重難點突破06雙變量問題

目錄

題型一：雙變量單調(diào)問題

題型二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量

問題

■L方法技巧總結(jié)

破解雙參數(shù)不等式的方法：

一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的

不等式；

二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.

?必考題型歸納

題型一：雙變量單調(diào)問題

例1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=（a+l）lnx+a?+l.

（1）當(dāng)。=2時，求曲線y=/（力在。，/⑴）處的切線方程;

（2）設(shè)。4—2,證明：對任意的,々€（0,+8）,l/（x,）-/（x2）|^4|x-x2|.

例2.（2023?安徽?校聯(lián)考三模）設(shè)aeR,函數(shù)/（x）=aln（—x）+（〃+l卜?+1.

（I）討論函數(shù)/（“在定義域上的單調(diào)性；

（II）若函數(shù)/（"的圖象在點（-IJ（T））處的切線與直線8工+），-2=0平行，且對任意％,憶武3，。），

不等式＞一恒成立,求實數(shù)”的取值范SI.

司一々

例3.（2023?福建漳州?高二福建省漳州第一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)/（x）=（a-I）lnx+or2+].

（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（H）若時，任意的外＞占＞（），總有1/（%）一/（%）1＞2|王-工21,求實數(shù)”

的取值范圍.

/＞＞I

變式1.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=log“x+--弓，〃?eR,。＞0且"1.

?X2

（1）當(dāng)4=2時，討論/（X）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)”=e時，若對任意的為＞占＞（）,不等式恒成立,求實數(shù)機的取值范圍.

大f2

變式2.（2023?天津南開?高三南開大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)/。,）=1門+紗2+（%+1卜.

⑴討論/(力的單調(diào)性；

3

(2)當(dāng)〃<0時，證明/(x)K-力-2：

(3)若對任意的不等正數(shù)占應(yīng)，總有以止3>2,求實數(shù)〃的取值范圍.

%一毛

題型二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量問題

例4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/")=!-x+alnx.

X

(1)討論/*)的單調(diào)性；

(2)已知4<。，若/(X)存在兩個極值點片,占，且X<%2，求史°+上至的取值范闈.

2再占

例5.(2023?新疆?高二克拉瑪依市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=lnx+x2-aHawR)

(1)若〃=1,求函數(shù)/(X)在點(1,/(D)處的切線方程；

(2)當(dāng)。>0時，討論/(X)的單調(diào)性：

13

(3)設(shè)f(x)存在兩個極值點.占且王〈修，若。<X1<5求證：/(^)-/(^)>--102,

例6.(2023?山東東營?高二東營市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)./*(幻=/+依+21nx(〃為常數(shù))

⑴討論/(力的單調(diào)性

Q

⑵若函數(shù)/(x)存在兩個極值點內(nèi)，占(為<々)，且工2-％《屋求/(百)-/(毛)的范圍.

題型三：雙變量不等式:極值和差商積問題

例7.(2023?黑龍江牡丹江?高三牡丹江一中?？计谀?已知aeR,函數(shù)/(x)=xln2x-工+白+2.

2x

(1)當(dāng)4=0時，求/(*)的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑵若/(-V)有兩個不同的極值點七,七(內(nèi)vw).

(i)求實數(shù)。的取值范圍；

(ii)證明：Inx#21nx2<-]-3ln2(c=2.71828……為自然對數(shù)的底數(shù)).

例8.(2023?內(nèi)蒙古?高三霍林郭勒市第一中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=e'-e-x-ar(〃eR).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

⑵若八幻存在兩個極值點再,F，證明：2—以止3<0.

玉一修

例9.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=xlnx+ar2-a.

⑴當(dāng)a=T時，求曲線)，=/&)在工=1處的切線方程：

⑵若/")存在兩個極值點網(wǎng)、4,求實數(shù)”的取值范圍，并證明：/(土產(chǎn))>。.

變式7.(2023?遼寧沈陽?高二東北育才學(xué)校?？计谥?己知函數(shù)/(x)=〃》iTnx,〃,wR.

⑴當(dāng)，心1時，討論方程/(x)-1=0解的個數(shù)；

⑵當(dāng)用二e時，g(x)=/(x)+lnx-必三有兩個極值點々，?且改<與，若e</</，證明:

22

(i)2<X]+w<3；

(ii)g(xj+2g(x2)<。.

變式8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=mx+5f+

（1）討論函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)X],占（0〈內(nèi)〈工2）是函數(shù)身（X）=/（X）+X的兩個極值點，證明：g（N）-g（X2）恒成立.

變式9.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=lnx+7叫，”WR.

（1）求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若g（x）=/（x）+；r有兩個極值點小占，求證：8（玉）+8（&）+3<0.

題型四：雙變量不等式:中點型

例10.（2023.天津北辰.高三天津市第四十七中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)〃工）=出\-口2+（2—〃）x,a^R.

（1）已知x=l為/（x）的極值點，求曲線）'=/（%）在點（1J。））處的切線方程；

（2）討論函數(shù)屋x）=/（x）+"的單調(diào)性；

（3）當(dāng)?！?〈時，若對于任意百,%￡（l,+oc）（x〈/），都存在飛￡（與，工2），使得，

2M-X.

證明：宥<%.

例11,（2023?湖北武漢?統(tǒng)考?一模）已知函數(shù)/（力=；/+（1-。）》-。山.

（I）討論/（X）的單調(diào)性；

（H）設(shè)a>0,證明：當(dāng)（）<,￥<“時，f（a+x）<f（a-x）；

（Ill）設(shè)百是/（X）的兩個零點，證明/［安七）＞0.

例12.（2023?云南?高三云南師大附中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)jF（x）=f+（l-云）x_alnx（aeR且"0）.

（1）討論函數(shù)八刈的單調(diào)性；

（2）當(dāng)。＞2時，若函數(shù)y=/。）的圖象與x軸交于A,“兩點，設(shè)線段48中點的橫坐標(biāo)為所，證明:

變式10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=lnx-ad+（2-a）x.

⑴討論/（%）的單調(diào)性;

⑵若函數(shù)y=/（x）的圖像與X軸交于A,B兩點,線段A8中點的橫坐標(biāo)為飛，證明：r（,q）＜0.

變式n.（2023?四川綿陽?高二四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/（幻=加工+：0?+（4+1口.

（1）討論函數(shù)/。）的單調(diào)性；

（2）設(shè)函數(shù)圖象上不重合的兩點A（X，yJ,秋々，%）（內(nèi)＞/）.證明：3＞尸（土產(chǎn)）.（心力是直線/^的

斜率）

變式12.（2023.福建泉州.高二福建省永春第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/（力二犬-*+21111（。＞0）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)g（x）=lnx-云-若函數(shù)/"）的兩個極值點七，々（％＜%2）恰為函數(shù)g（x）的兩個零點，且

s=（%-石冶，4區(qū)）的取值范圍是［加3-1,+8）,求實數(shù)4的取值范圍.

題型五：雙變量不等式:剪刀模型

例13.(2023?天津和平?耀華中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=(x+/”(e、-力3>0)在點(T,/(-1))處

的切線方程為(e-l)x+e)，+eT=0.

⑴求a、b：

⑵設(shè)曲線)，=/仄)與x軸負(fù)半軸的交點為R曲線在點尸處的切線方程為y=/，(x),求證：對于任意的實數(shù)%,

都有於以?)；

(3)若關(guān)于x的方程"X)=〃?(〃〉0)有兩個實數(shù)根為、x.,且為〈赴，證明：占-西“1+處坦.

1-e

例14.(2023?遼寧沈陽?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)他>0)在點卜g，U))處的切線方程

^j(e-1)x+ey+^-

=0.

(1)求b；

(2)函數(shù)/(“圖像與x軸負(fù)半軸的交點為人且在點產(chǎn)處的切線方程為)，=〃(力，函數(shù)Rx)=/(x)-

xeR,求F("的最小值；

(3)關(guān)于x的方程/(*=相有兩個實數(shù)根為，x?,且為<七，證明：%-看絲-/工

21-6

例⑸(2023?全國?高三專題練習(xí)］己知函數(shù)/(幻=心--十1,In3是/(.<)的極值點.

(1)求"的值；

(2)設(shè)曲線y=/(x)與X軸正半軸的交點為〃，曲線在點〃處的切線為直線/.求證：曲線y=上的點都

不在直線/的上方；

⑶若關(guān)于X的方程/(工)=〃7(〃?>0)有兩個不等實根毛，毛(4<印，求證：工f<2-需.

變式13.(2023?安徽?校聯(lián)考二模)已知函數(shù)/("=3KY'+1,其中e=2.71828?是自然對數(shù)的底數(shù).

⑴設(shè)曲線y=/(x)與％軸正半軸相交于點P&,°)，曲線在點P處的切線為/，求證：曲線)，=/(工)上的點

都不在直線/的上方；

⑵若關(guān)于x的方程/(x)=〃？(，"為正實數(shù))有兩個不等實根N，%(X<%)，求證：W-芭<2.

變式14.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)g(x)=f,xeR,在點(Lg⑴)處的切線方程記為y=〃心),

令f(x)=〃Kx)-g*)+3.

(1)設(shè)函數(shù)的圖象與x軸正半軸相交于p，/(X)在點尸處的切線為/,證明：曲線)，=/(處上的點都不在

直線/的上方;

(2)關(guān)于X的方程/(x)=67(。為正實數(shù))有兩個實根為，與，求證：以一%|<24.

題型六：雙變量不等式:主元法

例16.(2023?江蘇鹽城?高三鹽城中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=xhu.

⑴求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；

⑵當(dāng)。>0時，求證：(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))；

(3)若〃>0,方>0求證：f(a)+(a+b)ln22>(a+

例17.(2023?河南信陽?高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=Wnx.

⑴求曲線y=/(x)在點(eJ?)處的切線方程；

(2)求函數(shù)/⑺的最小值，并證明：當(dāng)〃>0時，口》仕下.(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

例18.(2023?山西晉中?高二校考階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=%[(x-l)e*-6](其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).

⑴若〃