第3課時利用導數(shù)證明不等式

J題型一將不等式轉化為函數(shù)的最值問題如

例1(2021?贛州模擬)已知函數(shù)/)=1—乎，慮)=告+：—/?%,若曲線)，=危)與曲線尸g(x)

?AU.1

的一個公共點是411)，且在點人處的切線互相垂直.

⑴求。的值；

2

(2)證明：當XeI時，

(1)解因為兒0=1—乎，入＞0,

所以，(x)=正一?f(1)=—L

因為奴1)=詈+;一公，所以g'。)=_詈一己一〃.

因為曲線y=/(x)與曲線y=g(x)的一個公共點是A(l,l),且在點A處的切線互相垂直，

所以g(D=l,且/⑴?g'(1)=-1,

所以g(l)=a+l—/?=I,g1(\)=-a—\—b=\,

解得。=-1,b=-1.

Q1

(2)證明由(1)知，g(x)=—G+Q+X，

則段)+四)q2=1—巖InYWp+1xM

令h(x)=1一甲一專一舁總21),

?AvA

則人⑴=0,〃(?=二/

因為所以4(%)=￥+?+AO,

所以以X)在［1,+8)上單調遞增，

所以當時，力。)2萬(1)=0,

即1—呼一

2

所以當工21時，J(x)+g(x)^-

思維升華待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構造“左減右”的函數(shù)，

有時對復雜的式子要進行變形，利用導數(shù)研究其單調性和最值，借助所構造函數(shù)的單調性和

最值即可得證.

跟蹤訓練1(2021?武漢調研)已知函數(shù)/(x)=lnx+",

人

(1)討論函數(shù)段)的單調性;

勿—1

⑵當。>0時?，證明火.

(1)解f(工)=9一丞=](工>。)?

當aWO時,/(x)>0,7U)在(0,+8)上單調遞增.

當4>0時，若X>4,則/(%)>0,

函數(shù)./U)在(4,+8)上單調遞增；

若0<v<?,則/(A)<0,逐數(shù)fix)在(0,a)上單調遞減.

(2)證明由(1)知，當a>0時，段)min=7(a)=lna+l.

O/i-12a—1

要證./U)2---,只需證Ina+12—~—,

即證Ina+,-120.

a

令函數(shù)g(〃)=ln1,

則g(〃)=,一浸=-^-(4>。)，

當0<a<l時,g'(a)<0;當a>\時，g'(?)>0,

所以g(a)在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，

所以g(a)min=g(l)=O.

所以Ina+(—120恒成立，

2d—1

所以抵幻2丁.

J題型二將不等式轉化為兩個函數(shù)的師生共研

最值講行比較

例2(2020?長沙模擬)已知函數(shù)人工)=近一.dnx.求證：當x>0時，y(x)<xev+-.

證明要證外)0cA+',只需證ex—Inx<e'-!--,即eA—e'<lnx+L令//(%)=Inx+~(A>0),

ee.ie.tex

則分'(X)='J,易知力㈤在(o，3上單調遞減，在Q,+8)上單調遞增，則/?a)min=/?6)

=0,所以lnx+L》O.再令以幻=5—仁則，(x)=e—er,易知夕(外在(0,1)上單調遞增，在

(1,+8)上單調遞減，則奴工品添二次》二。，所以ex—e'WO.因為力。)與0。)不同時為0,所

以ex—e'<lnx+工，故原不等式成立.

思維升華(1)若直接求導比較復雜或無從下手時，可將待證式進行變形，構造兩個函數(shù)，從

而找到可以傳遞的中間量，達到證明的目標.本例中同時含Inx與不能直接構造函數(shù)，

把指數(shù)與對數(shù)分離兩邊，分別計算它們的最值，借助最值進行證明.

(2)在證明過程中，等價轉化是關鍵,此處〃(X)min=9(X)max恒成立.從而夕(X)W/Z(X)恒成立,

但此處叭X)馬人(幻取到最值的條件不是同一個"X的值”，故0(犬)<人(%)恒成立.

跟蹤訓練2已知心)=xlnx.

⑴求函數(shù)火X)在[/,，+2](。0)上的最小值；

12

(2)證明：對一切x￡(O,+8),都有]成立.

⑴解由於)=.Hnx,QO,得/'(x)=lnx+l,令/(K)=0,得4=5.當K￡(O,J時,/(x)<0,

/CD單調速減；當“仁6，+8)時，/(刈>0,於)單調遞增.

①當0</<!</+2,即Ou1時，火X)min=/(；)=一)；

VV\v./V

②當；W/</+2,即/乂時,於)在上，，+2]上單調遞增，yu)min=")=/in/.令府)的最小值為

刎，

[-?0T，

所以的)={[

[/In/?

X9

(2)證明問題等價于證明Hnx>：一；(x￡(O,+°°)).由⑴可知/(x)=Mnx(x￡(O,+8))的最

VV

11Y21""X

小值是一7當且僅當時取到.設m(x)=￡—式.1￡(0,+8)),則用'(%)==-,由〃?'(x)vO,

vvCvv

得X>1時，，"(X)單調遞減，由〃7'。)>0得Ow1時，m(X)單調遞增,易知皿X)max="Z(l)

I1x2

=一二，當且僅當時取到.從而對一切工￡(—二：一妻，兩個等號不

Cx=l0,+8),Mnv2vC

I2

同時取到，所以對一切)都有皿￡>三一；成立.

xW(O,+8v7C.X

J題型三適當放縮證明不等式師生共研

2

例3已知函數(shù)/)=。1心-1)+不7[，其中。為正實數(shù).證明:當人>2時，段)《?+伍-l)x

—2a.

證明令3(x)=lnx—x+1,其定義域為(0,+°°),

,I1—x

中。)=丁1=丁^

當x￡(0』)時，(P1(A)>0；當x￡(l,+8)時，/。)<0,

???p(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+8)上單調遞減,

8(X)max=3(1)=0,

，0(x)WO,

即InxWx—1,當且僅當/=1時取“=”.

當x>2時，ln(.r-l)<x-2,

又a>0,

/.?ln(x—1)<?(^—2).

要證/(x)<er+(。-1)x—2。，

2

只需證aln(x—1)+_]Ve"+(a—\)x—2a

Xif

2

只需證tz(x-2)H~r<etH-(tz-l)x-2?,

X1

2

即8—X—告>0對于任意的x>2恒成立.

x—1

2

令/?Cv)=er-X-x>2,

X1

2

r

則(.r)=e-l+(A.

因為心>2,所以力'(x)>0恒成立，

所以加工)在(2,+8)上單調遞增，

所以/z(x)>/z(2)=e2—4>0,

所以當x>2時，Ki)ve'+(a—一%.

思維升華導數(shù)方法證明不等式中，最常見的是和In%與其他代數(shù)式結合的問題，對于這

類問懣，可以考慮先對F和Inx進行放縮，使問題簡化，簡化后再構建函數(shù)進行證明.常見

的放縮公式如下：(1)821+/當且僅當x=0時取等號.(2)lnxWx-1,當且僅當x=1時取

等號.

跟蹤訓練3已知函數(shù)/U)=aeLi—]nx—1.

⑴若。=1,求/U)在(I,川))處的切線方程；

(2)證明：當心1時，危)20.

(1)解當a=\時，yU)=cLi—lnx—l(x>0),

/(x)=b—；,

k=f(1)=0,

又川)=0,

???切點為(1,0).

，切線方程為丁一0=0(工一1),即y=0.

(2)證明：。21,aex~12e'-1,

2cxl—Inx—1.

方法一令s(x)=e*?-Inx-I(.v>0),

r

:?C(x)=e人

令人(1)=^|一］，

h'(x)=ev'+A>0,

???，(x)在(0,+8)上單調遞增，又“(i)=o,

???當x￡(0,l)時，q>'(A)<0;

當x￡(l,+8)時，,(萬>0,

???8(x)在(。,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，

**?8(X)min=夕(1)=0,

?7/(x)23(x)20,

即證人x)20.

方法二令雙x)=e'—x—l,

：.g'(x)=ev-l.

當X￡(-8,0)時，gr(x)<0；

當xW(0,+8)時，gr(x)>0,

??.g(x)在(-8,0)上單調遞減,在(0,+8)上單調遞增,

??g(x)min=g(0)=o,

故當且僅當x=0時取“=”.

同理可證InxSx-l,當且僅當x=l時取"=".

由當且僅當％=1時取“=”)，

由％—12111五=犬2111犬+1(當且僅當4=1時取“=”)，

，尸2x2Inx+I,

即e—lnrH,

即尸」lnx-120(當且僅當工=1時取“=”)，

即證?r)20.

方法三yCx)=?er-1—InA—1,定義域為(0,+°°),

f(x)=aev

令^(x)=?ev-1—

1X

?\k'(x)=aev-|4-A>0,

：.f(文)在(0,+8)上單調遞增.

又/(l)=。-120且x-0時，/(x)f-8,

???三的￡(0,1］使/(xo)=0,即ae'oT-；=0,

X。

即。。廿=2

XQ

???當x￡(0,m)時，f(x)<0；

當x￡3),+8)時，f(.r)>0,

??,/U)在(0,村)上單調遞減.在(xn,+8)上單調遞增.

?\/(x)min=/Uo)=ae%T—Inxo—1=T—Inx—1.

AOQ

令3(K)=:一加工一1,x￡(0,l］,

???3(x)在(0,1］上單調遞減,

0(X)min=。⑴=0,

，8(X)20,

/.——Inxo—120,

Xo

即Ar)min=?ro)2O,故貝620.

拓展視野極值點偏移問題

極值點偏移問題常作為壓軸題出現(xiàn)，題型復雜多變.解決此類問題，先需理解此類問題

的實質，巧妙消元、消參、構造函數(shù)，利用函數(shù)的性質解決問題.

例1己知函數(shù)以￥)=疣一".

(1)求函數(shù)火幻的單調區(qū)間；

⑵若X1WX2且凡￥|)=兀12)，求證：X\4-X2>2.

(1)解/(x)=e-\l-x),

令/(x)>0得XVI；令/沁<0得Q1,

???函數(shù)7U)在(一8,I)上單調遞增，在(],+8)上單調遞減.

⑵證明方法一(對稱化構造法)

構造輔助函數(shù)?(1)=八。一;(2—幻，Q1,

則F'(.r)=/(x)+/(2—X)=e"(1—x)+e(-2(x—1)

=(x-l)(ev-2-e-r),

???當心>1時，x—l>0,ex-2-e_'>0,:.F(x)X),

???F(x)在(I,+8)上單調遞增，AF(x)>F(l)=O,

故當心>1時，Ax)>fi2-x)9(*)

由/Ul)=/(X2),可設

將X2代入(*)式可得/2)》2—工2)，

又凡口)=78),

???/。次2—功?

又X|<1,2—X2〈l,而危)在(一8,1)上單調遞增,

/.X1>2-X2?

.*.X|+,V2>2.

方法二(比值代換法)

X2

設0<內<1令2,人工1)=人X2)即為eF=x2e~,

取對數(shù)得InA|-Al=InX2-X2.

令則12=小，代入上式得Inxi-Xi=lnr+lnxi—兇，得國=：^,,口=

X!t~1

??兇+X2=$>2OML簾4),

、n2(/-1)

設g⑺=lnt-/+1(z>l),

.,，八12"+l)—2(1—l)(L1)2

—(Z)-r(/+1)2-r(z+l)20,

J當>1時，g⑺單調遞增，???身(l)>飄1)=0,

/.Int-；)>0?故％i+X2>2.

例2已知函數(shù)/x)=lnx-ax有兩個零點x\,xi.

(1)求實數(shù)。的取值范圍：

⑵求證:xi%2>e2.

An7、11-orc

解

(1)f(x)=人--6r=—人—(x>0),

①若〃W0,則/U)>0,不符合題意；

②若a>0,令/(x)=0,解得彳=；.

當x￡（°，0時，f（?°；

當+8）時，/（x；<0.

由題意知人x）=hix—or的極大值>0,解得

所以實數(shù)〃的取值范圍為（0,

（2）證明因為yu）=一小。所以\<X]<^<X2.

構造函數(shù)//（x）=/Q+.r）-/Q-x）

所以〃（K）在（0,3上單調遞增，

故〃a）>H（o）=o,即/e+x）》6一,

1,21

由I<vi<^<r2,知￡一彳|>"，

故人均=73）

=/《-9―必））寸G+弓一

因為凡0在（J,+8）上單調遞減，

22

所以X2>~—X\,即X\4-X2>-.

Clu

故lnxiX2=lnxi+ln12=。（0+處）>2,

即XL〉?2.

課時精練

用基礎保分練

1.（2021?芾田模擬）已知函數(shù)?1）=心門―3+1,曲線y=/U）在點（2,八2））處的切線/的斜率

為3e—2.

⑴求。的值及切線/的方程；

（2）證明：yu）>o.

⑴解由於)=xe「?—at+1,

得/(x)=(A+l)ev-|-?,

因為曲線y=Ar)在點(2,次2))處的切線/的斜率為3e—2,所以，(2)=3e-a=3c-2,解得。

=2,

所以)2)=2e-4+l=2e-3,故切線/的方程為y—(2e—3)=(3e—2)(x—2),即(3e—2k一y

—4e+1=0.

所以a=2,切線/的方程為(3e-2)x-y-4e+l=0.

(2)證明由(1),可得.以)=朧「一2\+1,

f(幻=。+1把廠1一2,

所以當工￡(一8,—I］時，/(x)<0.

令g(x)=(x+l)ev-1-2(x>-1),

則g'(%)=(%+2)e'-|>0,

所以當工￡(-1,+8)時,g(x)單調遞增，

即/(%)單調遞增，又因為/(1)=0,

所以當了￡(一1』)時，fa)<o，

當x￡(l,+8)時，/(x)>0,

所以7U)在(-8,I)上單調遞減，

在(1,+8)上單調遞增.

所以火X)電1)=0.

2.(2021?滄州七校聯(lián)考)設a為實數(shù)，函數(shù)外)=e，-2t+2&x￡R.

(1)求7U)的單調區(qū)間與極值；

(2)求證：當a>ln2—1且A>0時，e'>x2—2^x4-1.

⑴解由火幻=^一2x+〃，x￡R,得/(x)=ex-2,x€R,令/(幻=0,得x=ln2.

于是當x變化時，/(x),./U)的變化情況如下表：

X(-8,In2)In2(In2,+°°)

f(X)—0+

fix)X2(1-In2+a)/

故7U)的單調遞減區(qū)間是(-8,In2),單調遞增區(qū)間是(In2,+8).

在x=ln2處取得極小值，極小值為?ln2)=2(l—ln2+a),無極大值.

(2)證明設且(幻=^—/+2ar—1,x￡R.于是g‘(幻=厘一2x+2a,xGR.

由(1)知當”>ln2—1時，/。)的最小值為/(In2)=2(1—In2+。)>0.于是對任意x￡R,都

有百(%)>0，

所以g(x)在R內單調遞增.

于是當a>ln2—l時，對任意x￡(0,+-),都有以戲>奴0).

又g(0)=0,從而對任意了三(0,+°°),g(x)>0.

即廿一(+2《a一1>0,故e'>x2—2av+1.

3.已知函數(shù)y(x)=elnx—ov(aWR).

(1)討論7U)的單調性：

(2)當a=e時,證明：.觀幻一e^+ZexWO.

(1)解f(A)=^a(.v>0).

①若aWO,則/(x)>0,J力在(0,+8)上單調遞增；

②若。>0,則當。令需時，/(x)>0；當上若時，/(A)<0.

故於)在(o,5上單調遞增，在色+8)上單調遞減.

(2)證明因為心>0,所以只需證火幻W9—2e,

當。=e時，由(1)知，火處在(0,1)上單調遞增，

在(1,+8)上單調遞減.所以人此gx=/U)=-e,

e'(x—l)ev

記ga)=；-2e(x>0),則g'(x)=-

所以當0<x<l時，g'(x)<0,g(x)單調遞減；當￡>1時，g'(x)>0,g(x)單調遞增,

所以g(%)min=g(l)=-e,

綜上，當x>0時，>/U)Wg(.r),

即7U)W不一2e,即xfix)-ex-\-2exW0.

甌技能提升練

4.已知函數(shù)y(x)=lnx—a/cER).

(1)討論函數(shù),/(x)在(0,+8)上的單調性；

(2)證明：ev-e2ln工>0恒成立.

(1)解?r)的定義域為(0,+~),

當aWO時，/。)>0,???/工)在(0,+8)上單調遞增，

當。>0時，令/(x)=0,得"=5，

???、￡(0,￡)時，f(x)>0；+8)時，f(x)<0,

?g）在（o,0上單調遞增，在色+8）上單調遞減.

（2）證明方法一要證e*—e21nx>0,即證e「2>]nx,

令（p（x）=ei—x—1,：.§’（x）=et—1.

令“。）=0,得x=0,???x￡（—8,0）時,“（x）<0；

xe（o,+8）時，“（力>0,

???8（x）在（-8,0）上單調遞減，在（0,+8）上單調遞增，

，8（X）min=9（0）=0，

即8一4一120,即FNx—l,當且僅當x=0時取“=”.

同理可證InxWx-l,當且僅當x=l時取“=”.

由當且僅當工=0時取“=”），

可得?廣22%一|（當且僅當》=2時取“=”），

又hixWx—1,即x—121nx,當且僅當x=1時取“=”，

所以且兩等號不能同時成立，

故e'NMnx.即證原不等式成立.

方法二令9（x）=eJ/lnx,9。）的定義域為（。，+°°）?

"（x）=e'-Y?令a（x）=e'-[,

（A）=er+^2>0,

???，（X）在（（），+8）上單調遞增.

又，（l）=e—e2<0,o'（2）=e2—^e2=^e2>0,

故mxo￡（l,2）,使“（xo）=O,

即e%一貯=0,

Xo

即e%工，

Xo

，當x￡（0,xo）時，（Pr（x）<0；

當x￡（xo.+8）時，伊