知識點29：萬有引力定律及其應用（不考慮星球自轉）考點一：應用萬有引力定律計算萬有引力題型一：均勻球體與均勻球體之間萬有引力的計算【知識思維方法技巧】（1）均勻球體與均勻球體之間萬有引力計算的方法：萬有引力定律法利用萬有引力定律計算均勻介質(zhì)球體之間的萬有引力時，可以認為勻質(zhì)球體質(zhì)量集中于球心，r為兩球心的距離，萬有引力大小為F＝Geq\f(m1m2,r2)，引力的方向沿兩球心的連線。（2）計算特殊均勻球體與質(zhì)點之間萬有引力的方法：填補法在質(zhì)量分布均勻的實心球中挖去小球后其質(zhì)量分布不再均勻，不可再隨意視為質(zhì)點處理.運用“填補法”解題的關鍵是緊扣萬有引力定律的適用條件，先填補后運算，運用“填補法”解題主要體現(xiàn)了等效思想?！镜淅?拔尖題】密度均勻的球體半徑為、質(zhì)量為，現(xiàn)從球體中挖去直徑為的球體，將球體放置在距離球體的球心為處，如圖所示，白色部分為挖去后的空心。已知半徑為的球體的體積為，引力常量為，則球體剩余部分對球體的萬有引力大小為（）A． B． C． D．【典例1拔尖題對應練習】如圖所示，將一個半徑為R、質(zhì)量為M的均勻大球，沿直徑挖去兩個半徑分別為大球一半的小球，并把其中一個放在球外與大球靠在一起。若挖去小球的球心、球外小球球心、大球球心在一條直線上，則大球中剩余部分與球外小球的萬有引力大小約為(已知引力常量為G)()A．0.01eq\f(GM2,R2) B．0.02eq\f(GM2,R2)C．0.05eq\f(GM2,R2) D．0.04eq\f(GM2,R2)題型二：均勻球體與球體外質(zhì)點之間萬有引力的計算【知識思維方法技巧】均勻球體與球體外質(zhì)點之間萬有引力計算的方法：萬有引力定律法用萬有引力定律計算均勻介質(zhì)球體與球體外質(zhì)點之間的萬有引力時，可認為勻質(zhì)球體的質(zhì)量集中于球心，r為兩球心的距離，萬有引力大小為F＝Geq\f(m1m2,r2)，引力的方向沿兩球心的連線。【典例2拔尖題】（多選）如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的地球同步衛(wèi)星等間隔分布在半徑為r的圓軌道上，設地球質(zhì)量為M，半徑為R。下列說法正確的是()A．地球?qū)σ活w衛(wèi)星的引力大小為eq\f(GMm,r－R2)B．一顆衛(wèi)星對地球的引力大小為eq\f(GMm,r2)C．兩顆衛(wèi)星之間的引力大小為eq\f(Gm2,3r2)D．三顆衛(wèi)星對地球引力的合力大小為eq\f(3GMm,r2)題型三：均勻球體與球體表面質(zhì)點之間萬有引力的計算【知識思維方法技巧】均勻球體與球體表面質(zhì)點之間萬有引力計算的方法：萬有引力定律法利用萬有引力定律計算均勻介質(zhì)球體與球體表面質(zhì)點之間的萬有引力時，可以認為勻質(zhì)球體的質(zhì)量集中于球心，r為兩球心的距離，萬有引力大小為F＝Geq\f(m1m2,r2)，引力的方向沿兩球心的連線。【典例3拔尖題】我國將在今年擇機執(zhí)行“天問1號”火星探測任務．質(zhì)量為m的著陸器在著陸火星前，會在火星表面附近經(jīng)歷一個時長為t0、速度由v0減速到零的過程．已知火星的質(zhì)量約為地球的0.1倍，半徑約為地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小為g，忽略火星大氣阻力．若該減速過程可視為一個豎直向下的勻減速直線運動，此過程中著陸器受到的制動力大小約為()A．meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.4g－\f(v0,t0)))B．meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.4g＋\f(v0,t0)))C．meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.2g－\f(v0,t0))) D．meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.2g＋\f(v0,t0)))題型四：均勻球體與球體內(nèi)質(zhì)點之間萬有引力的計算【知識思維方法技巧】計算均勻球體與球體內(nèi)質(zhì)點之間的方法：推論法（1）推論Ⅰ：在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點受到球殼的萬有引力的合力為零，即∑F引＝0。（2）推論Ⅱ：在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M′)對其的萬有引力，即F＝Geq\f(M′m,r2)。（2）計算特殊均勻球體與質(zhì)點之間萬有引力的方法：填補法在質(zhì)量分布均勻的實心球中挖去小球后其質(zhì)量分布不再均勻，不可再隨意視為質(zhì)點處理.運用“填補法”解題的關鍵是緊扣萬有引力定律的適用條件，先填補后運算，運用“填補法”解題主要體現(xiàn)了等效思想?！镜淅?拔尖題】如圖所示，兩個質(zhì)量均為M的球分別位于半圓環(huán)和eq\f(3,4)圓環(huán)的圓心，半圓環(huán)和eq\f(3,4)圓環(huán)分別是由相同的圓環(huán)截去一半和eq\f(1,4)所得，環(huán)的粗細忽略不計，若甲圖中環(huán)對球的萬有引力為F，則乙圖中環(huán)對球的萬有引力大小為()A．eq\f(3,2)FB．eq\f(\r(2),2)FC．eq\f(1,2)FD．eq\f(\r(3),2)F考點二：應用萬有引力定律分析計算天體運動【知識思維方法技巧】解決天體圓周運動問題的兩條思路：（1）天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝meq\f(4π2r,T2)＝man.（2）在中心天體表面或附近而又不涉及中心天體自轉運動時，萬有引力等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，整理得GM＝gR2，稱為黃金代換．(g表示天體表面的重力加速度)題型一：環(huán)繞中心天體運動各物理參量的比較及計算【知識思維方法技巧】解決天體環(huán)繞運動各物理量的比較解題思路：（1）列出四個連等式：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma。（2）導出四個表達式：a＝eq\f(GM,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))。結合r大小關系，比較得出a、v、ω、T的大小關系。可記憶為“三同一異，越高越慢”，只有T與r變化一致?！镜淅?拔尖題】2008年，我國天文學家利用國家天文臺興隆觀測基地的2.16米望遠鏡，發(fā)現(xiàn)了一顆繞恒星HD173416運動的系外行星HD173416b,2019年，該恒星和行星被國際天文學聯(lián)合會分別命名為“羲和”和“望舒”，天文觀測得到恒星羲和的質(zhì)量是太陽質(zhì)量的2倍，若將望舒與地球的公轉均視為勻速圓周運動，且公轉的軌道半徑相等．則望舒與地球公轉速度大小的比值為()A．2eq\r(2)B．2C.eq\r(2)D.eq\f(\r(2),2)【典例1拔尖題對應練習】如圖所示，行星繞太陽的公轉可以看成勻速圓周運動．在地圖上容易測得地球—水星連線與地球—太陽連線夾角α，地球—金星連線與地球—太陽連線夾角β，兩角最大值分別為αm、βm則()A．水星的公轉周期比金星的大B．水星的公轉向心加速度比金星的大C．水星與金星的公轉軌道半徑之比為sinαm∶sinβmD．水星與金星的公轉線速度之比為eq\r(sinαm)∶eq\r(sinβm)題型二：中心天體質(zhì)量和密度的計算【知識思維方法技巧】計算中心天體質(zhì)量和密度的兩個方法:（1）衛(wèi)星環(huán)繞法（“T、r”法）：測出衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T。①由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得中心天體M＝eq\f(4π2r3,GT2)。②若已知天體的半徑R，則就能得到中心天體的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。特別是當衛(wèi)星繞中心天體表面運行時，則中心天體的平均密度ρ＝eq\f(3π,GT2)。（2）重力加速度法（“g、R”法）：已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)。天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。【典例2拔尖題】科學家對銀河系中心附近的恒星S2進行了多年的持續(xù)觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示．科學家認為S2的運動軌跡是半長軸約為1000AU(太陽到地球的距離為1AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞．這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學獎．若認為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設太陽的質(zhì)量為M，可以推測出該黑洞質(zhì)量約為()A．4×104MB．4×106MC．4×108M D．4×1010M【典例2拔尖題對應練習】（多選）在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端，P由靜止向下運動，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關系如圖中實線所示。在另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過程，其a－x關系如圖中虛線所示。假設兩星球均為質(zhì)量均勻分布的球體。已知星球M的半徑是星球N的3倍，則()A．M與N的密度相等B．Q的質(zhì)量是P的3倍C．Q下落過程中的最大動能是P的4倍D．Q下落過程中彈簧的最大壓縮量是P的4倍題型三：中心天體表面重力加速度的計算【知識思維方法技巧】計算天體表面重力加速度的方法：不考慮地球自轉時，地球表面處：由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得g＝Geq\f(M,R2)，也適用于其他星體表面。【典例3拔尖題】在半徑為R1的K星球表面豎直向上提起一質(zhì)量為m1的物體，拉力F與物體加速度a的關系如圖線1所示．在半徑為R2的T星球表面豎直向上提起一質(zhì)量為m2的物體，拉力F與物體加速度a的關系如圖線2所示．設兩星球密度相等，質(zhì)量分布均勻．則()A.m1∶m2＝3∶1，R1∶R2＝1∶2 B.m1∶m2＝3∶2，R1∶R2＝3∶1C.m1∶m2＝3∶1，R1∶R2＝2∶3 D.m1∶m2＝3∶2，R1∶R2＝2∶1【典例3拔尖題對應練習】兩顆相距較遠的行星A、B的半徑分別為、，距行星中心r處的衛(wèi)星圍繞行星做勻速圓周運動的線速度的平方隨r變化的關系如圖甲所示，兩圖線左端的縱坐標相同；距行星中心r處的衛(wèi)星圍繞行星做勻速圓周運動的周期為T，取對數(shù)后得到如圖乙所示的擬合直線（線性回歸），兩直線平行，它們的截距分別為、。已知兩圖像數(shù)據(jù)均采用國際單位，，行星可看作質(zhì)量分布均勻的球體，忽略行星的自轉和其他星球的影響，下列說法正確的是（）A．圖乙中兩條直線的斜率均為B．行星A、B的質(zhì)量之比為1：2C．行星A、B的密度之比為1：2D．行星A、B表面的重力加速度大小之比為2：1考點三：應用萬有引力定律分析計算地球衛(wèi)星運動題型一：地球衛(wèi)星運動各物理參量的比較及計算【知識思維方法技巧】解決人造衛(wèi)星圓周運動的兩條思路：（1）人造衛(wèi)星的運動可簡化為質(zhì)點的勻速圓周運動模型。人造衛(wèi)星運動的向心力來源于地球與人造衛(wèi)星之間的萬有引力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝meq\f(4π2r,T2)＝man.（2）在地球表面或附近運動而又不涉及地球自轉運動時，萬有引力等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，整理得GM＝gR2，稱為黃金代換．（g表示地球表面的重力加速度）類型一：地球一般衛(wèi)星運行參量的計算【典例1a拔尖題】(多選)2021年4月29日，中國空間站天和核心艙發(fā)射升空，準確進入預定軌道．根據(jù)任務安排，后續(xù)將發(fā)射問天實驗艙和夢天實驗艙，計劃2022年完成空間站在軌建造．核心艙繞地球飛行的軌道可視為圓軌道，軌道離地面的高度約為地球半徑的eq\f(1,16).下列說法正確的是()A．核心艙進入軌道后所受地球的萬有引力大小約為它在地面時的eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,17)))eq\s\up12(2)倍B．核心艙在軌道上飛行的速度大于7.9km/sC．核心艙在軌道上飛行的周期小于24hD．后續(xù)加掛實驗艙后，空間站由于質(zhì)量增大，軌道半徑將變小類型二：地球近地衛(wèi)星運行參量的計算【知識思維方法技巧】近地衛(wèi)星運行參量計算的技巧：（1）近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，其運行的軌道半徑r＝R（地球半徑），運行速度等于第一宇宙速度v＝7.9km/s(人造地球衛(wèi)星的最大運行速度)，T＝85min（人造地球衛(wèi)星的最小周期）．（2）在地球表面附近運動時，萬有引力等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，整理得GM＝gR2，稱為黃金代換．（g表示地球表面的重力加速度）【典例1b拔尖題】2021年9月17日，北京航天飛行控制中心通過指令成功將神舟十二號載人飛船軌道艙與返回艙分離．中國宇航員順利返回地球．若已知地球半徑R＝6400km.飛船軌道艙運行在離地高度400km的圓軌道上．下列說法正確的是()A．軌道艙的向心加速度為9.8m/s2B．軌道艙的運行速度為7.9×103m/sC．軌道艙的圓周運動周期約為5.5×103sD．軌道艙運行角速度小于地球同步衛(wèi)星(離地高度約為36000km)運行角速度類型三：地球極地衛(wèi)星運行參量的計算【知識思維方法技巧】極地衛(wèi)星運行參量計算的技巧：極地衛(wèi)星運行時每圈都經(jīng)過南北兩極，即在垂直于赤道的平面內(nèi)做勻速圓周運動的衛(wèi)星，由于地球自轉，極地衛(wèi)星可以實現(xiàn)全球覆蓋。如極地氣象衛(wèi)星?！镜淅?c拔尖題】如圖所示，某極地軌道衛(wèi)星的運行軌道平面通過地球的南北兩極，已知該衛(wèi)星從北緯60°的正上方按圖示方向第一次運行到南緯60°的正上方時所用時間為1h，則下列說法正確的是()A.該衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的運行半徑之比為1∶4 B.該衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的運行速度之比為1∶2C.該衛(wèi)星的運行速度一定大于7.9km/s D.該衛(wèi)星的機械能一定大于同步衛(wèi)星的機械能類型四：地球同步衛(wèi)星運行參量的計算【知識思維方法技巧】同步衛(wèi)星的物理規(guī)律有“七個一定”的特點：①不快不慢：具有特定的運行線速度v＝eq\r(\f(GM,R＋h))≈3.1×103m/s、角速度和周期T＝24h。②不高不低：具有特定的位置高度h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R≈3.6×107m和軌道半徑。③不偏不倚：同步衛(wèi)星的運行軌道平面必須處于地球赤道平面上，只能在赤道上方特定的點運行，運行方向與地球自轉方向一致。覆蓋全球信號只需三顆衛(wèi)星：由數(shù)學知識及上面的數(shù)據(jù)可算出一顆同步衛(wèi)星可覆蓋大于三分之一的地球面積，所以，均勻分布的三顆同步衛(wèi)星就可覆蓋全球?！镜淅?d拔尖題】利用三顆位置適當?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星，可使地球赤道上任意兩點之間保持無線電通訊．目前，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍．假設地球的自轉周期變小，若仍僅用三顆同步衛(wèi)星來實現(xiàn)上述目的，則地球自轉周期的最小值約為()A．1hB．4hC．8hD．16h類型五：地球人造衛(wèi)星運行參量的比較及計算【知識思維方法技巧】解決人造衛(wèi)星繞地球運行參量的比較解題思路：（1）列出四個連等式：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma。（2）導出四個表達式：a＝eq\f(GM,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))。結合r大小關系，比較得出a、v、ω、T的大小關系?？捎洃洖椤叭划?，越高越慢”，只有T與r變化一致。【典例1e拔尖題】我國首顆量子科學實驗衛(wèi)星于2016年8月16日1點40分成功發(fā)射．量子衛(wèi)星成功運行后，我國將在世界上首次實現(xiàn)衛(wèi)星和地面之間的量子通信，構建天地一體化的量子保密通信與科學實驗體系．假設量子衛(wèi)星軌道在赤道平面，如圖所示．已知量子衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的m倍，同步衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的n倍，圖中P點是地球赤道上一點，由此可知()A.同步衛(wèi)星與量子衛(wèi)星的運行周期之比為B.同步衛(wèi)星與P點的速度大小之比為C.量子衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的速度大小之比為D.量子衛(wèi)星與P點的速度大小之比為題型二：地球質(zhì)量和密度的計算【典例2拔尖題】若已知引力常量為G，地球表面的重力加速度為g，地球的半徑為R，地球自轉的周期為T1，地球公轉的周期為T2，