第06講復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

【人教A版2019】

1.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算及其幾何意義

(1)復(fù)數(shù)的加法法則

設(shè)ZI=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d€R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),那么々+a=(a+bi)+(c+d\)=(a+c)+(b+d)\.

(2)復(fù)數(shù)的加法滿足的運(yùn)算律

對任意Zi為2.z?￡C,有

①交換律:zl+z2=z2+zi;

②結(jié)合律：(Z|+z2)+Z3=Z|+(z2).

(3)復(fù)數(shù)加法的幾何意義

在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)Zi=a+6i,Z2=c+di(a,6,c,d￡R)對應(yīng)的向量分別為OZi,OZ2?則OZ〕=(a,6),OZ2=(c,d).

以前，醞對應(yīng)的線段為鄰邊作平行四邊形OZiZZ?(如圖所示)，則由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得

次=次+次=伍力)+(cg=(a+c力+㈤，即z=(a+c)+S+d)i,即對角線OZ對應(yīng)的向量就是與復(fù)數(shù)(o+c)+S+")i

對應(yīng)的向量.

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y

(D復(fù)數(shù)的減法法則

類比實(shí)數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=q+加的復(fù)數(shù)

x+yi(x,y￡R)叫做復(fù)數(shù)a+6i(q,b￡R)減去復(fù)數(shù)c+di(c,c/WR)的差,記作(a+bi)-(c+di).

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有c+x=md+y=b,因此x=a-c,y=b-d,所以x+yi=(a-c)+(/w/)i,即(a+加)-(c+di)

=(a?c)+S")i.這就是復(fù)數(shù)的減法法則.

(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義

兩個(gè)復(fù)數(shù)z產(chǎn)a+加，Z2=c+di(a力,c,"￡R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別是厲，況，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)的差

N「Z2對應(yīng)的向量是a-醞，即向量/

如果作成="力，那么點(diǎn)Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是z「Z2(如圖所示).

這說明兩個(gè)向量厲與5N的差五N就是與復(fù)數(shù)(〃-c)+S-4)i對應(yīng)的向量.因此，復(fù)數(shù)的減法可以按照向

量的減法來進(jìn)行，這是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.

(1)復(fù)數(shù)的乘法法則

設(shè)4=a+/)i,Z2=c+4i(4,bcd￡R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(q+Z)i)(c+di)=ac+bci+4di+/WF

=(ac-bcl)+(ad+bc)i.

可以看出，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只要在所得的結(jié)果中把產(chǎn)換成-1,并且把實(shí)部與

虛部分別合并即可.

(2)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律

對于任意4/2/3EC,有

①交換律：Z,z2=z2z,；

②結(jié)合律：(Z]Z2)Z3=Z](Z2Z3)；

③分配律：Z|(Z2+Z3)=Z,z2+z,z3.

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，正整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算律仍然成立.即對于任意復(fù)數(shù)Z,4/2和正整數(shù)嘰〃，有”上"=2"，+",

(z”，)〃=”“，(Z0)”=ZS.

4.復(fù)數(shù)的除法

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⑴定義

我們規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算.即把滿足(c+di)(x+yi尸什》(什附0)的復(fù)數(shù)x+W叫做復(fù)數(shù)4+歷除

以復(fù)數(shù)c+di的商，記作(a+bi)+(c-di)或:(a,b,c,"￡R,且e+di翔).

(1)復(fù)數(shù)的除法法則

/工人、/〃+〃i(a+5i)(c-di)(ac+bd)+(be—ad)\ac+bdbe—adn

(a+bi)+(c+di)=――TT=--T7--------—=-------------；-p-----------=，?八+，?，2i(a,b,c,d￡R,且

'7c+di(c+di)(e-di)c2+d2。~+小c2+d-

c+di#)).

由此可見，兩個(gè)更數(shù)相除(除數(shù)不為0),所得的商是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).

5.復(fù)數(shù)運(yùn)算的常用技巧

(1)復(fù)數(shù)常見運(yùn)算小結(jié)論

①(1+i)*=2iy^T=1+i；

②(1—i)2=-2i21=1-j?^=^>2i=-I+i；

1—11—1

22

③(l4-i)(1—i)=2—-r=1—i-----r=1+i；

i十i1一i

④1~r=1*^=^*T-J-r=-l；

I—11+1

⑤i4"+=i,]4"+2=一],i4〃+3=-i,i4”=](〃￡Z).

(2)常用公式

(a+bi)(a-bi)=a2+l)2:

(a±力i)2=a?+/)2±2abi；

(a±/>i)3=a3-3ab2士(3a2b—b3)i.

?題型歸納

【題型1復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算】

【例1.1]（23-24高一下?陜西西安?期中）已知Z]=4-2i,Z2=2-4i,則一z2=（）

A.6-6iB.2-2iC.24-2iD.-2+2i

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的減法法則運(yùn)算即可求解.

【解答過程】Zi-Z2=4-2i-（2-4i）=4-2i-2+4i=2+2i.

故選：C.

【例1.2]（23?24高一下?黑龍江哈爾濱?期中）若復(fù)數(shù)z滿足z+3-2i=4+i,則z=（）.

A.-1-3iB.l+3iC.1+iD.-1-i

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【解答過程】因?yàn)閦+3-2i=4+i,

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A.5B.V5C.2V5D.2V2

【解題思路】根據(jù)里數(shù)減法的幾何意義求得正，再根據(jù)模長公式即可求解.

【解答過程】因?yàn)橥?正一而，又向量與，公分別表示復(fù)數(shù)Z|=2-i,Z2=3+i,

所以說表示復(fù)數(shù)Z2—Z[=1+2i,

所以I說I=|l+2i|=V5.

故選:B.

【變式2.1]（23-24高一下?江蘇常州?期末）已知Zi，Z2WC,IzJ=\z2\=1?\zx+z2\=V3,則％-Z2l=

（）

A.0B.1C.V2D.V3

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義運(yùn)算求解.

【解答過程】在復(fù)平面中，設(shè)Z1,Z2分別與向量函:兩對應(yīng)，

由膻意可得|西|一|兩|二1，|西十兩|一方，

因?yàn)镮西+兩（+|兩一西『二2Q西『+|西|2）,

即3+1西一西|'=2（1+1）=4,解得|西一兩1=1,BP|Z1-Z2|=1.

故選:B.

【變式2.2]（2024?貴州六盤水一模）在更平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，四邊形O/4C是生平面內(nèi)的平行四邊形，

且4,B,。三點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2/,22，Z3,若Z]=1,z3=-24-i,貝U2尸（）

A.1+iB.1—iC.—1+iD.—1—i

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義及法則即可求解.

【解答過程】因?yàn)椤樵c(diǎn)，四邊形。力8C是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，

又因?yàn)閆]=1,z3=—24-i,

所以由復(fù)數(shù)加法的幾何意義可得，

Z2=Zi+Z3=1-2+i=-1+i.

故選：C.

【題型3復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算】

【例3.1]（23-24高一下?福建廈期中）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是（0,-1）,則巴二（）

Z

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，寫出復(fù)數(shù)z,在運(yùn)用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡即可.

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【解答過程】因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(0,-1),

所以z=-i,

所以密=臀=-l+i,

故選：C.

【例3.2](24-25高一下?全國?單元測試)已知z=-*,則zi°°+z5。+1的值為()

A.iB.-iC.1+iD.1-i

【解題思路】先計(jì)算z2,再由哥的運(yùn)算求解即可.

【解答過程】因?yàn)?1-i)2=l-2i+i2=-2i,所以z2=(-*)2=?=—i,

50250

所以Z】。。+Z+1=(z)+02)25+1=(-1)50+(-i)25+1=盧0-j25+1=j2-j十]=一j

故選：B.

【變式3.1](23-24高一下?山東青島期木)若(l+2i)5—4+3i,貝收一()

A.1-iB.2+iC.1+iD.2-i

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)除法以及共枕復(fù)數(shù)的概念直接求解.

【解答過程】由題意知"潦戶瑞髓=2T,

所以z=2+i.

故選：B.

【變式3.2](23?24高一下?江蘇營州?期末)已知復(fù)數(shù)z滿足(2-i)z=5(i是虛數(shù)單位),z的共扼復(fù)數(shù)為2,

貝！)2-2=()

A.6B.5C.4D.3

【解題思路】由復(fù)數(shù)的除法、乘法運(yùn)算，結(jié)合共桅復(fù)數(shù)的概念即可求解.

【解答過程】由(2-i)z=5,可得z==J=2+i,所以2=2-i

2-1(2—1)(2+1)

所以z?z=5.

故選：B.

【題型4根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)】

【例4.1](23-24高一下?天津紅橋?期末)已知aWR,i為虛數(shù)單位，若同為實(shí)數(shù)，則。=()

2+1

A.-1B.1

C.-2D.2

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【解題思路】根據(jù)題意得Z=2"iy2)i,又ZWR,求解即可.

【解答過程】由于Z=舒=*黯=2a-：,+2)i=2＞：(a+2)i,

因?yàn)閦€R,則Q+2=0,解得Q=-2.

故選：C.

【例4.2](23-24高一下?河南鄭州?階段練習(xí))復(fù)數(shù)z1=a+3Lz2=-4+bi,a,b為實(shí)數(shù),若Zi+z?為實(shí)

數(shù)，Zi-Zz為純虛數(shù)，則。+8=()

A.-7B.7C.-1D.1

【解題思路】由Z1+Z2為實(shí)數(shù)，Z1-Z2為純虛數(shù)列方程求出a,b,進(jìn)而可得a+b值.

【解答過程】因?yàn)閆1+z2=a-4+(3+b)i為實(shí)數(shù)，所以3+方=0,即b=-3,

又21-22=。+4+(3—6?為純虛數(shù)，所以即。二一4且bH3,

綜上可知｛；二:，所以a+b=-7.

故選：A.

【變式4.1】(2023?四川資陽?模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)2=。+加(a力ER),且y=l+2i,則ab=()

i+i

A.-9B.9C.-3D.3

【解題思路】由題意可得(。+6)=(1+2。(1+。，化簡后利月兔數(shù)相等即可解得。=3,b=l,從而可

解.

【解答過程】由題意可得(Q+帥=(1+2i)(l+i),則-b+ai=-l+3i,

從而a=3,b=1,故ab=3.

故選：D.

【變式4.2](23-24高一下?陜西咸陽?階段練習(xí))如果一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則稱這個(gè)復(fù)數(shù)為“等部

復(fù)數(shù)”，若早為“等部復(fù)數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的值為()

A.-1B.0C.3D.-3

【解題思路】先運(yùn)用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則化簡型，再根據(jù)等部復(fù)數(shù)的定義列方程計(jì)算即得.

1

【解答過程】因過色="殳=-3i—Qi2=Q—3i,依題意得，a=-3.

1r

故選：D.

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【題型5根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)果求復(fù)數(shù)特征】

【例5.1](23-24高二下?陜西咸陽,期中)設(shè)i是虛數(shù)單位，5是復(fù)數(shù)z的共擾復(fù)數(shù)，若z=2-i,則z+泛

在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算公式，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.S

【解答過程】由條件可知z+泛=2—i+i(2+i)=2—i+2i-1=1+i,

對應(yīng)的點(diǎn)是(1,1),位于第一象限.

故選：A.

【例5.2](23?24高一下?湖南邵陽?期末)實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)6(3+。一(2+。在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于

()

A.第一象限B.第二象限C.笫二象限D(zhuǎn).第四象限

【解題思路】先將復(fù)數(shù)化為一般形式，結(jié)合m的范圍判斷出實(shí)部和虛部的符號，從而得到答案.

【解答過程】???m(3+i)-(2+i)=(3m-2)+(m-l)i,

又m>1,故37/1-2>1>0,ni-1>0,

故該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位「第一象限.

故選:A.

【變式5.1](23-24高二下?江西九江?階段練習(xí))設(shè)復(fù)數(shù)z的共加復(fù)數(shù)為5、復(fù)數(shù)z滿足l+i二M±(i為虛

Z

數(shù)單位)，則，的虛部為()

A.3B.-3C.3iD.-3i

【解題思路】求出復(fù)數(shù)z,進(jìn)而求出復(fù)數(shù)z的共扼復(fù)數(shù)為區(qū)即可得到答案.

【解答過程】Z=甘￥=-l-3i,fflz=-1+3i.則5的虛部為3.

l+i(l+i)(l-i)2

故選:A.

；：2024

【變式5.2](23?24高一下?河北?期中)在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)毛丁的共挽復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位

于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解題思路】由若=^，得-9+a，然后根據(jù)共甄復(fù)數(shù)的定義，再確定在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象

限.

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【解答過程】由題意知，等*=就*罟7+1，

其共枕復(fù)數(shù)為一!一5，

DD

所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為位于第三象限.

故選：C.

模塊二

A知識梳理

I.復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實(shí)數(shù)系一元二次方程的根

若一元二次方程a/+bx+c=O("0,且。力,cWR),則當(dāng)△>()時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根工】

_Z?+y/b2—4ac-b—y/b2—4ac

工，石二五；

當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根汨=4=-白；

當(dāng)△<()時(shí),方程有兩個(gè)虛根/=一"+1丫4"二￡,必」一可。。二2,且兩個(gè)虛數(shù)根互為共枕復(fù)

2a2a

數(shù).

?題型歸納

【題型6復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式】

【佛6.1](24-25高一k-上海?課后作業(yè))在另數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

(l)r4-16；

(2)2x2—6x+5.

【解題思路】(1)根據(jù)i2=—l,利用平方差公式即可得解：

(2)將原式配成完全平方式，再根據(jù)i2=-l,利用平方差公式即可得解;

【解答過程】(1)《一16

=(x2+4)(7-4)

=[r2-(-4)](x2-4)

=(x2-4i2)(x2-4)

=(%+2i)(x-2i)(x+2)(%—2)

(2)2x2-6x+5

99

=2(x2-3x+---)+5

44

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3.>1

=2(x--)2+-

31°

292

=2(x--)-7i

=2[(x-1)2-ii2]

乙1

【例6.2](24-25高一?全國?課后作業(yè))在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

(1)X4+6X2+9；

⑵%4-2/-8.

【解題思路】(1)(2)結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算求得正確答案.

【解答過程】(I)由于(％+7^)0一7^)=/+3,

所以為4+6x2+9=(，+3)2=(.v—V3i)2(x+V3i)2.

(2)由于(％+&i)(x—&i)=d+2,

所以x4-2x2-8=(x24-2)(%2-4)=(x+V2i)(x-V2i)(x+2)(%—2).

【變式6.1](24-25高一上?上海課堂例題)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

⑴/+i；

(2)3x2—6%+4.

【解題思路】將原式配成完全平方式，再根據(jù)i2=-l,即可得解：

22

(解答過程]⑴省+1=(%+1)(/一五+1)=(%+1)[(X-1)2+*]=(%+1)[(%-i)-1i

=(x+l)(x-l-^i)(x-l+^i).

(2)3x2—6x4-4=[3(x—l)2+1]=[3(x—l)2—i2]=3(x-1—fi)(%—1+Ri)

【變式6.2](23-24高一?上海?課堂例題)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

(1)a2+2ab+b2+c2t

(2)x2+5y2；

(3)2x2—6x+5.

【解題思路】(1)直接根據(jù)復(fù)數(shù)范圍的要求分解因式即可.

(2)直接根據(jù)復(fù)數(shù)范圍的要求分解因式即可.

(3)先應(yīng)用求根公式再寫成兩個(gè)因式相乘；

【解答過程】(1)a2I2ab\b2\c2=(aIb)2Ic2=(aIbIci)(aIbci)；

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(2)x2+5y2=x2-(V5yi)2=(x+V5yi)(x-V5yi)；

(3)令2d-6X+5=0,A=36-4X2X5=-4,

解方程可得：打=?,%2=?，

所以2d一6%+5=2-3)("一U)，

【題型7復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根】

【例7.1](23-24高一下,福建龍巖?階段練習(xí))在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程%2-4%+5=0的根是()

A.2+iB.2-i

C.2±iD.無解

【解題思路】利用根與系數(shù)關(guān)系求復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根即可.

【解答過程】由A=16—4x5=—4,則方程的根為竽=等=2士i.

故選：C.

【例7.2](23-24高一下?江蘇連云港?期中)已知2+i是關(guān)于復(fù)數(shù)z的方程z?-mz+九=0(巾,nGR)的一

根，則m+n=()

A.7B.8C.9D.1()

【解題思路】根據(jù)虛根成對原理可得2-i也是方程的根，再由韋達(dá)定理計(jì)算可得.

【解答過程】因?yàn)?+i是關(guān)于復(fù)數(shù)z的方程z2-mz+九=0(m,neR)的一根，

所以2-i也是關(guān)于復(fù)數(shù)z的方程z?-mz+幾=0(?n,neR)的一艱，

所以『=(才1*RA”，

(n=(2+1)(2-1)=5

所以m4-n=9.

故選：C.

【變式7.1](23-24高一下?上海期末)已知關(guān)于工的實(shí)系數(shù)一元二次方程為2—2%+k=0.

(I)若方程有一個(gè)根1+四】(1是虛數(shù)單位)，求Z的值；

(2)若方程有兩虛根勺,%2，且%-MI=3,求k的值.

【解題思路】(1)由已知條件得1-企i是方程的另一-復(fù)數(shù)根，再結(jié)合韋達(dá)定理即可得解..

(2)先設(shè)/=。+加,冷=。-孤。、66氐再結(jié)合韋達(dá)定理和復(fù)數(shù)模長公式即可求解.

【解答過程】(1)由題意可知1-企i是方程的另一復(fù)數(shù)根，

2

所以(1—V2i)(l+>/21)=1—(x/2i)=1+2=3=Zc,

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所以k=3.

(2)設(shè)％i=a+歷,X2=Q一方La、bWR,

22222

則由題意與+x2=2a=2,XXX2=a-b\=a+b=k且A=4-4k<0,

所以a=1,乒=上-i,k>i,

所以|打一Ml=|2bi|=J(2匕/=V4b2=44(k-1)=3,

解得A=苧.

4

【變式7.2](23-24高一下?四川雅安?期末)已知復(fù)數(shù)Z[=2-7汨，z?=血一i(其中mWR).

(1)若久為實(shí)數(shù)，求血的值；

Z2

(2)當(dāng)m=l時(shí)，復(fù)數(shù)Z1?Z2是方程2%2+p%+q=0的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)p,q的值.

【解題思路】⑴利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化嗚再根據(jù)復(fù)數(shù)的類型得到方程，解得即可:

（2）首先求出Zi"2，代入方程，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程組，解得即可.

【解答過程】（1）因?yàn)閦1二2-mi,z2=m-i,

z\2-mi(2->ni)(m+i)_3m+(2-m2)i3m,2-m2.

+--71

Z2zn-i(m-i)(m+i)1+zn2l+zn21+m2

因?yàn)橛髍實(shí)數(shù),所以三1=0.解得m=±也

艘為實(shí)數(shù)時(shí)，m的值為土也

(2)當(dāng)m=l時(shí)，Z]=2-i,Z2=1-i,

則復(fù)數(shù)z-Z2=(2-i)(l—i)=l—3i,

因?yàn)閘-3i是方程2/+px+q=0(p,q為實(shí)數(shù))的一個(gè)根,

所以2(1-3i)2+p(l-3i)+q=0,

化簡得p+Q-16-（12+3p）i=0,

叱益：乳〉解得仁溫

A課后作業(yè)（19題）

一、單選題

I.（23-24高一下?廣東茂名?階段練習(xí)）若z+2=3-2i（i為虛數(shù)單位），則前勺虛部為（）

A.-2B.2C.-2iD.2i

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算和共軌復(fù)數(shù)定義進(jìn)行計(jì)算，求解虛部.

第12頁共20頁

【解答過程】z=3-2i-2=l-2i,z=l+2i,故2的虛部為2.

故選：B.

2.(23-24高一下?遼寧?期末)如果復(fù)數(shù)z滿足：z+|z|=2+4i,那么z=()

A.—3+4iB.3+4iC.—5+4iD.5+4i

【解題思路】先設(shè)復(fù)數(shù)2=。+以再計(jì)算即可求出復(fù)數(shù).

【解答過程】設(shè)2=Q+bi,a.bGR,則z+|z|=a+bi+，屋+乒=。++爐+bi=2+4i.

所以b=4,Q+Va2+b2=2,

所以次+16=(2—a)2=a2—4a4-4,a=-3,

所以z=-3+4i.

故選：A.

3.(24-25高一?全國?課后作業(yè))已知Zi、z2€C,且口|=1,若Z1+Z2=2i,則口一Z2I的最大值是().

A.6B.5C.4D.3

2

【解題思路】設(shè)為=a+b\,得到a?+b=1,z2=-a+(2-b)i,計(jì)算得到％-々I=-8b,根據(jù)范

圍得到最值.

【解答過程】設(shè)Zi=a+bi,(a,bER),怙1|=1,故M+匕2=z1+z2=2i,則z2=-a+(2-b)i,

22

|zi-z2\=\2a+(2b—2)i|=yj(2b-2)4-(2a)=74bz—8b+4+4a2=V8-8b,

be[-1,1],當(dāng)b=-l時(shí)，%-Z2l有最大值為4.

故選：c.

4.(23-24高一下?江蘇?期末)已知復(fù)數(shù)2=舟，則z的實(shí)部是()

A.一：B.!C.一！iD.

2222

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的乘方及除法運(yùn)算求出z,進(jìn)而求出其實(shí)部.

【解答過程】依題意，2=號=竽=乎=一：+3，

-2i-21-1222

所以Z的實(shí)部為-點(diǎn)

故選:A.

5.(24-25高一上?浙江杭州?期中)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(l+i2023)=2(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)Z在復(fù):平面內(nèi)對

應(yīng)的點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，進(jìn)而求解其共在復(fù)數(shù)，最后求出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可得解.

第13頁共20頁

【解答過程】由題意所以2=1—i,

則復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(1,-1)在第四象限.

故選：D.

6.(23-24高一下?吉林?期中)已知復(fù)數(shù)4+3i是關(guān)于x的一元二次方程d+mx+25=0(m6R)的一個(gè)根,

則m=()

A.-8B.-4C.4D.X

【解題思路】根據(jù)已知條件，復(fù)數(shù)4+3i和4-3i是關(guān)于x的一元二次方程/+加為+25=0(血€口的兩

個(gè)根，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系即可求解.

【解答過程】更數(shù)4+3i是關(guān)于x的一元二次方程/+77IX+25=0(?n6R)的一個(gè)根，

則方程的另一根為4-3i,

故4+3i+4—3i=-m,解得m=-8.

故選：A.

7.(23-24高一下?河南南陽?期末)已知復(fù)數(shù)Z],Z2滿足怙1|=20|=2迷，且為-z2=3+4L則|z1+工2|=

()

A.V5B.2V5C.5D.5V2

【解題思路】利用好數(shù)的幾何意義，把里數(shù)和平面向量建立一一對應(yīng)關(guān)系，再利用向量的模長加減運(yùn)算數(shù)

形結(jié)合求解即可.

【解答過程】設(shè)65對應(yīng)的復(fù)數(shù)為Zi，用對應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z2，

則初+而對應(yīng)的復(fù)數(shù)為Zi+Z2,0A-而對應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z1-z2,

因?yàn)閼?1=2花,%|二遍，且|z「Z2l=5,由勾股定理逆定理知道，

△40B為直角三角形，且忸司=5.

則瓦？+0B=沆對應(yīng)的復(fù)數(shù)為Zi+Z2，故憶+Z2\=\OC\=\BA\=5.

第14頁共20頁

故選：c.

8.(23-24高一下?江蘇無錫?期末)已知i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是()

A.i+i3+i5+i?是純虛數(shù)

B.若z(l+i)=2,則z是方程￥2一%+1=()的一個(gè)復(fù)數(shù)根

C.若Z6C,則憶2|=|z|2

D.若復(fù)數(shù)z滿足l<|z|V2,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為IT

【解題思路】根據(jù)虛數(shù)i運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的分類，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可判定B錯(cuò)誤；

根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，可判定C正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合圓的面積公式，可判定D止確.

【解答過程】對于A中，由i+i3+i5+i7=i-i+i-i=o,不是純虛數(shù)，所以A不正確：

對于B中，由z(l+i)=2,可得z=、=一，

因?yàn)?1-i)2-(1-i)+1=-2i-1+i+1=-i*0,

所以z不是方程%2一%+1=0的一個(gè)復(fù)根，所以B不正確；

對于C中，設(shè)復(fù)數(shù)z=Q+bi,(a,bER),可得z?二次一82+2abi,

22

所以憶2|=J(Q2一62)2+(2出))2=a+bt

乂由|Z|2=(A^E^)2=Q2+52,所以|Z|2二|Z|2,所以C正確；

對于D中，設(shè)2=%+yi,(x,yWR),由1V|z|V2,可得1V9+y2<4,

所以笈數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形為一個(gè)圓環(huán)，

其中小圓的半徑為1,大圓的半徑為2,其面積為S=ITX22-nxl2=3ir,所以D錯(cuò)誤.

故選：C.

二、多選題

9.(23-24高一下?福建廈門?期中)下列命題正確的()

A.若復(fù)數(shù)z=(一)(2-i),則|z|=g

B.若Zi=2—i,z2=1-3i,則復(fù)數(shù)Z]-Z2的虛部是2i

C.若z=1+i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程/+px+q=0的根，則p+q=0

D.若|z-l|=2,則|z-l-3i|的最小值為1

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模、虛部、方程的根、復(fù)數(shù)模的幾何意義對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定

正確答案.

【解答過程】A選項(xiàng)，z=(1-i)(2-i)=2-3i-1=1-3i,|z|=+(-3程=V10,A選項(xiàng)正確.

第15頁共20頁

B選項(xiàng)，Zi=2-i,Z2=1-3i,-z2=1+2i?虛部為2,B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

C選項(xiàng)，由于z=l+i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程d+p%+q=o的根，

則2=1-i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程/++勺=o的根，

所以IeIe,解得p=-2,q=2,所以p+q=°,C選項(xiàng)正確?

((1+1)(1-1)=qr

D選項(xiàng)，|z-l|=2表示z對應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)(1,0)的距離為2,

|z-1-3i|=|z-(1+3i)|

表示z對應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)(1,3)的距離，結(jié)合圖象可知，怙一1一3”的最小值為3-2=1,

所以D選項(xiàng)正確.

故迄ACD.

10.(23-24高一下?山東青島?期末)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2=等，則()

2—1

A.2=—2B.z的虛部為:

C.zz=^D.z在復(fù)平面內(nèi)應(yīng)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡可得2=彳，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

【解答過程】由2=羅可得Z=(；+2；)(2+；)=彳,

2-1(2-i)(2+i)5

對于A,2故A錯(cuò)誤，

對于B,z的虛部為(故B正確，

對于“2=(等)第二管/故C正確,

對于D,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為3,()，它在第一象限，故D正確，

故選：BCD.

11.(23-24高一下湖南衡陽階段練習(xí)〉已知復(fù)數(shù)z滿足z+4-i=8+i,則下列命題是真命題的是()

第16頁共20頁

A.2的虛部為一2

B.z-2為純虛數(shù)

C.若z與復(fù)數(shù)/+3Q+(a?+5Q+6)i(a￡R)相等，則a=1

D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限

【解題思路】首先化簡復(fù)數(shù)z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的兒何意義判斷即可.

【解答過程】因?yàn)閦+4-i=8+i,所以z=8+i-(4-i)=4+2i,

所以5=4-2i,則5的虛部為一2,故A正確；

又z-2=2+2i,所以z-2不是純虛數(shù)，故B錯(cuò)誤；

若2與復(fù)數(shù)。2+3。+(小+5。+67(?！??)相等，貝解得。=一4,故C錯(cuò)誤；

(出+5a+6=2

復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(4,2),位于第一象限，故D正確.

故選：AD.

三、填空題

12.(23-24高一下?新疆?期末)已知a6R,方程/-Q%+3=0的一個(gè)根為％=-1+&i,則a=二2.

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等的概念求解.

【解答過程】因?yàn)椤?-ax+3=0的一個(gè)根為“=-1+V2i,

2

(―1+\/2i)—a(-1+\/2i)+3=0=(2+a)—V2(2+a)i=0=a=—2.

故答案為：一2.

13.(23-24高一下?四川樂山?期中)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)3+2?,-2+3?對應(yīng)的向量分別是6(，OB,其中0

是坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量方對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-5+i.

【解題思路】運(yùn)用復(fù)數(shù)幾何意義，結(jié)合平面向量減法運(yùn)算可解.

【解答過程】復(fù)數(shù)3+21,-2+31對應(yīng)的向量分別是以，而，則a=(3,2),麗=(-2,3)

AB=OB-OA=(-5,1).則向量而對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-5+i.

故答案為：一5十i.

14.(23-24高一下?天津,階段練習(xí))已知㈤=1,\z2\=1，z-+z2=V3,則lzi-z)|=1.

【解題思路】設(shè)出更數(shù)Z[,Z2的代數(shù)形式，結(jié)合更數(shù)模的意義列式求解即得..

[解答過程]設(shè)Z]=a+bi,Z2=c+di,(a,b,c,dER),

22

rh|?il=\z2\=1，得VQ2+川=1,yjc+d=1,即02+=],02+=1，

由Z]+Z2=V^,Zi+Z2=(Q+c)+(8+d)i,得Q+c=百,b+d=0,

第17頁共20頁

有a?+《2+2ac+b2+d2+2bd=(a+c)2+(b+d)2=3,整理得2(ac+bd)=1,

而Z]—z2=(a—c)+(b—d)i,

2222

所以|Z]-z2\=J(a—c)2+(b_d)2=y/a+c+b+d-2(ac+bd)=1.

故答案為：1.

四、解答題

15.(24-25高一上?上海?課堂例題)計(jì)算：

(1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i)；

(2)5i-[(3+4i)-(-l+3i)]；

(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,beR).

【解題思路】(1)利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則求解即可.

(2)利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則求解即可.

(3)利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則求解即可.

【解答過程】(1)(3—5i)+(—4—i)—(3+4i)

=(3-4-3)+(-5-1-4)i=-4-10i.

(2)5i-[(3+4i)-(-l+3i)]

=5i-(44-i)=-4+4i.

(3)(a+bi)-(2a-3歷)-3i

=(a-2a)+[b-(—36)—3]i=-a4-(4Z?-3)i.

16.(23?24高一下?黑龍江雞西?期中)已知復(fù)數(shù)z〔=—2+i,z2=-1+2i.