2026-2027學(xué)年度人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)學(xué)講練測(cè)講義

第二章有理數(shù)的運(yùn)算

專題2.4綜合與實(shí)踐：進(jìn)位制的認(rèn)識(shí)與探究

課節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.各進(jìn)位制表示數(shù)的方法。

2.掌握不同進(jìn)位制間的轉(zhuǎn)化方法。

3.學(xué)習(xí)進(jìn)位制的判斷。

4.學(xué)習(xí)運(yùn)用進(jìn)位制的轉(zhuǎn)化進(jìn)行算式的簡(jiǎn)化計(jì)算。

課節(jié)知識(shí)點(diǎn)解讀

進(jìn)位制是一種記數(shù)方式，可以用有限的數(shù)字符號(hào)代表所有的數(shù)值，可使用數(shù)字符號(hào)的數(shù)目稱為基

數(shù)，基數(shù)為n,即可稱n進(jìn)位制，簡(jiǎn)稱n位制，對(duì)于任意一個(gè)用n進(jìn)位制表示的數(shù)，通常使用n個(gè)阿

拉伯?dāng)?shù)字0-(nT)進(jìn)行計(jì)數(shù)，特點(diǎn)是逢n進(jìn)-,現(xiàn)在我們通常使用的是十進(jìn)位制(十進(jìn)位制不用標(biāo)

角標(biāo)，其他要標(biāo)角標(biāo))

一、數(shù)的進(jìn)制及其表示方法

1.十進(jìn)制

我們常用的進(jìn)制為十進(jìn)制，特點(diǎn)是“逢十進(jìn)一”。在實(shí)際生活中，除了十進(jìn)制計(jì)數(shù)法外，還有其

他的大于1的自然數(shù)進(jìn)位制。二匕如二進(jìn)制，八進(jìn)制，十六進(jìn)制等。

我們知道十進(jìn)制數(shù)寫成展開式的形式為：

例如：234=2X102+3X10'+4X10,>

2.二進(jìn)制

在計(jì)算機(jī)中，所采用的計(jì)數(shù)法是二進(jìn)制，即“逢二進(jìn)一”。因此，二進(jìn)制中只用兩個(gè)數(shù)字。和1。

一進(jìn)制的計(jì)數(shù)單位分別是1、2/2\……,一進(jìn)制數(shù)也可以寫做展開式的形式,例如100110

在二進(jìn)制中表示為：

5432

(100110)2=1X2+0X2+0X2+1X24-1X2'+0x2°o

3.k進(jìn)制

一般地，對(duì)于k進(jìn)位制，每個(gè)數(shù)是由()，1,2,…，(4-1)共k個(gè)數(shù)碼組成，且“逢k進(jìn)一”。

進(jìn)位制計(jì)數(shù)單位是左°,kl,k1,……。如二進(jìn)位制的計(jì)數(shù)單位是2°,2',22,……，八進(jìn)

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位制的計(jì)數(shù)單位是8°,81,82,

4.k進(jìn)位制數(shù)可以寫成不同計(jì)數(shù)單位的數(shù)之和的形式

屹4-1…”陷0入二冊(cè)x左"+%-xkn~l+……+%xk+為；

十進(jìn)制表示形式：N=a〃10"+冊(cè)_110"7+...+4()10°；

nn1

一進(jìn)制表示形式:N=a?2+a?_l2-+......+?02°?

為了區(qū)別各進(jìn)位制中的數(shù)，在給出數(shù)的右下方寫上匕表示是k進(jìn)位制的數(shù)。

如：(352%,(1010)2,(3145)[2,分別表示八進(jìn)位制，二進(jìn)位制，十二進(jìn)位制中的數(shù)。

二、進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換

1.進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化成與其相等的十進(jìn)制數(shù)方法：

各進(jìn)制之間可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如：七進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化成與其相等的十進(jìn)制數(shù)，只要將七進(jìn)制數(shù)的每個(gè)數(shù)

字，依次乘以7的相應(yīng)正整數(shù)次耗，然后將這些乘積相加，就可以得到與其相等的十進(jìn)制數(shù)。

(1)將七進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制數(shù)舉例

(2)(4203)5化為十進(jìn)制是多少？

32

(4203)5=4X5+2X5+0X5'+3x5°=553。

(3)(7236%化為十進(jìn)制是多少？

(7236%=7x83+2x82+3x8'+6x8°=3742<,

2.十進(jìn)位制轉(zhuǎn)化為與其相等的進(jìn)位制方法

將十進(jìn)位制數(shù)化成與其相等的七進(jìn)制數(shù)，用十進(jìn)制的數(shù)除以7,然后將商繼續(xù)除以7,知道商為1,

將所得的余數(shù)按照倒序從低位到高位排序即可，如：

方法總結(jié)：一般地，十進(jìn)制整數(shù)化為k進(jìn)制數(shù)的方法是：除以k取余數(shù)，一宜除到被除數(shù)小于k為止,

余數(shù)由下到上按從左到右順序排列即為k進(jìn)制數(shù)。反過來，k進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的一般方法是：首

先將k進(jìn)制數(shù)按k的次幕形式展開，然后按十進(jìn)制數(shù)相加即可得結(jié)果。

三、k進(jìn)制的四則混合運(yùn)算和十進(jìn)制一樣

二進(jìn)制的四則運(yùn)算的與十進(jìn)制的四則運(yùn)算規(guī)則相同，不同的是十進(jìn)制的數(shù)位有十個(gè)數(shù)碼0,1,2,3,

4,5,6,7,8,9,滿十進(jìn)一，而二進(jìn)制的數(shù)位有兩個(gè)數(shù)碼3和1,滿二進(jìn)一。

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二進(jìn)制的四則運(yùn)算規(guī)則如下：

加法：0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=10

減法：0-0=0,1-0=1,1-1=0,11(同一個(gè)數(shù)位不夠減時(shí)，向高一位借1當(dāng)2)

先乘除，后加減；同級(jí)運(yùn)算，先左后右；有括號(hào)時(shí)先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的。

二進(jìn)制的運(yùn)算法則：“滿二進(jìn)一”、“借一當(dāng)二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，

——得一。

注意：對(duì)于任意非零自然數(shù)n,我們有〃°=1。

四、進(jìn)位制的判斷

探究過程：

提問1：k進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的一般方法是什么？

首先將k進(jìn)制數(shù)按k的次幕形式展開，然后按十進(jìn)制數(shù)相加即可得結(jié)果。

提問2：雖然不知道1030是兒進(jìn)制數(shù)，但是可以先把它按照n的次累展開，展開結(jié)果是多少？

(1030)”=1x川+ox"+3x/+0x+3〃.

提問3：我們還知道它轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)是140,接下來怎么做？

/+3〃=140=〃(〃2+3),可以把140分解質(zhì)因數(shù)為140=22x5x7,因?yàn)?030中最大的數(shù)字是3,

所以n不可能等于2,且n不超過10,依次把4、5、7帶入n中，只有5符合。

探究結(jié)論：已知一個(gè)k進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的結(jié)果，判斷它是幾進(jìn)制時(shí)?，先把它按k的次幕形式展

開，根據(jù)它和轉(zhuǎn)化后的十進(jìn)制數(shù)相等，判斷k的取值，最后把k的可能值帶入計(jì)算得出最終結(jié)果。

重點(diǎn)方法總結(jié)：

1.k進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的般方法是：首先將k進(jìn)制數(shù)按k的次幕形式展開，然后按十進(jìn)制數(shù)相

加即可得結(jié)果。

2.做k進(jìn)制混合運(yùn)算時(shí)，可以先把k進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)進(jìn)行計(jì)算，最后把結(jié)果再轉(zhuǎn)化為k進(jìn)制

數(shù)。

3.已知一個(gè)k進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的結(jié)果，判斷它是幾進(jìn)制時(shí)，先把它按k的次塞形式展開，根

據(jù)它和轉(zhuǎn)化后的十進(jìn)制數(shù)相等，判斷k的取值，最后把k的可能值帶入計(jì)算得出

課節(jié)知識(shí)點(diǎn)例題講析

【例題1］如果一個(gè)十進(jìn)位制兩位數(shù)對(duì)，交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)后得到一個(gè)新數(shù)，如果原數(shù)

減去新數(shù)所得的差為18,那么我們稱這樣的數(shù)為“青春數(shù)”，問是否存在這樣的“青春數(shù)”使得該

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7.某數(shù)在三進(jìn)制中為為120120110110121121,則將其改寫為九進(jìn)制，其從左向右數(shù)第1位數(shù)字是幾?

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2026-2027學(xué)年度人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)學(xué)講練測(cè)講義

第二章有理數(shù)的運(yùn)算

專題2.4綜合與實(shí)踐：進(jìn)位制的認(rèn)識(shí)與探究

課節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.各進(jìn)位制表示數(shù)的方法。

2.掌握不同進(jìn)位制間的轉(zhuǎn)化方法。

3.學(xué)習(xí)進(jìn)位制的判斷。

4.學(xué)習(xí)運(yùn)用進(jìn)位制的轉(zhuǎn)化進(jìn)行算式的簡(jiǎn)化計(jì)算。

課節(jié)知識(shí)點(diǎn)解讀

進(jìn)位制是一種記數(shù)方式，可以用有限的數(shù)字符號(hào)代表所有的數(shù)值，可使用數(shù)字符號(hào)的數(shù)目稱為基

數(shù)，基數(shù)為n,即可稱n進(jìn)位制，簡(jiǎn)稱n位制，對(duì)于任意一個(gè)用n進(jìn)位制表示的數(shù)，通常使用n個(gè)阿

拉伯?dāng)?shù)字0-(nT)進(jìn)行計(jì)數(shù)，特點(diǎn)是逢n進(jìn)-,現(xiàn)在我們通常使用的是十進(jìn)位制(十進(jìn)位制不用標(biāo)

角標(biāo)，其他要標(biāo)角標(biāo))

一、數(shù)的進(jìn)制及其表示方法

1.十進(jìn)制

我們常用的進(jìn)制為十進(jìn)制，特點(diǎn)是“逢十進(jìn)一”。在實(shí)際生活中，除了十進(jìn)制計(jì)數(shù)法外，還有其

他的大于1的自然數(shù)進(jìn)位制。二匕如二進(jìn)制，八進(jìn)制，十六進(jìn)制等。

我們知道十進(jìn)制數(shù)寫成展開式的形式為：

例如：234=2X102+3X10'+4X10,>

2.二進(jìn)制

在計(jì)算機(jī)中，所采用的計(jì)數(shù)法是二進(jìn)制，即“逢二進(jìn)一”。因此，二進(jìn)制中只用兩個(gè)數(shù)字。和1。

一進(jìn)制的計(jì)數(shù)單位分別是1、2/2\……,一進(jìn)制數(shù)也可以寫做展開式的形式,例如100110

在二進(jìn)制中表示為：

5432

(100110)2=1X2+0X2+0X2+1X24-1X2'+0x2°o

3.k進(jìn)制

一般地，對(duì)于k進(jìn)位制，每個(gè)數(shù)是由()，1,2,…，(4-1)共k個(gè)數(shù)碼組成，且“逢k進(jìn)一”。

進(jìn)位制計(jì)數(shù)單位是左°,kl,k1,……。如二進(jìn)位制的計(jì)數(shù)單位是2°,2',22,……，八進(jìn)

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位制的計(jì)數(shù)單位是8°,81,82,

4.k進(jìn)位制數(shù)可以寫成不同計(jì)數(shù)單位的數(shù)之和的形式

屹4-1…”陷0入二冊(cè)x左"+%-xkn~l+……+%xk+為；

十進(jìn)制表示形式：N=a〃10"+冊(cè)_110"7+...+4()10°；

nn1

一進(jìn)制表示形式:N=a?2+a?_l2-+......+?02°?

為了區(qū)別各進(jìn)位制中的數(shù)，在給出數(shù)的右下方寫上匕表示是k進(jìn)位制的數(shù)。

如：(352%,(1010)2,(3145)[2,分別表示八進(jìn)位制，二進(jìn)位制，十二進(jìn)位制中的數(shù)。

二、進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換

1.進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化成與其相等的十進(jìn)制數(shù)方法：

各進(jìn)制之間可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如：七進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化成與其相等的十進(jìn)制數(shù)，只要將七進(jìn)制數(shù)的每個(gè)數(shù)

字，依次乘以7的相應(yīng)正整數(shù)次耗，然后將這些乘積相加，就可以得到與其相等的十進(jìn)制數(shù)。

(1)將七進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制數(shù)舉例

(2)(4203)5化為十進(jìn)制是多少？

32

(4203)5=4X5+2X5+0X5'+3x5°=553。

(3)(7236%化為十進(jìn)制是多少？

(7236%=7x83+2x82+3x8'+6x8°=3742<,

2.十進(jìn)位制轉(zhuǎn)化為與其相等的進(jìn)位制方法

將十進(jìn)位制數(shù)化成與其相等的七進(jìn)制數(shù)，用十進(jìn)制的數(shù)除以7,然后將商繼續(xù)除以7,知道商為1,

將所得的余數(shù)按照倒序從低位到高位排序即可，如：

方法總結(jié)：一般地，十進(jìn)制整數(shù)化為k進(jìn)制數(shù)的方法是：除以k取余數(shù)，一宜除到被除數(shù)小于k為止,

余數(shù)由下到上按從左到右順序排列即為k進(jìn)制數(shù)。反過來，k進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的一般方法是：首

先將k進(jìn)制數(shù)按k的次幕形式展開，然后按十進(jìn)制數(shù)相加即可得結(jié)果。

三、k進(jìn)制的四則混合運(yùn)算和十進(jìn)制一樣

二進(jìn)制的四則運(yùn)算的與十進(jìn)制的四則運(yùn)算規(guī)則相同，不同的是十進(jìn)制的數(shù)位有十個(gè)數(shù)碼0,1,2,3,

4,5,6,7,8,9,滿十進(jìn)一，而二進(jìn)制的數(shù)位有兩個(gè)數(shù)碼3和1,滿二進(jìn)一。

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二進(jìn)制的四則運(yùn)算規(guī)則如下：

加法：0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=10

減法：0-0=0,1-0=1,1-1=0,11(同一個(gè)數(shù)位不夠減時(shí)，向高一位借1當(dāng)2)

先乘除，后加減；同級(jí)運(yùn)算，先左后右；有括號(hào)時(shí)先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的。

二進(jìn)制的運(yùn)算法則：“滿二進(jìn)一”、“借一當(dāng)二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，

——得一。

注意：對(duì)于任意非零自然數(shù)n,我們有〃°=1。

四、進(jìn)位制的判斷

探究過程：

提問1：k進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的一般方法是什么？

首先將k進(jìn)制數(shù)按k的次幕形式展開，然后按十進(jìn)制數(shù)相加即可得結(jié)果。

提問2：雖然不知道1030是兒進(jìn)制數(shù)，但是可以先把它按照n的次累展開，展開結(jié)果是多少？

(1030)”=1x川+ox"+3x/+0x+3〃.

提問3：我們還知道它轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)是140,接下來怎么做？

/+3〃=140=〃(〃2+3),可以把140分解質(zhì)因數(shù)為140=22x5x7,因?yàn)?030中最大的數(shù)字是3,

所以n不可能等于2,且n不超過10,依次把4、5、7帶入n中，只有5符合。

探究結(jié)論：已知一個(gè)k進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的結(jié)果，判斷它是幾進(jìn)制時(shí)?，先把它按k的次幕形式展

開，根據(jù)它和轉(zhuǎn)化后的十進(jìn)制數(shù)相等，判斷k的取值，最后把k的可能值帶入計(jì)算得出最終結(jié)果。

重點(diǎn)方法總結(jié)：

1.k進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的般方法是：首先將k進(jìn)制數(shù)按k的次幕形式展開，然后按十進(jìn)制數(shù)相

加即可得結(jié)果。

2.做k進(jìn)制混合運(yùn)算時(shí)，可以先把k進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)進(jìn)行計(jì)算，最后把結(jié)果再轉(zhuǎn)化為k進(jìn)制

數(shù)。

3.已知一個(gè)k進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的結(jié)果，判斷它是幾進(jìn)制時(shí)，先把它按k的次塞形式展開，根

據(jù)它和轉(zhuǎn)化后的十進(jìn)制數(shù)相等，判斷k的取值，最后把k的可能值帶入計(jì)算得出

課節(jié)知識(shí)點(diǎn)例題講析

【例題1］如果一個(gè)十進(jìn)位制兩位數(shù)對(duì)，交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)后得到一個(gè)新數(shù)，如果原數(shù)

減去新數(shù)所得的差為18,那么我們稱這樣的數(shù)為“青春數(shù)”，問是否存在這樣的“青春數(shù)”使得該

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數(shù)轉(zhuǎn)化為六進(jìn)制數(shù)是一個(gè)各數(shù)位上的數(shù)字全是都為a的三位數(shù)？若存在，請(qǐng)求出這樣的“育春數(shù)”；

若不存在，請(qǐng)說明理由

【答案】見解析

【解析】存在.根據(jù)題意

因?yàn)?3a是一個(gè)十進(jìn)制的兩位數(shù)，所以a=l或a=2,當(dāng)a=l時(shí),

原數(shù)為43,新數(shù)為34,則43-34=9工18,不是'‘青春數(shù)"，不符合題意；當(dāng)a=2時(shí)，原數(shù)為86,新

數(shù)為68,86-68:18,是“青春數(shù)”，符合題意.所以這樣的“青春數(shù)”存在，這個(gè)“青春數(shù)”是86.

【例題2】將十進(jìn)制數(shù)22轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制數(shù)是多少？

【答案】

22=10110（2）.

【解析】將十進(jìn)位制數(shù)化成與其相等的二進(jìn)制數(shù)，用十進(jìn)制的數(shù)除以2,然后將商繼續(xù)除以2,知道

商為1，將所得的余數(shù)按照倒序從低位到高位排序即可，如：

1……1（第5位余數(shù)）

以22=10110（2）.

【例題3】在幾進(jìn)制中，2224化成十進(jìn)制是520?

【答案】6

【解析】2x7?+2x//+2x/+4x〃。=520=2'x5x13,4V〃V10,〃=6。

【例題4】在幾進(jìn)制中有125X125=16324?

【答案】7

【解析】如果125是在十進(jìn)制中，那125X125的結(jié)果是多少？

125X125=15625o

根據(jù)16324和15625這兩個(gè)結(jié)果，大家可以得到一個(gè)什么信息？

假設(shè)這個(gè)算式在〃進(jìn)制中，因?yàn)?5625Vl6324,說明〃小于10；并且個(gè)位上的5X5=25,而得數(shù)的

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個(gè)位是4,說明在女進(jìn)制中，向前進(jìn)位為21,則〃是21的約數(shù)。

21的約數(shù)有幾個(gè)？分別是幾？

一個(gè)數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)的求法：首先對(duì)這個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后每個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)加1再連乘。

首先對(duì)21分解質(zhì)因數(shù)，21=3X7,則它的約數(shù)個(gè)數(shù)是(1+1)X(1+1)=4,它的約數(shù)分別是1、3、7、21。

々是兒？

因?yàn)?<%V1(),所以公7。經(jīng)過驗(yàn)證，在七進(jìn)制中125X125=16324。

【例題5】若(132),X(132)“=(21054)“，那么〃的取值是多少？

【答案】7

【解析】在十進(jìn)制中，132X132=17424,所以5V〃V10；末尾2X2=4,得數(shù)的末尾也是4,所以判斷

不了〃是哪一個(gè)的約數(shù)；從右往左第二位，寫出乘法算式后可知第二位是6+6=12,但是得數(shù)的第二

位是5,說明向前進(jìn)位為7,則〃是7的約數(shù)，因?yàn)?V〃V1。，所以中7,經(jīng)檢驗(yàn)在七進(jìn)制中，132

X132=21054o

絳合與實(shí)踐問題訓(xùn)［練

1.完成謝列填空

(1)在八進(jìn)制中，1234-456-322=；

(2)在九進(jìn)制中，14438+3123—7120—11770+5766二。

【答案】(I)234(2)4438

【解析】根據(jù)題意，應(yīng)先把各個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成用十進(jìn)制表示的數(shù)并計(jì)算即可。

(1)原式=1234-(456+322)=1234-1000=234；

原式=14438+(3123+5766)-(7120+11770)=14438+10000-20000=4438。

【點(diǎn)睛】熟練掌握把各個(gè)進(jìn)位制的數(shù)轉(zhuǎn)化成用十進(jìn)制表示的數(shù)，是解答此題的關(guān)鍵。

2.填空。

(1)(11000111)2-(10101)2H-01),=；

(2)(63121)8-(1247)8-(16034%-(2653l)s-(l744%=；

【答案】(I)(11000000)2(2)(1312%

【解析】(1)可轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制來計(jì)算；如果對(duì)進(jìn)制的知識(shí)較熟悉，可直接在二進(jìn)制下對(duì)(10101%+。1)2

進(jìn)行除法計(jì)算，只是每次借位都是2,可得⑴000】11)2-(1?！俊Ｘ?+(11)2=(11。。0111)2-(111)2=(1：。。0。0。)2；

(2)十進(jìn)制中，兩個(gè)數(shù)的和是整十整百整千的話，我們稱為“互補(bǔ)數(shù)”，湊出“互補(bǔ)數(shù)”的這種方法叫“湊

整法“，在〃進(jìn)制中也有??湊整法“，要湊的就是整〃。

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【詳解】(1)(11000111)2-(10101)2+(11)2=(199)10-(21)10+(3)10=(192)10=(11000000)2:

(2)(63121)8-(1247)8-(16034),-(26531)8-(1744)8

=(63121)8-[(1247%+(26531)8]-[(16034%+(1744)8]

=(63121)8-(30000)8-(20000)8

=(13121),

【點(diǎn)睛】熟練掌握十進(jìn)制與各個(gè)進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化方法，是解答此題的關(guān)鍵。

3.在下面16個(gè)6之間添上+、-、x、+,使下面的算式成立：

6666666666666666=1997.

【答案】6X(6x6x6+6x6+6x6+6x6+6)+6+6+6?6+6

【解析]根據(jù)題干，先用算式中前面一些6湊M?個(gè)比較接近1997的數(shù)，可將上面16個(gè)6這樣連接,

6x(6的3次力+108+6)+18-1,接著6的三次力=216,括號(hào)里的值為330,再乘上一個(gè)6=1980,最

后加上17等于最終答案.

解答：根據(jù)題干可得：

6X(6x6x6+6x6+6x6+6x6+6)+6+6+6-6+6,

=6'(216+36+36+36+6)+18-1,

=6x330+17,

=1980+17,

=1997,

答：在16個(gè)6之間添上+、-＞：、+為6x(6x6x6+6x6+6x6+6x6+6)+6+6+6-6+6,可以使等式成立.

點(diǎn)評(píng)：利用加減乘除法的意義，合理的運(yùn)用四則混合運(yùn)算的順序即可解決問題.

4.一個(gè)自然數(shù)周游列國(guó)，它在七進(jìn)制.王國(guó)叫仃Z75,在九進(jìn)制王國(guó)叫阮百，在八進(jìn)制王國(guó)用數(shù)字

表示，叫()。(注：相同的符號(hào)表示相同的數(shù)字，不同的符號(hào)表示不同的數(shù)字)

【答案】370

【解析】將七進(jìn)制下的數(shù)和九進(jìn)制下的數(shù)都轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制后，二者相等，再確定口、△、。的值，再

將其轉(zhuǎn)化成八進(jìn)制。

【詳解】設(shè)七進(jìn)制卜.的數(shù)是正，那么九進(jìn)制卜.的數(shù)是而：

ax7?+Z)x7+c=cx92+bx9+a

24。=40c+b

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由于首位不能為0,且不能大于6,只有當(dāng)4=5,b=0,。=3時(shí)成立；

5X72+0X7+3

=245+0+3

=248

十進(jìn)制下是248；

248+8=31

31+8=3……7

3+8=0……3

所以八進(jìn)制下這個(gè)數(shù)是370。

【點(diǎn)睛】本題考查的是進(jìn)制問題，倒取余數(shù)法是將十進(jìn)制轉(zhuǎn)化成其它進(jìn)制的重要方法。

5.在美洲的一個(gè)小鎮(zhèn)中，對(duì)于20()以下的數(shù)字讀法都是采取2()進(jìn)制的。如果十進(jìn)制中的147在20

進(jìn)制中的讀音是“seythhaseythugens"，而十進(jìn)制中的49在20進(jìn)制中的讀音是“nawhadewugens”，

那么20進(jìn)制中讀音是“dewhanawugens”的數(shù)指的是十進(jìn)制中的數(shù)。

【答案】182

【解析】根據(jù)二十進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，據(jù)此可知，(1470=(77%,(49%=(29%,所

以ha代表十位，ugens代表個(gè)位，dew代表9,naw代表2。儂中(182%,所以，20進(jìn)制中讀音是

“dewhanawugens”的數(shù)指的是十進(jìn)制中的數(shù)是182。

【詳解】(147)10=(77)20

(4勸0=(29%

(92%=(182)10

所以，20進(jìn)制中讀音是“dewhanawugens”的數(shù)指的是十進(jìn)制.中的數(shù)是182。

【點(diǎn)睛】正確理解“不同的進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系”，是解答此題的關(guān)鍵。

6.記四位數(shù)他4為X,由它的四個(gè)數(shù)字a,b,c,d組成的最小的四位數(shù)記為；T，如果X-X*=999,

那么這樣的四位數(shù)X共:行個(gè)。

【答案】48

【解析】由a,b,c,d組成的最小值加上(1000-1)就為abed這個(gè)數(shù)，(1000—1)只會(huì)改變a、d,

只要d比a大1就會(huì)成立。

例如：2bcl-lbc2=9993bc2~2bc3=999,共八組。

以a=4,b=3為例，有3004,3034,3044,3334,3344,3444這六個(gè)數(shù)，根據(jù)乘法原理，有8x6=

48科

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【詳解】由X-X*=999,得到萬=999+『=『+1000-1；

所以如果。、b、。、d組成的四位數(shù)月末位數(shù)字不是0,那么X等于將JT的千位數(shù)字加1，個(gè)位數(shù)

字減1,反過來X?等于X的千位數(shù)字減I,個(gè)位數(shù)字加1,所以廣為（。一1）/（"+1），與X比較，b

和c位置沒有換，交換的是。和d,X,表示為曲C。，可以得到等式即。="+1。所以。和d

的取值組合，只有2和1,3和2,……，9和8,共8種情況。

咐于其中任意一種組合，由于礪是由四個(gè)數(shù)字。、&c、〃組成的最小的四位數(shù)，分別考慮〃、。中

有（）的情況（可能兩個(gè)都為（）；若只有一個(gè)0,則6=0,d<c<a｝；以及/）、。都不為（）的情況（此

時(shí)dWbWcWa）?可知兩種情況下各有3種可能,共6種可能："00。