§8.2兩條直線的位置關(guān)系

【課標要求】1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直2能用解方程組的方法求兩條直線的交

點坐標.3.掌握平面上兩點M的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.

■落實主干知識

【知識梳理】

1.兩條直線的位置關(guān)系

直線Ay=k\x-\-b\,h：y=kix-\-b2,h：Aix+fii>,+Ci=O,34巾+82丁+。2=0(其中/1與

，3是同一條直線，，2與/4是同一條直線)的位置關(guān)系如下表：

位置關(guān)系八，/2滿足的條件/3,〃滿足的條件

平行一=心且回工人24私一42e=0,且4c2-A?CIwo（或小。2—42。1中0）

垂直無1的=一］A1—21/心2=0

相交4義-A281W0

2.三種距離公式

(I)兩點間的距離公式

①條件：點P\(X|,y1),Pz(X2,及).

②結(jié)論：|「/2|=叱］2—內(nèi)產(chǎn)+。2—#)2.

③特例：點P(x,y)到原點。(0,0)的距離|。尸|=4?巧.

(2)點到直線的距離

|A.ro+B;；o+C]

點P(xo,再)到直線/：AM+由v+C=0的距離d=

(3)兩條平行直線間的距離

IC1-C2I

兩條平行直線/i：Ax-\~By-\-C\=0與/：：Av+By+C2=0間的距圖d=

RA2+

【常用結(jié)論】

六種常用對稱關(guān)系

(1)點。，)，)關(guān)于原點(0,0)的對稱點為(一1,—y).

(2)點(x,y)關(guān)于x軸的對稱點為(x,—y),關(guān)于y軸的對稱點為(一x,y).

(3)點(x,y)關(guān)于直線y=x的對稱點為。，幻，關(guān)于直線,=—x的對稱點為(一y,~x).

(4)點(x,)，)關(guān)于直線x=G的對稱點為(2a—x,)，)，關(guān)于直線y=Z?的對稱點為(.1,2b—y).

(5)點(x,y)關(guān)于點(“勿的對稱點為(2。一心2b-y).

(6)點(x,y)關(guān)于直線x+y=火的對稱點為(k—y,k~x),關(guān)于直線x—.v=k的對稱點為(2+y，

x~k).

【自主診斷】

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“J”或"X”)

(1)當直線和，2斜率都存在時，一定有心=心玲/|〃/2.(X)

(2)若兩條直線/]與/2垂直，則它們的斜率之積一定等于一1.(X)

(3)直線外一點與直線上點的距離的最小值就是點到直線的距離.(V)

(4)若點A,8關(guān)于直線/:)，=日+仇�)對稱，則直線人8的斜率等于一;，且線段A8的中

點在直線/上.(J)

2.(選擇性必修第一冊P102T2改編)若直線2x+〃少+1=0與直線3x+6y-1=0平行，則m

等于()

A.4B.-4C.1D.-1

答案A

解析因為直線2x+/〃y+l=0與直線3x+6y—1=0平行，所以p解得〃?=4.

3.(選擇性必修第一冊P79練習(xí)T1改編)兩平行直線x—2.v+l=0與直線法一4)-3=0的

距離為()

A.2B,小C.y[\0

答案A

3

解析由直線2x-4y-3=0可得，L2)，T=0,根據(jù)兩條平行線間的距離公式知d=

—3—1L

_2]小

、12+(-2)2―2■

4.直線x—2廠3=0關(guān)于定點M(—2,1)對稱的直線方程是.

答案x-2y+ll=()

解析在直線上取點P(3,0),點P關(guān)于知(一2,1)的對稱直為P'(—7,2),

過點P'與原直線平行的直線方程為x—2y+11=0,即為對稱后的直線方程.

■探究核心題型

題型一兩條直線的平行與垂直

例I(1)(2023?桂林模擬)已知直線八：辦+5一1))，+3=0,/2：2x+ay—1=0,若I山2,則實

數(shù)。的值是()

A.0或一1B.-1或1

c.-1D.1

答案A

解析由題意可知故2a+a（“一l）=o,

解得a=0或a=—1,經(jīng)驗證，符合題意.

（2）（2023?合肥質(zhì)檢）若Z3x-my-l=0與6：3（m+2〃-3y+1=0是兩條不同的直線,則

是“〃/2”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析若h〃h,則3義（-3）=一〃?X3（m+2）,

解得/"=I或m=-3,

而當〃?=—3時，/|,人重合，故舍去，

則“〃?=1”是的充要條件.

思維升華判斷兩條直線位置關(guān)系的注意點

（I）斜率不存在的特殊情況.

（2）可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.

跟蹤訓(xùn)練1（1）（2023?襄陽模擬）設(shè)小b,c分別為△A4C中角A,B,C所對邊的邊長，則直

線xsinA+a），+c=0與bx—ysin8+sinC=0的位置關(guān)系是（）

A.相交但不垂直B.垂直

C.平行D.重合

答案B

解析由題意可知，直線xsinA+qv+c=0與以一ysinB+sinC=0的斜率分別為一七二，

b

sinB'

a_____b_

又在△A4C中,

sin月―sin4'

sin4b

所以一

asinB1,

所以兩條直線垂直.

（2）已知兩直線/i：（加一l）x—6y—2=0,/?："Lr+y+1=0,若/1X/2,則m=；若l\//h，

則〃?=.

答案3或一21

(2)(2023?上饒統(tǒng)考)正方形48CQ的兩個頂點A,8在直線x+)，-4=0上，另兩個頂點C,D

分別在直線2A—y-1=0,4.r+y-23=0±,那么正方形ABCD的邊長為.

答案2也或14也

解析設(shè)直線CQ的方程為x+.y+〃?=0,

1=0,得餐片),

聯(lián)立

x+y+?7z=0,

聯(lián)立篇二曹‘得干)’

???由兩點間的距離公式可得|(7。|=￥m+ill,

又直線48與CO的距離為5="黃川,

?.3加+11|一千，

解得〃2=—8或機=-32,

即|CQ|=26或14^/2.

即正方形的邊長為26或1472.

思維升華利用距離公式應(yīng)注意的點

(1)點P(.ro,泗)到直線x=a的距離d=\xo—a\t到直線的距離1=伙)一夙

⑵兩條平行線間的距離公式要把兩條直線方程中x,y的系數(shù)化為相等.

跟蹤訓(xùn)練2⑴若點(〃?，〃)在直線/：3x+4v-13=0±,則的一1>+〃2的最小值為()

A.3B.4C.2D.6

答案B

解析由(，〃-1戶+〃2的幾何意義為點到點(1,0)距離的平方，

“3+0—13八

得其最小值為點(1,0)到直線/:3x+4y-l3=0的距離的平方，即布二~}=4

⑵已知兩條平行直線分別過點A(6,2)和伙—3,-I),并且各自繞點A,B旋轉(zhuǎn),平行線之

間的距離的最大值為,此時兩平行直線方程分別為.

答案3，桁3x+y—20=0和3x+y+10=0

解析兩條平行直線分別過點A(6,2),僅一3,-1),并且各自繞點A,8旋轉(zhuǎn)，

當43與兩平行直線垂直時，兩平行線之間的距離最大，

HB|=叱6+3)2+(2+1)2=3也,

這兩條平行直線之間的距離有最大值,

最大值為34通，

2+1i

直線AB的斜率k/{B=6?

6十J5

故這兩條平行直線的斜率為一3,

則兩平行直線方程分別為y—2=—3(x—6),y+1=-3(H+3),

即3x+y—20=()和3x4-y+10=0.

題型三對稱問題

命題點1點(或直線)關(guān)于點對稱

例3直線3x-2y=0關(guān)于點0)對稱的直線方程為()

A.2x~3y=0B.3x—2y—2=0

C.x-y=0D.2x—3y—2=0

答案B

解析方法一設(shè)所求直線上任一點為(K,)，)，則其關(guān)于點生O)對稱的點為停f-

停

為點

因-X

在直線3x-2y=0±,

所以3《一J—2(—y)=0,化簡得3x—2)，-2=0,

所以所求直線方程為3x-2y-2=0.

方法二在直線3x—2y=0上任取兩點0(0,0),M(2,3),

設(shè)點。，M關(guān)于點生0)的對稱點分別為O',",

則O,(y0)，M，(~y—3)，

),_(_3)I-0

所以所求直線方程為

0—(-3)

gp3x-2y-2=o.

命題點2點關(guān)于直線對稱

例4一條光線從點P(—1.5)射出，經(jīng)直線.1一3〉，+1=0反射后經(jīng)過點(2,3),則反射光線所在

直線的方程為()

A.2x~y—1=0B.3x—y—3=0

C..r-2=0D.4x-y-5=0

答案C

解析設(shè)點P(—1,5)關(guān)于直線工一3)，+1=0的對稱點為Pm，b).

丁*=

則

a~\b+5,

—5—3X^-+l=0,

a=2,

解得，

/?=-4,

故反射光線過點P'(2,—4)與點(2,3),

則反射光線所在直線的方程為4—2=0.

命題點3直線關(guān)于直線的對稱問題

例5兩直線方程為八：3I—2廠6=0,，2：x一廠2=0,則八關(guān)于12對稱的直線方程為()

A.3x-2y-4=0B.2x+3.y-6=0

C.2Y—3y—4=0D.3x—2y—6=0

答案C

解析設(shè)所求直線上任意一點M(x,.y),M關(guān)于直線不一)，-2=0的對稱點為M'8,川)，

1if

則L1

［號—中—2=0,

即=y+2,

解得<①

y\=x-2,

???點M'在直線力一2)，-6=0上，

?、將①式代入，得3(.y+2)—2。-2)—6=0,

化簡得2丫-3)，-4=0,即為人關(guān)于6對稱的直線方程.

思維升華對稱問題的求解策略

(I)解決對稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解.

(2)中心對稱問題可以利用中點坐標公式解題，兩點軸對稱問題可以利用垂直和中點兩個條

件列方程組解題.

跟蹤訓(xùn)練3已知直線/：&-3y+l=0,點4一1，-2).求：

⑴點A關(guān)于直線/的對稱點A'的坐標：

(2)直線〃?：3文一2)，-6=0關(guān)于直線/對稱的直線〃/的方程；

(3)直線/關(guān)于點A的對稱直線/'的方程.

解(1)設(shè)A'(x,>),由已知條件得

x—1y-2,

2X--3X-3—F1=O,

解得《，所以4(一晉,苗

4

U，=l3-

(2)在直線〃?上取一點，如M(2,0),

則M(2,0)關(guān)于直線/的對稱點AT必在直線機’上.

設(shè)對稱點為M'3,份，則

a+2Z?+0

2X-y-—3X^-+1=O,

得V佶,if)-

la—23

設(shè)直線〃?與直線/的交點為N,

2Y—3v+1=0,

由得M4,3).

3x—2y—6=0,

又M經(jīng)過點M4,3),

所以直線〃?'的方程為以一46y+102=0.

(3)方法一在/：公一3)，+1=0上任取兩點，

如尸(1,1),0(4,3),則尸,Q關(guān)于點4一1,-2)的對稱點P,Q!均在直線/'上,

易得P'(―3,—5),Q'(—6,—7),

所以/'的方程為統(tǒng)一3)，-9=0.

方法二因為/〃,

所以設(shè)/'的方程為2x—3y+C=0(CWl).

因為點&-1,一2)到兩直線/,r的距離相等，

所以由點到直線的距離公式，

組I—2+6+C1-2+6+11

卜：I--------/--------解得。二一9,

。22+32。22+3：

所以/'的方程為統(tǒng)一3)，-9=0.

課時精練

知識過關(guān)

一、單項選擇題

1.已知直線八經(jīng)過點A（2,。-1）,B34）,且與直線A：2x+y—3=0平行，貝等于（）

A.-2B.2C.-1D.1

答案C

解析直線八的斜率策戶,直線〃的斜率心=-2,

2—a2—a

n—5

所以^—=-2,解得4=-1,經(jīng)檢驗，符合題意.

2—a

2.若直線內(nèi)一令，十2=U與直線2r+5y十c=。垂直，垂足為（1,b）,則十c等于（）

A.16B.4C.—10D.—4

答案D

解析因為辦一4），+2=0與直線2x+5y+c=0垂直，故為-20=0,即。=10,因為垂足

為（1,〃），

[10X1—40+2=0,1。=3,

取LX1+5/?+c=0,[c=-17,

故a+/?+c=—4.

3.兩直線3x+4y+s=0和3x+4y+c2=0的距離為2羋，則匕一以等于（

)

A.2小B.2小C.2D.4

答案B

|CLC2||CLC2|

解析直線3x+4y+ci=0和3x+4y+c2=0之間的距離為

■^32+425

|口$<2|=2?—tLC2|=2巾.

于是有

4.四邊形A8CQ的四個頂點是A（3,0）,8（0,4）,C（4,7）,0（11,6）,則四邊形48。。為（）

A.矩形B.菱形

C.等腰梯形D.直角梯形

答案D

M士c占17-436-03

解析由心c一二^一不如＞一]]_3一不

0-44,6-71

公產(chǎn)亡3=一予如產(chǎn)向=T

*：kBC=kAD、k^B^kcD,

：.BC//AD,AB與CO不平行，

???四邊形A8CO為梯形，

又VICAD'/CAB=-1?

：,ADLABt,四邊形4BCO為直角梯形.

5.(2024.牡丹江模擬)直線)，=彳"關(guān)于直線x=l的對稱直線為/,則直線/的方程是()

A#r+y—2=0B，V3.r+y+2=0

C.x+V5.v-2=0D.x+?。荆?2=。

答案C

解析直線與直線x=l交于點A(l,坐)

所以直線/的斜率為一早且過點A(l,明，

所以直線/的方程為丁一坐=一坐(工一1),

即x+于y-2=0.

6.唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，

詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某

處出發(fā),先到河功飲馬后再回到軍營,怎樣走才能使總攜程最短？在平面自角坐標系中.設(shè)

軍營所在的位置為仇一1,。)，若將軍從山腳下的點。(0,0)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x

+y=3,則“將軍飲馬”的最短總路程是()

A.2B.3C.4D.5

答案D

解析如圖所示，作點。關(guān)于直線x+y=3的對稱點4刈，和)，連接A8交直線于點C,此

時總路程最短，

由題知，點A(xo,yo)滿足,

yg

2-=3,

解得仁；：即點43,3),

yo-Q

因為|oq+|8q=HG+|〃c|=H8|,

所以“將軍飲馬”的最短總路程為丁3|=#(-1-3)2+(()—3)2=5.

二、多項選擇題

7.己知直線/過點W,2),且點A(2,3),8(4,—5)到直線/的距離相等，則/的方程可能是

()

A.4x+y—6=0B.x+4y—6=0

C.3x+2），-7=0D.2.r+3>'-7=0

答案AC

解析由條件可知直線/平行于直線/W或過線段/W的中點,

當直線/〃/W時，因為直線.AB的斜率為=一4,

，;2—（二4）

所以直線/的方程是y—2=—4（x—1）,即4x+y—6=0；

當直線/經(jīng)過線段A4的中點（3,—1）時，

3

2一（一1）-

/的斜率為-2

1-3

此時直線/的方程是y—2=—,（x—1）,

即3%+2），-7=0.

8.己知直線尿x+），+l=0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.點（0,1）到直線/（）的距離是也

B.直線/i：人一），+1=0,則/o_L/i

C.直線￡蛆+（〃產(chǎn)—2）9+2=0（/〃為常數(shù)），若/0〃氏則用=-1或m=2

D.直線A1+），-1=0，則/o和，3的距離為2

答案AB

I1+H

解析由點到直線的距離公式知，d==也故A正確;

]2

因為1X1+1X（—1）=O,由兩條直線垂直的充要條件知故B正確;

若則用2—2=機，所以〃?=—1或2.

因為當〃?=2時，/2：2x+2），+2=0,即x+y+l=O與/o：x+y+l=O重合，故C錯誤;

因為%）：x+y+l=O與A：x+y—1=0平行，

n-（-i）i

所以由兩平行線間的距離公式可得d=712+12=啦,故D錯誤.

三、填空題

9.已知直線A：2x+y+l=0和直線8x+"+3=0,若則實數(shù)〃的值為

若h〃b，則/1與/2之間的距離為.

答案一2小

解析已知直線八：2x+y+l=0和直線/2：x+4+3=0,

若/1JJ2,則2+。=0,解得。=一2；

若八〃/2,則2a=1,解得〃=J,此時直線京2r+），+6=（）,顯然兩直線不重合,

|1一6|

故此時/i與A間的距離d==祗

A/4+T

10.已知△ABC的頂點8(2,1),C(—6,3),其垂心為”(一3,2),則頂點A的坐標為.

答案(-19,-62)

2—1

解析直線8”的斜率h=R=-苧

又BHLAC,則直線AC的方程為丁一3=5(/+6),即y=5x+33,

直線C〃的斜率近=三志=一小

又C’HLAB,則宜線A8的方程為)，-1=3。-2),即)，=3工一5,

y=5x+33,x=-l9,

由‘--解得

)'=-62,

所以頂點A的坐標是(一19,-62).

四、解答題

11.⑴已知點A(o,6)到直線3,L4y=2的距離d=4,求。的值；

⑵在直線x+3y=0上求一點P,使它到原點O的距離與到直線x+3y—2=0的距離相等.

|367-24-2|_

解(1)由題意，得|3。一26|=20,

*\/32+(—4)2

解得。=2或。=工-.

⑵設(shè)點尸(一3乩b),

由題意，得|00|=啊=彳=4麗.

點尸到直線工+3)-2=0的距離為

|—3Z?十3A-2]175

-710-=5，

所以人10岳=%^,解得/?=±1.

即點尸的坐標為修_￡)或(T1)?

12.己知△/WC的頂點A(5,l),邊上的中線CW所在直線方程為2x-y-5=0,N8的平

分線BN所在直線方程為％—2y—5=0.求：

⑴頂點8的坐標；

⑵直線BC的方程.

解(1)設(shè)點8(w，)，0),由AB中點在2》一)，-5=0上，可得2義也會一片【一5=0,

即2xo一和一1=0,

2x()一)'?！?=0,

又順一2W一5=0,聯(lián)立

.北一2yo—5=0,

Xo=—h

解得c即點8(—1,