考研理學(xué)2025年線性代數(shù)專項訓(xùn)練試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。請將所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)。）1.下列向量組中，線性無關(guān)的是（）。（A）(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)（B）(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)（C）(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)（D）(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)2.設(shè)矩陣A=$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，B=$\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$，則矩陣B$^{-1}$AB等于（）。（A）$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$（B）$\begin{pmatrix}-4&-2\\3&1\end{pmatrix}$（C）$\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$（D）$\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$3.設(shè)A是n階可逆矩陣，B是n階矩陣，則下列結(jié)論中正確的是（）。（A）AB=BA（B）|AB|=|BA|（C）(AB)$^{-1}$=A$^{-1}$B$^{-1}$（D）(AB)$^T$=A$^T$B$^T$4.設(shè)A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，則下列結(jié)論中正確的是（）。（A）r(AB)=r(A)（B）r(AB)=r(B)（C）r(AB)≤min{r(A),r(B)}（D）r(AB)≥min{r(A),r(B)}5.設(shè)A是n階實對稱矩陣，且A可逆，則下列結(jié)論中正確的是（）。（A）A的特征值可以全為正數(shù)（B）A的特征值可以全為負(fù)數(shù)（C）A的特征值可以全為零（D）A的特征值可以既有正數(shù)也有負(fù)數(shù)二、填空題（每小題4分，共20分。請將答案填在題中橫線上。）6.設(shè)A=$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，B=$\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$，則|3AB|=________。7.設(shè)向量α=(1,2,3)，β=(1,0,1)，則α$^T$β=________。8.設(shè)A=$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，B=$\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$，則(AB)$^T$=________。9.設(shè)A是3階矩陣，且|A|=2，則|A$^2$|=________。10.設(shè)線性方程組Ax=0有非零解，則矩陣A的秩r(A)=________。三、計算題（每小題10分，共30分。）11.計算行列式D=$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$的值。12.求矩陣A=$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$的逆矩陣A$^{-1}$。13.解線性方程組$\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+4y-2z=2\\3x+6y-3z=3\end{cases}$。四、證明題（每小題10分，共20分。）14.證明：如果向量組α,β,γ線性無關(guān)，則向量組α+β,β+γ,γ+α也線性無關(guān)。15.證明：如果n階矩陣A滿足A$^2$=A，則A的特征值只能是0或1。試卷答案一、選擇題1.B2.C3.B4.C5.A二、填空題6.187.38.$\begin{pmatrix}-2&3\\4&-6\end{pmatrix}$9.410.r(A)<3三、計算題11.解：D=$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$=1×$\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}$-2×$\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}$+3×$\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}$=1×(5×9-6×8)-2×(4×9-6×7)+3×(4×8-5×7)=1×(45-48)-2×(36-42)+3×(32-35)=-3+12-9=0.12.解：|A|=$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}$=1×4-2×3=-2≠0，故A可逆。A$^{-1}$=$\frac{1}{|A|}$adj(A)=$\frac{1}{-2}$$\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$.13.解：對增廣矩陣$\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\2&4&-2&2\\3&6&-3&3\end{pmatrix}$進行初等行變換：$\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\2&4&-2&2\\3&6&-3&3\end{pmatrix}$$\xrightarrow[]{r_2-2r_1}$$\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&0&0&0\\3&6&-3&3\end{pmatrix}$$\xrightarrow[]{r_3-3r_1}$$\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$.對應(yīng)的方程組為x+2y-z=1。令y=k,z=l(k,l為任意常數(shù))，則x=1-2k+l。故通解為$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$+k$\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}$+l$\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$。四、證明題14.證明：設(shè)存在常數(shù)k1,k2,k3使得k1(α+β)+k2(β+γ)+k3(γ+α)=0，即(k1+k3)α+(k1+k2)β+(k2+k3)γ=0。因為α,β,γ線性無關(guān)，所以$\begin{cases}k1+k3=0\\k1+k2=0\\k2+k3=0\end{cases}$。解此方程組得k1=k2=k3=0。故α+β,β+γ,γ+α線性無關(guān)。15.證明：設(shè)λ是A的特征值，α是A的對應(yīng)于特征值λ的特