2025年小學(xué)六年級數(shù)學(xué)試題最值問題一、和定積最大與積定和最小問題在解決最值問題時(shí)，我們經(jīng)常會遇到兩種基本情況：當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和一定時(shí)，如何使它們的乘積最大；當(dāng)兩個(gè)數(shù)的乘積一定時(shí)，如何使它們的和最小。這兩類問題可以通過數(shù)學(xué)規(guī)律來解決。當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和為定值時(shí)，這兩個(gè)數(shù)的差越小，它們的乘積就越大。特別地，當(dāng)兩個(gè)數(shù)相等時(shí)，乘積達(dá)到最大值。例如，兩個(gè)自然數(shù)的和是13，要使它們的乘積最大，這兩個(gè)數(shù)應(yīng)該是6和7，此時(shí)乘積為42。如果選擇其他組合，如5和8，乘積為40，明顯小于42。這個(gè)規(guī)律可以擴(kuò)展到多個(gè)數(shù)的情況，即將給定的和盡可能平均地分配給各個(gè)數(shù)，以獲得最大乘積。相反，當(dāng)兩個(gè)數(shù)的乘積為定值時(shí)，這兩個(gè)數(shù)的差越小，它們的和就越小。例如，要砌一個(gè)面積是144平方米的豬圈，如何設(shè)計(jì)才能使圍墻長度最短？這里面積固定，相當(dāng)于長和寬的乘積一定。根據(jù)規(guī)律，長和寬應(yīng)盡可能接近。144的平方根是12，所以設(shè)計(jì)成邊長為12米的正方形時(shí)，周長最短，為48米。如果選擇其他尺寸，如16米×9米，周長則為50米，大于48米。二、分配問題中的最值求解分配問題是最值問題中的常見類型，涉及如何將有限資源分配給不同對象，以達(dá)到某種最優(yōu)目標(biāo)。這類問題通常需要考慮多個(gè)因素，如效率、公平性和實(shí)際約束條件。例1：七個(gè)小朋友共折紙花100朵，每個(gè)小朋友折的朵數(shù)都不相同，其中折得最多的小朋友折了18朵。求折得最少的小朋友至少折了多少朵？解：要使最少的小朋友折的朵數(shù)盡可能少，其他小朋友應(yīng)折得盡可能多。已知最多的折了18朵，那么其他五個(gè)小朋友應(yīng)分別折17、16、15、14、13朵。因此，最少的小朋友折的朵數(shù)為100-18-17-16-15-14-13=7朵。例2：有一個(gè)73人的旅游團(tuán)，其中男47人，女26人，住到一個(gè)旅館里。旅館里有可住11人、7人、4人的三種房間。要求男、女分別住在不同的房間里，而且每個(gè)房間都按原定人數(shù)住滿。服務(wù)員最少需要用多少個(gè)房間？解：要使房間數(shù)最少，應(yīng)盡量使用大房間。先考慮男性：47人。11人間最多可用4間（44人），但剩下3人無法住滿任何房間。調(diào)整為3間11人間（33人），剩下14人正好住2間7人間。所以男性需要3+2=5個(gè)房間。女性：26人。2間11人間（22人），剩下4人住1間4人間。所以女性需要2+1=3個(gè)房間。總共需要5+3=8個(gè)房間。三、幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的最值問題主要涉及周長、面積和體積的最大化或最小化。解決這類問題需要掌握基本圖形的性質(zhì)和計(jì)算公式，并靈活運(yùn)用幾何知識。例1：用22根長都是1厘米的小棒圍成長方形，圍成的長方形面積最大是多少平方厘米？最小是多少平方厘米？解：周長是22厘米，所以長與寬的和是11厘米。可能的長和寬組合及對應(yīng)面積如下：10厘米×1厘米，面積10平方厘米9厘米×2厘米，面積18平方厘米8厘米×3厘米，面積24平方厘米7厘米×4厘米，面積28平方厘米6厘米×5厘米，面積30平方厘米因此，面積最大是30平方厘米，最小是10平方厘米。例2：已知長方體的長、寬、高均為整厘米數(shù)，相鄰兩個(gè)面的面積是180平方厘米和84平方厘米，求表面積最小的長方體的體積。解：設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、b、c。不妨設(shè)ab=180，ac=84。則b=180/a，c=84/a。長方體的體積V=abc=a×(180/a)×(84/a)=15120/a。要使體積最小，a應(yīng)盡可能大。180和84的最大公約數(shù)是12，所以a最大為12。此時(shí)b=15，c=7，體積V=12×15×7=1260立方厘米。四、實(shí)際操作中的最優(yōu)化問題實(shí)際操作中的最優(yōu)化問題涉及如何安排步驟、使用資源，以達(dá)到時(shí)間最短、成本最低或效率最高等目標(biāo)。這類問題往往需要結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)和邏輯推理。例1：在火爐上烤餅，餅的兩面都要烤，每烤一面需要3分鐘，爐上只能同時(shí)放兩塊餅。現(xiàn)在需要烤三塊餅，最少需要多少分鐘？解：先將兩塊餅同時(shí)放上烤，3分鐘后都熟了一面。這時(shí)將第一塊餅取出，放入第三塊餅，翻過第二塊餅。再過3分鐘，第二塊餅完全烤熟取出，翻過第三塊餅，又放入第一塊餅烤另一面。再烤3分鐘，三塊餅全部烤熟?？偣残枰?×3=9分鐘。例2：在一條公路上有五個(gè)卸煤場，每相鄰兩個(gè)之間的距離都是10千米。已知1號煤場存煤100噸，2號煤場存煤200噸，5號煤場存煤400噸，其余兩個(gè)煤場是空的?，F(xiàn)在要把所有的煤集中到一個(gè)煤場里，每噸煤運(yùn)1千米花費(fèi)1元，集中到幾號煤場花費(fèi)最少？解：這是一個(gè)運(yùn)輸優(yōu)化問題，需要考慮運(yùn)輸距離和運(yùn)輸量。設(shè)集中到n號煤場，總費(fèi)用為：1號煤場：100×10×(n-1)元2號煤場：200×10×(n-2)元（n≥2）5號煤場：400×10×(5-n)元（n≤5）分別計(jì)算集中到各煤場的費(fèi)用：1號：0+200×10×1+400×10×4=2000+16000=18000元2號：100×10×1+0+400×10×3=1000+12000=13000元3號：100×10×2+200×10×1+400×10×2=2000+2000+8000=12000元4號：100×10×3+200×10×2+400×10×1=3000+4000+4000=11000元5號：100×10×4+200×10×3+0=4000+6000=10000元從計(jì)算結(jié)果看，集中到5號煤場費(fèi)用最少，為10000元。但這個(gè)結(jié)果是否合理呢？我們需要考慮實(shí)際情況。5號煤場存煤量最大（400噸），將其他煤場的煤運(yùn)到這里可能不是最優(yōu)選擇。重新審視計(jì)算過程，發(fā)現(xiàn)可能存在計(jì)算錯(cuò)誤。正確的計(jì)算應(yīng)該是：集中到2號煤場：1號煤場100噸運(yùn)10千米，費(fèi)用100×10=1000元；5號煤場400噸運(yùn)30千米，費(fèi)用400×30=12000元?？傎M(fèi)用1000+12000=13000元。集中到3號煤場：1號煤場100噸運(yùn)20千米，費(fèi)用2000元；2號煤場200噸運(yùn)10千米，費(fèi)用2000元；5號煤場400噸運(yùn)20千米，費(fèi)用8000元。總費(fèi)用2000+2000+8000=12000元。集中到4號煤場：1號煤場100噸運(yùn)30千米，費(fèi)用3000元；2號煤場200噸運(yùn)20千米，費(fèi)用4000元；5號煤場400噸運(yùn)10千米，費(fèi)用4000元?？傎M(fèi)用3000+4000+4000=11000元。集中到5號煤場：1號煤場100噸運(yùn)40千米，費(fèi)用4000元；2號煤場200噸運(yùn)30千米，費(fèi)用6000元?？傎M(fèi)用4000+6000=10000元。經(jīng)過重新計(jì)算，發(fā)現(xiàn)集中到5號煤場確實(shí)費(fèi)用最低。這是因?yàn)殡m然5號煤場位置在最末端，但它的存煤量最大，減少了大量煤炭的運(yùn)輸距離。這個(gè)例子告訴我們，在解決實(shí)際問題時(shí)，不能僅憑直覺，而需要進(jìn)行詳細(xì)的計(jì)算和比較。五、整數(shù)拆分中的最值問題整數(shù)拆分是將一個(gè)整數(shù)分解成若干個(gè)整數(shù)之和，以達(dá)到某種最優(yōu)目標(biāo)。這類問題在資源分配、任務(wù)安排等方面有廣泛應(yīng)用。例1：把17拆分成若干個(gè)自然數(shù)的和，怎樣拆分才能使它們的乘積最大？解：根據(jù)整數(shù)拆分的規(guī)律，要使乘積最大，應(yīng)盡可能多地拆出3，其次是2，且2的個(gè)數(shù)不超過2個(gè)。17可以拆分為3+3+3+3+3+2，此時(shí)乘積為3×3×3×3×3×2=486。如果拆分為其他組合，如3+3+3+3+2+2+1，乘積為3×3×3×3×2×2×1=324，明顯小于486。例2：有4袋糖塊，其中任意3袋的總和都超過60塊。求這4袋糖塊的總和最少有多少塊？解：設(shè)這4袋糖塊的數(shù)量分別為a、b、c、d，且a≤b≤c≤d。根據(jù)題意，任意3袋的總和都超過60塊，即a+b+c>60，a+b+d>60，a+c+d>60，b+c+d>60。要使總和a+b+c+d最小，應(yīng)使各袋糖塊數(shù)量盡可能接近。假設(shè)a=b=c=d，則每袋約為60/3=20塊。但考慮到任意3袋總和超過60，即每袋至少為20塊時(shí)，3袋總和為60，不滿足"超過"的條件。因此每袋至少為21塊，此時(shí)總和為84塊。但進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)其中三袋為20塊，一袋為22塊時(shí)，任意3袋的總和分別為62、62、62、64，均超過60，且總和為82塊，小于84塊。因此，這4袋糖塊的總和最少為82塊。六、組合與排列中的最值問題組合與排列問題涉及從多個(gè)元素中選取部分元素進(jìn)行排列或組合，以達(dá)到某種最優(yōu)目標(biāo)。這類問題通常需要考慮元素的順序、重復(fù)情況和約束條件。例1：一個(gè)五位數(shù)，五個(gè)數(shù)字各不相同，且是13的倍數(shù)。求符合以上條件的最小的數(shù)。解：要找到最小的五位數(shù)，應(yīng)使高位數(shù)字盡可能小。設(shè)這個(gè)五位數(shù)為ABCDE，其中A=1（最小的萬位數(shù)字）。接下來，B、C、D、E應(yīng)盡可能小，且各不相同。先嘗試A=1，B=0，C=2，D=3，得到1023E。判斷1023E是否為13的倍數(shù)。10230÷13=786.923...，不是整數(shù)。13×787=10231，此時(shí)E=1，但與A=1重復(fù)。13×788=10244，E=4，數(shù)字不重復(fù)。因此，10244是符合條件的最小五位數(shù)。例2：把1、2、3、...、99、100這一百個(gè)數(shù)順序連接寫在一起成一個(gè)數(shù)Z=1234567891011...9899100。從數(shù)Z中劃出100個(gè)數(shù)碼，把剩下的數(shù)碼順序?qū)懗梢粋€(gè)Z'，要求Z'盡可能地大。請依次寫出Z'的前十個(gè)數(shù)碼組成的十位數(shù)。解：要使Z'盡可能大，應(yīng)保留較大的數(shù)字，尤其是在高位。Z共有9+90×2+3=192位，劃去100個(gè)數(shù)碼后剩92位。策略是：從左到右，盡可能保留大數(shù)字，同時(shí)確保后面有足夠的數(shù)字填滿92位。前9位是1-9，保留9，劃去前8位，剩184位，需再劃92位。接下來是10-19：共20位。要保留2個(gè)數(shù)字，應(yīng)保留9（第19位），前面保留7，劃去10-17共16位，剩184-16=168位。20-29：保留9，前面保留8，劃去16位，剩152位。30-39：保留9，前面保留7，劃去16位，剩136位。40-49：保留9，前面保留6，劃去16位，剩120位。50-59：保留9，前面保留5，劃去16位，剩104位。60-69：保留9，前面保留4，劃去16位，剩88位。此時(shí)已劃去8+16×6=104位，超過計(jì)劃。調(diào)整后，前十個(gè)數(shù)碼應(yīng)為9999998765。七、綜合應(yīng)用與拓展最值問題在實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用，如資源分配、行程規(guī)劃、生產(chǎn)調(diào)度等。解決這類問題需要綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和邏輯思維能力。例1：某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)A產(chǎn)品1件需耗煤9噸、電力4度、勞力3個(gè)；生產(chǎn)B產(chǎn)品1件需耗煤4噸、電力5度、勞力10個(gè)?，F(xiàn)有煤360噸、電力200度、勞力300個(gè)。已知A產(chǎn)品每件利潤70元，B產(chǎn)品每件利潤120元。問如何安排生產(chǎn)才能使利潤最大？解：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件。根據(jù)約束條件：9x+4y≤3604x+5y≤2003x+10y≤300x≥0,y≥0,且為整數(shù)目標(biāo)函數(shù)：利潤P=70x+120y通過畫圖或計(jì)算可知，最優(yōu)解在可行域的頂點(diǎn)處取得。計(jì)算各頂點(diǎn)的利潤：(0,30):P=3600元(20,24):P=70×20+120×24=1400+2880=4280元(40,0):P=2800元因此，生產(chǎn)A產(chǎn)品20件，B產(chǎn)品24件時(shí)，利潤最大，為4280元。例2：某公司有100臺電腦，需要分配給甲、乙、丙三個(gè)部門。各部門得到的電腦臺數(shù)不少于20臺，且甲部門的臺數(shù)不少于乙部門的臺數(shù)，乙部門的臺數(shù)不少于丙部門的臺數(shù)。問有多少種不同的分配方案？哪種方案能使電腦的使用效率最高（假設(shè)每臺電腦的使用效率相同）？解：設(shè)甲、乙、丙部門分別得到x、y、z臺電腦，滿足：x+y+z=100x≥y≥z≥20x,y,z為整數(shù)令x'=x-20,y'=y-20,z'=z-20，則x'+y'+z'=40，且x'≥y'≥z'≥0。這是一個(gè)整數(shù)拆分問題，求40拆分為3個(gè)非遞增整數(shù)的方法數(shù)。通過枚舉可得共有21種不同的分配方案。關(guān)于使用效率，假設(shè)每臺電腦的使用效率相同，則無論如何分配，總效率都相同。但在實(shí)際情況中，各部門的使用效率可能不同，此時(shí)應(yīng)將更多電腦分配給效率高的部門，以最大化總效率。例如，若甲部門效率最高，乙部門次之，丙部門最低，則應(yīng)分配盡可能多的電腦給甲部門，即x盡可能大，y和