第01講分式

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握分式的概念并能夠根據(jù)概念熟練解題。

①分式的概念2.掌握分式有意義的條件，并能夠熟練解決相應(yīng)的題

②分式有意義的條件目。

③分式的性質(zhì)3.掌握分式的性質(zhì)，能夠熱練的應(yīng)用分式性質(zhì)進(jìn)行約分

和通分。

思維導(dǎo)圖

分式有意義的條件

分式的基本性質(zhì)

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)()1分式的概念

I.分式的概念:

A

一般地，若A與8均是整式且8中含有字母，那么式子一叫做分式。其中A叫做分子,

--------------------------B

8nl做分母。

2.分式滿足的三個(gè)條件：

①式子一定是個(gè)的形式；

B

②A與B一定是整式；

③8中一定含有字母。

簡單理解：分母中含有字母的式子就是分式。

題型考點(diǎn)：①分式分判斷。

【即學(xué)即練1】

1.下列各式〃3?221.x+1旦，史X,屬于分式的有（）

3口2Px+12

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【解答】解:x+1.是分式，共2個(gè).

P

故選：C.

【即學(xué)即練2】

2.代數(shù)式差乂,121X+1中,屬于分式的有（）

元

5X2+43x-1

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

分式有：-^―21

【解答】解:1x+1x-1

x'+4x7^2x-1

整式有：—X,42-2,

5兀3

分式有4個(gè),

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)02分式有意義的條件

I.分式有意義的條件:

A

即要求分式的分母不能為3。即2■中，B不為0。若分母能夠進(jìn)行因式分解，現(xiàn)將分母進(jìn)

B

行因式分解，讓每一個(gè)因式都不為0。

題型考點(diǎn)：①根據(jù)分式有意義的條件求值。

【即學(xué)即練1】

.當(dāng)”取什么值時(shí)’式子得有意義,

3)

A.x=—B.x=-5C.D.月-5

2

【解答】解：由題意可得x+5H0,

則#-5,

故選：D.

【即學(xué)即練2】

4.若分式紇3有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

e-7

x+7

【解答】解：???分式絲3有意義,

x+7

???x+7#0,

解得xW-7.

故答案為：xW?7.

【即學(xué)即練3】

5.當(dāng)“為一切實(shí)數(shù)時(shí)，下列分式一定有意義的是（）

A.紅AB.上」

x+1x2+l

【解答】解：A.當(dāng)x=-l時(shí)，該分式?jīng)]有意義，故本選項(xiàng)不合題意:

B.,.?/20,

???『+1>0,

???當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，該分式一定有意義，故本選項(xiàng)符合題意;

C.當(dāng)x=-1時(shí)，該分式?jīng)]有意義，故本選項(xiàng)不合題意；

D.當(dāng)工=±1時(shí)，該分式?jīng)]有意義，故本選項(xiàng)不合題意；

故選：B.

知識(shí)點(diǎn)03分式的值

I.分式的值為o的條件：

分式的值為o的條件為要求分子必須為3,同時(shí)要求分母不為oo

A

即一中，A=0,3W0。

B

對能分解因式的分子分母進(jìn)行因式分解，讓分子里面的所有因式的值等于0,讓分母里面所有因式的

值不等于0。

題型考點(diǎn)：①分式值為0的條件。

【即學(xué)即練1】

2

6.若分式2產(chǎn)的值為0,則X的值是（）

x2-l

A.0B.1C.1或0D.0或-1

【解答】解：根據(jù)題意得』-工=0且

解得K=0.

故選：A.

【即學(xué)即練2】

10.若分式6/12的值為整數(shù),則正整數(shù)x的個(gè)數(shù)為（）

X2-X-6

A.4B.6C.7D.8

【解答】解：6”2

x^-x-6

_6(x+2)

(x-3)(x+2)

6

x-3,

???分式與土絲-的值為整數(shù),

x^-x-6

，x-3=±l或±2或士3或±6,且x+2W0,

，正整數(shù)x=4或2或5或1或6或9,共6個(gè),

故選:B.

【即學(xué)即練3】

22

11.已知x+y=5,xy=2,則三署嗎_的值為（）

927

A.2B.—C.3D.

410

【解答】解：原式=（乂7）2+：兒

xy（x+y）

把x+y=5,町=2代入得：

原式二景一音

故選：D.

【即學(xué)即練4】

12

12.已知x」=2，則,x0—的值是（)

xv4,nv2.1

1

cD.

-i9

【解答】解「/岑±1=/+2+

=(X-—)2+2+2

=4+2+2

=8

2

x的值為2,

X4+2X2+18

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)04分式的性質(zhì)

1.分式的性質(zhì)的基本內(nèi)容；

分式的分子與分母乘（或除以）同一個(gè)不等于o的整式,分式的值一不變°

2.式子表達(dá)：

AA.rAA-^C

2=2上,々=2—（A、B、。均是整式且cwo）

BBCBB+C

3.分式的符號(hào)改變法則：

分式的分子，分母以及分式本身均有符號(hào),改變其中任意符號(hào)分式不會(huì)發(fā)生改變。

A-A—AA

即：—=——=-----=------

B—BB-B

題型考點(diǎn)：①分式基本性質(zhì)的應(yīng)用。

【即學(xué)即練1】

13.下列等式從左到右的變形一定正確的是（）

2

aa+m

A—B-=—Cak_aD.旦==

bb+mbbe.bk-bbb2

【解答】解：小?#亙見（5中0）,所以人選項(xiàng)不正確;

bb+m

B、若。=0,則義工3&,所以B選項(xiàng)不正確；

bbe

。、包￡=旦，所以C選項(xiàng)正確；

bkb

D、且=—，所以。選項(xiàng)不正確.

bb2

故選：C.

【即學(xué)即練2】

14.根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式旁一可變形為（）

a-2b

廠_2a4a

A.B.D.

a-b-2ba+2b2a-4b

rAZV'ik”,..2a2a_a

2a-2b2（a-b）a-b

?2aia故本選項(xiàng)不符合題意:

a-2ba-b

B.2-w」一,故本選項(xiàng)不符合題意;

a-2b-2b

C.2-=二^-/3-,故本選項(xiàng)不符合題意;

a-2b~a+2ba+2b

2a_2aX2_4a故本選項(xiàng)符合題意;

a-2b(a-2b)X22a-4b

故選：。.

【即學(xué)即練3】

15.若把分式巫中，x、），都擴(kuò)大到原來的3倍?，則分式的值（）

x+y

A.不變B.擴(kuò)大3倍C.擴(kuò)大9倍D.不確定

【解答】解：3X3X=9x3x,所以分式的值不變.故選人

3x+3y3（xq）x+y

【即學(xué)即練4】

16.把分式立中的小y都變?yōu)樵瓉淼?倍，則分式的值（）

x-+y

A.變?yōu)樵瓉淼?倍B.不變

C.縮小到原來』D.變?yōu)樵瓉淼?5倍

5

［解答］解：”也5y

5x+5y5（x+y）x+y

???分式的值不變，

故選：B.

題型精講

題型01分式的判定

【典例1】

2

下列各式：3a+b2,12r1

，x5y，5,，?，分式有（）

a~7~x-18兀

B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2

【解答】解：21三-是分式,

ax-1

故選：C.

【典例2】

a+b2_11

下列各式：345,二中，分式有（)

a~Txhx-18m

A.I個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3a+b1

【解答】解:下列各式:X212、,工中，分式有：—,—,―，共有3

一a'~T'27'x-18max-l8m

個(gè).

故選：C.

【典例3】

2.

3

下列各式：』+5%，々+1，工^其中分式有（)

2x7T

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.

【解笞】解：是分式，共1個(gè),

故選：A.

【典例4】

2

在式子』；2xy3abe

云；號(hào)也9x4^-；今中，分式的個(gè)數(shù)是（)

a兀'4'

A.5B.,4C.3D.2

：：9x：

在式子」;2xy3abe6^7^V9"

【解答】解：：

a~4

10x2

15「

分式有：一;福79、+—；--，

ayx

即分式有4個(gè).

故選:B.

題型02分式有意義的條件

【典例1】

要使分式2有意義，則工應(yīng)滿足（）

l-x

A.x>\B.x<lC.

【解答】解：???分式上-有意義，

l-x

???1-xWO,

解得入關(guān)1.

故選：C.

【典例2】

要使分式巨?有意義，則”應(yīng)滿足的條件是（）

x-2

A.x#2B.x#OC.xX-1D.#-2

【解答】解：依題意得：X-2WO,

蟀得xX2.

故選：A.

【典例3】

要使式子&EL有意義，則〃?的取值范圍是（）

m-1

A.B.加W1C.m>1D.rn>-1

【解答】解：要使式子乂世1?有意義，則〃L1W0,

m-l

解得〃?#1,

故選：B.

【典例4】

下列分式中，有意義的條件為xW2的是（）

A.——B.C.-^―x-2

2x-4x+2x+2x-1

【解答】解：A、???二^有意義，???2_r-4W0,解得x#2,符合題意;

2x-4

B、???二一有意義，，x+2H0,解得xK-2,不符合題意；

X+2

C、有意義，???x+2W0,解得xW-2,不符合題意;

x+2

D、???左2有意義，.?/?1WO,解得xWl,不符合題意.

x-1

故選：A.

題型03分式值為0的條件

【典例1】

X2-9

當(dāng)工時(shí)，分式，的值為0.（）

(x-1)(x-3)

A.x=3B.x=\C.x=±3D.x=-3

J-9=0

【解答】解：由題意得：，

.(x-1)(x-3)卉0

解得x=-3.

故選：。.

【典例2】

若分式x（x—?（X—2）的值為O則x的值為（）

x'-4

A.0或I或2B.0或-2或2C.0或1D.0或-2

【解答】解：?.?x(xT)(X—2)的值為0,

X2-4

(x-1)(x-2)=0且f-4W0,

解得：x=0或x=l.

故選：C.

【典例3】

如果分式⑺二2的值為零,那么1等于（）

x-2

A.2B.-2C.2或-2D.0

【解答】解:?/xI-的值為零,

x-2

???田-2=0且.1-2之0,

解得x=-2.

故選:B.

【典例4】

若分式止黑的值為°，則x的值為（）

x+8

A.8B.-8C.8或?8D.4

【解答】解：由題意得:

42-64=0,

、乂+8卉0

解得x=8.

故選：A.

題型04式子的求值問題

【典例1】

若分式與支的值為負(fù)數(shù)，則X的取值范圍是（）

J+1

A.x為任意數(shù)B.x<2C.x>-2D.xW2

【解答】解：

要使分式2異的值為負(fù)數(shù)，

x'+l

即2x-4<0,

：.x<2.

故選：B.

【典例2】

若分式嗎L的值為正，則1的取值范圍是（）

X

A.x>[B.

C.x>—且D.x<-

乙乙

【解答】解：???/>（）,且x#0,分式結(jié)■的值為正，

X

A2x+l>0,

??x>—?

X2

???x>」—

x2

故選：c.

【典例3】

若分式￡片12的值為正整數(shù),則整數(shù)4的值為0,1.

x-2x-3

【解答】解：???fx->-值為正整數(shù),且X/3,

2

X-2X-3（X-3）（X+1）X+1

...整數(shù)x的值為o,1.

故答案為：0,1.

【典例4】

若則2工一3盯一2上的值為（）

l-2xy+xy-x

A.—B.-1

3

【解答】解：??j，=-^,

l-2x

/.y-2xy=x,

.*.y-x=2xy,

.2x-3xy-2y2x-2y-3xy

y+xy-xy-x+xy

_-7xy

3xy

—-■一7,

3

故選：D.

【典例5】

已知f-3x-m=0,則代數(shù)式三一的值是（）

x-x-m

A.3B.2C.—D.1

32

（解答］解；山儲(chǔ)-3x-〃?=0得』-m=3x,

故選：D.

題型05分式的性質(zhì)

【典例1】

F列等式從左到右變形正確的是1）

2J+J

A.J=xB.

32

xx

2

C,工=7十3

x-y

21

【解答】解：A.J=工，故本選項(xiàng)不符合題意;

“3x

B.4工=1+2,故本選項(xiàng)不符合題意；

x2d

c.士Z="2LZl=?i,故本選項(xiàng)符合題意；

x-yx-y

D.XW江，故本選項(xiàng)不符合題意.

xx?x

故選：C.

【典例2】

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把分式上(xAO,y滬0)中的分子、分母的北)，同時(shí)擴(kuò)大2倍，那么分式的值()

x+y

A.擴(kuò)大2倍B.縮小2倍C.改變D.不改變

【解答】解：根據(jù)題意得：—2x-

2x+2y2(x+y)x+y

即分式的值不改變.

故選：D.

【典例3】

若分式立經(jīng)中的工,)，都擴(kuò)大原來的3倍，那么分式的值()

3x-2y

A.擴(kuò)大為原來的9倍B.擴(kuò)大為原來的3倍

C.不變D.縮小到原來的工

3

3x+2X3y_3(x+2y)x+2y

【解答】解：分式的x,y都擴(kuò)大原來的3倍變?yōu)?

3X3x-2X3y3(3x-2y)3x-2y

即x，y都擴(kuò)大原來的3倍后分式的值不變，

故選:C.

【典例4】

卜.列分式從左到右的變形中正確的是()

.xx1

A----7------r-=x~lBD.----------r-=-----

x(,x-1)x(m+n)m+n

C.三D.1二J

yy+1a_2a(a-2)

【解答】解：4/*.、=占故4不符合題意；

B、「、=」,故8符合題意;

x(m+n)m+n

0、三故C不符合題意;

yy+1

D、,=/a（a/。），故。不符合題意：

a-2a（a-2）

故選：B.

【典例5】

分式變形工=「A—中的整式4=『-2v,變形的依據(jù)是分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不

2

x+2X-4

等于0的整式，分式的值不變.

【解答】解:Vx2-4=（x+2）（x-2）,

???分式變形」_=Y—中的整式4=工（x-2）=?-2r,

x+2X2_4

依據(jù)是分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變.

故答案為：?-2x,分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于。的整式，分式的值不變.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.下列式子中是分式的是（）

3a-l廠

Ra+bD.—

A.i22a-b6

【解答】解：《，竺L,年是整式；

526

上也是分式.

2a-b

故選：C.

2.若分式方工一不論x取任何數(shù)總有意義，則〃?的取值范圍是（）

x-2x+m

A.m1B.C.1D.1

【解答】解：???不論x取任何數(shù)分式總有意義，

.?.X2-2x+〃?#0,

，方程x2-2V+M=0無解，

:.A=4-4w<0,

解得：〃?>1,

故選：B.

3.卜列關(guān)于分式的判斷，正確的是（）

A.當(dāng)x=3時(shí)，紅包?的值為0

x-3

B.當(dāng)xW3時(shí)，?^二三有意義

x

C.無論x為何值，工不可能是整數(shù)

x+1

D.無論x為何值，的值總為正數(shù)

x"+l

【解答】解；兒當(dāng)x=3時(shí)，”?無意義，故A不符合題意.

x-3

B.當(dāng)x#（）時(shí)，2二3有意義，故B不符合題意.

x

C.當(dāng)x=4、0、-2、-6時(shí)，一是整數(shù)，故C不符合題意.

x+1

D.根據(jù)偶次方的非負(fù)性，得/+1>（）,即無論尤為何值，Y—的值總為正數(shù)，故Q符合題意.

/+1

故選：D.

4.下列結(jié)論：①無論。為何值，力一都有意義；②當(dāng)。=?1時(shí)，分式用上的值為0；③若些士1的值

a'+la-1x-l

為負(fù)，則x的取值范圍是xVl；④若迎小三包有意義，則x的取值范圍是工工-2且xWO.其中正確

x+2x

的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：①???/20,

???鏘121#0,

???不論。為何值"一都有意義，故此結(jié)論正確；

a'+l

②,??當(dāng)a=-1時(shí)，

[=i.i=o,此時(shí)分式無意義，故此結(jié)論錯(cuò)誤：

③?.?若的值為負(fù)，

x-l

Ax-1<0,

Ax<l.故此結(jié)論正確：

'x+2#0

x卉0，

x+1戶0

解得xW?2,xWO且xW-l,故此結(jié)論錯(cuò)誤.

綜上所述，其中正確的個(gè)數(shù)是2.

故選：B.

5.若2則亙”的值為（）

b2a

A.二B.3_c.—D.5

3552

【解答】解：???旦----3-9

b2

.?.6=區(qū)，

3

.a

則史~b_=：_3_=_5

aa3

故答案為:A.

6.不改變分式的值，使分母的首項(xiàng)系數(shù)為正數(shù),下列式子正確的是()

A—a+b_a+bB.2

-a-ba~b-X-1x+1

c1」D-b-_a+b

-x+yx+y-a-ba-b

【解答】解：不改變分式的值，使分母的首項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子分母同除以-1,

4、3也=亙±；

-a-ba+b

B、3=0

-X-lx+1

C、——=-—

-x-^x-y

D、--aj+b=],

-a-ba+b

故選：B.

7.如果將分式紅空中的“和），都擴(kuò)大到原來的3倍，那么分式的值（）

xy

A.不變B.擴(kuò)大到原來的9倍

C.縮小到原來的5D.擴(kuò)大到原來的3倍

【解答】解：把x和），都擴(kuò)大3倍后，原式=包二空=竺紅，

9xy3xy

約分后縮小到原來的3,

3

故選：C.

8.已知三個(gè)數(shù)〃、從c滿足』』，上』，.，則—迦—的值是（）

a+b5b+c6c+a7ab+bc+ca

A.—B.—C.—D.—

961520

【解答】解：.??上二，旦」，金一」，

a+b5b+c6c+a7

.3=5,-=6,3=7,

abbeca

.1l_s1+1_61+1_7

abbcac

A2(-4i3-)=18,

abc

.11l_o

abc

?abc_1

ab+bc+ca9

故選：A.

9.下列四個(gè)代數(shù)式1,7T,X2-1,1+1,請從中任選兩個(gè)整式,組成一個(gè)分式為二一（答案不唯一）（只

X+1

需寫出一個(gè)即可）.

【解答】解：分式為‘

X+1

故答案為：_J_（答案不唯一）.

X+1

10.已知小〃互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，依|=2,貝ij亙巴-m2+2cd的值是一2

m

【解答】解：??%,〃互為相反數(shù)，c,"互為倒數(shù)，問=2,

/.a+b=0,cd=\,〃P=4,

2cd=。-4+2=-2.

故答案為：-2.

m|-4

II.如果分式的值等于0,那么m=-4

m-4I

【解答】解：由題意得：上川-4=0且上〃-4|#0,

??.〃?=±4且xW4,

Am的值為-4,

故答案為：-4.

222

12.已知工的值為5,若分式二中的x、y均變?yōu)樵瓉淼?倍,則3—的值為10

x+yx+y

2

【解答】解：???二=5,

x+y

.(2x)2_4x2.空=2X5=10,

2x+2y2x+2yx+y

故答案為：10.

13.已知小b,c均是非零有理數(shù)，請完成下面的探索:

(1)試求生的值;

IaI

a

(2)試求一+-JL.的值;

laiIbl

(3)請直接寫出生+4+下」的值.

laiIblIcl

a__

【解答】解：（1）當(dāng)。為正數(shù)時(shí),