講解：數(shù)學(xué)教研室單位：公共課部第二節(jié)：一階線性微分方程及其解法第六章：常微分方程一、齊次方程的解練習(xí)講解目錄CONTENTS二、一階線性微分方程定義三、一階線性微分方程的解四、小結(jié)與練習(xí)01齊次方程的解練習(xí)講解TransitionPageTitle4（2）令

解：則

原方程變?yōu)?/p>

兩端積分得

即通解為：

兩端除以x得

4（3）

令

解：則原方程變?yōu)?/p>

兩端積分得

即通解為：

即

原方程化為

4（4）

令則原方程變?yōu)?/p>

即

積分得

以代替u，并整理得方程通解為解：原方程化為

5（2）

解：原方程變?yōu)?/p>

積分得

方程通解為

以x=1，y=2代入上式得c=e2.故所求特解為

設(shè)y=ux,則02一階線性微分方程TransitionPageTitle2.1定義

2.2求解

定義1形如下式的方程，稱為一階線性微分方程。一階導(dǎo)一階y的次數(shù)是1線性恒為0，一階齊線性微分方程否則，一階非齊線性微分方程例1A.可分離變量的微分方程B.齊次微分方程C.一階齊線性微分方程

D.一階非齊線性微分方程是哪一類微分方程（

）正確答案：D練習(xí)A.可分離變量的微分方程B.齊次微分方程C.一階齊線性微分方程

D.一階非齊線性微分方程是哪一類微分方程（

）正確答案：AC03一階線性微分方程的解TransitionPageTitle3.1齊次方程的解

3.2非齊次方程的解

解一階齊線性微分方程兩邊積分，得所以，方程的通解公式為分離變量，得顯然，y=0是它的解.當(dāng)y≠0時(shí)，例2求方程y

+(sinx)y=0的通解.方法一，解：兩邊積分，得所以，方程的通解為分離變量，得顯然，y=0是它的解.當(dāng)y≠0時(shí)，例2求方程y

+(sinx)y=0的通解.方法二（套公式）解：1.定性：是一階線性齊次微分方程2.指出p(x)3.套公式練習(xí)求方程的通解.方法一，解：兩邊積分，得所以，方程的通解為分離變量，得顯然，y=0是它的解.當(dāng)y≠0時(shí)，方法二（套公式）解：例3求方程(y-2xy)

dx+x2dy=0滿足初始條件y|x=1=e的特解.方法一兩邊積分，得所以，方程的通解為顯然，y=0是它的解.(y-2xy)

dx+x2dy=0分離變量，得當(dāng)y≠0時(shí)，代入初始條件y|x=1=e得C=1故方程的特解為方法二：套公式3.1齊次方程的解

3.2非齊次方程的解

（2）采用

“常數(shù)變易法”將上式中的C換成

x的待定函數(shù)C(x)即令(3)代入原方程解一階非齊線性微分方程計(jì)算并化簡（1）對應(yīng)的通解是注：求出一個(gè)原函數(shù)即可3.1齊次方程的解

3.2非齊次方程的解

（4）化簡后，得（5）積分后，得（6）將上式代入便得（1）的通解為注：所有不定積分，都只需求出一個(gè)原函數(shù)即可3.1齊次方程的解

3.2非齊次方程的解

y′+P(x)y=0的通解公式：y′+P(x)y=Q(x)的通解公式：齊次通解非齊次的一個(gè)特解非齊次通解P233定理4例4求方程的通解.解:這是一階非齊次線性方程.用常數(shù)變易法，把C換成C(x),即先求對應(yīng)的齊次方程的通解.得y=C

(x+1)2y=C(x)

(x+1)2方法一故

于是方程的通解為代入原方程，化簡得例4求方程的通解.1.定性：一階非齊線性微分方程2.指出p(x),q(x)3.套公式方法二：套公式練習(xí)求方程的通解.分離變量，得用常數(shù)變易法，把C換成C(x),兩邊積分，解:這是一階非齊線性微分方程.先求對應(yīng)的齊次方程的通解.方法一練習(xí)故

于是方程的通解為代入原方程，化簡得方法二：套公式

求方程的通解.例5求解初值問題1.定性：x是y的函數(shù)，一階線性微分方程2.指出p(y),q(y)3.套公式特解為代入得練習(xí)解方程1.定性：是一階非齊線性微分方程2.指出p(y),q(y)3.套公式得特解為代入總結(jié)分離變量后積分;根據(jù)定解條件定常數(shù).2.齊次方程的求解方法:1.可分離變量方程的求解方法:y

=