第一章空間向量與立體幾何

一.空間向量的基本性質

1.空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向線段表示?同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不變性

2.空間向量的運算。

定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算如下（如圖）。

OB=OAA-AB=a-h,BA=OA-OB=a-btOP=GR)

運算律：⑴加法交換律：a-hb=b+a

⑵加法結合律：（五+B）+3=日+（5+乙）

⑶數(shù)乘分配律：A（a+h）=Aa+Ab

運算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則

3.共線向量。

（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量,

G平行于B,記作力〃匕。

（2）共線向量定理：空間任意兩個向量2、b（Bw。），石〃征存在實數(shù)人使五=入行。

（3）三點共線：A、B、C三點共線。＞45=4AC

＜=＞次二x3+y而（其中x+y=l）

（4）與。共線的單位向量為士告

a

4.共面向量

（1）定義：一般地，能平移到同一平面內的向量叫做共面向量。

說明：空間任意的兩向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果兩個向量日萬不共線，日與向量不下共面的條件是存在實數(shù)X,〉使

p=xa+yb

（3）四點共面：若A、B、c、P四點共面<=>AP=xA3+yAC

一麗=xOA+yOB+z沅（其中％+y+z=l）

5.空間向量基本定理：如果三個向量乙不共面，那么對空間任一向量力，存在一個唯一的有序

實數(shù)組x,yz,使力=xM+yB+z3。

T—?—*

若三向量2力忑不共面，我們把叫做空間的一個基底，叫做基向量，空間任意

三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底。

推論：設O,AB,C是不共面的四點，則對空間任一點P,都存在唯一的三個有序實數(shù)X，V，Z,

使OP=xOA+yOB+zOC。

6.空間向量的直角坐標系：

（1）空間直角坐標系中的坐標：

在空間直角坐標系°一孫z中，對空間任一點A,存在唯一的有序實數(shù)組（％y,z）,使

OA=xi+yi+zk,有序實數(shù)紅|（女,乂z）叫作向量4在空間百角坐標系。一勾立中的坐標.記作

A（x,y,z）,工叫橫坐標，y叫縱坐標，z叫豎坐標。

注：①點A（x,y,z）關于x軸的的對稱點為（x,y,z）,關于xoy平面的對稱點為（x,y,z）.即點關于什么軸/平面對

稱，什么坐標不變，其余的分坐標均相反。②在y軸上的點設為（0,y,0）,在平面yOz中的點設為（0,y,z）

（2）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1,這個基底叫單位正交基底，用｛,，/，a｝表示。

―.—>—?

空間中任一向量a=xi+yj+zk=（x,y,z）

（3）空間向最的直角坐標運算律:

①若2=（4，%，/），b=（b［也，4）,則a+Z?=（4+。％+4，%+4）,

ci—b—(①一"%一匕2，/—4),2〃—(/^,4。),/1%)(幾￡R),

a-b=01bl+02b2+03b§,

—>一.

a"b=%=〃>],%=?，生=AZ^(Ae7?),

—?—?

Q_Lbo岫+01bl+=00

②若A（Xi，X，zJ,5（w，%，22），則45=（%2一%，%一X，Z2-Z］）。

一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。

③定比分點公式：若A(X]j,Z]),?(x2,y2,z2),AP=APB,則點P坐標為

ZA.+y.+Zy9z.+x

(:J，：J，：「)。推導：設P(x,y,z)則

1+A1+2l+A

%+巳Z+Z2、

(4_%y_y,z_zj=x,y-y,z?-z),顯然,當為中點時,P(

A(X2-2PAB司產(chǎn)

2'2

④AA5c中，月^^y\,z^B(x2,y2,z2\C(x3,.y3,z3),三角形重心p坐標為

七十%+』3必+必+)'3Z+Z2+Z3

(3'2'2)

?△ABC的五心:

ABAC

內心P：內切圓的圓心,角平分線的交點。40=2（京+園（單位向量）

外門：外接圓的圓心，中垂線的交點。尸A=PB-\PC

垂心p：高的交點：PA?PB=PAPC=PB?PC（移項，內積為o,則垂直）

—1,—*

重心P：中線的交點，三等分點（中位線比）AP=-（AB+AC）

中心：正三角形的所有心的合一。

（4）模長公式:若〃=（%&,生）,方=（偽也也），

2.如圖，從A(1，。，。)、4(2,0,0)、Bi(0,1,0)>6(020)、C,(0,0,1),C2(0,0,2)這6個點中隨機選取3個點,

則這3點與原點。共面的概率為.

1.(多選)已知空間向量2=(1,T,2),則下列說法正確的是()

A.忖=#B.向量)與向量B=(—2,2,T)共線

C.向量方關于“軸對稱的向量為(1,1,-2)D.向量z關于yQz平面對稱的向量為

2.已知A(4」,3)、8(—2,T,3),則線段A8中點的坐標是.

題型二：空間向量加減運算

例2:1.如圖，設0A=a，OB=b，OC=c?若AN=NB?BM=2MCy則麗:()

A.匕+U-左1-1-?I-1-r1-1-1-r1-

B.—a—b+-cC.-a—b—cD.—a+-b+-c

263263263263

舉一反三

_____uuu

1.在長方體A4cO—A4G。中，設麗=￡,AD=b，A4,=c，若用向量￡、5、2表示向量40,則

AQ=?

題型三：空間共線向量

例3：1.向量4,5分別是直線4,4的方向向量,且1(1,35),否=(乂乂2),若//A，則()

1326315

A.-丁>f=5B.x=3,y=15c.x=—y=-D.x=—,y=一

22

舉一反三

1.已知1=(2,3,T),5=(2,0,4),c=(-4,-6,2),則下列結論正確的是().

A.a//c,b//cB.a/IbdieC.a//c,albD.以上都不對

題型四：空間共面向量

例4：1.已知M,A,B,。為空間中四點，任意三點不共線，＞OA/=-20A+x（）B+yOC,若M,A,

B,c四點共面，則x+y的值為（）

A.0B.1C.2D.3

舉一反三I

.已知向量￡=（2,x,4）,^=（0,1,2）,建（1,0,0）,若2，石，」共面,則『=.

題型五：空間向量的數(shù)乘運算

例5：1.如圖，在正方體43CQ-A4GA中，而=￡,AD=b，麗=鼠若E為。。的中點，尸在8。上,

且BF=3FD,則麗等于（）

B1—上C.匕」B+丈

A.

442442

舉一反三

1.已知長方體—若。為AG與AC的交點，則g（而+而+環(huán)）=AO.

題型六：空間向量的數(shù)普積

例6：1.（多選）已知，（1,0,1）,6=（-1,2,-3）,c=（2,-4,6）,則下列結論正確的是（）

A.albB.b//cC.伍。為鈍角D.3在￡方向上的投影向量為（4,0,4）

舉一反三]

1.已知。=（2,-1,3）,1=（122）.

⑴求他+9（2”5）的值;

（2）當時，求實數(shù)z的值.

題型七：空間中直線的方向向量

例7：1.直線/的一個方向向量為（423）,平面。的一個法向量為（2山），若Ua,則實數(shù)/=（)

38

A.-B.1C.-2D.——

23

舉一反三

1.有以下命題：

①一個平面的單位法向量是唯一的

②一條直線的方向向量和一個平面的法向量平行，則這條直線和這個平面平行

③若兩個平面的法向量不平行，則這兩個平面相交

④若一條直線的方向向量垂直于一個平面內兩條直線的方向向量，則直線和平面垂直

其中真命題的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

題型八：空間中平面的法相量

例八：1.已知平面-8C,福=（1,2,3）,而=（4,5,6）,寫出平面48。的一個法向量7=.

舉一反三

1.如圖，在棱長為3的止方體AbCD-A4G〃中，點M在棱上，且CM=2例G.以。為原點，D4,

DC,所在直線分別為x軸、了軸I、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

⑴求平面4A的一個法向量;

⑵求平面的一個法向量.

題型九：空間中的距離問題

例9：1.如圖，在邊長為3的正方體ABCO-AWGA中，產(chǎn)是棱人8上一點且AP=1,M是面48CC上的

點.一質點從點P射向點M,遇到正方體的面反射（反射服從光的反射原理），反射到點?！瓌t線段PM與用。

的長度之和為（）

A.>/6+x/T7B.3+V14C.屈D.572

舉一反三

1.如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，。為底面中心，M為50中點，動點P在圓錐底面

內（包括圓周）.若/W_LMQ,則點S與尸距離的最小值是.

1.用向量方法判定空間中的平行關系

⑴線線平行。設直線44的方向向量分別是2、人則要證明《〃小只需證明"〃石，即Z二痛（2￡/?）.

例1：若直線4,4的方向向量分別為-nJ）,%=（一；，*|），則心的位置關系是（）

A.垂直B.重合C.平行D.平行或重合

舉一反三：

（多選）已知力=（/1+1,0,2）,=（6,2//-1,22）,若J//5,則2與〃的值可以是（）.

A.2,JB.——,TC.—3,D.—3,2

232

⑵線面平行。設直線/的方向向量是平面。的法向量是「，則要證明/〃a，只需證明，即Z￡=0.

例2：如圖所示，正方體的棱長為4,M、N分別為A8和AC上的點，

則MN與平面BBCC的位置關系是.

舉一反三:

如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，ACLBC,AC=BC=BBi,。為A8的中點.試用向量的方法證明:

8G〃平面AC。.

⑶面面平行。若平面。的法向量為「，平面夕的法向量為％,要證a〃夕，只需證即證％=%。.

例3：如圖,已知棱長為4的正方體A8CD-4B/?；抑?M,N,E,尸分別是棱A/D,4向,DQ,BtCi

的中點，求證：平面AMNII平面打80.

舉一反三：

已知平面a的一個法向量為（3Z6/+6）,平面△的一個法向量為（2+1,3,22）,若?！ㄊ?，則％=

2.用向量方法判定空間的垂直關系

⑴線線垂直。設直線4,4的方向向量分別是2、〃，則要證明4，，2,只需證明即75=0.

例4：若直線4，4的方向向量分別為正=（2,-1,一1）,則這兩條直線（）

A.平行B.垂直C.異面垂直D.垂直相交

舉一反三：

設直線44的方向向量分別為Z=U2-2）出=（-2,3,m）,若處,則實數(shù)一等于（）

A.1B.2C.3D.4

⑵線面垂直

①（法一）設直線/的方向向量牯。，平面。的法向量是〃，則要證明/_La,只需證明?！ā?，即。二%〃.

一一一\ain=O?,

②（法二）設直線/的方向向量是。，平面a內的兩個相交向量分別為〃八〃，若_，則/JLa.

例5：若直線/的一個方向向量為￡=（-"」），平面。的一個法向量為b=（l「2，T）,則直線/與平面a的位

置關系是.

舉一反三：

如圖，在正方體ABC。-A同GR中，。是AC與BO的交點，M是cq的中點.求證：A。，立面MB。.

⑶面面垂直。若平面a的法向量為入平面夕的法向量為【要證a_L/,只需證》J_。，印證〉不=0.

例6：如圖，在直三棱柱ABC—44G中，ZABC=90°,BC=2,CC,=4,點E在棱8與上，EB.=1,。,

F,G分別為Cg,用G，AG的中點，E尸與四。相交于點〃.

⑴求證：4。_1平面48。.

⑵求證：平面EG77/平面A8D.

舉一反三：

已知平面。，夕的法向量分別為2=（3,-1,4）,v=（-2,3,-5）,貝］（）

A.a//pB.aLpC.a,/相交但不垂直D.a,夕的位置關系不確定

2.空間角的向量求法

⑴求異面直線所成的角

甌.叫

已知。涉為兩異面直線，A,C與B,D分別是上的任意兩點，。涉所成的角為2則COS8=

例1；（2018?全國高考真題（理））在長方體ABCD-ABCQI中，AB=BC=\,AA.=>/3,則異面直線4〃

與。4所成角的余弦值為

A.1B.叵C.在D,也

5652

舉一反三

1.（2022?福建龍巖?模擬預測）已知直三棱柱ABC-A4G的所有棱長都相等，加為AG的中點，則AM與

8G所成角的正弦值為（）

A.巫B.@C.用D.巫

3344

2.[2022?山西晉城?三模（文））在正方體ABC。-A4GA中，點〃是底面A8CO的中心，則直線與尸與AR

所成角的余弦值為.

⑵求直線和平面所成的角

求法：設直線/的方向向最為Z,平面a的法向量為力，直線與平面所成的角為e,Z與力的夾用為0,則

。為0的余角或0的補角

的余角.即有:sin9=|cos(p\

例2：（2022?全國?高考真題（理））在四棱錐尸-48CO中，也）_L底面

ABCD,CD〃AB,AD=DC=CB=T,AB=2,DP=6

⑴證明：AQ_LP4；(2)求PD與平面Q44所成的角的正弦值.

舉一反三

(2022?浙江?高考真題)如圖，已知A3CO和C。)都是直角梯形，AB//DC,LXJ//EF,48=5,ZX?=3,

EF=l,ZBAD=ZCDE=60°,二面角/一。。一3的平面角為60。.設M,N分別為AEBC的中點.

EF

AB

(1)證明：FN1AD；

(2)求直線BM與平面ADE所成角的正弦值.

⑶求二面角

二面角的平面角是指在二面角-力的棱上任取一點0,分別在兩個半平面內作射線

AOA.KBOA.I,則NAOB為二面角。一/一尸的平面角.

如圖：/\

\^-7

求法：設二面角憶Lmm-W面的法向量分別為正、K再設"；、

n的夾角為e，二面角。一/一夕

的平面角為0，則二面角。為〃7、〃的夾角0或其補角7T-(p.

根據(jù)具體圖形確定。是銳角或是鈍角：

?—??—?

tnnmn

如果。是銳角，則cos。=|cosw|=,UP=arccos；

mnmn

mnrn?n

如果，是鈍角，則cose=-|coso|=即夕=arccos

m\nmn

例3：(2022?全國?高考真題)如圖，直三棱柱的體積為4,△4"。的面積為2&.

⑴求A到平面ABC的距離；

⑵設。為AC的中點，A4=AB,平面A8C_L平面A84A，求二面角A-BO-C的正弦值.

舉一反三

(2022?全國?高考真題)如圖，P。是三棱錐P—A8C的高，PA=PB,AB1AC,E是/歸的中點.

⑴證明：。上〃平面PAC；

(2)若NA8O=NC8O=30。，PO=3,PA=5,求二面角。一AE—8的正弦值.

3.空間距離向量求法

⑴點Q到直線/距離

若Q為直線/外的一點，戶在直線/上，G為直線/的方向向量，h=PQ,則點Q到直線/距離為

h=-L^\a\\b\)2-(a-b)2

IaI

例1：(2022?山東?肥城市教學研究中心模擬預測)點A(2,1,1)是直線/上一點，3=(1,0,0)是直線/的一個方

向向量，則點PQ，2.0)到直線I的距離是.

舉一反三

2022遼寧省大連市三模)如圖，在正三棱柱中，若8旦=2及，48=2,則點。到直線4月的

距離為.

⑵點A到平面a的距離

若點P為平面a外一點，點M為平面a內任一點，平面a的法向量為［，則P到平面a的距離就等于M戶

在法向量［方向上的投影的絕對值.

n-MP

n

例2：（2022?河南鄭州?二模（理））如圖，在長方體ABCD-A/BGD中,AD=AA/=1,48=2,點E是棱

的中點，則點七到平面AC。/的距離為（）

二3D.

6

舉一反三

（2022?湖北?黃岡中學模擬預測（理））在棱長為1的正方體ABCD/b&GQ中，點4關于平面BDG對稱點為

M,則M到平面AiBiCiDi的距離為（）

⑶直線。與平面a之間的距離

當一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等。由此可知，直線