新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第講三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式

角可以看成平面內(nèi)一

泉9城場(chǎng)日違點(diǎn)從一

個(gè)位?境丹翎另一個(gè)

位圖所成的陽(yáng)形

任意角

r<M)

負(fù)角

，所“叮角。伸/nix的細(xì)?>“用?八內(nèi),

[”「伯％的?<?Jt&z).)

?n?：便編的限點(diǎn)與&點(diǎn)?合，角的姑邊

與X*的不負(fù)半?審合.務(wù)么，角的絳邊在

第幾象用.it說(shuō)這個(gè)角度第n息陽(yáng)角；如果

的的終邊在坐除■上.籟u為這個(gè)角不■于浮動(dòng)越)

任何一個(gè)象間.

7.ftlMin(?<21?<a<2i??^Jl€Z)

?一.*般加("0*丁嚀<<?<以=。，2)|

事三做做的(心"??<“<4"?苧AWZ]]

第兩，.俄觸(心?呼<-6",2,4")]

飛K網(wǎng)0IN檢跑N心珀叫做1R用的岫.陽(yáng)符，;,Mk示.itftft/U.

-1也角笛強(qiáng)度改足了人故,例角的孤度收足二個(gè)例收;書(shū)角的戈度心必o.

1M)?二“trd?1'=Infd=)

-5WM?

麻影的工長(zhǎng)公立''(/?la|-rJ

扇形的面積公式

平方關(guān)系3$加'0"”匕=1

)

M收大條：-"a/^iaCa?-4Arx)

comL

\

!

題型一：絡(luò)邊相同的角的集合的表示與區(qū)別

【典例1」】若角。的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線y=J久?上，見(jiàn)角。的取值

集合是（）

27r

A.a\a=2kn+^,keZ-B.a\a=2kn+—,keZ

C.a\a=kK+—,keZ-D.ct\a=kn+—.keZ

313

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，角

a

的終邊在直線y=&上，。為第一象限角時(shí)，a=1+2/儀eZ）；

47r

a為第三象限角時(shí)，a=—+2/ai（keZ）；

綜上，角。的取值集合是Jaa=（+EMeZ,.

故選:D.

【方法技巧】

（1）終邊相同的角的集合的表示與識(shí)別可用列舉歸納法和雙向等差數(shù)列的方法解決.

（2）注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標(biāo)軸角；銳

角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標(biāo)軸角.

【變式1?1】如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角。的集合是（）

57T

a|——+EKaK(Z+l)兀?eZ

6

C.?a|——-+2kn<a<(2k-\)n,keZ-D.\a\--+2kn<a<2kTi,keZ-

6JI6

【答案】B

【解析】終邊落在陰影部分的角為L(zhǎng)++兀，k￡Z,

6

即終邊落在陰影部分（包括邊界）的角a的集合是［a|^+EKaK（&+l）7UcZ

O

故選：B.

題型二：等分角的象限問(wèn)題

【典例2?1】已知。是第二象限角，則（）

A.［是第一象限角B.sin^>0

22

C.sin2a<0D.2a是第三或第四象限角

【答案】C

【解析】????是笫二象限角，

7Z—,—EHnOlTC..

—+2k7r<a<7r+lkf7v,kfwZ、即一+Ay/rv—v—+Z/r,kwZ,

2422

是第一象限或第三象限角，故A錯(cuò)誤；

由？是第一象限或第三象限角，sin3>0或sin?<0,故B錯(cuò)誤；

222

是第二象限角，

—+2k亢<a<7r+2k冗,kwZ、

2

???乃+4&乃<2。<2乃+4々乃，kwZ,

???2a是第三象限，第四象限角或終邊在丁軸非正半軸，sin2a<0,故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C.

【方法技巧】

先從a的范圍出發(fā)，利用不等式性質(zhì)，具體有：（1）雙向等差數(shù)列法；（2）區(qū)的象限分布圖示.

n

【變式2?1】已知sina>0,coso<0,則。的終邊在（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第一、二、四象限

【答案】D

【解析】因?yàn)閟ina>0,cosa<（）,

所以。為第二象限角，即3+2配<C<7T+2E,AGZ,

2

“一兀2Ea兀2/ai,7

所以:+=+=

63333

則J的終邊所在象限為傳，外俘，小俘，當(dāng)所在象限,

3163八6八231

(3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.

【變式3?1】已知扇形的周長(zhǎng)為20cm,則當(dāng)扇形的圓心角一扇形面積最大.

【答案】2

【解析】設(shè)扇形的半徑為小弧長(zhǎng)為/,

由題意,2r+/=20=>/=20-2r(0<r<10),

扇形的面積為S=g〃=g(20-2+=10一戶(hù)

=-(r-5)2+25(O<r<IO),所以當(dāng)r=5時(shí)，

扇形面積取最大值25,此時(shí)/=20-10=10,

所以扇形的圓心角。=,=￥=2時(shí)，扇形面積最大.

r5

故答案為：2

【變式3?2】下圖是第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)的會(huì)徽“潮涌”，可將其視為一扇環(huán)"CQ.已知A8=2兀，

AD=3.且該扇環(huán)A8CO的面積為9兀，若將該扇環(huán)作為側(cè)面圍成一圓臺(tái)，則該圓臺(tái)的體積為一.

【解析】如圖，設(shè)=OA=r,CD=1，

則CD=—X6=4K,將該扇面作為側(cè)面圍成一圓臺(tái)，

則圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為1和2,

所以其高為)32-(2-1)2=2J5,

故該圓臺(tái)的體積為V='(兀+4TT+J；CX4花)x2\/i=',匚"

33

故答案為：竽

【變式3?3】沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如

圖，AB是以。為圓心，。人為半徑的圓弧，C是八8的中點(diǎn)，。在A8上，CQ14B.“會(huì)圓術(shù)”給出AB的

67)2

弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：5=4/?+—.當(dāng)04=2,408=60。時(shí)，s=()

OA

AH-35/3R11-4行「9-3石9-

222-2

【答案】B

【解析】如圖，連接0C,

因?yàn)镃是48的中點(diǎn)，

月亍以O(shè)C1A9,

乂COJL/W,所以O(shè)，C力三點(diǎn)共線，

\^OD=OA=OB=2,

又ZAO6=6（r,

所以4/?=OA=O4=2,

則。C=6，故CD=2-6,

所以ADC）（2-6）ll-4x/3

川［以s=A8+------=2+-----------=--------—?

0A22

故選：B.

題型四：三角函數(shù)的定義

【典例4-1】已知角。的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,4）,把角。的終邊繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)］得到角尸的終邊，則

sin尸二（）

A.--B.-C.--D.-

5555

【答案】D

【解析】因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,4）,

33

所“以cosa=J/?R7=-5,，

因?yàn)榘呀窍Φ慕K邊繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)：得到角夕的終邊，

所以/=o+

「冗、3

所以sin/?=sina+—=cosa.

k2J5

故選:D.

【典例4?2】已知角夕的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（l,2sina）,則sina的值不可能是（）

A.且B.0C.-立D.；

222

【答案】D

.2sina

【解析】由定義，sma=/,

VI+4sm-a

當(dāng)sina=0,合題意；

當(dāng)sinawO,化簡(jiǎn)得sii?a=；,由于橫坐標(biāo)1>0,角的終邊在一、四象限，

4

所以sina=±—.

2

故選:D.

【方法技巧】

（1）利用三角函數(shù)的定義，已知角。終邊上一點(diǎn)。的坐標(biāo)可求a的三角函數(shù)值；已知角。的三角函

數(shù)值，也可以求出角a終邊的位置.

（2）判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符

號(hào)確定所求三角函數(shù)值的符號(hào)，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況.

【變式4-1］（多選題）若角a的終邊上有一點(diǎn)2-4,a）,且sina-cosa=立，則a的值為（）

4

A.4GB.6C.-473D.-午

【答案】CD

CSa=

【解析】由三角函數(shù)的定義可知，而劣=卜^+笠,°r_^+a2?

G-4ax/3

又fintrcosa==-,貝！J；~7=下，

4(-4)+a'4

解得a=-4G或-G,

故選：CD.

【變式冬2】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P、。從點(diǎn)4(1,0)出發(fā)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P按

逆時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)已弧度，點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)巖弧度，貝UP、。兩點(diǎn)在第1804次相遇時(shí)，點(diǎn)

C.

2,2

【解析】相遇時(shí)間為1=1804x2兀卷+等］=3608秒,

1111乙)

故P轉(zhuǎn)過(guò)的角度為m3608=300工+

2冗27tf1⑸

cosy,sin—,即

(2'2

故選：C

題型五：象限符號(hào)與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值

【典例5?1】在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，角。以。r為始邊，終邊在第三象限.則()

A.sina-cosa<tanaB.sina-cosa>tana

C.sinacos6Z<tanaD.sinacosa>tana

【答案】c

【解析】由題意川得sinavO、cos?<0,tana>0,

對(duì)A：當(dāng)sinaT(r時(shí)，cosaf-1,W!jsina-cosafl,tana—>0,

此時(shí)sina—cosa>tana,故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：當(dāng)。=空時(shí)，sin?-cost?=sin--cos—=()<tan—=1,故B錯(cuò)誤;

4444

2

對(duì)C、D：sinacosa=cos2a-55—=cosatanaf由一l<cosa<0,

cosa

故cos?a￡(0,1),WOcos2a-tana<tana?即sinacos。<tana，

故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C.

【典例5-2】若。是第二象限角，則()

a

A.cos(-a)>0B.tany>0

C.sin(7i+ar)>0D.cos(兀-a)v0

【答案】B

【解析】若a是第二象限角，則8s(-a)=cosa<0,故A錯(cuò)誤；

CtCf

三為第一、三象限角，則tan彳>0,故B正確;

22

sin（7T4-a）=-sina<0,故C錯(cuò)誤；

cos(n-?)=-cos?>0,故D錯(cuò)誤.

故選：B.

【方法技巧】

正弦函數(shù)值在第一、二象限為正，第三、四象限為負(fù)；.

余弦函數(shù)值在第一、四象限為正，第二、三象限為負(fù)；.

正切函數(shù)值在第一、三象限為正，第二、四象限為負(fù).

.aa_

sin—2cos—3tan

【變式5-1］（多選題）若角。的終邊在第三象限，則「%+____2___2的值可能為（）

aa

cos-tan—

2?

A.0B.2C.4D.-4

【答案】BC

【解析】由角1的終邊在第三象限，得F+2E<av￡+2E,0Z,則++H入Z,

因此多是第二象限角或第四象限角,

.aa?a

sin—o2cos—3tan—

當(dāng)g是第二象限角時(shí)，一『—春----京=1-2-(-3)=2,

/?vA,

_CMC_cc。_tnr>_

.a.aa

sin—2cos—3tan—

當(dāng)g是笫四象限角時(shí)，廠%+—/----A=_I+2-(-3)=4.

zI?exIexIX

-sin—cos—tan—

I2|22

故詵：BC

【變式5-2】已知尸都是第二象限角，則"sin(a-/?)<0”是“tanavtan△”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C,充分必要條件D.既不充分也不

必要條件

【答案】C

【解析】若sin(a-/?)<0,plI]sinacos/7-cosasin/?<0即sinacos/7<cosasin/7,

而巴夕都是第二象限角,故cos/?cosa>0,故tanavtan尸,

故"sin(a-<0”是“tana<tan^”的充分條件.

若tanavtan6,因?yàn)椤?夕都是第二象限角,故cosQcosa>0,

所以sinacos力vcosasinp即sin(cr-^)<0,

故"Sin(a-/?)<0”是“l(fā)ana<lan尸”的必要條件，

所以“Sin(a-4)<0”是“tana<tan尸”的充要條件.

故選:C.

題型六：弦切互化求值

【典例6-1】已知5由。+85。=3(：05。1011。，則cos?alana=()

【答案】D

【解析】因?yàn)?皿。+85。=388。0111。,

sina

所以sina+cosa=3cosa?

cosa

I'Psinacosa+cos'a=3coscrsinQ*UPcos'a-2cosasina,

顯然cosa工0,所以cosa=2sina,則tana=—,

2

4

又siYa+cos2a=1,所以

所以cos2atan(z=—x—=—.

525

故選：D

【典例6?2】化簡(jiǎn)］匕包13_)匕包巴,其中。為第二象限角.

V1-sinav1+sina

【解析】Qa為第二象限角，

/1+sina11-sina

V1—sina\1+sina

I(1+sina)2I(l-sincr)2

\(1-sina)(l+sina)(1+sina)(l-sina)

|(l+sina)2(1-sintz)2

\cos2acos2a

1+sina1-sin<7'

=-----------+----------=-2tana

cosacosa

【典例6?3】設(shè)甲：sin2a+sin2/?=l,乙：sina+cos4=0,則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【解析】當(dāng)sin?a+sin2/=1時(shí)，例如a=5，〃=。但sina+cosGwO,

即￡in?a+sin?尸=1推不出sina+cos6=0；

當(dāng)$ina+cosb=0時(shí),sin2?+sin2p—(―cos^)2+sin2/?=l,

即￡［11。+85夕=0能推出§也2<7+Sin20=1.

綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.

故選：B

【典例6?4】(多選題)已知sina-cosa=且，0<a<n,則下列選項(xiàng)中正確的有()

5

2.3亞

A.sinacosa=-B.sina+cosa=-----

55

.亞

C.tana+---=—D.sina=—

tana35

【答案】AB

【解析】［tlsina-cosa=—?得(sina-cosaf=1-2sinacosa==,

55

2

所以sinacosa=一，故選項(xiàng)A正確：

5

因?yàn)閟inacosa=—,ae[0,7c]所以sina>0,cosa>0,

9cR

又因?yàn)?sina+cosa)?=l+2sinacosa==，所以sina+cosa=也一，故選項(xiàng)B正確;

55

1sinacosa15上乙3TH-H山

因?yàn)閠ana+----------------n-------------------=—,故選項(xiàng)C錯(cuò)i天；

tanacosasinasinacosa2

由sina-cosa=@，sina+cosa=2^,所以0訪。=二^,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤;

555

故選：AB

【方法技巧】

(1)若已知角的象限條件，先確定所求三角函數(shù)的符號(hào)，再利用三角形三角函數(shù)定義求未知三角函

數(shù)值.

(2)若無(wú)象限條件，一般“弦化切”.

【變式6?1］若lan6=2,則sinO(cos。-sin〃)=.

7

【答案】-:/-04

sin^cos^-sin20_tan<9-tan20_2-22_2

[解析]由已知sine(cos9-sine)=sinOcosO-sin?0

sin26^4-cos20tan26^+122+15

故答案為：-彳2

sin0—2cos0sin5/9+cos<9

【變式6-2】已知=2,則

sin0+cos0IsinO+cos'e

47

【答案】

135

【解析】由嚶心呼=2可得sin/9=4os。，即tan8=T；

sinO+cosO

所以siife+cos。=(Hose):cose=."osW+cos。=-64cos2。+1

2sine+cos?2x(-4cos6)+cosV—8COS9+COSV—8+cos?夕

-64cos2^+sin2^+cos2^_-63cos2^+sin20_-63+tan20

-8(sin2^+cos2^)+cos2^-8sin?7cos沼-8tan20-1

-63+1647

將tan。=T代入計(jì)算可得3+鱉2。

-8tan2<9-7-8xl6-7-135

sin七+cos。_47

ZsinO+cos'。135

47

故答案為:

135

【變式6?3］（多選題）已知ae（O,兀），sina+cosa=裂，則下列結(jié)論中正確的是（）

5

?r3口2x/io

A.sin2a=——B.cosa-sina=------

55

4

C.cos2a=—D.tana=-3

5

【答案】AD

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,由sina+cosa=巫兩邊平方得：1+sin2a=］故得sin2a=-1,即A項(xiàng)正確;

555

對(duì)于選項(xiàng)B,由sin2a=2sinacosa=-1<0,?！辏?,九）可得：a兀）故sscrvsina,

由（cosa-sinaf=1-sin2a=g“J得：cosa—sina=-豆旦,故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

55

2

對(duì)于選項(xiàng)C,cos2a=cosa-sin-a=（sina+costz）（cosa-sina）=2^2.x（-^2.）=-1?故C項(xiàng)錯(cuò)誤;

Vio.3V10

snia+cosa=-----sina=------

對(duì)于選項(xiàng)D,由，‘L，可解得：',—，故得：lana=-3.故D項(xiàng)正確