第4節(jié)復(fù)數(shù)

考試要求1.理解復(fù)數(shù)的基本概念；2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件；3.了解復(fù)數(shù)的代

數(shù)表示法及其幾何意義；4.會進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算；5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式

的加、減運算的幾何意義.

知識診斷,基礎(chǔ)夯實

知識梳理

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

⑴定義：形如〃+例（小b￡R）的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中a叫做復(fù)數(shù)z的實部,〃叫做

復(fù)數(shù)z的虛部（i為虛數(shù)單位）.

（2）分類：

項目滿足條件3,為實數(shù)）

a^b\為實數(shù)u>/?=0

復(fù)數(shù)的分類a-\-b\為虛數(shù)u>h#0

a~\~bi為純虛數(shù)<=>〃=0且/?W0

(3)復(fù)數(shù)相等：a+〃i=c+di=a=c且b=d(a,b,c,d￡R).

(4)共他復(fù)數(shù)：加與共加b=—d(a,b,c,R).

(5)模：向量化的模叫做復(fù)數(shù)z=〃+bi的模，記作|〃+歷|或|z|,即|z|=|a+bi|=

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

<---對應(yīng).

(1)復(fù)數(shù)z=o+〃i復(fù)平面內(nèi)的點zm,b)(a,z?eR).

W---對應(yīng)a

(2)復(fù)數(shù)z=a+〃im，bER)平面向量段.

3.復(fù)數(shù)的運算

(1)運算法則：設(shè)zi=a+/?i,Z2=c+di,a,b,c,d￡R.

zi±Z2=(。+歷)土(c+di)=(a±c)+(〃±d)i.

zi?Z2=(a+〃i)(c+c/i)=(“c-bd)+(Oc+ad)i.

zia~\-h\ac+bdbc-ad

(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.

如圖所示給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即

常用結(jié)論

Li的乘方具有周期性

4w4,,，，4n+24w+3

i=1,i=i,i=-l,i=-i,i^+i4n+l-|-i4/J+2+i4,I+3=0>nGN*

o1+i1-i

2.(1±i)2=±2i,y-=i；yq-'=—i.

3.復(fù)數(shù)的模與共輒復(fù)數(shù)的關(guān)系

z-z=|z|12=|z|2.

4.兩個注意點

⑴兩個虛數(shù)不能比較大??；

(2)利用復(fù)數(shù)相等〃+方=c+"i列方程時，注意a,b,c,4WR的前提條件.

診斷自測

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

(1)復(fù)數(shù)z=a+歷(ab￡R)中,虛部為加.()

(2)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.()

(3)原點是實軸與虛軸的交點.()

(4)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的

向量的模.()

答案(l)X(2)X(3)V(4)V

解析(1)虛部為匕；(2)虛數(shù)不可以比較大小.

2.（2021.全國II卷）復(fù)數(shù):在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）

JLJ1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案A

解熱=（；「；）（窯；）二哥^空,所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點

為［｝，3,該點在第一象限.

3.(2021?新高考I卷)已知z=2—i,則z(z+i)=()

A.6-2iB.4-2i

C.6+2iD.4+2i

答案C

解析因為z=2-i,所以z(z+i)=(2-i>(2+2i)=6+2i,故選C.

4.(2021?全國甲卷)已知(l—i)2z=3+2i,則z=()

3

-1-B-1+-

AC.2

33

--+---i

容2D.2

案E

3+2i3+2i3i-2

解析z=(1-i)2=^2F="T-=-1

5.（易錯題）已知復(fù)數(shù)zi滿足（2—i）zi=6+2i,zi與Z2=/n—2疝加,〃￡R）互為共桅復(fù)

數(shù),則zi的虛部為,m+n=.

答案23

6+2i(6+2i)(2+i)10+lOi

解析由(2—i)zi=6+2i,得zi==2+2i,則

2—i(2—i)(2+i)5

Z2=2—2i,則機=2,〃=1,所以m+〃=3.

6.如圖所示，在復(fù)平面為，復(fù)數(shù)zi和Z2對應(yīng)的點分別是A和'則停=

答案D

II-1-iii]

解析Vz=—i+i,/,-=-73—=—~rj~7~~：~~丁=-5—5.則:對應(yīng)的點

z—1+1(—1+1)(—1—1)22z

在第三象限，故A錯誤；

|z|=V2,|z+l|=l,故B錯誤;

z的虛部為1,故C錯誤；

z+z=—2<0,故D正確.

感悟提升1.復(fù)數(shù)z=〃+/?im,b￡R),其中db分別是它的實部和虛部.若z為

實數(shù)，則虛部/?=(),與實部。無關(guān)；若z為虛數(shù)，則虛部hWO,與實部。無關(guān)；

若z為純虛數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)。=0且

2.復(fù)數(shù)z=〃+0i(a,/?￡R)的模記作|z|或|〃+/川，即|z|=|〃+/?i|=，？TP.

3.復(fù)數(shù)z=a+歷(出8ER)的共機復(fù)數(shù)為z=。一歷，則z-z=|z|2=|z|2,即|z|=|z|=

,\jz-z,若z￡R,0']z=z.

利用上述結(jié)論，可快速、簡潔地解決有關(guān)復(fù)數(shù)問題.

考點二復(fù)數(shù)的幾何意義

例1⑴設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=LZ在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(斯y),則()

A.(x+i)2+r=1B.(X-I)2+/=1

C.f+。，-1)2=1D.X2+。，+1)2=1

(2)(2022?渭南質(zhì)檢)已知含=-1+為其中小〃是實數(shù)，則復(fù)數(shù)。一次在復(fù)平面

內(nèi)對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案(1)C(2)B

解析(1)由已知條件，可設(shè)z=x+)，i(x,)，￡R).

V|z-i|=l,???|x+)，i-i|=l,

???f+S—1)2=1.故選c.

(2)由—1+〃i,

1—1

得a=(~1+M)(1—。=(8-1)+3+l)i,

8+1=0,

即〃=—2,b=-1,

[a=b—\,

，復(fù)數(shù)。一bi=-2+i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(一2,1),位于第二象限.

.---對應(yīng).

感悟提升1.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,Z?eR)Z(a,b)

＜一—一對^^一

OZ=(afb).

2.由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此解題時可運用數(shù)形結(jié)合

的方法，可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，使問題的解決更加直觀.

訓(xùn)練1(1)如圖，若向量應(yīng)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,則z+§表示的復(fù)數(shù)為()

A.l+3iB.-3-i

C.3-iD.3+i

(2)(2021?鄭州模擬)已知復(fù)數(shù)zi=|:1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為A,復(fù)數(shù)Z2在復(fù)平面

內(nèi)對應(yīng)的點為區(qū)，若向量油與虛軸垂直，則Z2的虛部為

4

答案(1)DQ)一^

解析(1)由圖知花=(1,-1),???z=l-i,

4.,4…4(1+i)

/.z+-=1—i+^j7=~i?、=3+i.

zl—i(l—i)(1+1)

、2-i(2-i)234.

(2)zi=不=(2+i)(2—i)=廠7

所以A修

設(shè)復(fù)數(shù)Z2對應(yīng)的點8a0,)x)),

川+3

又向量油與虛軸垂直，

44

.,.州+5=0,故Z2的虛部）唱=一亍

考點三復(fù)數(shù)的四則運算

例2⑴（2021?全國乙卷）設(shè)iz=4+3i,則z=（

A.-3-4iB.-3+4i

C.3-4iD.3+4i

⑵（2020?新高考山東卷）"舌=（）

A.lB.-lC.iD.-i

答案（1）C（2）D

解析（1）法一（轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)除法運算）

4+3i(4+3i)(—i)—4i—3i2

因為iz=4+3i,所以z=?=-=3—4i.故選3

1i(-i)

法二（利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式）設(shè)z=〃+Z7i（a,Z?eR）,則由iz=4+3i,可得i（o+

州）=4+3i,即一〃+ai=4+3i,所以＜‘即1'所以z=3—4i.故選

[〃=3,U）=—4,

C.

法三（巧用同乘技巧）因為iz=4+3i,

所以iz/=（4+3i）?i,所以一z=4i—3,

所以z=3—4i,故選C.

2-i(2-i)(l-2i)2-2-5i

(2)法l+2i=(l+2i)=5~

法二利用i2=-l進行替換，則急AX1%；）-二帶聲

-i(l+2i)

選D.

l+2i

感悟提升1.復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算，除法關(guān)鍵是分

子分母同乘以分母的共稅復(fù)數(shù)，注意要把i的簇寫成最簡形式.

2.記住以下結(jié)論，可提高運算速度：

[IijJ

（l）（l±i）2=±2i;（2）口=i;（3）帚=一“（4）-b+ai=i（a+萬）；（5）i4"=l,i4w+,

=i,i4/,+2=—1,產(chǎn)〃+3=_[(〃￡N).

訓(xùn)練2⑴(l+2i)(2+i)=()

A.-5iB.5iC.-5D.5

z2+2

⑵(2022?烏魯木齊模擬)已知復(fù)數(shù)z=l+i(i是虛數(shù)單位)，則丁力■等于()

A.2+2iB.2-2iC.2iD.-2i

答案(1)B(2)B

解析(1)(l+2i)(2+i)=2+i+4i+2i2=2+5i-2=5i,故選R.

z2+2(1+i)2+22+2i(2+2i)(-i)

(2)7'='_77j=：=72=2-2i.

,7Z—11+1—1I—r

I分層訓(xùn)練,鞏固提升

A級基礎(chǔ)鞏固

1.（2020?浙江卷）已知a￡R,若。-1+3-2）論為虛數(shù)單位）是實數(shù)，貝I」〃=（）

A.IB.-lC.2D.-2

答案C

解析因為。-1+（〃-2）i是實數(shù),

所以。一2=（）,所以。=2.

2.設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案C

解析z=-3—2i,故z對應(yīng)的點（一3,—2）位于第三象限.

3.（2022?昆明診斷）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=l+i的共匏復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量應(yīng)，為

答案c

解析由題意，得Z=l—i,其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1,-1),所以改三(1,

一1).故選C.

4.已知復(fù)數(shù)z=〃+為(m/;eR),本是實數(shù)，那么復(fù)數(shù)z的實部與虛部滿足的關(guān)

系式為()

A.a+b=OB.q-/?=0

C.a-2b=0D.a+2〃=0

答案B

je?,za-\-b\(。+加)(1—i)

斛析因為z=ab\(a,Z?eR),=(]+:~(一,=

〃+/?+(。-a)i

-------2-------￡R，

所以/?一〃=(),即〃一力=().故選B.

5.如圖，復(fù)數(shù)zi,Z2在復(fù)平面上分別對應(yīng)點A,則z「Z2=()

y

Af----2

?B1

"^ic

A.OB.2+i

C.-2-iD.-l+2i

答案C

解析由復(fù)數(shù)幾何意義，知zi=-l+2i,Z2=i,；?zrz2=i(—l+2i)=-2—i.

6.(2021?全國甲卷)已知(1-i)2z=3+2i,則z=()

33

_-

-M2

A.Z

3

-?

-2n

D.

答案B

3+2i3+2i(3+2i)i3i~2?3.立3c

解析2=(If2=\T=_2i.i=—1+??故選B

13—4i|

7.（2021?河南部分重點高中聯(lián)考）若復(fù)數(shù)。十:是純虛數(shù)，則。=（）

A.-3B.-2C.2D.3

答案B

13—4115(2—i)

解析a+_1_.=tz+z_1_.>.一有一77—=cz+2—i為純虛數(shù).則〃+2=0,解得

02十1(20十1)(2—1)

=一2.

1<l-iV021

8.已知i是虛數(shù)單位，若z—,貝U|z|=()

A.lB.6C.2D.小

答案C

解析；1=1—=i7=一入幣1—j=71而(|—i)2=—亍2i=_「所以((I—不]^J2021=

1<1—iV021

(―i)2021=(一i嚴X4-I=_j,所以由,得z+i=—i,z=-2it

所以|z|=2.故選C.

Q一：

9.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)3=.

答案3-2i

4阻*『8-i(8-i)(2-i)15-101

解析依題意行不=(2+i)(2—i)=-7一=

10.已知復(fù)數(shù)z=1—2i（i為虛數(shù)單位），則|z|=.

答案V5

解析由z=l—2i,得|z|=N"+（—2）2=小.

11.（2022?江西省八校聯(lián)考）已知復(fù)數(shù)2滿足（2+以=2—3。則|z|=.

答案3也

解析因為（z+i）i—2—3i,所以zi—l—2—3i,所以zi—3—3i,所以z一

-3-3i,所以|z|=3，i

12.在復(fù)平面內(nèi)，。為原點，向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-1+2。若點A關(guān)于直線）,=

一x的對稱點為3,則向量協(xié)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.

答案-2+i

解析因為4（一1,2）關(guān)于直線y=-x的對稱點3（—2,1）,所以向量協(xié)對應(yīng)的

復(fù)數(shù)為-2+1

B級能