第三節(jié)動量與能量的綜合應用

【要點歸納】

一、碰撞

1.碰撞的特點

(1)時間特點：在碰撞現(xiàn)象中，相互作用時間很短.

(2)相互作用力的特點：在碰撞過程中物體間的相互作用力先是急劇增大，然后再急劇

減小，即相互作用力為變力，作用時間短，作用力很大，且遠遠大于系統(tǒng)的外力，即使系統(tǒng)

所受外力之和不為零，外力也可以忽略，滿足動量近似守恒的條件，故均可用動量守恒定律

來處理.

(3)在碰撞過程中，沒有其他形式的能轉化為機械能，則系統(tǒng)碰撞后的總機械能不可能

大于碰撞前系統(tǒng)的總機械能.

(4)位移特點：由于碰撞過程是在一瞬間發(fā)生的，時間極短，所以，在物體發(fā)生碰撞瞬

間，可忽略物體的位移，即認為物體在碰撞、爆炸前后仍在同一位置，但速度發(fā)生了突變.

2.碰撞過程應滿足的條件

(1)系統(tǒng)的總動量守恒.

(2)系統(tǒng)的機械能不增加，即Ek「+￡k2WEkl+Ek2.

(3)符合實際情況，如碰后兩者同向運動，應有v前“后，若不滿足，則該碰撞過程不

可能.

3.碰撞與爆炸的異同點

碰撞爆炸

碰撞過程中沒有其他形式的能轉化為機爆炸過程中往往有化學能轉化為

不同點

械能，系統(tǒng)的動能不會增加動能，系統(tǒng)的動能增加

時間特

相互作用時間很短

點

相互作

用力的特物體間的相互作用力先是急劇增大，然后再急劇減小，平均作用力很大

點

系統(tǒng)動系統(tǒng)的內力遠遠大于外力，外力可忽略不計，系統(tǒng)的總動量守恒

量的特點

位移特由于碰撞、爆炸過程是在一瞬間發(fā)生的，時間極短，所以，在物體發(fā)生碰撞、

點爆炸的瞬間，可認為物體在碰撞、爆炸后仍在同一位置

二、對心碰撞和非對心碰撞

1.對心碰撞：如圖所示，一個運動的球與一個靜止的球碰撞，碰撞之前球的運動速度

與兩球心的連線在同一條直線上，碰撞之后兩球的速度仍會沿著這條宜淺.這種碰撞稱為正

碰，也叫對心碰撞.

碰撞前碰撞后

對心碰撞

2.非對心碰撞：如圖所示，一個運動的球與一個靜止的球碰撞，如果碰撞之前球的運

動速度與兩球心的連線不在同一條直線上，碰撞之后兩球的速度都會偏離原來兩球心的連

線.這種碰撞稱為非對心碰撞.

碰撞前碰掉后

電對心碰撞

三、彈性碰撞和非彈性碰撞

1.彈性碰撞：如果碰撞過程中機械能守恒，這樣的碰撞叫做彈性碰撞，如圖所示碰撞

中，由動量守恒得/7/]V|=叫斤+機2y2'，由機械能守恒得;加1彳=%"產+%?2y2巴解得山'

2mi

/川+，〃2'"'"〃?[+機2,，

久以nJ2

〃〃〃〃〃源〃

77177T77J777/7777177177777777J7n7777r

(1)若〃?]=機2，則有*'=0，V2/=V1；

(2)若/川＞＞機2，則有訝'=也，不'=2次;

⑶若/川《〃?2，則有w'=一力，V2/=0.

2.非彈性碰撞：

⑴如果碰撞過程中機械能不守恒，這樣的碰撞叫做非彈性碰撞.

(2)若兩個物體碰撞時成為一個整體，即它們相對靜止，這樣的碰撞叫做完全非彈性碰

撞，如圖所示發(fā)生完全非彈性碰撞，則有動量守恒加］匕=(加］+加2)4碰撞損失機械能AE

=」“？2用此時動能損失最大.

四、碰撞中的臨界問題

相互作用的兩個物體在很多情況下可當做碰撞處理，那么對相互作用中兩物體相距恰

"最近''、相距恰"最遠”或恰上升至『'最高點''等一類臨界問題，求解的關鍵都是“速度相等”，

相當于完全非彈性碰撞模型.具體分析如下：

(1)如圖所示，光滑水平面.上的A物體以速度v去撞擊靜止的B物體，A、B兩物體

相距最近時，兩物體速度必定相等，此時彈簧最短，其壓縮量最大.

▲

AB

〃〃〃"，〃〃〃〃“〃〃?

(2)如圖所示，光滑水平面上有兩個帶同種電荷的物體4、B,當其中一個A以速度n向

靜止的另一個B靠近的過程中(設A、B不會接觸)，當兩者相距最近時，二者速度必定相

等.

⑶如圖所示，物體A以速度勺滑上靜止在光滑水平面上的小車從當A在4上滑

行的距離最遠時，4、B相對靜止，A、B兩物體的速度必定相等.

r-^-i%

(4)如圖所示，質量為M的滑塊靜止在光滑水平面上，滑塊的光滑弧面底部與桌面相切,

一個質量為機的小球以速度勺向滑塊滾來，設小球不能越過滑塊，則小球到達滑塊上的

最高點時(即小球的豎直速度為零)，兩物體的速度必定相等(方向為水平向右).

(5)如圖所示，光滑水平桿上有一質量為m的環(huán)，通過一長為L的輕繩與M相連,

現(xiàn)給M以瞬時水平速度勺.(設M上升最高不超過水平桿)，則M上升最高時，小、M速

（2）系統(tǒng)雖然受到外力作用，但內力遠遠大于外力，外力可以忽略，也可以用動量守恒

定律解決反沖運動問題.

（3）系統(tǒng)雖然所受外力之和不為零，系統(tǒng)的動量并不守恒，但系統(tǒng)在某一方向上不受外

力或外力在該方向上的分力之和為零，則系統(tǒng)的動量在該方向上的分量保持不變，可以用該

方向上動量守恒解決反沖運動問題.

2.在討論反沖運動時應注意以下幾點

（1）速度的反向性：若系統(tǒng)原來靜止，拋出部分具有速度時，剩余部分的反沖是相對于

拋出部分而言的，兩者速度方向相反.可任意規(guī)定某一部分的運動方向為正方向，列出動量

守恒方程.質量為M的物體以對地速度u拋出?個質量為，〃的物體，研究剩余部分（朋一M

對地反沖速度時，設I，的方向為正.

列出的方程式為〃八，十（M—〃?”=（）,得/=一^^~v.

ivl—m

由于M為待求速度，事先可小考慮其方向，由計算結果為負值，表小剩余部分的運或方向

與拋出部分速度方向相反.

由于我們己明確剩余部分與拋出部分反向，因此可直接列出兩部分動量大小相等方

程.即上例可列式為q二〃n

其中M為剩余部分的速率.

（2）速度的相對性

在反沖運動中，若已知條件是物體間的相對速度，利用動量守恒定律列方程時，應將相

對速度轉化為絕對速度（一設為對地速度）.

【夯實基礎練】

1.（2022?北京市中央民族大學附屬中學高三（下）2月檢測）兩個完全相同的質量均為“

的滑塊A和B,放在光滑水平面上，滑塊A與輕質彈簧相連，彈簧另一端固定在墻上。滑

塊B以％）的速度向滑塊A運動，如圖所示，兩滑塊相碰后起運動不再分開，下述正確的

是（）

C.兩滑塊相碰后一起運動過程中，系統(tǒng)動量守恒

D.兩滑塊（包括彈簧）相碰后一起運動過程中，系統(tǒng)機械能守恒

C.兩滑塊相碰過程系統(tǒng)動量守恒，兩滑塊碰撞后一起運動過程系統(tǒng)所受合外力不為零，

系統(tǒng)動量不守恒，c錯誤；

D.兩滑塊碰撞過程機械能不守恒，碰撞后兩滑塊一起運動過程中只布彈力做功，系統(tǒng)

機械能守恒，D正確。故選D。

【答案】D

B.若i，A=4.5m/s,v,B=3.5m/s,明顯VA“B不合理，選項B錯誤：

【答案】C

3.（2022?安徽師范大學附屬中學第五次綜合測試）如圖所示，。、人兩物塊質量均為1kg,

中間用一長1m的細繩連接，靜止在光滑的水平面上（小〃可視為質點），開始讓心〃挨在

一起，現(xiàn)用一水平恒力尸=2N作用在匕上，細繩可瞬間拉緊，則4s內恒力尸做功（）

A.14JB.15JC.16JD.17J

【答案】D

4.（2022?西南大學附屬中學校高三（下）全真二）（多選）如圖〃所示，質量分別為町、〃4

的兩物塊A、B間拴接一個被壓縮且鎖定的輕彈簧，整個裝置靜置于光滑水平地面上，其中

A與左側固定的擋板相接觸?，F(xiàn)解除對彈簧的鎖定，在A離開擋板后，B的速度隨時間變

化的圖像如圖〃所示，則］）

A.整個運動過程中，A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒

【解析】A.整個運動過程中，A、B組成的系統(tǒng)受到彈簧的彈力做功，系統(tǒng)機械能

不守恒，故A錯誤；

【答案】BD

5.（2022?湖南師范大學附屬中學二模）（多選）在冰壺比賽中，紅壺以一定速度與靜止在

大本營中心的藍壺發(fā)生對心碰撞，碰撞時間極短，如圖甲所示.碰后運動員用冰壺刷摩擦藍

壺前進方向的冰面，來減小阻力.碰撞前后兩壺運動的w圖線如圖乙中實線所示，其中紅

壺碰撞前后的圖線平行，已知兩冰壺質量相等，由圖象可得（）

A.碰撞后，藍壺經過5s停止運動

B.碰撞后，藍壺的瞬時速度為0.8m/s

C.紅藍兩壺碰撞過程是彈性碰撞

D.紅、藍兩壺碰后至停止運動過程中，所受摩擦力的沖量之比為1：2

【答案】AB

6.（2022?湖南省長沙市第?中學高三第三次月考）如圖所示，光滑的水平面上有兩個用

輕彈簧相連的小物塊A和B（質鼠均為加），B靠著固定擋板P,最初它們都是靜止的?，F(xiàn)正

對著A水平向左發(fā)射一顆質量為〃八速度為i，o的子彈，子彈射入A的時間極短且未射出，

子彈射入后再經時間/,擋板對B的彈力達到最大。則下列說法正確的是（）

A.子彈射入A的過程中，A與子彈組成的系統(tǒng)動量守恒，機械能也守恒

D.在時間/內，彈簧對A和子彈組成的系統(tǒng)的沖量大小為〃?也，方向水平向右

【解析】A.子彈射入A的過程中，子彈射入A的時間極短，彈簧對A與子彈組成

的系統(tǒng)沒有力作用，A與子彈組成的系統(tǒng)動量守恒，由于子彈和A有摩擦，機械能不守恒,

A錯誤；

C.在時間，內，B對地沒有位移，所以固定擋板尸對A、B以及彈簧組成的系統(tǒng)做功

為0,C錯誤；

【答案】D

【答案】A

7777777777777777777777

【答案】BC

9.（2022?陜西省西安中學高三（上）期中）（多選）質量為m的小球A以速度％在光滑水平

面上運動，與質量為2m的靜止小球B發(fā)生對心碰撞，則碰撞后A球的速度大小匕［和B球

的速度大小以可能為（）

【答案】AC

A.1.5JB.4.5J

C.3.0JD.6.0J

【答案】A

11.（2022?第六次月考）（多選）疫情期間，居家隔離，各種家庭游戲輪番上演，其中餐桌

“冰壺”游戲較為常見。設餐桌桌面長L=1.2m,在中央處放置一滑塊A,從桌邊處給另一滑

塊B一初速度，兩滑塊發(fā)生正碰，碰撞時其內力遠大于摩擦力，且碰撞能量無損失，碰后

兩滑塊恰好都停在餐桌選，設兩滑塊的運動方向沿臬氏方向且在一條直線上（如圖為俯視

圖），滑塊可視為質點，兩滑塊與桌面間的動摩擦因數(shù)〃=01，g取lOm/s?,則以下說法正確

的（）

A.滑塊A與滑塊8質量之比為3：1

B.滑塊B的初速度大小為遙m/s

C.碰撞后兩滑塊在滑動過程中摩擦力的沖量大小相等

D.若滑塊A的質量為】kg,兩滑塊與桌面間因摩擦產生的內能為3J

【答案】AB

12.（2022?湖北省圓創(chuàng)聯(lián)考高三（下）第二次聯(lián)合測評）如圖所示，兩單擺擺長相同，平衡

時兩擺球剛好接觸，現(xiàn)將擺球A、B在兩擺球所在平面為向左、右拉起至高度心、而后釋

放，兩小球恰在最低點發(fā)生彈性碰撞；碰撞后，擺球A擺回到最高點的高度仍然為心。擺

球A、B的質量分別為2陽、3m,則A：加等于（）

【答案】A

13.（2022?河南省南陽市第一中學校高三（上）第三次月考）如圖所示，小球A質量為加，

系在細線的一端，線的另一端固定在。點.。點到水平面的距離為小物塊8和C的質量

均為3/〃，3與C用輕彈簧拴接，置于光滑的水平面上，4物體位于。點正下方.現(xiàn)拉動小

球使細線水平伸直，小球由靜止釋放，運動到最低點時與物塊B發(fā)生彈性碰撞（碰撞時間極

短），小球與物塊均視為質點，不計空氣阻力，重力加速度為g,則下列說法正確的是（）

A.碰后小球4反彈離地面的最大高度為人

一

【答案】C

14.（2022?福建師范大學附屬中學高三（下）開學考試）（多選）如圖所示，質量為M的木板

靜止在光滑水平面上，木板左端固定一輕質擋板，一根輕彈簧左端固定在擋板上，質量為〃?

的小物塊從木板最右端以速度W滑上木板，壓縮彈簧，然后被彈回，運動到木板最右端時

與木板相對靜止。已知物決與木板之間的動摩擦因數(shù)為*,整個過程中彈簧的形變均在彈性

限度內，則（）

A.運動過程中〃?、M和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒

【解析】A.滑塊在木板上運動的過程中，因為摩擦，所以系統(tǒng)機械能減小，故A錯

誤。

【答案】BD

15.(2022?山東省濟南市高三(上)期末)(多選)如圖所示，金屬塊內有一個半徑為R的光

滑圓形槽，金屬塊放在光滑水平面上且左邊挨著豎直墻壁。一質量為m的小球從離金屬塊

左上端R處靜止下落，沿圓槽切線方向進人圓槽內，小球到達最低點后繼續(xù)向右運動，恰

好不能從圓形槽的右端沖出。已知重力加速度為g,不計空氣阻力。下列說法正確的是()

A.小球第一次到達最低點時，小球對金屬塊的壓力大小為5〃吆

B.金屬塊的質量為m

【答案】ABD

(1)彈簧的最大彈性勢能是多少？

(2)從小物塊滑上平板到彈簧第一次壓縮到最短的過程中，彈簧彈力的沖量大小是多

少？(結果可以保留根式)

【解析】(I)彈簧的彈性勢能彳最大時，質點與平板達到共同速度v,

質點從B點開始壓縮彈簧，到彈簧被壓縮到最短的過程中，

(1)滑塊通過B點時受到的軌道的支持力大小后

(2)滑塊從人端運動到沙面所用的時間/；

(3)滑塊從A端開始到與沙車相對靜止的過程中，系統(tǒng)產生的熱量Q。

(3)滑塊陷入沙車的過程中，系統(tǒng)水平方向動量守恒，設滑塊與沙車相對靜止時的速度

大小為V，

18.(2022?云南省昆明市第一中學高三(下)第八次適應性訓練)豎直面內有一傾角，為

30。的光滑長木板與水平地面通過一小段光滑圓弧軌道平滑連接，質量/H2=2kg的小物塊B

靠近木板的末端靜止于水平地面上，如圖所示，某時刻，質量如=lkg的小物塊A在木板頂

端由靜止開始下滑，一段時間后與B發(fā)生.碰撞，碰撞沒有能量損失。木板長L=0.9m,小物

塊A、B與地面間的動摩擦因數(shù)均為〃=0.5,不計空氣阻力，取重力加速度g=10m/s2。求：

(DA與B物塊碰撞后能返回到木板的最大高度；

(2)兩物塊在水平地面上的最終距離。

【答案】(l)0.05m：(2)0.3m

19.(2022?天津市耀華中學高三(上)第三次月考)如圖所示，在光滑水平桌面E/W上有質

量為M=0.2kg的小球P和質量為加=0.1kg的小球Q,P、Q之間壓縮一輕彈簧(輕彈簧與

兩小球不拴接)，桌面邊緣E處放置一質量也為，〃=0.1kg的橡皮泥球5,在8處固定一與水

平桌面相切的光滑豎直半圓形軌道。釋放被壓縮的輕彈簧，P、。兩小球被輕彈簧彈出，小

球戶與彈簧分離后進入半圓形軌道，恰好能夠通過半圓形軌道的最高點C;小球Q與彈簧

分離后與桌面邊緣的橡皮泥球S碰撞后合為一體飛出，落在水平地面上的。點。己知水平

桌面高為h=0.2m,D點到桌面i力緣的水平距離為工=0.2m,重力加速度為g=10m/s2,求：

(I)小球P經過半圓形軌道最低點B時對軌道的壓力大小

(2)小球Q與橡皮泥球S碰撞前瞬間的速度大小也；

(3)被壓縮的輕彈簧的彈性勢能EPo

由牛頓第三定律有M/=M=12N

(2)設Q與S做平拋運動的初速度大小為v,所用時間為/,

碰撞前后Q和S組成的系統(tǒng)動量守恒，則有/?ve=2/wv,解得i，0=2m/s

(3)/\。和彈簧組成的系統(tǒng)動量守恒，則有Mi6="叱，解得up=lm/s

【答案】(1)12N；(2)2m/s；(3)0.3J

20.(2022?重慶市育才中學高三(下)入學考試)如圖所示，滑板B靜止在光滑水平面上，

其右端與固定臺階相距x，與滑塊A(可視為質點)相連的輕繩一端固定在。點，A靜止時緊

靠在B的左端斜上方。一子彈以水平向右速度出擊中A后留在A中(此過程時間極短)，擊

中后輕繩給好被拉斷，輕繩斷開后A立即滑上B的上表面。已知了彈的質量為〃『0.02心，

水平速度yo=lOOin/s,A的質量/〃A=0.48kg,繩子長度L=0.2/〃，B的質量/”B=L5kg,A、B

之間動摩擦因數(shù)為〃=0.6,B足夠長，A不會從B表面滑出；B與臺階碰撞無機械能損失，

不計空氣阻力。重力加速度為g=10m/s2。求：

o

(I)輕繩能承受的最大拉力的大?。?/p>

(2)若A與B恰好共速時B與臺階碰撞，則滑板B右端與固定臺階相距x為多少；

(3)若x取第(2)中的值，則子彈的速度為多少時，B與臺階僅相碰兩次。

【解析】⑴子彈擊中A過程中動量守恒，可得

(2)子彈、A與B剛好共速時，由動量守恒可得("?+mA)um=(W+ITIA+WB)V共2

B與臺階碰撞后速度大小不變，故每次相碰臺階對B的沖量大小Z=2Z；B

對子彈、A和B組成的系統(tǒng)而言，系統(tǒng)總動量pxi=wvr=(//:+mA)v共3

B與臺階每相碰一次.臺階對系統(tǒng)的改變?yōu)?〃B.當系統(tǒng)的總動最向左時，

B不再與臺階相碰，故B與臺階相碰兩次的條件是，發(fā)生一次碰撞2〃BV〃八一

發(fā)生兩次碰撞4PB2""于，解得150m/s<vr<300m/s

(1)滑椅滑到圓弧軌道最低點時對軌道的壓力大?。?/p>

(2)滑椅滑上A后經多長時間不再相對A滑動；

(3)若滑塊A至少多長才能滿足要求。

由牛頓第三定律可知，滑椅對軌道的壓力大小為2〃若

(2)滑板A右端與固定擋板。碰撞前瞬間，設游客與滑椅的速度為力，滑板A的速度為

也，

22.(2022?遼寧省實驗中學、東北育才學校等五校高三(上)期末聯(lián)考)如圖所示，傾角為

夕=30。的足夠長斜面固定在水平面上，斜面上放有一長為L的“型木板，木板的質量為3加。

質量為〃？的小物塊置于木板的上端，小物塊與木板間的摩擦可忽略不計，木板與斜面之間

的動摩擦因數(shù)〃=立。將小物塊和木板由靜止釋放，重力加速度大小為g，最大靜摩擦力

4

等于滑動摩擦力，小物塊與木板發(fā)生的碰撞為彈性碰撞，求:

L

⑴小物塊第一次與木板碰撞前瞬間的速度VI；

（2）小物塊第二次與木板碰撞前瞬間的速度V2O

【解析】（1）釋放后，木板受到的最大靜摩擦力為/,重力沿斜面的分力為

⑵設第一次碰撞后，小物塊和木板的速度分別為片和M,

從第一次碰撞完成到第二次碰前，所經歷的時間為4,物塊和板位移相等，

23.（2022?沈陽市第二中學高三（上）二模汝□圖所示，一輕彈簧的兩端分別與質量為2〃?、

3相的B、C兩物塊固定述接，放在在光滑水平面匕開始時物塊C被鎖定。另一質曷為〃?

的小物塊A以速度即與B發(fā)生彈性正碰（碰撞過程中沒有機械能的損失，碰撞時間極短可忽

略不計）。當彈簧再次恢復原長時物塊C的鎖定被解除，所有過程都在彈簧彈性限度范圍

內.求：

<—

口上眼宓」....|1[

⑴彈簧第一次被壓縮至最短時彈簧的彈性勢能：

（ii）彈簧第一次伸長到最長時彈簧的彈性勢能。

可知：A與B碰后A被彈回，B向左運動壓縮彈簧.

（ii）當彈簧恢復原長，物塊C剛解除鎖定時，物塊B剛好以等大的速度被彈問.

以物塊B、C和彈簧組成的系統(tǒng)，

24.（2022?華南師范大學附屬中學1月模擬考試）如圖所示，光滑細管ABC,A8內有一

壓縮的輕質彈簧，上方有一質量，〃尸0.01心的小球1；8c是半徑R二hn的四分之一圓弧細

管，管口。的切線水平，并與長度L=lm的粗糙直軌道8平滑相接，小球與CO的滑動摩

擦系數(shù)"=0.3.現(xiàn)將彈簧插銷K拔出，球1從管口。水平射出，通過軌道CO后與球2發(fā)生

彈性正碰.碰后，球2立即水平飛出，落在E點.球I剛返回管口C時恰好對管道無作用

力，若球1最后也落在E點.（球I和球2可視為質點，g=10m/s2）求：

(1)碰后球1的速度、球2的速度

(2)球2的質量

由于管道光滑，根據(jù)能量守恒，球1以速度W2從管口。出來

(2)1、2兩球在。點發(fā)生彈性正碰，由題可知碰后球I的速度向左

25.(2022?北京市中央民族大學附屬中學高三(下)2月檢測)如圖所示，在距水平地面高

/z=0.80m的水平桌面左邊緣有一質量/??A=1.0kg的物塊A以vo=5.Om/s的初速度沿桌面運動,

經過位移產1.8m與放在臬面右邊緣。點的物塊B發(fā)生止碰，碰后物塊A的速度變?yōu)?,物

塊B離開桌面后落到地面上。設兩物塊均可視為質點，它們的碰撞時間極短，物塊A與桌

面間的動摩擦因數(shù)4=0.25,物塊B的質量/WB=1.6kg,重力加速度g=10m/s2。求：

(1)兩物塊碰撞前瞬間，物塊A的速度大小VA；

(2)物塊B落地點到桌邊緣O點的水平距離x；

(3)物塊A與B碰撞的過程中系統(tǒng)損失的機械能E。

【解析】⑴物塊A沿桌面滑動所受摩擦力片⑺黑

做勻減速運動的加速度大小a="g=2.5m/s2

22

對于碰撞前物塊A的運動，根據(jù)運動