§8.5橢圓

【考試要求】1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對

稱性、頂點(diǎn)、離心率）.3.掌握橢圓的簡單應(yīng)用.

【知識梳理】

1.橢圓的定義

把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)行的距離的和等于常數(shù)（大于IFBI）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個定

點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的廢蹈.

2.橢圓的簡單幾何性質(zhì)

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

圖形r_JL

標(biāo)準(zhǔn)方程￡+方=1(。>〃>0)%+方=13*0)

范圍-aWxWa且-一WyW〃一〃WxW力且一〃WyWa

4(-4,0),。2(〃.0)，4(0,-a),小(0，。)，

頂點(diǎn)

gi(0,~b),B2(0>b)Bi(—5,0),SOO)

軸長短軸長為功，長軸長為額

焦點(diǎn)&(一々0),a(乙0)&(0,—0),2(0,°)

焦距|Fi^|=2c

對稱性對稱軸：大軸和y軸,對稱中心：原點(diǎn)

離心率e=^0<e<\)

a,b,c的關(guān)系〃2=一十一

【常用結(jié)論】

橢圓的焦點(diǎn)三角形

橢圓上的點(diǎn)P（x（），m）與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△尸人乃叫做焦點(diǎn)三角形.如圖所示，設(shè).4FH

(3)|PFl|ma、=a+c,|PF||min=?！狢.

（4）|尸川尸尸----2----J~=^~-

2

（5）4?=|PFiF+|PF2|-2|PF|||PF2|COS0.

⑹焦點(diǎn)三角形的周長為2g+c）.

【思考辨析，

判斷下列結(jié)論是否正確（請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“x”）

（1）平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)R,后的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的枕跡是桶圓.（X）

（2）桶圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.（J）

22

（3點(diǎn)+，=1（mW〃）表示焦點(diǎn)在），軸上的橢圓.（X）

（4）橢圓的離心率e越大，輔圓就越圓.（X）

［教材改編題1

1.橢圓器+蕓=1上點(diǎn)尸到上焦點(diǎn)的距離為4,則點(diǎn)P到下焦點(diǎn)的距離為（）

A.6B.3C.4D.2

答案A

o2

解析由橢圓方程存+*=1,得?2=25,即4=5,設(shè)下焦點(diǎn)為F,,上焦點(diǎn)為F”則伊川

+仍問=%=10,因?yàn)槿詥?4,所以|PR|=6,即點(diǎn)P到下焦點(diǎn)的距離為6.

2.已知橢圓C：%+，=1的一個焦點(diǎn)為（2,0）,則C的離心率為（）

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案C

解析由已知可得從=4,c=2,則a2=〃2+c2=8,所以a=2也，

則離心率6=》=手.

3.若橢圓C3+9=1，則該橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為（）

A.3B.2+小

C.2D.eq+1

答案A

解析由題意知。=2,b=事,所以。=1,則橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為〃+c=3.

題型一橢圓的定義及其應(yīng)用

例1（1）（2022?麗江模擬）一動圓P與圓4：。+1）2+產(chǎn)=1外切，而與圓B：（刀-1）2+,2=64

內(nèi)切，那么動圓的圓心P的軌跡是（）

A.橢圓B.雙曲線

C.拋物線D.雙曲線的一支

答案A

解析設(shè)動圓P的半徑為r,

又圓A:(x+1)2+)2=1的半徑為I,圓B：(%—1)2+尸=64的半徑為8,

則|以|=,+1,|尸用=8一r,

可得|RM+|P8|=9,又9>2=|A8|,

則動圓的圓心。的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)、,長軸長為9的橢圓.

則△PQF2的面積為

答案羋

解析方法一由題意知，c=yja2—4.

又NFIPF2=60。，|PFI|+|PF2|=2〃,

|尸產(chǎn)2|=2，。2-4,

22

JIQF2|=(|PFII+|PF2|)-2|PFI\\PF2\~21PA||P&|cos600

=4〃-3|PFI||P&|=4/-16,

.,.|PF1||PF2|=—,

4s

3.

延伸探究若將本例⑵中“NQP&=60?！备某伞癙FiLPF?”，求APFiB的面枳.

解???PRJ_PB,

2222

/.|PFI|+|PF2|=|FIF2|=4(?-4)

=4a2—16,

又|PR|+|PF2l=2a,仍加2+儼臼2=(上川+儼匕|)2—2儼F：||P尸2I，

???|尸胤歸同=8,

思維升華橢圓定義的應(yīng)用技巧

(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求焦點(diǎn)三角形的周長、面積及求弦長、最值

和離心率等.

(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長和面積問題.

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知△ABC的周長為12,8(0,-2),Q0,2),則頂點(diǎn)人的軌跡方程為()

A.eq+^=1(x^0)

Beq+左=1()，W0)

解析由題意|PR|+|PF2|=2|FEI=8=2a,故。=4,又c=2,則8=2小，

焦點(diǎn)在），軸上，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

命題點(diǎn)2待定系數(shù)法

例3已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)Pi（而，1）,P2（—小，f），

則該橢圓的方程為.

答案卷+9=1

解析設(shè)橢圓的方程為〃?『+〃）?=心0,且〃?W"）.

將外，P2代入方程，

[6加+〃=1,

得

[3m+2〃=1,

所以橢圓的方程為5+m=1.

思維升華根據(jù)條件求精圓方程的主要方法

（1）定義法：根據(jù)題目所給條件確定動點(diǎn)的就跡滿足橢圓的定義.

（2）待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的出〃.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個坐標(biāo)軸上時，

1

一般可設(shè)所求桶圓的方程為nvr4-ny=1（/?z>0,H>0,in^n）f不必考慮焦點(diǎn)位置，用待定系

數(shù)法求出/〃，〃的值即可.

跟蹤訓(xùn)練2⑴“YK5”是方程“￡+￡=1表示桶圓”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析當(dāng)方程式/七J=1表示橢圓時，必有<5一心>0,所以14V5且％#3,

k-15-k

.IW5一鼠

當(dāng)1<上5時，該方程不一定表示橢圓，例如當(dāng)左=3時，方程變?yōu)镕+y2=2,它表示一個圓，

即是“方程廠、+工：=1表示橢圓”的必要不充分條件.

K—IJ—K

（2）（2022?南京師大附中模擬）已知過橢圓5+方=1（36>0；的左焦點(diǎn)”一1.0）的直線與梢圓交

于不同的兩點(diǎn)A，B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)C,Q是線段4B的三等分點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程是（）

B.eq+：=1

2

C.cq+2-=1D.eq+]=1

答案B

解析如圖，不妨設(shè)4沏，和）在第一象限，由橢圓的左焦點(diǎn)K（一1,0）,點(diǎn)C,F]是線段48

的三等分點(diǎn)，

得C為AQ的中點(diǎn)，/1為5c的中點(diǎn)，

所以AO=1,

所以5+￡=1，

解得泗=6，即4（1，9，

所以40，紈8（-2,-Q,

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入橢圓方程得方+方=1,

即今+卷=1，

結(jié)合/一力2=^=],解得.2=5,方2=4,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1+9=1.

題型三橢圓的幾何性質(zhì)

命題點(diǎn)I離心率

2,＞

例4⑴（2022?太原模擬）設(shè)R,B是橢圓E：￡+方=1佃＞加＞0）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)Q且斜

率為尊的直線交橢圓于點(diǎn)P,若2NPFIF2=NPBFI，財(cái)橢圓月的離心率為（）

A.eq+1B.eq—1

C.eqD.eq

答案B

解析因?yàn)檫^點(diǎn)R且斜率為坐的直線交橢圓于點(diǎn)P,且2/尸*曰=/尸人~,則有NPQB

=30°,ZPF2FI=60°,

因此，在△尸中，NF"=90。,令橢圓半焦距為c,于是得|PFi|=|FiF21cos30。=#,，

I尸尸2l=|FiF+sin3()o=c,

由橢圓定義得2a=\PF{|+|PBI=(6+1)c,則6=￡=存3=小一1，

所以橢圓E的離心率為小一1.

(2)(2022?全國甲卷)橢圓C：「+:=1(?歷＞0)的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)R。均在。上，且關(guān)于y軸

對稱.若直線ARAQ的斜率之積為"，則。的離心率為()

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案A

解析設(shè)P(m,〃)(〃W0),

則Q(一〃2,〃)，易知4(—a,0),

—,,〃〃H21…

所以kAP-kAQ=m+a_/n^a=y^=^)

因?yàn)辄c(diǎn)尸在橢圓。上，

所以務(wù)+方=?,得/=*(/一〃?2),

代入(*)式，得

所以e=.正耳彎.

思維升華求楠圓離心率或其范圍的方法

⑴直接求出a,c,利用離心率公式。=￡求解.

(2)由a與〃的關(guān)系求離心率，利用變形公式求解?.

(3)構(gòu)造a,c的方程.可以不求出a,c的具體值，而是得出〃與。的關(guān)系，從而求得e.

命題點(diǎn)2與橢圓有關(guān)的范圍(最值)問題

92

例5(l)Q023?長沙模擬)已知B，B為橢圓宗+方=1(。＞〃＞0)的左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心率

為1,M為橢圓上一動點(diǎn)，則的最大值為()

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案A

解析如圖所示，當(dāng)點(diǎn)M為橢圓的短軸頂點(diǎn)時，NRMB最大,

y

F,OFJx

：,\MO\=b,|MBI=a,\OF^=c,

IOgIc1

/.sinZOMF2=f

\MF2\~a~2

J/0"尸2=看，

jr

故NF|MF2=§,

所以/QMB的最大值為全

(2汝口圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢尾+5=130)的離心率ejF,A分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右

頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則而?謖的最大值為.

答案4

解析由題意知4=2,因?yàn)?/p>

所以C=l,所以。2=〃-d=3,

故橢圓的方程為9+9=1.

設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(xo,>'o)?—2WM>W2,一小WyoW小,

代入寧+餐=1,得｝3=3一%

因?yàn)槭?一1,0),42,0),

所以PF=(—1—必，—yo),PA=(2—,vo,—yo),

所以蘇?就=高一xo—2+〉$=%%—沏+1=1(.vo—2)2,

所以當(dāng)刈二-2時，際?前取得最大值4.

思維升華與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法

(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì).

(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù).

(3)利用不等式，尤其是基本不等式.

跟蹤訓(xùn)練3⑴（2023?鎮(zhèn)江模擬）已知橢圓E：5=1（心力》0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸I，B，

上頂點(diǎn)為A,射線AQ父橢圓E于點(diǎn)B,以AB為直徑的圓過B，則橢圓E的離心率是（）

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案D

解析由題意|AQ|=HF2l=a

設(shè)|引用=/,則出廠2|=2〃一人

乂以A8為直徑的圓過F2,

所以Ag_L8F2,

所以a2+（2d—z）2=（?+/）2.

解得『打2

4

所以陽五2|=孕/,

在△4KF2和中，由余弦定理得

4

4+-22

916

9U

C

因?yàn)镹ARB+ZBFIF2=180°,

所以cos/AQB+cosNB肌乃=0,

__(?.3c2-a2

整理得標(biāo)=5。2,

所以&=尸亭

I*J

922

（2）已知橢圓,+3=13＞力＞0）的右焦點(diǎn)為“,0）,上頂點(diǎn)為A（0,b）,直線上存在一點(diǎn)

P滿足（成+茂）?和=0,則橢圓的離心率的取值范圍為（）

A.eqB.eq

C.eqD.eq

答案C

解析取"的中點(diǎn)Q,貝噸=；（而+應(yīng)），

所以（崩+成）?崩=2的第=0,

所以FQ_LAP,所以廠戶為等腰三角形，

即|網(wǎng)=尸。|,且I用=卡”=〃.

2

因?yàn)辄c(diǎn)P在直線上，

V

所以田P|2?-c,即a》?一c,

V-V

所以所以i+e—l》。，

VV

解得印或

又OVeVl,故，2LeVl.

課時精練

過基礎(chǔ)保分練

1.（2023?昆明模擬）已知橢圓3+六1的兩個焦點(diǎn)為昌，F(xiàn)?,過B的直線交橢圓于M,N兩

點(diǎn)，則△QMN的周長為（）

A.2B.4C.6D.8

答案D

解析由,+勺=1得4=2.

因?yàn)镸,N是橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn),,B是橢圓的焦點(diǎn)，

所以|M"]|+|MF2l=2a,|NQ|+WBI=2a,

因此△FiMV的周長為|MA|+|MN+WR|=|MFi|+|MF2|+|NF2|+|NQ|=2a+%=4a=8.

MV21

2.（2022?全國甲卷）已知橢圓C：滔+/=1（〃＞。＞0）的離心率為4,4分別為C的左、右

頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn).若麗?就=-1,則C的方程為（）

C.eq+'=1D.eq+)2=1

答案B

解析依題意得4(一40),43,0),8(0,b),

所以B4i=(—a,—b),BA2=(a,~b)>

BAiBA2=—a2-\-b2=—(a2—b2)=—c1=—\,故c=l,

又C的離心率e=-=-=3?

所以。=3,々2=9,/?2=?2—C2=8,

所以C的方程為菅+《=1.

Vo

3.（2022?貴陽模擬）已知為，乃是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，。是C上一點(diǎn)，且NRP&=30。，|PP||

=小儼色|，則橢圓C的離心率為（）

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案B

解析令則上人|=小加，

???|PR|+1尸刑=（5+1麗=2a,

（小+l）m

得。=2，

又由余弦定理知,（20）2=（小〃1）2+加2—2.小〃LCOS300,

即4（?=m2,

:?m=2c,得c=E，

._c_____m_____y[3—\

?"廠（4+1加=2-

?2

4.（2023?濮陽模擬）已知橢圓C：，+%=1（。9>0）的左、右焦點(diǎn)分別為R,B，直線.尸匕（Q0）

與。交于M,N兩點(diǎn)（其中M在第一象限），若M,R,M尸2四點(diǎn)共圓，則C的離心率e的

取值范圍是（）

A.eqB.eq

C.eqD.eq

答案A

解析設(shè)橢圓的半焦距為c,

由橢圓的中心對稱性和M,Q,N,尸2四點(diǎn)共圓，

知四邊形A/F1NF2為矩形，

所以以尸1尸2為直徑的圓與橢圓C?有公共點(diǎn)，

2222

貝ijc>b,即c>b=a-c1

所以2/>/,

故乎vevl.

5.（多選）（2022?重慶模擬）如圖所示，用一個與圓柱底面成｛0<夕<9角的平面截圓柱，板面是

一個橢圓.若圓柱的底面圓半徑為2,3~則下列結(jié)論正確的是（）

A.橢圓的長軸長等于4

B.橢圓的離心率為乎

C.橢圓的標(biāo)港方程可以是普+?=1

D.橢圓上的點(diǎn)到一個焦點(diǎn)的距離的最小值為4-2小

答案CD

解析設(shè)橢圓的長半軸長為。，短半軸長為乩半焦距為c,橢圓長軸在圓柱底面上的投影為

圓柱底面圓直徑，

7T4

則由截面與圓柱底面成銳二面角。=1得24=7^萬=8,解得。=4,A不正確；

顯然/?=2,貝ij〃=24,離心率6=^=坐，B不正確；

當(dāng)以橢圓長軸所在直線為y軸，短軸所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程為c正確；

橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為〃一。=4一2小，D正確.

6.（多選）（2022?白山模擬）橢圓C：彳+）2=1的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)?,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以

下四個命題中正確的是（）

A.若過點(diǎn)尸2的直線與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，則△ABE的周長為8

B.橢圓。上存在點(diǎn)P,使得麗?麗=0

C.橢圓C的離心率為3

2

D.若夕為橢圓方+產(chǎn)=1上一點(diǎn)，Q為圓f+）2=l上一點(diǎn)，則點(diǎn)P,Q的最大距離為3

答案ABD

解析由橢圓C:，+）2=1得，=%序=],，=<?—護(hù)=3,

過點(diǎn)F2的直線與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，則的周長為4a=8,故A正確；

因?yàn)閏>A,所以以原點(diǎn)為圓心，以c為半徑的圓交），軸于短軸頂點(diǎn)的外部，所以存在點(diǎn)P,

使得NQPB=900,即使得西?麗=0,故B正確；

橢圓C的離心率0=?=乎，故C錯誤；

因?yàn)椤闄E圓，+)2=1上一點(diǎn)，。為圓F+y2=l上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P,。的坐標(biāo)為尸(2,0),Q(一

1,0)或男一2,0),Q(1,0)時，點(diǎn)尸，。的距離最大，|PQ|x=2+l=3,故D正確.

7.(2022?天津模擬)已知3(一小，0)是圓A：。一小產(chǎn)+產(chǎn)=16內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)。是圓A上任意一

點(diǎn)，線段BC的垂直平分線與AC相交于點(diǎn)D則動點(diǎn)D的軌跡方程為.

答案j+y2=l

解析如圖，連接出題意得仍Q=|CQ,則|8Q+|/M|=|CD|+|D4|=4>24=依陰，

由橢圓的定義可得動點(diǎn)。的軌跡為橢圓，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±小，0),長半軸長為2,

故短半軸長為1,故動點(diǎn)。的軌跡方程為，+產(chǎn)=1.

8.(2023?平頂山模擬)已知橢圓C的一個焦點(diǎn)為尸(0,1),橢圓C上的點(diǎn)到F的距離的最小值

為I，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為;若尸為橢圓。上一動點(diǎn)，M(3,3),則IPM-IPQ

的最小值為.

答案［+9=11

解析因?yàn)闄E圓C的一個焦點(diǎn)為"0」)，所以橢圓C的焦點(diǎn)在1y軸上，且。=1,

因?yàn)闄E圓C上的點(diǎn)到產(chǎn)的距離的最小值為1,所以。-c=l,得a=2,

29

因?yàn)閺?a2—d=3,所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為亍+,=1；

將M(3,3)代入橢圓方程，得予+,=3>1,所以用點(diǎn)在橢圓外，

如圖所示，設(shè)橢圓C的另一個焦點(diǎn)為尸，

則IPQ+IP尸1=4,

所以儼用1一仍/*1=18切+1戶戶'1一4.

當(dāng)F',P,M三點(diǎn)共線時，IPM+IP尸I取得最小值,

且最小值為IMF'|=4(3-0)2+(3+==5,

所以IPM-IPF1的最小值為1.

72

9.已知橢圓C：>+方焦點(diǎn)B(一G。)，尸2(c,0)，左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,

c),A到直線的距離為坐〃.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)若P為橢圓C上的一點(diǎn)，ZFIPF2=60°,△尸F(xiàn)1F2的面積為小，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解(1)由題意得，4?,0),

直線￡6的方程為x+)，=c,

因?yàn)锳到直線E巳的距離為坐仇

即［；+：］=坐〃，所以4+。=小仇

即3+。)2=3乂，又/=層一/,

所以3+c)2=3(a2—C2),

所以2/+〃(:一"=0,

即2/+e—I=0,

解得e=J或e=-1(舍)，

所以橢圓c的離心率為;.

(2)由(1)知離心率e=B=J，即a=2c,①

c<乙

因?yàn)?尸1尸尸2=60。，的面積為，5,

則梟K||P&|sin60。=小，

所以仍右歸尸2|=4,

「PQI+IP尸d=2a,

由方程組,,,

222

|PFi|+|PF2|~2\PFI||尸Blcos60°=(2c),

得/一。2=3,②

聯(lián)立①②得a=2,c=l,所以/=/一/=3,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為9+￥=1.

10.已知K，&是橢圓的兩個焦點(diǎn)，。為橢圓上一點(diǎn)，ZF1PA'2=6O°.

(1)求橢圓的離心率的取值范圍；

⑵求證：尸尸2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).

⑴解不妨設(shè)橢圓的方程為《+￡=1(心力>0),焦距為2c.

在中，由余弦定理得,

“、。IPBF+I尸BF—IMBF

COS60

-2|PFI|-IPF2I

_（『居|+伊巳|）2—2儼人卜仍尸2|一尸色|2

2|PFI||PF2|'

4/一2-人|?伊尸2I-4c21

=

J2|PFI|-|PF2|2）

所以|PriHP尸2|=4^-2|PFI|.仍同一4c2,

所以3|尸川歸同=4戶,

4b2

所以仍臼忖&|=丁.

又因?yàn)镮PFMPF代產(chǎn)產(chǎn)〉=『，

當(dāng)且僅當(dāng)|PB|=|P尸2l=a0f,等號成立，

所以3a2>4（a2—c-2）,

所以然

所以

又因?yàn)?<e<l,

所以所求桶圓的離心率的取值范圍是6，1）.

4Z72

（2）證明由⑴可知|尸產(chǎn)用尸問=亍，

~2X3X2

小b?

=3'

所以△BPB的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).

q綜合提升練

11.（多選）（2023.長沙模擬）人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開普勒行星運(yùn)動定律：衛(wèi)星在以地

球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒定律,

即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等.設(shè)橢圓的長軸長、焦距

分別為2q2c,下列結(jié)論正確的是（）

A.衛(wèi)星向徑的取值范圍是S—c,a+c]

B.衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時最小，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時最大

C.衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越圓

D.衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時間大于具在右半橢圓弧的運(yùn)行時間

答案ACD

解析根據(jù)橢圓定義知衛(wèi)星向徑的取值范圍是僅一。，a+c],A正確；

根據(jù)面積守恒定律，衛(wèi)星在近地點(diǎn)時向徑最小，故速度最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時向徑最大，故速度

最小，B不正確；

a——c1—e9

]一=73—=|-1,比值越大，則e越小，橢圓軌道越圓，C正確；

a+cI-reI+e

當(dāng)衛(wèi)星在左半橢圓弧上運(yùn)行時，對應(yīng)的速度更慢，根據(jù)面積守恒定律，則運(yùn)行時間更長，D

正確.

v2爐

12.（2022?邯鄲模擬）已知橢圓丁+方=1的左、右焦點(diǎn)分別為Q,B，點(diǎn)尸在橢圓上，設(shè)線段

的中點(diǎn)為M,且|OBI=|OM，則△PRB的面積為.

答案仃

解析由題意可得。=3,6=巾，C=A/9—5=2.

如圖，因?yàn)镺,M分別是和的中點(diǎn)，所以|PF2l=2|OM=2|OBI=2c=4,根據(jù)橢圓

IP尸產(chǎn)+|尸/#—IP/#

定義，可得伊川=2〃-2c=2,又因?yàn)閨K3|=2c=4,所以cos/PB尸產(chǎn)2|PF，|.|局|一L

16+16—47

=2X4X4=?

所以sinNQBB=41—cos?/尸尸2尸尸平,

故△尸Q&的面積為；尸尸2卜|尸尸2|6出/「尸2凡=仃.

q拓展沖刺練

13.（多選）（2023?青島模擬）已知橢圓C：3+5=1的左、右焦點(diǎn)分