③當(dāng)一個點(diǎn)的坐標(biāo)以某個字母的代數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線；④觀察動點(diǎn)運(yùn)動到特殊位置時，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等特殊位置考慮；注意：若動點(diǎn)軌跡用上述方法不好確定，則也可以將所求線段轉(zhuǎn)化（常用中位線、全等、相似、對角線）為其他已知軌跡的線段求最值。易錯提醒：混淆主動點(diǎn)和從動點(diǎn)?：在瓜豆原理中，主動點(diǎn)被稱為“瓜”，從動點(diǎn)被稱為“豆”。解題時需要明確哪個點(diǎn)是主動點(diǎn)，哪個點(diǎn)是從動點(diǎn)，并理解它們之間的關(guān)系。如果混淆了這一點(diǎn)，可能會導(dǎo)致解題方向錯誤。?例1．（2024·山東泰安·校考一模）如圖，矩形的邊，E為上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為邊上的一個動點(diǎn)，連接，若以為邊向右側(cè)作等腰直角三角形，連接，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【詳解】解：如圖，過點(diǎn)G作GH⊥AB于H，過點(diǎn)G作MN∥AB，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，∴點(diǎn)G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運(yùn)動，∴當(dāng)F與D重合時，CG有最小值，此時AF＝EH＝3，∴CG的最小值＝，故選B．變式1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，四邊形為矩形，對角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，連接，過做，垂足為，連接，若，，則的最小值為．【答案】【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，是一個定點(diǎn)，的軌跡為中垂線上的一部分，如下圖所示，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，所以垂線段最短，則的最小值為的值，，，，中，，，，，，即的最小值為．故答案為：．變式2．（2024·四川達(dá)州·一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動（含B，C兩點(diǎn)），連接，以點(diǎn)A為中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，則線段的最小值為.【答案】//【詳解】解：如圖，以為邊向右作等邊，作射線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作于H．∵四邊形是矩形，∴，∵都是等邊三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴點(diǎn)Q在射線上運(yùn)動，∵，∴，∵，∴．據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)Q與H重合時，的值最小，最小值為．故答案為：．變式3．（2024·廣東·九年級校考期中）如圖，中，，，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)到，連接，則長的最小值是（）A．2 B．2.5 C． D．【答案】B【詳解】解：取的中點(diǎn)為點(diǎn)D，連接，過點(diǎn)D作，垂足為H，∴，∵，，，∴，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)得：，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，當(dāng)時，即當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)H重合時，有最小值，且最小值為2.5，∴長的最小值是2.5，故選：B．易錯模型8：瓜豆（原理）模型-曲線軌跡模型解讀“主從聯(lián)動”模型也叫“瓜豆”模型，出自成語“種瓜得瓜，種豆得豆”。這類動點(diǎn)問題中，一個動點(diǎn)隨另一個動點(diǎn)的運(yùn)動而運(yùn)動，我們把它們分別叫作從動點(diǎn)和主動點(diǎn)，從動點(diǎn)和主動點(diǎn)的軌跡是一致的，即所謂“種”線得線，“種”圓得圓（而當(dāng)主動點(diǎn)軌跡是其他圖形時，從動點(diǎn)軌跡必然也是）。解決這一類問題通常用到旋轉(zhuǎn)、全等和相似。特別注意：很多題目中主動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡并未直接給出，這就需要我們掌握一些常見隱圓的軌跡求法。易錯提醒：忽略特殊位置和變化特點(diǎn)?：在解題過程中，需要特別注意主動點(diǎn)的特殊位置（如起點(diǎn)或終點(diǎn)）和變化特點(diǎn)，這些信息對于確定從動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡至關(guān)重要。如果忽略了這些細(xì)節(jié)，可能會導(dǎo)致解題不完整或錯誤。?例1．（2024·湖北黃石·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形為正方形，P是以邊為直徑的上一動點(diǎn)，連接，以為邊作等邊三角形，連接，若，則線段的最大值為．【答案】/【詳解】解：連接、，將繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，∵繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∵為等邊三角形，∴，，∴，即，在和中，，∴，∵，四邊形為正方形，∴，則，∴，∴點(diǎn)Q在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動；∴當(dāng)點(diǎn)O，，P三點(diǎn)在同一直線上時，取最大值，在中，根據(jù)勾股定理可得：，∵，，

∴為等邊三角形，∴，∴，故答案為：．變式1．（2024·黑龍江大慶·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是上一動點(diǎn)，點(diǎn)C為弦的中點(diǎn)，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，則點(diǎn)C到直線的最小距離為（）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】解：連接，如圖，∵點(diǎn)C為弦的中點(diǎn)，∴，∴，∴點(diǎn)C在以為直徑的圓上（點(diǎn)O、A除外），以為直徑作，過P點(diǎn)作直線于H，交于M、N，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，解得，則，∴，∴，∵的半徑為2，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴，．∴點(diǎn)C到直線的最小距離為．故選：C．變式2．（2024·江蘇南通·?？寄M預(yù)測）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，以點(diǎn)A為圓心，1為半徑作圓，E是⊙A上的任意一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D順時針方向旋轉(zhuǎn)90°并縮短到原來的一半，得到線段DF，連結(jié)AF，則AF的最小值是．

【答案】【詳解】解：如圖，取CD中點(diǎn)G，連接AE、GF、AG，∵ED⊥DF，∴∠EDF=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠GDA=90°，∵∠GDF+∠FDA=90°，∠FDA+∠ADE=90°，∴∠GDF=∠ADE，∵，∴，∴，

又AE=1，解得，由勾股定理可得，，由三邊的關(guān)系可得，AF的最小值為：AG-GF=；故答案為：.變式3．（23-24九年級上·安徽合肥·期末）如圖，在中，，，，平面上有一點(diǎn)P，，連接，，取的中點(diǎn)G．連接，在繞點(diǎn)A的旋轉(zhuǎn)過程中，則的最大值是（

）A．3 B．4 C． D．5【答案】A【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，∵為的中點(diǎn)，，∴，∴在以為圓心，為半徑的圓上，當(dāng)C，Q，G三點(diǎn)共線時，最大，，∵，，，∴，∴，∴，即的最大值為．故選A易錯模型9：幾何轉(zhuǎn)化法求最值模型模型解讀雖然我們前面講的幾何最值模型涵蓋了大部分的最值問題，但也有部分幾何最值無法很好的解決。鑒于此我們補(bǔ)充幾類幾何轉(zhuǎn)化法（主要利用全等、相似、或其他的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化（如：中位線、對角線、特殊的邊角關(guān)系等）），雖然這些方法沒有花里胡哨的名稱，他們最是樸實(shí)無華，沒有任何名頭，也沒有固定套路，就兩個字：轉(zhuǎn)化。例1.（2024·四川內(nèi)江·二模）如圖，在中，，，P是的中點(diǎn)，若點(diǎn)D在直線上運(yùn)動，連接，以為腰，向的右側(cè)作等腰直角三角形，連接，則在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，線段的最小值為．【答案】【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，∵為等腰直角三角形，，∴，，∴，∵，P為中點(diǎn)，Q是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∵點(diǎn)D在直線上運(yùn)動，∴當(dāng)時，最小，∵，，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴線段的最小值是為1．故答案為：1．變式1．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，則對角線的最小值為．【答案】1【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，且設(shè)則當(dāng)最小時，最小最小為最小為故答案為：1．變式2．（2024·山東德州·二模）如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)M、N分別是邊、上的動點(diǎn)（不與A、B、C重合），點(diǎn)E、F分別為、的中點(diǎn)，連接，則的最小值為（

）A． B．3 C．4 D．【答案】A【詳解】解：連接，∵點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，∴，當(dāng)時，最小，則最小，∵，∴，設(shè)中邊上高為h，則，∴，∴，∴最小值為，則最小值為，故選：A．變式3．（23-24九年級上·廣東茂名·期末）如圖，P是的斜邊（不與點(diǎn)A、C重合）上一動點(diǎn)，分別作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，O是的中點(diǎn)，若，，當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動時，的最小值是．【答案】/【詳解】解：連接，如圖，∵，，∴．

∵，，，∴四邊形是矩形，∴，與互相平分．∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)O在上，．∵當(dāng)時，最小，又∵此時，∴，∴，∴．故答案為：．變式4．（23-24九年級上·廣西柳州·期末）如圖，正方形，邊長，對角線、相交于點(diǎn)O，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，三角板兩邊足夠長，與、交于、兩點(diǎn)，當(dāng)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時，線段的最小值為（）A．1 B．2 C． D．【答案】C【詳解】解：正方形，，，，，，，故要使有最小值，即求的最小值，當(dāng)時，有最小值，，，線段的最小值為．故選：C．變式5．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E、F分別是、邊上的兩個動點(diǎn)，連接，，若平分，則的最大值為（結(jié)果保留根號）【答案】【詳解】過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，由菱形的性質(zhì)易得，，則．∵，∴．∵平分，∴，則，∴．∵，∴，∴的最大值為．易錯模型10：代數(shù)法求幾何最值模型模型解讀代數(shù)法求幾何最值是對前面幾何法求最值模型的一個補(bǔ)充，那首先我們弄明白什么是幾何法？什么是代數(shù)法？若題目條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法。若題目條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)某種函數(shù)或代數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)或方程，再求函數(shù)或代數(shù)式的最值，這就是代數(shù)法。代數(shù)法常見的三類方法：函數(shù)法（二次函數(shù)或一次函數(shù)）、判別式法或基本不等式法。易錯提醒：未將關(guān)鍵幾何條件（如垂直、相切、共線）完全轉(zhuǎn)化為代數(shù)約束，導(dǎo)致模型失真?；忽略幾何約束（如動點(diǎn)在線段或圓弧上運(yùn)動），導(dǎo)致代數(shù)模型中變量定義域錯誤?。例1．（2024·陜西西安·?？家荒＃┤鐖D，在四邊形中，，，，，則的最小值是．

【答案】【詳解】解：如圖，將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)至，使與重合，連接，則，

∴，，∴，又∵，∴，即，又∵，∴，∴，∴∵，，∴，∵，∴，∴當(dāng)時，取得最小值為∵，∴∴的最小值是．故答案為：變式1．（23-24八年級下·四川成都·期中）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，且AD＝2，長度為1的線段PQ在邊AC上運(yùn)動，則線段DP的最小值為，四邊形DPQB面積的最大值為．【答案】【詳解】解：當(dāng)DP⊥AC時，DP最短，∵△ABC為等邊三角形，∴∠A=60°，∴AD=2AP=2，∴AP=1，∴DP==；∵AB=AC=BC=6，∴△ABC的高為，設(shè)AP=x，則四邊形DPQB的面積=S△ABC-S△ADP-S△BQC==∵，∴四邊形DPQB的面積隨x的增大而增大，∵x的最大值為6-1=5，∴當(dāng)x=5時，四邊形DPQB的面積最大，最大值=，故答案：，．變式2．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)是上的一個動點(diǎn)，是的直徑，且，則面積的最大值是，周長的最大值是．【答案】16【詳解】解：由于AB為定值，因此只有當(dāng)AB邊上的高最大時面積的最大，∵是上的一個動點(diǎn)，AB為直徑∴當(dāng)AB邊上的高等于半徑時，面積的最大，半徑為，此時面積為，∵AB是半圓的直徑，∴∠P=90°，∴AP2+PB2=AB2=64，∵AP2+PB2≥2AP?PB，∴2AP?PB≤64，∵（AP+PB）2=64+2AP?PB，∴（AP+PB）2≤128，∴AP+PB≤，∴AP+PB的最大值為，∴三角形PAB周長存在最大值為，故答案為：16；．變式3．（2024·四川成都·二模）如圖，在正方形，點(diǎn)，在射線上，，則最大值是．【答案】【詳解】解：過點(diǎn)E作交于G，過點(diǎn)G作于H，如下圖所示：設(shè)，正方形的邊長為，，其中，，，，四邊形為正方形，，又，，，，，，在和中，，，，，，即，，，，整理得∶，依題意得關(guān)于x的方程有兩個實(shí)數(shù)根根的判別式，將上式兩邊同時除以，得：，整理得：，，，，的最大值為，的最大值為．故答案為：．1-1．（2024·廣東·二模）如圖，菱形的一條對角線，，P是對角線上的一個動點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為邊，的中點(diǎn)，則的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【詳解】解：如圖，連接，交于，∵菱形，∴，，，，∵∴，∴，∴，∴，，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，∴，∵點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，則點(diǎn)也為邊的中點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)、、在一條直線上時，有最小值，連接交于，∴當(dāng)重合時，為最小值，∵為的中點(diǎn)，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴的最小值是，故選：C．1-2．（2024·河南南陽·一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的動點(diǎn)，則|PA－PB|的最大值為____．【答案】6【詳解】如圖，作A關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接并延長交延長線于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是使的值最大的點(diǎn)，，連接，∵為等腰直角三角形，，∴，，∵，∴，∵點(diǎn)A與A′關(guān)于CD對稱，∴CD⊥AA′，，，∴，∵AC=BC，∴，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴．故答案為：61-3．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，，點(diǎn)M、N分別在邊上，且，點(diǎn)P、Q分別在邊上，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M′，作N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N′，如圖所示：連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值．根據(jù)軸對稱的定義可知：，，∠N′OQ=∠M′OB=30°，∴∠NON′=60°，，∴△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=．故選：A．1-4．（2024·海南·三模）如圖，矩形中，，，、分別是直線、上的兩個動點(diǎn)，，沿翻折形成，連接、，則，的最小值是.

【答案】14【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，．

在中，，，，，，是定值，當(dāng)、、、共線時，定值最小，最小值，的最小值為4，故答案為：1，4．2-1．（2023·安徽合肥·?？既＃┰谶呴L為2的正方形中，點(diǎn)E、F是對角線上的兩個動點(diǎn)，且始終保持，連接、，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．【答案】B【詳解】解：過點(diǎn)作使，則：四邊形為平行四邊形，

∴，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時，有最小值即為的長，∵四邊形為正方形，∴，，，∴，，∴，即：的最小值為3．故選B．2-2．（2024·河北邯鄲·三模）如圖，在邊長為1的菱形中，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，，則的最小值為（）A．1 B． C． D．2【答案】C【詳解】解：在邊長為1的菱形中，，，，將沿射線的方向平移得到，，，四邊形是菱形，，，，，，四邊形是平行四邊形，，的最小值的最小值，點(diǎn)在過點(diǎn)且平行于的定直線上，作點(diǎn)關(guān)于定直線的對稱點(diǎn)，連接交定直線于，則的長度即為的最小值，在中，，，，，，，，，作，過點(diǎn)D作垂足為G在中，．故選：．2-3．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，中，，，，，；垂足分別為點(diǎn)F和E．點(diǎn)G和H分別是和上的動點(diǎn)，，那么的最小值為____．

【答案】【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)I，連接．

∵中，，，∴，∴，∴，．∵，，∴．∵，∴四邊形為平行四邊形，∴．同理可得出．∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴四邊形為平行四邊形，

∴，∴，∴當(dāng)最小時，最小．∵當(dāng)點(diǎn)I，H，C三點(diǎn)共線時，最小，∴此時最小，如圖，∵，∴．∵∴四邊形為平行四邊形，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴的最小值為．故答案為：．2-4．（2023·江蘇蘇州·校考二模）如圖，在中，．如果在三角形內(nèi)部有一條動線段，且，則的最小值為________．

【答案】【詳解】解：在上取一點(diǎn)，使得，連接，如圖所示：

，，四邊形是平行四邊形，，，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點(diǎn)作交的延長線于，如圖所示：，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為，故答案為：．3-1．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在菱形中，對角線相交于點(diǎn)，，，是對角線上的動點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)P作，連接，∵在菱形中，對角線相交于點(diǎn)，，，∴，∴，∴，∴在中，，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線，且時，最小，最小值為的長，∴此時有，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．3-2．（23-24九年級上·湖南婁底·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，E，P分別是邊和對角線上的動點(diǎn)，連接，記，若，則的最小值為（

）

A．3 B．4 C．5 D．【答案】A【詳解】解：過點(diǎn)P作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，

∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)G重合時，有最小值，最小值為的長，∵，∴的最小值為3，故選：A．3-3．（23-24九年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，切于點(diǎn)交的延長線于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)是弦上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若，，則的最小值為（）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：作的角平分線，交于，連接、、，過點(diǎn)作于，如圖：∵，∴，又∵，∴，

∴，∵平分，則，∵，，∴，即，又∵，，∴，∴，即圓的半徑為，∵，，∴、是等邊三角形，∴，∴四邊形是菱形，∴平分，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴．若使的值最小，即的值最小，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，，此時的值最小，即時，的值最小，此時，，，故選：D．3-4．（2024·山東濟(jì)南·一模）實(shí)踐與探究【問題情境】（1）①如圖1，，，，分別為邊上的點(diǎn)，，且，則______；②如圖2，將①中的繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，則所在直線較小夾角的度數(shù)為______．【探究實(shí)踐】（2）如圖3，矩形，，，為邊上的動點(diǎn)，為邊上的動點(diǎn)，，連接，作于點(diǎn)，連接．當(dāng)?shù)拈L度最小時，求的長．【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，，，，，為中點(diǎn)，連接，分別為線段上的動點(diǎn)，且，請直接寫出的最小值．【答案】（1）①；②；（2）2；（3）【詳解】解：（1）①，，，故答案為：；②如圖，延長交于，令交于，由①可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，所在直線較小夾角的度數(shù)為，故答案為：；（2）延長，相交于點(diǎn)，連接．四邊形是矩形，，，∴，，∴，∴，∴點(diǎn)為中點(diǎn)，，∵于點(diǎn)，∴在中，，∵在中，，且為定值，∴當(dāng)，三點(diǎn)共線時取得最小值，∵，∴，此時為等邊三角形，．（3）如圖，分別過點(diǎn)和作垂線，兩線相交于點(diǎn)，連接、、，則，，，，，為中點(diǎn)，，，，為等邊三角形，，，，，，，，，，，，四點(diǎn)共圓，，，在中，，，，在中，，的最小值為．4-1.（2024·北京·九年級專題練習(xí)）如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為________．【答案】【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形構(gòu)造PB即可解答．【詳解】設(shè)⊙O半徑為r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中點(diǎn)I，連接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，∴當(dāng)A、P、I在一條直線上時，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB?BE＝3，∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝，∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是．【點(diǎn)睛】本題是“阿氏圓”問題，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形．4-2.（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，在以為圓心3為半徑的圓上，則的最小值為．【解答】解：在上取點(diǎn)，使，，，，，，，在延長線上取，，則，又，，，，，當(dāng)為和圓的交點(diǎn)時最小，即最小，且值為，，的最小值為，故答案為：．例6．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，、分別是邊、上的兩個動點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，連接，，則的最小值為．【答案】【解答】解：如圖，在上取一點(diǎn)，使得，連接，．，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為例9．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求直線及拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)以點(diǎn)為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)為上一個動點(diǎn)，請求出的最小值．【答案】(1)直線的解析式為；拋物線解析式為(2)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或(3)【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸，，∴，將代入直線，得，解得，∴直線的解析式為；將代入，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）存在點(diǎn)，∵直線的解析式為，拋物線對稱軸與軸交于點(diǎn)．∴當(dāng)時，，∴，①當(dāng)時，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入，得，解得，∴直線的解析式為，解方程組，得或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；②當(dāng)時，設(shè)直線的解析式為，將代入，得，解得，∴直線的解析式為，解方程組，解得或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為或綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或；（3）如圖，在上取點(diǎn)，使，連接，∵，∴，∵，、∴，

又∵，∴，∴，即，∴，∴當(dāng)點(diǎn)C、P、F三點(diǎn)共線時，的值最小，即為線段的長，∵，∴，∴的最小值為．5-1．（23-24九年級下·河南周口·階段練習(xí)）【問題背景】在已知所在平面內(nèi)求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最?。ㄈ鐖D1）．這個問題是有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國律師費(fèi)馬在1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．解決方法如下：如圖2，把繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)P，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，），連接，則，．∵_(dá)_____，∴為等邊三角形，∴，∴，∴當(dāng)B，P，，四點(diǎn)在同一直線上時，的值最小，即點(diǎn)P是的“費(fèi)馬點(diǎn)”．任務(wù)：（1）橫線處填寫的條件是______；（2）當(dāng)點(diǎn)P是的“費(fèi)馬點(diǎn)”時，______；（3）如圖3，△ABC中，，，E，F(xiàn)為BC上的點(diǎn)，且，判斷之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；【實(shí)際應(yīng)用】圖4所示是一個三角形公園，其中頂點(diǎn)A，B，C為公園的出入口，，，AC＝4km，工人師傅準(zhǔn)備在公園內(nèi)修建一涼亭P，使該涼亭到三個出入口的距離最小，則的最小值是______．【答案】問題背景：（1）見解析；（2）；（3），理由見解析；實(shí)際應(yīng)用；【詳解】解：問題背景：（1）如圖2，把繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)P，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，），連接，則，．∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴當(dāng)B，P，，四點(diǎn)在同一直線上時，的值最小，即點(diǎn)P是的“費(fèi)馬點(diǎn)”．（2）如圖2所示，設(shè)交于O，由（1）可得當(dāng)B，P，，四點(diǎn)在同一直線上時，的值最小，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，又∵，∴∵為等邊三角形，∴，∴，，∴，∴，故答案為：；

（3），理由如下：∵，，∴，如圖所示，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則：，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴；實(shí)際應(yīng)用：如圖所示，將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，由問題背景（1）可得當(dāng)B，P，，四點(diǎn)在同一直線上時，的值最小，最小值為，過點(diǎn)作交延長線于D，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴得最小值為，故答案為：．5-2．（2024·江蘇·校考三模）如圖，四個村莊坐落在矩形ABCD的四個頂點(diǎn)上，公里，公里，現(xiàn)在要設(shè)立兩個車站E，F(xiàn)，則的最小值為______公里．【答案】15+10【詳解】解：如圖1，將△AEB繞A順時針旋轉(zhuǎn)60°得△AGH，連接BH、EG，將△DFC繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DF'M，連接CM、FF'，由旋轉(zhuǎn)得：AB=AH，AE=AG，∠EAG=∠BAH=60°，BE=GH，∴△AEG和△ABH是等邊三角形，∴AE=EG，同理得：△DFF'和△DCM是等邊三角形，DF=FF'，F(xiàn)C=F'M，∴當(dāng)H、G、E、F、F'、M在同一條直線上時，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如圖2，∵AH=BH，DM=CM，∴HM是AB和CD的垂直平分線，∴HM⊥AB，HM⊥CD，∵AB=10，∴△ABH的高為5，∴EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+5+5=15+10，則EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+10）公里．故答案為：（15+10）．5-3．（23-24九年級上·重慶·階段練習(xí)）在等邊中，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，則，，連接交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)H．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為中點(diǎn)時，且，求的面積；(2)如圖2，猜想線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，若，在內(nèi)部有一個動點(diǎn)P，連接、、，直接寫出的最小值．【答案】(1)(2)，見解析(3)【詳解】（1）解：過點(diǎn)E作，交的延長線于點(diǎn)M，∵等邊，∴，，∵點(diǎn)D為中點(diǎn),∴，，∵，，，∴，由勾股定理得，解得；∵，，∴，∴．（2）解：．理由如下：在上取點(diǎn)M使，連接．∵是等邊三角形，∴，，在和中，，∴，∴，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，即，∵，∴．（3）解：過點(diǎn)C作于點(diǎn)C，使得，過點(diǎn)C作于點(diǎn)C，使得，根據(jù)題意，得，，∴，∴，∴，∴，根據(jù)勾股定理，得，∴，∴，∵，∴當(dāng)共線時，取得最小值，∵，∴，∴，過點(diǎn)A作，交的延長線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A作于點(diǎn)R，則四邊形是矩形，∴，∵等邊，∴，，∴，∴，故的最小值為．6-1．（23-24九年級下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，，分別是邊，上的動點(diǎn)，且，則的最小值為．【答案】【詳解】過作，使，連接，，作交延長線于點(diǎn)，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，即，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，有最小值，故答案為：．6-2．（2024·四川樂山·二模）如圖，等腰中，，平分，點(diǎn)N為上一點(diǎn)，點(diǎn)M為上一點(diǎn)，且，若當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時，的長度是．【答案】4【詳解】解：∵等腰中，，∴，∵平分，∴，如圖，作，使，連接，∴，∵，，，∴，∴，，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時，最小，即，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，故答案為：4．6-3．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在矩形中，對角線上有兩動點(diǎn)E和F，連接和，若，，，則的最小值是．

【答案】17【詳解】解：如圖，連接，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，

又，為矩形的對角線，，是直角三角形，，，，移項(xiàng)得，配方得，，解得，或，，，故答案為：17．6-4．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，矩形中，，，點(diǎn)、分別是邊和對角線上的例2．動點(diǎn)，且，則的最小值是．【答案】【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)D關(guān)于的對稱點(diǎn)為G，在上截取，連接，過點(diǎn)H作于點(diǎn)M，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∵，∴∴，∴，∴，∴，∴，在中，，∴的最小值是．6-5．（24-25九年級上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在等邊中，，E，F(xiàn)分別是邊、上的動點(diǎn)，且滿足，則的最小值為；【答案】【詳解】解：如圖，取、的中點(diǎn)、，連接、，∵是等邊三角形，，，根據(jù)三角形中位線可得，∴，的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，在等邊三角形中，，∴，，，，，，；過作，且，連接、，則，，，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，取得最小值，且最小值為線段的長，，在中，由勾股定理得：，的最小值．故答案為：．7-1．（2024·河北邢臺·模擬預(yù)測）如圖，是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)E為中線BD上的動點(diǎn)．連接CE，將CE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CF．連接，則，連接，則周長的最小值是．【答案】【詳解】解：∵為等邊三角形，為高上的動點(diǎn)，，∵將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，∴點(diǎn)在射線上運(yùn)動，如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，設(shè)交于點(diǎn)，則，在中，，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時，取最小值，即，∵，∴，∵，∴，∴，∴周長的最小值為，故答案為：；．7-2．（2024·安徽·合肥三模）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：如圖，連接BF交ED于點(diǎn)O，設(shè)EF與AC交于點(diǎn)G．∵四邊形BEFD是菱形，∴BF平分∠ABC，∴點(diǎn)F在∠ABC的平分線上運(yùn)動，∴當(dāng)AF⊥BF時，AF的長最?。诹庑蜝EFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF∥BC，∴EO∥AF，∴△BEO∽△BAF，∴，∴，在中，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴BE=AE=2.5，∵AF⊥BF，∴EF=2.5，∵EF∥BC，∴△AGE∽△ACB，∴，∴，∴GF=EF-EG=1，∵∠AGF=∠AGE=90°，∴．故選：A7-3．（2024·重慶模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直線上的一個動點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，連接，則最小值為______．【答案】【詳解】設(shè)，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵，∴.∵，∴.∵，∴，∴，.∵，∴，，∴，令，，∴，∴點(diǎn)在直線上運(yùn)動，當(dāng)時，的值最小.在中，令，則，令，則，∴，，∴．∵，∴，∴，在中，令，則，∴，∴.∵，即，解得，所以的最小值為.故答案為：．7-4．（2023上·湖北武漢·九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知，B為上一點(diǎn)，于A，四邊形為正方形，P為射線上一動點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)得，連接，若，則的最小值為．

【答案】/【詳解】解：如圖，連接，由題意可得，∴，

在和中，，

∴，∴，當(dāng)時，最短，此時也最短，∵，，∴，∴∴，∴當(dāng)時，，∴的最小值為．故答案為：．8-1.（2024·河南南陽·三模）如圖，點(diǎn)，半徑為2，，，點(diǎn)是上的動點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【答案】A【詳解】解：如圖，連接交于，連接，∵，，∴，，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴是的中位線，∴，，∴當(dāng)最小值，最小，∴當(dāng)運(yùn)動到時，最小，此時也為最小，∵，∴的最小值為，故選：A．8-2．（23-24九年級上·江蘇·階段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B是上一點(diǎn)，的半徑為2，將繞O點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)得，連接，則線段的最小值為（

）

A． B． C．5 D．6【答案】A【詳解】解：如圖，把繞O點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)得，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心作，使的半徑為2，，，

，，，，過作于點(diǎn)，，在中，，點(diǎn)B是上一點(diǎn)，則點(diǎn)是上一點(diǎn)，，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在上時，最小，，故線段的最小值為．故選：A．8-3．（2023·四川廣元·統(tǒng)考一模）如圖，線段為的直徑，點(diǎn)在的延長線上，，，點(diǎn)是上一動點(diǎn)，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長的最大值為．【答案】/【詳解】解：如圖，作，使得，，則，，，，，，，，，即（定長），點(diǎn)是定點(diǎn)，是定長，點(diǎn)在半徑為1的上，，的最大值為，故答案為：．9-1．（23-24八年級下·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，P是邊上一動點(diǎn)，連接，把線段繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)到線段，連接，則線段的最小值為．【答案】【詳解】解：在上截取，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，∵，∴，∵線段繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)到線段，∴，，∴，即，在和中，，∴，∴，當(dāng)取最小值時，也取得最小值，當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)F重合時，，此時取最小值時，∵四邊形為矩形，，，∴，，，∴，∴，∴的最小值為．故答案為：．9-2．（23-24八年級下·云南曲靖·期中）如圖，在矩形中，，，與交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)C，D作，的平行線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是四邊形邊上的動點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵四邊形為矩形，，∴．∵，，∴四邊形為萎形．∵點(diǎn)G是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是四邊形邊上的動點(diǎn)，∴當(dāng)垂直于萎形的一邊時，有最小值．如圖，過D點(diǎn)作于M，過G點(diǎn)作與P，則，∵，，∴，．∵，∴，即，解得．∵，G為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，故的最小值為．故選：D．9-3