2025年物理學(xué)量子力學(xué)解析測(cè)試試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在括號(hào)內(nèi)，每題3分，共15分）1.下列哪個(gè)表述最準(zhǔn)確地描述了量子力學(xué)中波函數(shù)ψ的物理意義？(A)波函數(shù)ψ本身具有直接的物理意義(B)波函數(shù)ψ的模平方|ψ|2代表粒子在某處出現(xiàn)的概率密度(C)波函數(shù)ψ代表粒子動(dòng)量的概率幅(D)波函數(shù)ψ的相位的絕對(duì)值決定了粒子能量的分布2.根據(jù)不確定關(guān)系，一個(gè)電子的位置不確定性Δx越小，則其動(dòng)量不確定性Δp?越大。以下哪個(gè)表述正確地反映了這一關(guān)系的本質(zhì)？(A)位置確定得越精確，動(dòng)量就完全不確定(B)位置越不確定，動(dòng)量就越容易確定(C)位置和動(dòng)量不可能同時(shí)被無限精確地測(cè)量，存在一個(gè)根本的極限(D)該關(guān)系僅適用于電子，不適用于其他粒子3.一維無限深勢(shì)阱中，粒子處于第一激發(fā)態(tài)（n=2）時(shí)，在勢(shì)阱寬度的一半范圍內(nèi)找到該粒子的概率是：(A)1/4(B)1/2(C)1/3(D)1/84.對(duì)于一維定態(tài)問題，下列哪個(gè)量在體系從一個(gè)定態(tài)躍遷到另一個(gè)定態(tài)的過程中，必定保持不變？(A)粒子的總能量(B)粒子的位置坐標(biāo)(C)粒子的動(dòng)量(D)粒子的波函數(shù)絕對(duì)值的平方5.量子力學(xué)中的算符??滿足以下哪個(gè)性質(zhì)，才稱為厄米算符（Hermitianoperator）？(A)??2=??(B)對(duì)于任意兩個(gè)波函數(shù)ψ?和ψ?，都有∫ψ?*??ψ?dτ=∫ψ?*??ψ?dτ（其中積分遍及所有空間）(C)??的本征值都是實(shí)數(shù)(D)??只作用于束縛態(tài)波函數(shù)二、填空題（請(qǐng)將答案填在橫線上，每空3分，共15分）1.在一維無限深勢(shì)阱中，粒子能量E與量子數(shù)n的平方成正比，比例系數(shù)為(h2/8mL2)，其中m是粒子質(zhì)量，L是勢(shì)阱寬度。當(dāng)n=3時(shí)，粒子的能量E?是E?的_______倍。2.量子力學(xué)中描述粒子動(dòng)量的算符p?在坐標(biāo)表象下表示為_______（用普朗克常數(shù)h表示）。3.薛定諤時(shí)間無關(guān)方程?ψ=Eψ中，?代表體系的_______算符，E代表體系的_______。4.角動(dòng)量的z分量Lz的本征值m?可以取的值為_______（用整數(shù)表示）。5.根據(jù)泡利不相容原理，兩個(gè)全同的費(fèi)米子不能同時(shí)處于_______的量子態(tài)。三、計(jì)算題（請(qǐng)寫出詳細(xì)的解題步驟，每題10分，共30分）1.一維無限深勢(shì)阱（寬度為L(zhǎng)）中，粒子的波函數(shù)為ψ(x,t)=ψ?cos(kx)e????????1???，其中k=π/L，?=1。求：(1)粒子的能量E。(2)粒子處于x=L/4處的概率密度。2.一維定態(tài)薛定諤方程?ψ=Eψ在自由粒子情形下（V(x)=0）變?yōu)??2/(2m)d2ψ/dx2=Eψ。設(shè)粒子能量E>0，求該方程的通解ψ(x)。3.設(shè)粒子處于動(dòng)量在p?到p?+Δp范圍內(nèi)的態(tài)，其中Δp是一個(gè)小量。請(qǐng)根據(jù)不確定關(guān)系估算該粒子位置的不確定度Δx。四、簡(jiǎn)答題（請(qǐng)簡(jiǎn)潔明了地回答下列問題，每題10分，共20分）1.簡(jiǎn)述波函數(shù)歸一化的物理意義。2.解釋為什么在一維無限深勢(shì)阱中，粒子不可能被束縛在勢(shì)阱中心（即x=L/2）附近一個(gè)無窮小的區(qū)域內(nèi)。試卷答案一、選擇題1.B2.C3.A4.A5.B二、填空題1.92.-i??/?x3.哈密頓；能量4....,-2,-1,0,1,2,...5.完全相同三、計(jì)算題1.解：(1)由波函數(shù)形式ψ(x,t)=ψ?cos(kx)e????????1???，可知該波函數(shù)是定態(tài)波函數(shù)，其空間部分為ψ(x)=ψ?cos(kx)。定態(tài)波函數(shù)滿足時(shí)間無關(guān)薛定諤方程：-?2/(2m)d2ψ(x)/dx2+V(x)ψ(x)=Eψ(x)對(duì)于無限深勢(shì)阱，V(x)=0(0<x<L)。代入ψ(x)=ψ?cos(kx)：-?2/(2m)d2/dx2[ψ?cos(kx)]=E[ψ?cos(kx)]計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)：d2/dx2(cos(kx))=-k2cos(kx)代入得：-?2/(2m)(-k2cos(kx))=Ecos(kx)-?2k2/(2m)cos(kx)=Ecos(kx)比較系數(shù)得：E=?2k2/(2m)已知k=π/L，代入上式：E=(?2/2m)(π/L)2=π2?2/(2mL2)所以粒子能量E=π2?2/(2mL2)。(2)概率密度為波函數(shù)模平方|ψ(x)|2。由于ψ(x)=ψ?cos(kx)，且ψ(x)是實(shí)函數(shù)，所以|ψ(x)|2=ψ(x)2。|ψ(L/4)|2=[ψ?cos(kL/4)]2已知k=π/L，代入kL/4=π/4，cos(π/4)=√2/2：|ψ(L/4)|2=[ψ?(√2/2)]2=ψ?2(2/4)=ψ?2/2由于波函數(shù)可以任意歸一化，ψ?的具體值未知，但概率密度僅與ψ?2相關(guān)。若ψ?取歸一化振幅，則ψ?2=1/√(∫??|ψ(x)|2dx)。對(duì)于ψ(x)=ψ?cos(kx)，若ψ?取歸一化振幅A，則A2=1/∫??(Acos(πx/L))2dx=1/(A2/2)=>A2=2=>A=√2。所以ψ?=√2。代入計(jì)算：|ψ(L/4)|2=(√2)2/2=2/2=1。若ψ?取為歸一化振幅√2，則粒子在x=L/4處的概率密度為1。若ψ?不歸一化，則結(jié)果為ψ?2/2。2.解：自由粒子勢(shì)能V(x)=0，時(shí)間無關(guān)薛定諤方程為：-?2/(2m)d2ψ/dx2=Eψ令k2=2mE/?2，則方程變?yōu)椋篸2ψ/dx2+k2ψ=0該方程是標(biāo)準(zhǔn)的二階常系數(shù)齊次微分方程，其通解為：ψ(x)=Acos(kx)+Bsin(kx)其中A和B是由邊界條件確定的積分常數(shù)。3.解：根據(jù)不確定關(guān)系：ΔxΔp?≥?/2粒子