高一暑假作業(yè)1:集合與常用邏輯、不等式、復(fù)數(shù)（北師大版）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.（2025?江蘇省蘇州市?月考試卷）已知全集U=A={x\2<x<6],8=（1,4）,則下圖中陰影部分表

示的集合為（）

A.{x|1<A;,2)B.{x\l<x<2}C.{1,2}D.0

2.命題“3x0GR,片十2XQ十2,。”的否定是（）

甚任片+

A.R,24+2,,0B.3Ao￡A,4+2x()+2>0

C.\JXGR、x2+2x+2,,0D.VXG7?,42.v+2>0

3

3.命題p：x..2是命題小——<1成立的（）條件

x+1

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

4.（2025?福建省三明市?月考試卷）已知。>0,若不等式恒成立，則〃的最大值為

ab2a+b

（）

A.9B.12C.16D.20

5.（2025?吉林省?期末考試）已知不等式以2+公+0<0的解集為{#1〈-1或工>3},則下列結(jié)論正確的是

()

A.?>0

B.c<0

C.a+b+c<0

D.ex2—bx+a<0的解集為{劃-5Vx<1}

6.（2025?河北省?單元測試）歐拉是十八世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家，他巧妙地把自然對數(shù)的底數(shù)e,虛數(shù)單位i,三

角函數(shù)cos。和sin。聯(lián)系在一起，得到公式e'〃=cose+jsin。，這個公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋”.根據(jù)

該公式，可得/+1=（）

A.1B.72C.2D.75

7.已知函數(shù)y--2的定義域為A,集合"={x||x—3K〃M>0},若Ac3中的最小元素為

2,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.{x|0v6，4}B.{x|0<?<4）C.{x|lvq,4}D.{x\\<a<4}

8.（2025?浙江省?同步練習(xí)）當(dāng)0<%（時，log。8、恒成立，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

3

A.（°，塔）13?（去，DC.（1,右）D.（0,2）

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.（2025?黑龍江省綏化市?期末考試）下列敘述中正確的是（）

A.若則一《一

ab

B.“HrwH,2、>%2”的否定是“Vx仔R,

C.a,b,ceR,則“ab2>cb2”的充要條件是“a>c”

D.若命題“女cA,丁+4%+〃=0”為假命題，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是（4,+8）

10.（2025?內(nèi)蒙古自治區(qū)?期中考試）已知z是復(fù)數(shù)，且z-i和三都是實(shí)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位.則下列說

1-z

法正確的是（）

A.z=—\+i

B.|z|=2

C.z2=—2Z

D.若復(fù)數(shù)z+,〃+（〃/—在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，則實(shí)數(shù)加

11.（2025糊南省?單元測試）已知Z,關(guān)于x的一元二次不等式W-61+〃<0的解集中有且僅有3個整

數(shù)，則a的值可以是（）

A.5B.6C.7D.8

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(2025?上海市市轄區(qū)?月考試卷)已知條件p：2軟Jr3,q：2A?-1(工<卜+3,〃是c/的充分條件，則

實(shí)數(shù)火的取值范圍是.

13.(2025?天津市?月考試卷)己知乂ye/?,若x+)”與一^互為共規(guī)復(fù)數(shù)，則%+>=_______.

1-z

14.設(shè)。<0,若關(guān)于x的不等式(4/+a)(x+26)》。對任意的xe(。,。)恒成立，則人一。的最大值為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(2025?浙江省?單元測試)(本小題13分)

已知集合4={t|一1<n<3},B={x|x..l},C={x\x>m-2}.

⑴求AuB;

(2)若,求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

請從①AqC,②AcC，0,③這三個條件中選一個填入(2)中橫線處，并完成第⑵問的解答.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

16.(2025?廣東省?單元測試)(木小題15分)

己知復(fù)數(shù)z=(〃LlX〃[+2)+(〃7-l)i(〃?eR),其中j為虛數(shù)單位.

⑴若z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)〃7的值：

(2)若〃?=2,設(shè)二^=a+,試求a+〃的值.

Z7

（2）為了節(jié)約成本，應(yīng)該如何設(shè)計繪畫墻的尺寸，使得繪畫墻墻面的面積最小？

19.⑵）25?吉林省?聯(lián)考題）（本小題17分）

設(shè)函數(shù)y=ax2+（\-a）x+a-2.

⑴若不等式）Z.-2對于實(shí)數(shù)時恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

、4v2+9

⑵命題〃：V%￡{x|-2領(lǐng)k2},叫￡{刈1領(lǐng)k4）,使x；+叫+3—?！闪?若〃為真命題,

4X2

求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

1.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查集合的運(yùn)算，Ve〃〃圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

依題意，可得陰影部分所示集合為何，A)c6,進(jìn)而求解.

【解答】

解：依題意，可得陰影部分所示集合為⑼A)c8,

其中(4,A)=(-co,2]56,+OD),故同A)CB={x11v&2}

2.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查命題的否定.存在量司令題與全稱量詞命題的否定關(guān)系，基本知識的考查.

直接利用存在品詞命潁的否定是全稱異詞命題寫出結(jié)果即可.

【解答】

解：因為存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，所以：命題石+2%+2,0”的否定是:

Vx￡R,x2+2x+2＞0.

故選：D.

3.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查充分、必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

解分式不等式，再利用充分、必要條件的定義即可判斷.

【解答】

3

解：由----＜1＞得x＞2或工＜一1,

x+1

因為尤.2是人＞2或人＜—1的既不充分也不必要條件，

故〃是夕的既不充分也不必要條件，

故選D.

4.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查基本不等式，將〃分離出來，化為〃《5+—+丁是關(guān)鍵，屬于中檔題.

ab

依題意可將2+；》丁七化為”5+多+土利用基本不等式即可得到答案.

ab2a+6ab

【解答】

解：'.'tz>0,b>0,

21n2(2a4-b)2a4-b-262a

2b2a..2^”?華=4(當(dāng)且僅當(dāng)。=〃時取“二”).

由。>0,力>0得,

ab

.?.5+竺+即.9

ab

4,9.

故選A.

5.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

根據(jù)不等式以2+/.+CV0的解集得出對應(yīng)方程的解，以及。<0,由此判斷選項中的命題是否正確.

【解答】

解：因為不等式辦2+公+cv0的解集為{XIXVT或X>3},

所以一1和3是方程ar2+Z?x+c=()的解，且〃<0，選項A錯誤；

-1+3=--

所以“，解得〃=—2a,c=-3a>0,選項8錯誤；

-1x3=-

a

所以a+0+c=a-2“一女i=-4?>0,選項C錯誤：

不等式ex2一灰+〃<0可化為一3必2+2ax+a<0,即3x2—2x-1<0>

解得所以不等式的解集為{x|-g<x<l},選項。正確.

33

故選：D.

6.【答案】B

【脩析】【分析】

本題考查模的計算，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、創(chuàng)新性，屬于基礎(chǔ)題.

由定義得出一,，然后利用模的計算公式求解即可.

【解答】

我

解：由已知/=cos—+isin—=/>

22

所以|理+“=|1+4=&，

故選B.

7.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了函數(shù)的定義域

【解答】

函數(shù)3=一尢-2=］（』一2）（尢十1），由（*一2）（*+1）..0解得工.2或匕，一1,所以集合八={x|x..2

或K,一1},由1%-3|<〃，得一4<X-3V。，即3—。VXV3+4所以集合

-1?3—6/<2,

B={x\3-a<x<3+aya>0},因為AcA中的最小元素為2,所以匕。解得1<%4,

3+a>2,

故選C

8.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，不等式恒成立問題.

作出），=8、與），=log“x的大致圖象，結(jié)合函數(shù)圖像進(jìn)行求解.

【解答】

解：?.?log“x>8'，

/.logaX>。，

而o<兄，"!?，

3

/.0<?<1.

作出y=8V與），=log”X的大致圖象，如圖所示,

r

K.

o\x

I

ii

31

則只需滿足loga->8=2=log“a,

,x/3

.?a>—，

3

石)

/.—<6/<1.

3

故選B.

9.【答案】AD

【解析】【分析】

本題考查利用不等式的基本性質(zhì)判斷不等關(guān)系，全稱量詞命題與存在量詞命題的否定，充要條件及其判

斷，屬于基礎(chǔ)題.

利用不等式的性質(zhì)判斷4利用存在量詞命題的否定判斷以利用充要條件的定義判斷C；求出，〃的范圍

判斷D

【解答】

解：對于4,a>b>0,則,<,，故A正確；

ab

對于從“小wR,2、>丁”是存在量詞命題，

其否定是：7xwR,，故B錯誤；

對干C,若a>c，b=0,則疝2=0=浦2,

因此不是a/〉”/的充要條件，故C錯誤；

對于。，命題“HxwH,V+4x+〃?=0"為假命題，

則VXG?/+4]+為真命題，

因此△=16-4/〃<0,解得W>4,故。正確.

故選：AD.

10.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)的概念，幾何意義和復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題.

利用待定系數(shù)法可求得Z,根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式，乘法運(yùn)算以及幾何意義即可得結(jié)果.

【解答】

解：設(shè)2=工+.，x,ywR,

所以z-，=x+(y—l)i為實(shí)數(shù)，即y=l;

zx+i(%+z)(l+/)x-l+(x+l)i

所以;一=L=〃.、/[=-----Z-------，即工二-1,所以z=—l+i,故A正確；

1-z1-z(1-z)(l+z)2

所以|z|=0,故4錯誤；

所以22=(-1+7)2=-27,故。正確;

復(fù)數(shù)z+"7+(M_m_3)/=-14-m+(nV-m-2)i對應(yīng)的點(diǎn)為(-1+in,nV-加-2)在第三象限,所以

-1+m<0

i?!2-m-2<0

解得故。正確,

故選：ACD.

11.【答案】ABC

【解析】【分析】

本題主要考查一元二次不等式，以及根的存在性及根的個數(shù)判斷問題，同時考杳了轉(zhuǎn)化的思想，屬于較綜

合的中檔題.

設(shè)/(幻=/-6工+4,其圖象是開口向上，對稱軸是x=3的拋物線，如圖所示.利用數(shù)形結(jié)合的方法得

/(2)<0

出，若關(guān)于x的一元二次不等式9—6x+《,0的解集中有且僅有3個整數(shù)，則<從而解出所

有符合條件的。的值.

【解答】

解：設(shè)/。)=/一6工+。，其圖象是開口向上，對稱軸是工=3的拋物線，如圖所示.

若關(guān)于X的一元二次不等式X2-6X+6Z<0的解集中有且僅有3個整數(shù)，則

/（2）<0[22-6X2+?<0

/⑴..0[l2-6xl+6/..O

解得5,,av8,又〃wZ,「.a=5,6,7.

故選ABC.

3

12.【答案】[03]

【解析】【分析】

本題主要考查充分條件與必要條件，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)已知條件，可知〃能推出取即可列出不等式組,即可求解.

【解答】

解：???〃：2領(lǐng)k3,q：2上一1+〃是4的充分條件，

2k-1<k+33

2k—142,解得滕友二，

{k+3232

3

故實(shí)數(shù)上的取值范圍為

2

3

故答案為：[0,51.

13.【答案】-1

【解析】【分析】

0?

本題考查了共規(guī)復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，先由復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡士，再由共枕復(fù)數(shù)定義可得結(jié)果.

1-Z

【解答】

3+Z_(3+/)(l+z)

=1+2/

解:1^7-(l-z)(l+O

??<+y?與拉互為共物好數(shù)，

1-Z

=)'=-2,則x+y=-l,

故答案為T.

14.【答案】2

【解析】【分析】

本題考查不等式恒成立問題，分類討論思想的應(yīng)用.

分類討論。、〃與。的大小關(guān)系，根據(jù)小等式恒成立得出力—4的范圍，即可求出。-。的最大值.

【解答】

解：當(dāng)時，Vxw(a,6),戈+2人<0,

所以(4x2+a)(x+2b)..0在3,以上恒成立,

可轉(zhuǎn)化為，a,-4x2r

y=-4x2在(。力)上單調(diào)遞增,其加=-4a2,

所以&-4a2,則一L,,av0,

4

所以o〈人一。〈■!■；

4

當(dāng)"Ovb時,(4/+。).*+2力..0在他力)上恒成立，且0金。肉,

當(dāng)x=O時,(4/+〃).(》+2〃)=246<0,不符合題意：

當(dāng)4Vo=/時,由題意知xw(a,0),(4G+°).乂.0恒成立,

則4x2+4,0,仇,一4a2,所以一a<0,

4

所以0<2-④L

4

綜上可知，人一。的最大值為一.

4

故答案為!.

4

15.【答案】解:(1)???集合A={/|Tvxv3},B={x|x.l),

：.AUB={rr|-1<x<3}U{x\x21}={?￡>-1}.

(2)若選擇①，由AqC,得加一2,—1，即〃4」，

，實(shí)數(shù)m的取值范圍是{"""k1}.

若選擇②，由AcCw0,得〃?一2v3,即m<5,

???實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m<5}.

若選擇③，由。洋C/1,且C/l={0①W-1或"3},得相一2..3,即坂.5,

???實(shí)數(shù)m的取值范圍是{，〃|樞.51.

【解析】本題為結(jié)構(gòu)不良題型，考查集合的基本運(yùn)算，集合關(guān)系中含參問題，屬「基礎(chǔ)題.

16.【答案】解：⑴若z是純虛數(shù)，則產(chǎn)[)”2)=0,解得,〃=_2；

1H0

3

+-

2-

上

【解析】本題主要考察復(fù)數(shù)的概念與分類和復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于中等題.

根據(jù)復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)相等的意義即可求解.

17.【答案】解：⑴若命題“關(guān)于x的方程/+〃q+2〃z+5=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根”是真命題,

則△=-4(2/??+5)>0,解得加>10或v-2,

故]()}.

(2)因為4={〃2|-2效版10),xwA是xwB的充分不必要條件，所以AOA

[1—2?,—2

即八（等號不同時成立），解得a.U，

10

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為{。I11}.

【解析】本題考查充分條件，必要條件，集合的包含關(guān)系，屬于中檔題.

⑴先假設(shè)命題為真，進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)題意，可得AU8,即可得解.

18.【答案】解：⑴由題意，知每一幅矩形圖畫的長為寸厘米，寬為>-4厘米,

則Tx()，—4)=9600,整理得了=生圖+4(”>8).

3%—8

⑵由⑴知繪畫墻墻面的面積s=.。=,

x-8

則S=28800(I)+23040%g8)+32

x-8

=2：譽(yù)+4(X-8)+28832

=4^92+(x-8)]+28832,

x-8

由基本不等式，有衛(wèi)緲+x-8..2,衛(wèi)92X(X-8)=480,當(dāng)且僅當(dāng)x=248時取等號.

x-8Vx-8

故S..4X480+28832=30752,此時)，=+4=124,

故當(dāng)繪畫墻墻面的長為248厘米，寬為124厘米時，繪畫墻面的面積最小.

【解析】本題考杳利用基本不等式解決實(shí)際問題，屬于中檔題.

⑴由題意得寸乂。，-4）=9600,化簡即可得解；

（2）首先得S=41衛(wèi)弊+（工-8）］+28832,然后結(jié)合基本不等式及其取得條件即可求解.

_X-o

19.【答案】解：⑴原式可化為a^+d—aK+a.O對實(shí)數(shù)。以一1,1］恒成立，

即（/7+l）a...7對實(shí)數(shù)ae［T,1］恒成立，