專題9.7求軌跡方程

SI題型目錄

題型一直接法

題型二定義法

題型三相關點法

題型四交軌法

題型五參數(shù)法

題型六點差法

題型七利用韋達定理求軌跡方程

才典例集練

題型一直接法

例1.（2022秋.高三課時練習）若動點。到定點尸（1,0）和直線/："0的距離相等，則動點P

的軌跡是（）

A.線段B.直線C.橢圓D.拋物線

【答案】B

【分析】設動點尸的坐標為“，），），由條件列方程化簡可得點P的軌跡方程，由方程確定軌跡.

【詳解】設動點P的坐標為“，y）,

則J（x-l）2+（y_0）2=\y\.

化簡得x=l.

故動點P的軌跡是直線x=l.

故選：氏

例2.（2023?四川成都?成都七中?？寄M預測）如圖，在平面直角坐標系直萬中，直線/:工=-2

與x軸交于點A,過/右側的點P作尸垂足為且|Q4|=|?M|+|Q4|.

(I)求點P的軌跡C的方程；

【答案】(1)丁=4.丫+12

【分析】(I)根據(jù)提意思，設尸(x，y),得到M(-2,y),結合|網=|PM|+|OA|,利用距離公

式化簡，即可求解曲線C的方程；

【詳解】(1)由題意，走線/:工=-2與工軸交于點A,過/右側的點上作門必，/,

可得。(0,0),4-2,0),設P。,)，)，則M(-2,)，)，

因為|PA|=|PM|+KM，可得而方k=|x—(—2)|+2,

即yl(x+2)2+y2=x+4，整理得y2=4x+12.

舉一反三

練習1.(2023春?福建莆田?富二莆田一中?？计谥?在平面直角坐標系xOy中，

A(6,0),3(6/)點P滿足|戶。=2|酬，則動點P的運動軌跡方程為；歸8|+21M的

最小值為.

【答案】(X-8)2+J2=16而

【分析】設出P(x,y),由題意列出方程組，化簡即可得到點P的軌跡方程；

［詳解］設夕(x,y),由題意可得)(工一0)2+()，-0)2二24工一6)2+()，一0)2,

整理得"-8f+V=16,故動點/)的運動軌跡方程為(x-8>+/=16,

如圖所示，點P的軌跡為以(8,0)為圓心，4為半徑的圓，點8在圓內部，

所以歸q+21PAi=\PB\+\PO\>\BO\=J(6_()1+(］_()/=>/37,

當且僅當P在線段BO上時等號成立，

所以|冏+2|/訓的最小值為亞，

故答案為：(x—8)2+y2=16；而

練習2.(2023?山東泰安?統(tǒng)考模擬預測)點。到定點廠(3.0)的距離與到1=芍的距離之比為

則點P的軌跡方程為一，。與A(-5,0),8(5,0)連線的斜率分別為K2t則K：+K：

的最小值為一.

32

【答案】

25

【分析】設出點尸坐標，依據(jù)題意列出方程，化簡即可得出答案；利用兩點的斜率公式寫出

《勺，再利用戶的軌跡方程進行化簡，最后利用重要不等式求出右+右的最小值.

【詳解】設點P的坐標為（X”由題意可知|PF\=7（x-3）2+y2，嗯x=胃的距離為吟

J（X-3^+/32222

由題意得---------不--5>化簡得三+2=匕所以0的軌跡方程為三+2=1.

xY---"-）25162516

3

?7

2

又由題意K=T，K2=--,則用《=白去，

又因為尸在曲線上，所以H=l，化簡得-項乂16=摻（25-?。?，

251625J25'

v2|6

代入K￡=2,好得&凡2=-a,?

X—26ZJ

2

乂因為K：+K2>2同仁|=總所以K：+K；的最小值為II.

故答案為：（+“,§

練習3.（2023秋?湖北?高二統(tǒng)考期末）已知平面內點p與兩定點Q（-2,0）,0（2,0）連線的斜

率之積等于

4

（1）求點p的軌跡連同點Q，。2所構成的曲線c的方程；

【答案】⑴點尸的軌跡方程為三+丁=1（.1工±2）,曲線C的方程為三+）,2=1.

44

【分析】（1）由求軌跡的方程的步驟結合兩點間的斜率公式，即可求得

|ON|_1_1

而［二|Or|TON=|O7|通過基本不等式，求得義的最大值.

\ON\~yN

【詳解】（I）設點P（x,y）為軌跡上任意一點，由題意得xw±2,

則kp@=-7T（X力-2）,k=—*2）,

A+ZA-ZPQi

kp°?k=—-----=-7—=-w±2）,

PQ'%POx+2x-2r-44V）

故點P的軌跡方程為［+V=1（x工±2）,

所以點P的軌跡連同點QQ所構成的曲線C的方程為二+尸=1.

4

練習4.（2023年新課標全國II卷數(shù)學真題）在宜角坐標系X。），中，點。到x軸的距離等于

點尸到點（0，）的距離，記動點尸的軌跡為W.

⑴求W的方程：

【答案】（l）y=/+：

4

【分析】（1）設P（X，N），根據(jù)題意列出方程f+（y_gj=），2,化簡即可；

【詳解】（1）設P*，y）,則H=Jx2+0—；j,兩邊同平方化簡得），=X2+：,

故W：），=42+L

4

練習5.（2022秋?高二課時練習）在直角坐標系）丹中，已知點人（-2,2）,“（2,2）,直線AM,

BM交于點M,且直線AM與直線BM的斜率滿足：心“-.

（1）求點加的軌跡。的方程；

【答案】（1）犬=2乂件±2）

【分析】（1）設出M（x,y）,表達出入M與BM的斜率，得到方程，求出軌跡方程；

【詳解】（1）設M（xy）,

又A（-2,2）,磯2,2）,

則G一軟“匕|一==一2,整理得丁=2），，

x+2x-2

可得點M滿足方程f=2.），（XH±2）,

則M的軌跡C的方程為d=2），（入工±2）.

題型二定義法

例3.（2023秋?高二課時練習）已知“18。的三邊a,b,c成等差數(shù)列，且a>0>c,A、C

兩點的坐標分別為（-1，0），口,0），則頂點8的軌跡方程為.

【答案】—+^-=l（-2<x<0）

43

【分析】由△ABC的三邊”，b,c成等差數(shù)列，可得點B的軌跡滿足橢圓的定義，可求出橢

圓方程,再結合a>b>c和8、4、。三點構成△回（7,可得頂點5的軌跡是此橢圓的部分,

可得其軌跡方程.

【詳解】因為△A8C的三邊”，b,c成等差數(shù)列,A、C兩點的坐標分別為（TO）,（L0）,

所以a+c=%，即忸C|+|網二2|4C|=4>2,

所以點8的軌跡滿足橢圓的定義，此橢圓是以4、。為焦點，長軸長為4的橢圓,

2#

故橢圓方程為土r■+匕=1,

43

因為a>Z?c,所以忸C|>網，所以xvO,

乂因為3、A、C三點構成“8C,所以4、A、C三點不能在一條直線上，所以“-2,

所以頂點B的軌跡方程為《十V■-1(-2<x<0).

43

故答案為：—+^-=l(-2<x<0)

43

例4.(2023?廣東廣州廣州市培正中學?？寄M預測)如圖，在“8。中，點4-1,0),見1,0).

圓/是△ABC的內切圓，且C/延長線交AB于點O,若C/=2〃5.

(I)求點C的軌跡C的方程;

r22

【答案】(I)上+=v=1()￥0)

43

【分析】(1)抓住內切圓的性質找到等量關系，再由定義法即可求結果;

【詳解】3)解據(jù)呻音回一回一回一生也[=2

【詳解】⑴解：據(jù)題意，向|AD|即|明+向‘

從而可得|。|+|啰=4>2,

由橢圓定義知道，C的軌跡為以43為焦點的橢圓,

所以所求的橢圓。的方程為?+?=I(產0).

舉一反三

練習6.(2023?全國?高三專題練習)已知圓A：(x+2)2+/=9,圓3：(x-2)2+/=1,

圓。與圓A、圓6外切，求圓心。的軌跡方程E

【答案】--3=],xG(l,+O>)

【分析】

根據(jù)圓C與圓A、圓8外切，得至1J|C4|TC@=2<4,再利用雙曲線的定義求解.

【詳解】

因為圓C與圓4、圓8外切，設C點坐標（X，y）,圓C半徑為r,

則|C4|=〃+3,|C3|=r+l,所以圖-制=2<4,

所以點C的軌跡是雙曲線的一支，

又2c=4,c=2,2a=2?a=1,b2=c2-a2=3.

所以其軌跡方程為X?l,+8）.

練習7.（2022秋.貴州遵義.高二習水縣第五中學校聯(lián)考期末）已知點月（-2,0）,圓

尸2：（工-2）2+），2=32,點。在圓居上運動，?！甑拇怪逼椒志€交于點P.

（I）求動點P的軌跡的方程C；

【答案】（1）=+==1

84

【分析】（1）利用橢圓定義即可求得動點P的軌跡的方程C；

【詳解】（1）由題意：|“耳|+|“聞=|2聞=4夜>黨聞=4,

二動點尸是以0尸2為焦點，長軸長為4上的橢圓.

設橢圓標準方程為二+三=1（。>〃>0）,

crlr

則a=2"c=2,〃=4,

???動點尸的軌跡的方程C為《+乙=1.

84

練習8.（2023?上海?華師大二附中?？寄M預測）已知平面上的點滿足

卜四二6,|^4|一|昭二|叫—|附|=4,忸M=2,k可=3,則相麗=.

【答案】-36

【分析】根據(jù)雙曲線和圓H勺定義，求出M,N所在曲線的的方程，聯(lián)立方程組，求出M,N的

橫坐標，再利用向量數(shù)量積的坐標公式即可求解.

【詳解】以人B中點。為原點，麗為“軸正方向，建立平面直角坐標系，

則A（—3,0）,8（3,0）,

因為|^4|一|/=4<卜可」叫一|附|=4<|"|，

所以點M、N分別在以A,8為焦點的雙曲線的右支和左支上，且及/=4,2c=6,

所以a=2,c=3,

所以雙曲線方程為E-f=1；

45

因為忸M|=2,所以點M在以B為圓心，半徑為2的圓上,

即點例在圓。一3)2+)，2=4上,

因為|AN|=3,所以點N在以A為圓心，半徑為3的圓上,

即點N在圓(x+3)2+y2=9上，

//,1O

聯(lián)立，45,因為乙＞。，可求均=不

(x-3)2+y2=43

《-工=110

聯(lián)立，45，因為4N＜。，可求/=一五，

(x+3)2+)P=9

因為“月=(6,0),MN=(xN-xM,yN-yM),

故而M=6Ef)=6(%--?=-36.

JJ

故答案為：-36.

練習9.(2023?吉林長春?長春吉大附中實驗學校校考模擬預測)(多選)設A(-2,0),圓

B：a-2)2+r=4(B為圓心)，。為圓小上任意一點，線段同。的中點為。，過點。作線段

片尸的垂線與直線4P相交于點R.當點P在圓8上運動時，點Q的軌跡為曲線C，點/?的軌

跡為曲線C?,則下列說法正確的有()

A.曲線G的方程為/+./=1B.當點。在圓8上時，點Q的橫坐標為?

c.曲線G的方程為1=iD.G與C2無公共點

【答案】ABC

【分析】對「A,連接O。，則可得|0。=34Pl=1,從而可得曲線G的方程；對?于B,圓

B的方程與曲線C1的方程我立求解即可：對「C,連接AR,則可得||R4卜出邳=2,從而可

得點R的軌跡為雙曲線；對于D,求出曲線C?的方程，然后判斷.

【詳解】如圖1、圖2,連接0。.

因為點Q為線段AP的中點.O為線段八/?的中點,所以|OQ|二3BP|=1.所以點Q的軌跡

為以o為圓心，I為半徑的圓，即曲線G的方程為V+,\，2=l,故A正確；

當點。在圓3上時，圓8的方程與曲線C1的方程聯(lián)立，可得x=L，故B正確；

連接AR,由于直線QR為線段AP的中垂線，所以|氏4|二歸耳，所以

HM-I冏|T網T冏|=|研=2,所以點R的軌跡為以4（-2,0）,3（2,0）為焦點,2為實軸的

雙曲線，所以曲線G的方程為f-9=1,故C正確：

由選項c可知，所以曲線G的方程為f-二=1,所以C1與G有兩個公共點，故D錯誤.

3

練習10.（2023,河南駐馬店?統(tǒng)考二模）已知直線4軸，垂足為x軸負半軸上的點心點

￡關于坐標原點O的對稱點為八且|即|=4,直線垂足為A,線段版的垂直平分

線與直線4交于點兒記點"的軌跡為曲線C.

（I）求曲線。的方程.

【答案】⑴V=8x

【分析】（1）根據(jù)垂直平分線性質，結合拋物線定義可解；

【詳解】（1）由題意可得|明=忸用,即點B到點尸的距離等于點3到直線J的距離.

因為|兩=4,所以4的方程為x=-2,尸（2,0）,

則點B的軌跡C是以尸為焦點，直線4：x=-2為準線的拋物線，

故點〃的軌跡C的方程為＞3=8x.

題型三相關點法

例5.（2023春?上海徐匯?高三上海市徐匯中學?？计谥校┮阎p曲線C的方程為2/-/=2.

⑴直線），=x+〃?截雙曲線C所得的弦長為4a，求實數(shù)，〃的值；

⑵過點（2,-1）作直線交雙曲線C于P、。兩點，求線段PQ的中點M的軌跡方程.

【答案］⑴/〃=±1

（2）2x2-y2-4.v-y=O

【分析】（I）聯(lián)立直線與雙曲線方程，得到韋達定理式，利用弦長公式即可求出機值；

（2）設。（4方）,。（0％），〃。，歷.4（2，-1），利用點差法結合中點公式即可得到在二二，

yx-z

化簡即可.

y=x+m

【詳解】（1）聯(lián)立c，,…得f_2〃n一〃2—2=0,

2x--y~=2

?.?直線y=X+，〃被雙曲線C截得的弦長為4VL.?.△=4W+4>+8>0,

設直線與雙曲線交于A（x，y）,伏與為），

2

貝ljx,+x,=2ni,x}x2=-m-2,

由弦長公式得4及=JL、/4〃』+4（〃/+2）,

解得/〃=±1.

（2）設P（內,y）,Q&,），2），MQ，y）M（2,T）,則

x}+x2=2x,y}+y2=2y,

2k；-"2,片-播=2,

上式作差得4x（$-毛）-2y（%-）%）=0,

當直線名?的斜率不存在時，根據(jù)雙曲線對稱性知M（2,0）,

當直線尸。的斜率存在時，但）1+先=。時，此時直線為直線。4,根據(jù)雙曲線對稱性知

M（0,0）,

當直線P。的斜率存在時，且）1+為=0時，％=上二上二」，

x\~x2y

???3M=±2，???'=》=，化簡得2--y2一4工一），=。，其中工工2,），工0,

x-2yx-2

而點（2,0）,（0,0）適合上述方程,

則線段PQ的中點M的軌跡方程是2x2-y2-4x-y=0.

例6.（2023?黑龍江大慶?大慶實驗中學校考模擬預測）在平面直角坐標系屹V中，已知點

C（3,0）,動點P滿足：過點P作直線4-1的垂線，垂足為。，且OPCQ=0,則|pq的最

小值為.

【答案】2&

【分析】根據(jù)已知求出點P的軌跡方程，根據(jù)兩點間的距離公式，利用二次函數(shù)求出|PC|的

最小值.

【詳解】設P點坐標為尸■），），則OP=（x,y）,

ULW1

又因為C（3,O）,所以

ULtlCllBlIRJUUKI

由OPCQ=0，得OPC0=-4X+），2=O,

所以丁2=4X,P是拋物線），2=4X上的點,

設右，）,J則回7件一3）+%、席二f；+9二業(yè)國-4），+8.

因為）XR,所以當行=4時，|PC|取最小值,此時|自入血=我=2夜.

故答案為：2夜.

舉一反三

練習II.（2023?全國,高三專題練習）已知點，為圓/+y2=18上一動點，尸Q_Lx軸于

_____1_B7

點。，若動點M滿足=4。戶+；0。,求動點M的軌跡C的方程；

JJ

【答案】二+《=1

182

【分析】

設M（x,y）,P（/,No）,則。（如。），根據(jù)加=（。戶+|。0,求得a=x,%=3y,代入圓

的方程，即可求解.

【詳解】

解：設），）/（/,%），則Q（M，0），可得的=（x,y）,而=（X。,%），因=（小，0），

I__2__,1

由麗=10戶+Jd,所以（x,y）=（%G），o），化簡得%）=x，〉'o=3.y,

因為阿+城=18,代入可得可+9己=18,即三+二=1,

182

即為M的軌跡。的方程為工+《=1.

182

練習12.（2023?全國?高三專撅練習）在百角坐標系大丹中，線段|MN|=4,曰兩個端點M、

N分別在X軸和》軸上滑動.求線段MN的中點C的軌跡方程；

【答案】/+）,2=4

【分析】設Md°），N（0M，C（.r,y）,由C為線段MN的中點列關系式，根據(jù)兩點距離公

式表示|MN|=4,從而轉化為關于v,y的方程即可得C的軌跡方程.

【詳解】

設M（aO）.N（O.〃）,線段MN的中點C（xy）.

因為C為線段MN的中點，.?”=等=晟4=晉=2，

-\MN\=^(?-0)2+(0-/?)2=4,

:.a2+b2=16?即(2]1+(2?=16,得/+「=4.

所以點C的軌跡方程是“2+),2=4.

練習13.（2022秋?山東日照?高二校考階段練習）已知圓C經過點4（3,1）,4（-1,3）且圓心C

在直線3x-y-2=0上.

⑴求圓C方程；

(2)若七點為圓C上任意一點，且點打4,0),求線段石廠的中點M的軌跡方程.

【答案】(l)(x-2『+()，-4『=10：

⑵(x-3『+(y-2)2=|.

【分析】(I)利用待定系數(shù)法即得；

(2)根據(jù)相關點法.設出點M的坐標,利用中點公式結合圓的方程即得.

【詳解】(1)由題可設圓C的標準方程為(％-〃『+()，-方『=產，則

(3-爐+(1叫，2

,㈠_/+(3時=/,

3a-b-2=0

解之得a=2,b=4,r~=10?

所以圓C的標準方程為(*-2)2+()，-4)2=10；

x=上

2

(2)設M(x,)，)，七(內,)\),由尸(4,0)及M為線段E尸的中點得?

v=21±2

2

%=2x-4

解得

5=2），

10上,

所以有(2x-4-2『+(2y-4)2=10,

化簡得：(x—3)2+(y—2f=|,

故所求的軌跡方程為(x-3『+(_)=2)2=|,

練習14.(2022秋?高二?？颊n時練習)設圓V+y2_2x+2y_2=0的圓心為A,點。在圓

上，則見的中點M的軌跡方程是_______.

【答案】x2+r-2A+2y-f-l=0

【分析】設M(x,y),P(X9,泗)，利用中點坐標公式得出“=:一：,然后結合點尸在圓上

1為=2)，+1

即可求解.

【詳解】圓/+V—2x+2y—2=0可化為*—1尸+()，+=4,

4-

2

則41,-1),設P<.w,W)，所以］:

2?

x.=2%-1

整理得《6，抑P(2x—l,2y+l),

l%=2y+l

將點尸代入圓的方程得(2/一l)2+(2y+l)2-2(2x-l)+2(2y+l)-2=0,

即為f+/一2工+2)，+1=0.

故答案為：x2+r-2A+2y+l=0.

練習15.(2023春?四川內江?高二四川省內江市第六中學校考期中)已知面積為16的正方形

__3—1__

4BCQ的頂點A、B分別在x軸和)，軸上滑動，O為坐標原點，OP=-OA+-OB,則動點尸

?

的軌跡方程是()

.X2y222

A.^-+-^-=1D.工+二=1

32c44='84

【答案】B

【分析】利用相關點法即可求得動點。的軌跡方程.

【詳解】設P(x,y),不妨令4%0),8(0,%)

正方形4BCQ的面積為16,則|AB|=4,則\+W=16,

_3一|一

由。戶=-0印+一。8,可得

421r

尸在l%=2y

則(竺［+(2?=16,整理得上+工=1

【3J"94

故選：B

題型四交軌法

例7.(2022秋?高三課時練習)如圖，已知點A(-l,0)與點仇1,0),C是圓/+產=1上異于

人，B兩點的動點，連接并延長至。，使得|CD|=|BC|,求線段AC與。。的交點P的軌

跡方程.

【分析】首先判斷點。是△A8。的重心，代入重心坐標公式，利用代入法，即可求點。的

軌跡方程.

【詳解】設動點P(x,y),由題意可知尸是△48。的重心，由A(-l,0),8(1,0),

令動點C(xo,yo),則D(2M1,2yo),

.=T+l+2x<)T

3

由聿心坐標公式得｛r’,

2v0

y=-y

3x+l

及F

則代入x2+y2=1,

Jo=y(.Vo*O)

整理得x+g)+)尸=1(尸0)

故所求軌跡方程為(x+gJ+y2=0).

例8.(2023?湖南?校聯(lián)考二模)已知匕,居為雙曲線嗚-2=1(。>0,〃>0)的左右焦點，且

該雙曲線離心率小于等于且，點M和N是雙曲線上關于1軸對稱非重合的兩個動點，

2

4，4為雙曲線左右頂點，|M用-|M月=4,|M$+|M可>2+"恒成立.

(1)求該雙曲線C的標準方程；

(2)設直線NR和M4的交點為以求點尸的軌跡方程.

【答案】=1

43

22

(2)^-+^-=l(0<.r<2)

【分析】(1)利用雙曲線的定義可得。=2,然后利用兩邊之和大于第三邊以及

國>2+我可得c=",即可求得方程；

⑵設何(%,%)(%>2),則N^LNO),得到直線的方程，兩條方程與厘-迎=1

43

可得到三+工=1，然后算出”的范圍即可

43

【詳解】(I)設雙曲線C的焦距為2c,

由|M￡HMR|=4及雙曲線的定義,得勿=4,解得”2,

由AMA居可得|M4j+|ME|>|AE|=a+c=2+c,

乂+段>2+"恒成立，所以2+V7K2+C,解得

因為該雙曲線離心率小于等于立，所以￡4立，即且，解得

2a222

所以C=J7,則b=y/("『-22=6

所以雙曲線C的標準方程為《-4=1?

43

設”(%，%)(%>2),則N(M，-)b)，

22

因為“在雙曲線上，所以五-范=1,

43

易得4(一2,0),&(2,0),所以直線NR的斜率為幺琳=-丹，

直線NA］的方程為y=—^-(x+2)①,

“o+Z

同理可求得直線M的方程為廣言『2)②’

由①X②得)?=一(X+2)(1-2)③,

片-4

223（年-4）

修鋁代入③得-壬（…,化簡得二+4=1,

43

令①=②即一七7（1+2）=飛（女一2）,化簡得x°x=4,

為+2M一2

4

因為%>2,所以x=—e（0,2）,

%

即點P的軌跡方程為y+^=l（0<x<2）.

【點睛】關鍵點點睛：這道題的關鍵之處是得到直線N4,的方程，與近-近=1相結

43

合，通過消元的方法得到軌跡方程

率二反三I

練習16.（2022秋?山西陽泉?高二統(tǒng)考期末）己知過點〃（80）的直線交拋物線￡:卡二8工于

AI兩點,O為坐標原點.

（1）證明：OA1OB；

⑵設廠為拋物線的焦點，直線A8與直線x=T交于點M,直線“/交拋物線與C,。兩點

（AC在x軸的同側），求直線AC與直線8。交點的軌跡方程.

【答案】（1）證明見解析

（2）x=T（）'W°）

/2、（2\

【分析】⑴設42yA,81打，利用A,”*三點共線鼬=輸，解得心先=-64,

\87I8J

再利用向量數(shù)量積的坐標表示即可求解；

（2）設M（-4,m）,。（牛，及），。（而,力）,根據(jù)題意可得分。=238,由此解出比與）'”

%與%的關系，進而得到直線AC與直線8D的方程，聯(lián)立即可求解.

/2\/2\

【詳解】（1）設4已,可，”牛，可，

因為A”,8三點共線，所以心

以二必

所以犬J需父，整理可得力力=-64，

----o----O

88

22

所以3?麗=為券+必》=0,所以OA_LQ8.

（2）設C（xe,yr）,

由題意方（2,0）,A/（8,0）,

所以答記=詈右，整理得（"一2%）（以先+32）=0.

因為AC在x軸同側，所以以=2%,同理可得%=2%,

161161

+

所以直線4C的方程為廣「工+w必，同理BD的方程為y=—^-yB,

3以33yB3

兩式聯(lián)立代入心.心=-64,可得工二-4,

由題意可知交點不能在x軸上，

所以交點的軌跡方程為x=T（），wO）.

練習17.（2023?全國?高三專題練習）已知MN是橢圓5+看=乂”…）中垂直于長軸的

動弦，4B是橢圓長軸的兩個端點，則直線AM和N3的交點P的軌跡方程為.

【答案】￡一￡=1（XH±。）.

a~b~

【分析】設M析,y），N（0f）,直線AM和NA的交點為P（x,y）,根據(jù)AM,尸三點共線及

N,B,P三點共線,可得兩個式子，兩式相乘，再結合M在橢圓上即可得出答案.

【詳解】設M（%，乂），Mx,f）,

因為橢圓/+點■=1（。＞力＞0）的長軸端點為4—40）,8（0,0）,

設直線AM和NB的交點為PCx,y）,

因為A”三點共線，所以專"房,”?明

因為M8,P三點共線,所以士二一卷,xs

兩式相乘得7匕=一￡>“±〃）'

b-

因為其+善=1，所以犬，即旌

aZr

所1—理哈a（一

所以直線4W和N8的交點P的軌跡方程1-與=1（XH土a）.

a'b~

故答案為:廠y=1（x=士a）.

/一瓦

練習18.（2023春?江西?高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標

軸上，且經過A（-4,0）、3（4,0）、C（2,3）三點.

⑴求橢圓石的方程：

（2）若過右焦點工的直線/（斜率不為0）與橢圓E交于M、N兩點，求直線A"與直線5N的

交點的軌跡方程.

【答案】（1）工+￡=1

1612

（2）］=8（尸0）

【分析】（I）首先設橢圓方程，代入橢圓上的點的坐標，即可求解；

（2）首先設宣線/的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，求直線A例與直線BN的交點

坐標，即可求解交點的軌跡方程.

【詳解】（1）設橢網方程氏。+￡=1

4=1

由AC兩點可知：-a.c，解得。2=[6,從=12,

49.

所以橢圓方程為J+二=1;

1612

（2）設1=畋+2,M（國，X）N（4，>2）

x=my+2

聯(lián)立V產=>（3in'+4））3+12/??v-36=0

—+—=1

1612

△=576〃/+576〉。

-12m

…二5^

-36

直線AM：y=」^(x+4)

入［十q

直線BN：y=^-(x-4)

X2-4

、、出d-、，_"明%-4y+12y2-12m

消去)：xr-----------------,y=—5---y

3.y,+y3〃/+42-

-36-12/7?)

4/72-4菽丁引+“%

3W2+4

-127??

3y2+2-y2

<3m+4

因斜率不為0,該直線方程：工二8()，=0).

練習19.(2023?吉林?統(tǒng)考模擬預測)已知雙曲線。：￡-*=1(〃>0,。>0)的左、右頂點分別為

a~b~

A(-l,0),B(l,0),動直線;過點例(2,0),當直線/與雙曲線。有且僅有一個公共點時，點B

到直線/的距離為立

2

(I)求雙曲線。的標準方程；

⑵當直線/與雙曲線。交于異于A3的兩點P,。時，記直線八戶的斜率為占，直線8Q的斜率

為Q

(i)是否存在實數(shù)義，使得&=/4成立，若存在，求出入的值；若不存在，請說明理由；

(ii)求直線口和3Q交點E的軌跡方程.

【答案】(l?2-y2=1

(2)(i)存在，2=-3：(ii),r=1

【分析】(1)注意到直線，與雙曲線C有且僅有一個公共點時，/平行于漸近線可解；

(2)利用韋達定理結合內=:工即可求得義，再根據(jù)”和5Q的直線方程消去斜率即口J得交

點E的軌跡方程.

故當直線/過(2,0)與雙曲線C有且僅有?個公共點時，；應與C的漸近線平行

設直線/：)，=現(xiàn)x-2),即板±)，-21,則點3到直線/的距離為72千二號"=1

J1+/T2

即雙曲線C的標準方程為：x2-y2=\.

(2)(i)由題可知，直線/斜率不為0

設直線/：x=〃"+2,P(M，方),。(々,y2)

r221

由，2得：(62—1)丁+4/〃y+3=0(〃[2—1工0)

A=4//+i2>0成立

-4m3

m-1m-1

???毆必=一去,+為)，

4=含4二段

..二」二七一]二.+1）二%（〃?乂+3）二/町為+3%

K?y（超-1）,（"電+1）機+y

X]+1

339

__^（乂+必）+3%__彳.4+彳%_

=-3=13=一3

V（y+%）+y43?,-4>?2

所以存在實數(shù)4=一3,使得0=丸吊成立.

(ii)直線AP：y=K(x+l),直線8Q:y=&(x-l)

,、,x+14，,1

聯(lián)H得：，X=2

所以直線4>和3。交皮石的軌跡方程為：x=l

練習20.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預測)已知拋物線C:x?=2p)，(p>0)的焦點產到準線的距

離為2,直線/：)，=〃(工-4)與拋物線C交于P,Q兩點，過點P,Q作拋物線。的切線若

44交于點M,則點M的軌跡方程為.

【答案】y=2x(x>8或x<0)

【分析】由題可得拋物線方程，利用切線幾何意義可得切線斜率，即可表示出切線方程求出

交點坐標，再將拋物線C：/=2〃)，(〃>0)與直線/:.y=k(x-4)聯(lián)立，結合韋達定理可得軌

跡方程.

【詳解】由焦點”到準線的距離為2,可得拋物線C=4)，.

由V=4y可得y=二，放,

42

故在p(x用處的切線方程為)，—手守…J,即尸當百

同理在點Q(x吟)處的切線方程為片當-苧，

?24.M+X,A-JX

聯(lián)立《,即M2

x^x/丁

V=—=--------廣才

24

聯(lián)立直線與拋物線方程：；募_4),消去了得—g⑹=0,

由題△=165一64攵>0=44或&<0.

由韋達定理，百+七=4&"肉=16生，

得“(2&,4&),其中〃>4或〃<0,故點A/的軌跡方程為；y-2x(x>8或XV。).

故答案為：,，=2了">8或入?<())

題型五參數(shù)法

例9.(2022?全國?高三專題練習)已知點A(l,0),E,廣為直線x=-1上的兩個動點，且

AELAF>動點。滿足可//C5，TOHOP(其中。為坐標原點)，求動點。的軌跡C的方

程.

【答案】)2=4x(“工°)

【分析】根據(jù)題意將動點的坐標設出，垂直轉化為對應的向量數(shù)量積為0,再轉化平行條件

從而得到動點的軌跡方程.

【詳解】設尸(x,y)、E(-1M)、尸(t,。),

則AE=(-2,4),AF=(-2,b),EP=(x+\,y-a),

OA=(1,0),FS=(l-b\OP=(x,y)

AE±AF^AEAF-4+ab-0.且點E、廠均不在x軸上,故T,且〃*0,由

EP//OA，得)=a=。.即>=a.由尸5〃O戶，得瓜+丁=。，即>=一加.

.*.y2=-abx=4x,

???動點P的軌跡C的方程為：/=4x(x^0).

例10.(2022?全國?高三專題練習)在平面直角坐標系xQy中，4-6,0),8(括,0),C是

滿足乙4c8二方的一個動點.求△ABC垂心”的軌跡方程.

22

【答案】xi(yil)=4(y>-2)或V,(>,1)2=4(y<2)

【分析】求出△48C外心坐標，外接圓半徑同，得頂點C的軌跡方程，再利用相關點法可求

垂心H的軌跡方程.

【詳解】設的外心為。一半徑為此

則有穴=).差小",又4)O\B=4)OC吟、

2sinZ.ACB3

所以Oa=Rcos]=l,即。40,1),或G(0,-l),

當。1坐標為(0,1)時.

設C(x,y),”(天),穌)，有qC=R,即有V+(y-l)2=4(y>0),

由C”_LA3,則有%=x,

由A”_L8C,則有而?能=1。+>/^。-6)+為)'=0,

所以有)，0=」"+/)"-6)=上￡=(.''一4一1=),_2,y>()，則%=)=2>—2,

yyy

則有X+(%+l)2=4(y0>-2),

所以8c垂心”的軌跡方程為Y+(y+i)2=4(y>-2).

同理當當。1坐標為(0,-1)時.，的軌跡方程為產+()，-1『=4(>'<2).

綜上H的軌跡方程為V+(y+l)2=4(y>-2)或f+(y_i)2=4()，<2).

舉一反三

練習21.(2023?廣東?校聯(lián)考模擬預測)已知拋物線)，2=x+l,定點43,1),8為拋物線上任

意一點，點P在線段A8上，且有/P:A4=1:2,當點3在拋物線上變動時，求點尸的軌