

(4)對(duì)任意集合A,B,都有(AnB)U(AUB).(V)

2.(必修第一冊(cè)PI4T4改編)設(shè)集合A=33<x<7},B=fr|2<x<10),則([逮)(*18等于()

A.{.r|2<xW3}

B.{x|7<r<10}

C.{M2<x<3或7Wx<10}

D.{x|2<xW3或7<x<IO}

答案C

解析因?yàn)槎?{#<3或x27},B={.r|2<v<10},所以&A)n8=出2令<3或7Wx<l。}.

3.(必修第一冊(cè)P35T9改編)已知集合A—[1,3,a2},3—{1,。+2},若AU8—A,則實(shí)數(shù)a

答案2

解析因?yàn)锳U4=4,所以所以a+2￡4.當(dāng)“+2=3,即a=1時(shí)，4={1,3/},不滿

足集合中元素的互異性，不符合題意；當(dāng)。+2=，時(shí)，〃=—1(舍去)或。=2,此時(shí)A={1、3,4},

8={1,4},符合題意.綜上，實(shí)數(shù)a=2.

4.(必修第一冊(cè)P9T5改編)已知集合A={M)<r<〃},B={x|0<v<2},若BNA,則實(shí)數(shù)G的取

值范圍為.

答案［2,+8）

解析因?yàn)樗岳脭?shù)軸分析法（如圖），可知。22.

-J~~一

02ax

■探究核心題型

題型一集合的含義與表示

例1（1）（2024.潮州模擬）已知集合人={（/，），）|y=f},B={（x,y）|y=3x},則AA3等于（）

A.{0,3}B.{(0,0),(3,9)}

C.{(0.0))D.{(3,9)}

答案B

y=/x=0,A'—3,

解析由題意得J解得或

ly=3x,_y=oy=9,

故An8={(0,0),(3,9)).

(2)已知集合A={〃?+2,2nr+〃?},若3￡A,則，〃的值為

答案-1

解析由題意得〃?+2=3或2〃*+/〃=3,

3

則m=1或〃?=一］

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，/〃+2=3,2/宗+機(jī)=3,根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意:

3

3I--

當(dāng)〃?=一寧時(shí)，m+2=5，2〃F+〃?=3,符合題意，故〃?=才

乙乙

思維升華解決集合含義問題的關(guān)鍵點(diǎn)

（1）一是確定構(gòu)成集合的元素.

（2）確定元素的限制條件.

（3）根據(jù)元素的特征（滿足的條件）構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題.

跟蹤訓(xùn)練1（1）（2023?蘇州模擬）設(shè)集合A={1,2,3},B={4,5},C={x-\-y\x^A,y^B},則。

中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

答案B

解析因?yàn)榧先?{1,2,3},B={4,5},C={x+M?￡4,所以C={5,678}.即。中

元素的個(gè)數(shù)為4.

（2）已知集合人={1,a-2,cr-a-\},若一1￡A,則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.1B.1或0

C.0D.-1或0

答案c

解析...一ISA,

???當(dāng)4—2=—1,即a=l時(shí)，A={1,-1,—1},不符合集合中元素的互異性；

當(dāng)『一。一1=一1,即。=1（舍去）或。=0時(shí)，

A={1,-2,-1},符合題意，故。=0.

題型二集合間的基本關(guān)系

例2（1）（2023??？谫|(zhì)檢）已知集合4={就>5},B={A11-Iog2.r<0},則（）

A.AQBB.BQA

C.408=0D.AUB=R

答案A

解析因?yàn)榧?={.小>5},集合/^={A|1—log2A<0}={x\x>2},

所以AGB.

（2）（2023?新高考全國II）設(shè)集合A={0,—。},8={1,。-2,2。一2},若AJ從則a等于（）

A.2B.1C.|D.-1

答案B

解析若〃一2=0,解得a=2,此時(shí)A={0,-2},B={l,0,2},不符合題意；

若2a—2=0,解得。=1,此時(shí)4={0,-1）,8={1,-1,0},符合題意.

綜上所述，a=\.

思維升華（I）空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問題時(shí)，必須考慮空集的情況，否則

易造成漏解.

（2）已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)

化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題.

跟蹤訓(xùn)練2（1）已知集合知=國〉，=勺1一人,xeR},N={Hv=〃?2,則集合M,N

的關(guān)系是（）

A.MNB.NM

C.MG[RND.NGCRW

答案B

解析因?yàn)槔?"廿==1-/，X￡R}={X|-1WXW1},N=*|A=〃?2,m￡M}={x|0〈x〈l},

所以NM.

（2）（2024.南平質(zhì)檢）設(shè)集合A={x|-1WXW3},集合3={#2a},若A=B,則。的取值范圍

為（）

A.{。|心3}B.{a|-lWaW3}

C.{a\a^-1}D.{a|aW-1}

答案D

解析由AGB可得cW-I.

題型三集合的基本運(yùn)算

命題點(diǎn)1集合的運(yùn)算

例3（1）（2022?新高考全國I）若集合M={.小區(qū)<4},N=33.E21},則MAN等于（）

A.{R0Wx<2}B.{瑪《2'

C.{M3Wxv16}D/x1<x<16

答案D

解析因?yàn)镸={x|#<4},

所以M={x\0^x<16］；

因?yàn)镹=33*21},

所以.

所以MCN=x?Wx<16.

（2）（多選）（2023?濰坊模擬）若非空集合M,N,P滿足MCN=MMUP=P,則（）

A.PUMB.MQP=M

C.NUP=PD.Mn（［pN）=0

答案BC

解析由MCN=N,可得NCM,

由MUP=P,可得MUP,

則推不出PGM,故A錯(cuò)誤；

由MGP,可得MHP=M,故B正確；

因?yàn)镹UM且MNP,

所以NQP,則NUP=P,故C正確；

由NG",可得MA（［pN）不一定為空集，故D錯(cuò)誤.

命題點(diǎn)2利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值（范圍）

例4（1）（多選）已知A=*|F+x—6=0},B={A>LV+1=0},且AUB=A,則，〃的值可能為

（）

A.—1B.|C.0D.—1

答案BCD

解析由題意知A={x*+x—6=0},

由『+x—6=0,解得x=2或x=—3,

所以A={2,—3},

因?yàn)?UB=4,所以EGA,

當(dāng)3=0時(shí)，機(jī)=0,滿足題意；

當(dāng)時(shí)，3={一《},

——=2或一'=-3,

mm

綜上，〃7=0或一]或予

(2)(2023?齊齊哈爾檢測)已知集合A,B滿足A={Hr>l},8={力￡。-1},若AUB=R,則

實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(一8,I]B.(-OO,2]

C.[1,+8)D.[2,+8)

答案D

解析因?yàn)锳UB=R,所以解得。22.

思維升華對(duì)于集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；

如果集合中的元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況.

跟蹤訓(xùn)練3(1)(多選)已知集合A=**—2x>0},4={刈々<3},則()

A.([RA)U8={H0WX<3}

B.(CRA)nB={x|l<r<2}

C.An8={M<x<3}

D.AAB是{x[2<x<5}的真子集

答案ACD

解析由%2—2.￥>0,得.r<0或A>2,

所以八一(X|A<0或x>2),

所以IR4={X|0WXW2},

對(duì)于A,因?yàn)锽={.r|l<x<3},

所以(CR4)U8={M0WX<3},所以A正確；

對(duì)于B,因?yàn)锽={x|l〈r<3},

所以([M)CB={Ml<x<2},所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)?={小<0Mx>2},

B={x\\<.x<3},

所以4n8={M2<x<3},所以C正確；

對(duì)于D,因?yàn)?c8={R2<xv3},

所以APB是{x[2<xv5}的真子集，所以D正確.

⑵已知集合A,8滿足A=1小>1},3=}|界。-1},若AA8=0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.（一8,I]B.（—8,2]

C.[1,+8）D.[2,+8）

答案B

解析因?yàn)榧螦,B滿足人={.很>1）,

B={.x\x<ii—\],且AC8=0,

則。一1W1,解得a<2.

課時(shí)精練

ID知識(shí)過關(guān)

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2022?全國乙卷）設(shè)全集U={1,2,3,4,5},集合M滿足"M={1,3},則（）

A.2￡MB.C.44MD.54M

答案A

解析由題意知〃={2,4.5}.

2.（2023?新高考全國I）己知集合例=（-2,-1,0,1,2},汽={]|『一大一620},則MGN等于

（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}

C.{-2}D.{2}

答案C

解析方法一因?yàn)镹={x|f—x—620}=（-8,-2]U[3,+8）,

而M={-2,—1,0,1,2）.

所以MCIN={-2}.

方法二因?yàn)镸={-2,—1,0.1,2},將一2,—1,0,1,2代入不等式f—x—620,只有一2

使不等式成立，

所以MHN={-2}.

3.（2024?南京模擬）集合A="￡N|1<xv4}的子集個(gè)數(shù)為（）

A.2B.4C.8D.16

答案B

解析A={x￡N|10<4}={2,3},故子集個(gè)數(shù)為22=4.

4.已知全集U,若集合A和集合8都是U的非空子集，且滿足AU8=8,則下列集合中表

示空集的是（）

A.QA）CI8B.APB

C.（CuA）n（［M）D.An（［t.，B）

答案D

解析由Venn圖表示集合U,A,B如圖，

由圖可得AAB=4,=AH（［（,,?）=0.

5.（2023?綿陽模擬）已知A={1,4,〃F},B={1,〃?},若BUA,則，〃等于（）

A.0或4B.1或4

C.0D.4

答案A

解析???BQ4且4={1,4,62},B={\,in},

m=4或m=nr,

當(dāng)〃?=4時(shí)，A={1.4,16},3={1,4},滿足題意;

當(dāng)m=mL時(shí)，得〃?=0或m=1,

當(dāng)〃?=0時(shí)，4={1,4,0},B={l,0},滿足題意；

當(dāng)〃?=1時(shí)，代入集合中，不滿足集合的互異性.

綜上，加可取0,4.

6.已知M,N均為R的子集，若存在x使得且濤［RN,則（）

A.MCIN#0B.MNN

C.NUMD.M=N

答案A

解析因?yàn)镵［RN,所以x￡N,又因?yàn)閤EM,所以xWMAM故MHNW0,故A正確；

由于題目條件是存在x,所以不能確定集合M,N之間的包含關(guān)系，故B,C,D錯(cuò)誤.

7.已知集合從=5￡刃一10：<3},5={川31一。20）,且408={1,2},則。的取值范圍為（）

A.（0,1）B.（0,1］

C.（0,3］D.（0,3）

答案C

解析因?yàn)锳={x￡Z|—《＜3}={0,1,2},

f

XX2-l

8={X|3X—420}=3

又AA8={1,2},

所以

解得()<〃W3,則。的取值范圍為(0,3].

8.已知集合4={水>4},B={x\x<2m},且[RBCA,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()

A.(2,+8)B.[2,+“)

C.(一8,2)D.(-8,2J

答案A

解析因?yàn)?={也<2〃?},

所以1通={#22/〃},

又4={小>4],且CRBGA,所以2〃?>4,得到/心2.

二、多項(xiàng)選擇題

9.已知/為全集，集合M,NQI,若MNN,則()

A.MUN=NB.MCN=N

C.C/MCOD.(C//V)nM=0

答案AD

解析因?yàn)锳/GN,貝ijMUN=N,則A正確，B錯(cuò)誤；

又/為全集，集合M,NQh則C/M￡[/N,([/N)nM=0,C錯(cuò)誤，D正確.

10.已知集合4={r|/=l},A={r|仆=1},且AUA=4,則實(shí)數(shù)〃的取值可以是()

A.-IB.0C.1D.2

答案ABC

解析A=3f=l}={-11},集合3表示關(guān)于x的方程以=1的解集，

因?yàn)锳U/3=A,所以4G4,

當(dāng)4=0時(shí)方程ax=l無解，此時(shí)B=0,符合題意；

當(dāng)4={1}時(shí)，4=1；當(dāng)6={—1}時(shí)，一。=1,解得。=一1,

綜上可得。=0或±1.

三、填空題

11.已知集合集={(羽y)\x,y￡N?,y^x],B={(x,y)(x+y=8},則4nB中元素的個(gè)數(shù)為

答案4

解析根據(jù)題意，AG8的元素是x+y=8上滿足x,