2025年考研數(shù)學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計專項試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本題共5小題，每小題4分，滿分20分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)事件A和B相互獨立，P(A)>0,P(B)>0，若P(A|B)=P(A|?B)，則下列選項中一定成立的是（）。（A）P(A∪B)=P(A)+P(B)（B）P(A∩B)=P(A)P(B)（C）P(?A|?B)=P(?A)（D）P(B|A)=P(?B|?A)2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，則下列敘述正確的是（）。（A）F(x)是單調(diào)遞減函數(shù)（B）0≤F(x)≤1，且F(x)是右連續(xù)的（C）P(X=a)=F(a)-F(a-0)（D）P(X≤a)=F(a)3.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的方差均存在且大于0，則下列敘述中一定正確的是（）。（A）D(X-Y)=D(X)-D(Y)（B）Cov(X,Y)=0?D(X+Y)=D(X)+D(Y)（C）若X和Y相互獨立，則X和Y一定不相關(guān)（D）若X和Y不相關(guān)，則X和Y一定相互獨立4.設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ,σ2)，Y=aX+b，其中a≠0，則Y的分布是（）。（A）N(μ,σ2)（B）N(aμ+b,σ2)（C）N(μ,a2σ2)（D）N(aμ+b,a2σ2)5.設(shè)X?,X?,…,Xn是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，X～N(μ,σ2)，則下列統(tǒng)計量中不是μ的無偏估計量的是（）。（A）X?=(1/n)∑_{i=1}^nX?（B）X?-X?（C）(n-1)S2/σ2（S2為樣本方差）（D）[(n-1)/n]X?二、填空題：本題共4小題，每小題4分，滿分16分。請將答案填在答題紙相應(yīng)的位置上。6.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P(X=k)=(k+1)/10,k=1,2,3，則P(X≤2)=_______。7.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨立，且X～E(λ)，Y～U(0,1)，則E(XY)=_______。8.設(shè)隨機(jī)變量X～N(0,1)，Y=X2，則Cov(X,Y)=_______。9.從總體X中抽取樣本X?,X?,…,Xn，若總體X的均值E(X)=μ，方差D(X)=σ2，則樣本方差S2=(1/(n-1))∑_{i=1}^n(X?-X?)2的期望E(S2)=_______。（其中X?為樣本均值）三、解答題：本題共5小題，滿分74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。10.（本題滿分12分）甲乙兩人約定在下午1點到2點之間在某地會面。他們約定先到者等待另一人15分鐘，過時就離開。假設(shè)兩人在下午1點到2點之間（60分鐘內(nèi)）的任何時刻到達(dá)都是等可能的，求兩人能會面的概率。11.（本題滿分12分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)={c(x+y),0≤y≤x≤1{0,其他（1）求常數(shù)c的值；（2）求隨機(jī)變量X的邊緣概率密度函數(shù)f_X(x)；（3）求條件概率P(Y≤1/2|X=0.5)。12.（本題滿分14分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y的期望分別為E(X)=1,E(Y)=2，方差分別為D(X)=1,D(Y)=4，且Cov(X,Y)=1。（1）求隨機(jī)變量Z=3X-2Y+5的方差D(Z)；（2）求X和Z的相關(guān)系數(shù)ρ_{XZ}。13.（本題滿分15分）設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x;θ)={θx^(θ-1),0<x<1,θ>0{0,其他其中θ為未知參數(shù)。又X?,X?,…,Xn是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本。（1）求參數(shù)θ的矩估計量θ?_M；（2）求參數(shù)θ的極大似然估計量θ?_L。14.（本題滿分15分）設(shè)總體X～N(μ,16)，從中抽取容量為n=9的樣本，樣本均值為X?=50。現(xiàn)要求構(gòu)造一個μ的95%置信區(qū)間（已知σ=4）。（1）寫出置信區(qū)間的計算公式；（2）求出該置信區(qū)間的具體數(shù)值范圍。試卷答案一、選擇題1.C2.B3.B4.D5.B二、填空題6.3/57.λ/28.09.σ2三、解答題10.解：設(shè)X表示甲到達(dá)時刻（下午1點后分鐘數(shù)），Y表示乙到達(dá)時刻（下午1點后分鐘數(shù)）。X,Y～U(0,60)，且相互獨立。兩人能會面，需滿足|X-Y|≤15。兩人能會面的概率P=P(|X-Y|≤15)。在(0,60)×(0,60)的正方形區(qū)域內(nèi)，|x-y|≤15表示兩條平行線x-y=15和x-y=-15之間的帶狀區(qū)域。該區(qū)域面積為60×60-2×(60-15)×(60-15)=3600-2×(45)×(45)=900?？倶颖究臻g面積為60×60=3600。故所求概率P=900/3600=1/4。11.解：（1）由∫∫_Ωf(x,y)dxdy=1，其中Ω為f(x,y)非零區(qū)域，即0≤y≤x≤1。∫_0^1∫_0^xc(x+y)dydx=1?！襙0^1[cx2/2+cxy]∣_0^xdx=1?！襙0^1(cx2/2+cx2)dx=1。∫_0^13cx2/2dx=1。(3c/2)∫_0^1x2dx=1。(3c/2)[x3/3]∣_0^1=1。(3c/2)×(1/3)=1。c=2/3。（2）f_X(x)=∫_0^x(2/3)(x+y)dy=∫_0^x(2/3)xdy+∫_0^x(2/3)ydy=(2/3)x[x-0]+(2/3)[y2/2]∣_0^x=(2/3)x2+(2/3)(x2/2)=(2/3)x2+(1/3)x2=x,0≤x≤1。故f_X(x)={x,0≤x≤1{0,其他（3）P(Y≤1/2|X=0.5)=P(Y≤1/2,X=0.5)/P(X=0.5)。由于f(x,y)是連續(xù)型聯(lián)合密度，P(X=a)=0，故分母P(X=0.5)=0。此題條件概率P(Y≤1/2|X=0.5)在標(biāo)準(zhǔn)定義下無意義?？赡茴}目意圖是求條件分布f_{Y|X}(y|x=0.5)。此時f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_X(x)。當(dāng)x=0.5時，f_{Y|X}(y|0.5)=(2/3)(0.5+y)/0.5=1+2y,0≤y≤0.5。故P(Y≤1/2|X=0.5)=∫_0^(1/2)(1+2y)dy=[y+y2]∣_0^(1/2)=(1/2+1/4)-0=3/4。（注意：此處按條件分布計算，結(jié)果為3/4。若嚴(yán)格按條件概率P(A|B)=P(A∩B)/P(B)定義，因P(B)=0，無定義。）12.解：（1）D(Z)=D(3X-2Y+5)=D(3X)+D(-2Y)+2Cov(3X,-2Y)（因5是常數(shù)，D(5)=0）=32D(X)+(-2)2D(Y)+2(3)(-2)Cov(X,Y)=9D(X)+4D(Y)-12Cov(X,Y)=9(1)+4(4)-12(1)=9+16-12=13。（2）ρ_{XZ}=Cov(X,Z)/(sqrt(D(X))*sqrt(D(Z)))Cov(X,Z)=Cov(X,3X-2Y+5)=Cov(3X,X)-Cov(2Y,X)+Cov(5,X)=3Cov(X,X)-2Cov(Y,X)+Cov(5,X)（因Cov(aX+b,Y)=aCov(X,Y)，Cov(a,b)=0若a,b獨立，Cov(a,常數(shù))=0）=3D(X)-2Cov(X,Y)+0=3(1)-2(1)=1。sqrt(D(X))=sqrt(1)=1。sqrt(D(Z))=sqrt(13)。ρ_{XZ}=1/(1*sqrt(13))=1/sqrt(13)。13.解：（1）矩估計：E(X)=∫_0^1xf(x;θ)dx=∫_0^1xθx^(θ-1)dx=θ∫_0^1x^θdx=θ[x^(θ+1)/(θ+1)]∣_0^1=θ/(θ+1)。總體均值E(X)=μ。令樣本均值X?=θ/(θ+1)。解此方程求θ：θ=X?(θ+1)，θ=X?θ+X?，θ-X?θ=X?，θ(1-X?)=X?，θ?_M=X?/(1-X?)。（2）極大似然估計：樣本的聯(lián)合密度為L(θ)=∏_{i=1}^nf(X?;θ)=(∏_{i=1}^nθX?^(θ-1))=θ?(∏_{i=1}^nX?)^(θ-1)。取對數(shù)似然函數(shù)lnL(θ)=nlnθ+(θ-1)∑_{i=1}^nlnX?。對θ求導(dǎo)數(shù)，并令其為0：d(lnL)/dθ=n/θ+∑_{i=1}^nlnX?=0。n/θ=-∑_{i=1}^nlnX?，θ?_L=-n/(∑_{i=1}^nlnX?)?；?qū)懗搔?_L=1/((1/n)∑_{i=1}^n(1/lnX?))。14.解：（1）因為總體X～N(μ,16)，即σ=4已知，所以應(yīng)使用Z分布構(gòu)造置信區(qū)間。置信區(qū)間公式為：X?±z_(α/2)*(σ/√n)。其中X?=50,σ=4,n=9