§8.7拋物線

【考試要求】1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質2通過圓

錐曲線與方程的學習，進一步體會數形結合的思想.

主干梳理基礎落實^

知識梳理

I.拋物線的概念

（1）定義：平面內與一個定點尸和一條定直線/（/不經過點用的距離相等的點的軌跡.

⑵焦點：點尸叫做拋物線的焦點.

（3）準線：直線/叫做拋物線的準線.

2.拋物線的標準方程和簡單幾何性質

標準方程)2=2〃4(〃>0)產-2PMp>0)/=2〃必>0)-2/?v(p>0)

*

圖形黑不怖

范圍x2O,xWO,u￡Rv20,x￡RyWO,x￡R

焦點(-M（。鄉(xiāng)

準線方程

對稱軸%軸y軸

頂點(00)

離心率e=\

【微思考】

1.拋物線定義中，若/經過點尸，則點的軌跡會怎樣？

提示若/經過點F,則到產與到/距離相等的點的磯跡是過點尸且與/垂直的直線.

2.怎樣計算拋物線的焦半徑（拋物線上的點到焦點的距離）？拋物線的焦點弦的最小值是多

少？

提示拋物線VnZpxOAO）上一點P（xo，W）到焦點的距離（焦半徑）為4o+*拋物線的焦點弦

的最小值是2P（通徑的長度）.

基礎自測

題組一思考辨析

1.判斷下列結論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（1）平面內與一個定點廠和一條定直線/的距離相等的點的軌跡一定是拋物線.（X）

（2）方程），=加5工0）表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是0）,準線方

程是l=一*（X）

（3）拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.（X）

（4）若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線一定相切.（X）

題組二教材改編

2.過拋物線）2=4%的焦點的直線/交拋物線于P（%i，V）,Qg力）兩點，如果XI+%2=6,

則|PQ等于（）

A.9R.8C.7D.6

答案B

解析拋物線產=44的焦點為"1,0）,準線方程為l=一1.根據題意可得，\PQ\=\PWQF]

=x\+1+幻+1=x\+及+2=8.

3.拋物線）2=8x上到其焦點尸距離為5的點的個數為.

答案2

解析設Pgyi）,則|PF|=xi+2=5,得即=3,雄=±2&.故滿足條件的點的個數為2.

4.已知A（2,0）,4為拋物線）1=人?上一點，則的最小值.為.

答案號

解析設點8（x,>-）?則工=尸》0,

所以當4=5時，歸用取得最小值，且|AB|min=乎.

題組三易錯自糾

5.（多選）頂點在原點，對稱軸為坐標軸且過點p（—2,3）的拋物線的標準方程是（）

9

-

-戈

2

94

AC.--

-2-v3

答案BC

94

解析設拋物線的標準方程是產=日或爐=沖，代入點P(—2,3),解得仁一宗加=去

JJ

94

所以＞2=--A-或/=袁.

6.設拋物線＞2=84?的準線與x軸交于點Q,若過點。的直線/與拋物線有公共點，則直線/

的斜率的取值范圍是_____.

答案[-1,1]

解析0(-2,0),當直線/的斜率不存在時，不滿足題意，故設直線/的方程為y=Mx+2),

代入拋物線方程，消去)，整理得公小+(4公-8)x+442=0,

由4=(4/-8)2-4&2.軟2=64(1—&2)2。，

解得一1WAW1.

題型突破核心探究

J題型一拋物線的定義和標準方程H主演練

1.(2020.全國I)已知4為拋物線C：)2=2W(〃＞0)上一點，點A到。的焦點的距離為12,到

)，軸的距離為9,則〃等于()

A.2B.3C.6D.9

答案C

解析設A(.r,y),由拋物線的定義知，點4到準線的距離為12,即x+?=l2.

又因為點A到)，軸的距離為9,即x=9,

所以9+鄉(xiāng)=12,

解得p=6.

2.設拋物線)?=2/?的焦點在直線2A+3y-8=0上，則該拋物線的準線方程為()

A.x=—4B.x=—3

C.x=-2D.x=~\

答案A

解析直線2x+3y—8=。與x軸的交點為(4,0),??.拋物線尸=2px的焦點為(4,0),?,?準線方

程為x=-4.

3.動圓過點(1.0),且與直線上=-1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為.

答案爐=4]

解析設動圓的圓心坐標為(x,y),則圓心到點(1.0)的距離與到直線工=-1的距離相等，根

據拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為產=4工

4.（2020?佛山模擬）已知拋物線r=2〃）。＞0）的焦點為凡準線為/,點P（4,）叫）在拋物線上,

K為/與y軸的交點，且|尸園=也|尸Q，則和=,〃=.

答案24

解析作PA/_U,垂足為以由拋物線定義知|PM=|PQ，又知儼川=地儼?1，

???在RtAPKM中，3]/尸長0=黑=黑=#，

：,/PKM=45。,???△PMK為等腰直角三角形，???|PMTMK|=4,又知點P在拋物線f=

2〃），（p＞0）上,

2yo=8,

〃=4,

解得,

泗+齊4,yo=2.

思維升華（1）應用拋物線定義的兩個關鍵點

①由拋物線定義，把拋物線上點到焦點距離與到準線距離相互轉化.②拋物線焦點到準線的

距離為p.

（2）求拋物線標準方程的常用方法是待定系數法，其關鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程

的類型已經確定的前提下，由于標準方程只有一個參數p,只需一個條件就可以確定拋物線

的標準方程.

J題型二拋物線的幾何性質及應用多維探究

命題點I焦半徑和焦點弦

例1⑴已知拋物線爐=22。＞0）上橫坐標為4的點到此拋物線焦點的距離為9,則該拋物線

的焦點到準線的距離為（）

A.4B.9

C.10D.18

答案C

解析拋物線產2Px的焦點為像0）,準線方程為尸一與

由題意可得4+3=9,解得〃=10,

所以該拋物線的焦點到準線的距離為10.

（2）設尸為拋物線C：）2=3x的焦點，過尸且傾斜角為30。的直線交。于A,8兩點，。為坐

標原點，則△Q48的面積為（）

.3小c嶇"「9

A-4B-8C-32D4

答案D

解析由已知得焦點坐標為帽，0）,

因此直線AB的方程為即4x—4小y—3=0.

方法一聯立直線方程與地物線方程化簡得4）。-12小y—9=0,/>0顯然成立,

則劃+ys=3小,yAyB——7,

故M—沖I=叱）7+沖）2-4%卅=6.

II39

-xX6=

因此S^OAB=2\OF\^A>'d=J44-

91Q

方法二聯立直線方程與拋物線方程得f一號工+7=0,

216

21

/>（）顯然成立，故心+切=3~.

213

根據拋物線的定義有|A=m+.18+”=K+]=12,

1-313

同時原點到直線A/3的距離為4=

^42+(-4<3)281

因此SAOA8=3B科d=*

命題點2與拋物線有關的最值問題

例2（1）已知拋物線），2=4月過焦點F的直線與拋物線交于4,B兩煎,過A,4分別作），軸

的垂線，垂足分別為C,。,則|AC|+|B/）|的最小值為.

答案2

解析由題意知F（l,0）,\AC\-\-\BD\=\AF\-\~\FB\-2=\AB\-2,即|AC|+|8Q|取得最小值時當且

僅當|/W|取得最小值.依據拋物線定義知，當H網為通徑，即|A陰=2〃=4時為最小值，所以HC|

+|BD|的最小值為2.

（2）設P是拋物線）2=4x上的一個動點，則點P到點4一1,1）的距離與點P到直線A--1

的距離之和的最小值為.

答案小

解析如圖，易知拋物線的焦點為“（1,。），準線是工=一1,

由拋物線的定義知點P到直線x=-1的距離等于點P到尸的距離.

于是，問題轉化為在拋物線上求一點P,使點?到點A（一U）的距離與點P到R1.0）的距離

之和最小，

顯然，連接人廠與拋物線相交的點即為滿足題意的點，

此時最小值為叱1一（一1升+（0-1）2=木.

思維升華（1）由拋物線的方程可以確定拋物線的開口方向、焦點位置、焦點到準線的距離，

從而進一步確定拋物線的焦點坐標及準線方程.

（2）與拋物線有關的最值問題的兩個轉化策略

轉化策略一：將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到位點的距離，構造出“兩點之間線

段最短”“三角形兩邊之后大于第三邊”，使問題得以解決.

轉化策略二：將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的

連線中垂線段最短”原理解決.

跟蹤訓練1（1）已知拋物線f=4〉，上有一條長為6的動弦A&則48的中點到x軸的最短距

離為（）

33

A]B，2C.ID.2

答案D

解析由題意知，拋物線的準線/：y=-l,過點A作A4i_L/交/于點4,過點8作

交/于點8,設弦A8的中點為M,過點M作MM_L/交/于點Mi,則附跖|=出與幽.

因為HB|W|AF|+|BF|（/為拋物線的焦點），即HQ+IBF126,所以|A4i|+|BB廬6,2|MM」26,

故點M到x軸的距離d22,故選D.

（2）若拋物線產=4X的準線為/,2是拋物線上任意一點，則P到準線/的距離與P到直線3戈

+4y+7=0的距離之和的最小值是（）

1314

A.2B.yC.yD.3

答案A

解析由拋物線定義可知點P到準線/的距離等于點夕到焦點尸的距離，由拋物線）2=4X及

直線方程3x+4），+7=0可得直線與拋物線相離.，點P到準線/的距離與點P到直線3x+4y

13+71

+7=0的距離之和的最小值為點尸（1,0）到直線3x+4y+7=0的距離，即2.故選A.

^32+42

,題型三直線與拋物線師生共研

例3（2021?湖州模擬）如圖，已知拋物線/=?點4（一去；），破，?，拋物線上的點P（x,

），）（一過點8作直線4P的垂線，垂足為Q.

（1）求直線AP斜率的取值范圍；

（2）求|網?|PQ的最大值.

解（1）設直線A〃的斜率為

v2_1

41

k=j-=x—z,

x+g

13

因為一可，

所以直線AP斜率的取值范圍是（一1,1）.

（2）聯立直線AP與4Q的方程

（左丫一女+[=0,

I93

Ix+A>?—jZ：—2=0,

解得點Q的橫坐標是x°=2（/+1）.

因為附|=W+/（X+￡）=卜1+22伏+1）,

小尸肝心。-幻=-（匕船『，

yJk-+1

所以照卜|尸。|=一伏一1）伏-1）3.

令必）=一也一1）（4+1）3,因為，仕）=一（軟一2）優(yōu)+1）2,

所以火攵）在區(qū)間（一1,9上單調遞增，G，1）上單調遞減，

1?7

因此當攵=]時，|%IMQ|取得最大值正.

思維升華（1）求解直線與拋物線問題，一般利用方程法，但涉及拋物線的弦長、中點、距離

等問題時，要注意“設而不求”“整體代入”“點差法”以及定義的靈活應用.

（2）有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點（設焦

點在工軸的正半軸上），可直接使用公式|人用=占+及+〃，若不過焦點，則可用弦長公式.

跟蹤訓練2（1）（2020?濟南期末）直線y=x^b交拋物線產%于A,3兩點，O為拋物線頂點,

OA1OB,則人的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

答案D

解析設A(%i,yi),Bg,J2),將y=x+b代入丁="，化簡可得x2—2x—2/?=0,故?+也

=2,.iiX2=—2仇所以)叮2=工工2+〃(總+12)+岳=〃.又OA_LO&所以工工2+》)，2=0,即

—2b+b2=0,則6=2或方=0,經檢驗》=0時，不符合題意，故〃=2.

(2)已知尸為拋物線C)N=4x的焦點，過尸作兩條互相垂直的直線八，h，直線6與C交于

A,B兩點,直線々與C交于。，E兩點,則H/3|+|QE|的最小值為()

A.16B.14C.12D.10

答案A

解析拋物線C:)2=4%的焦點為尸(1,0),由題意可知/i，/2的斜率存在且不為。.不妨設直線

八的斜率為火，則直線/2的斜率為一；，故人y=k(x-l),

，2：y=-^x-i).

y-=4j,

由消去y得好/一(2女2+4口+好=0.

ly=k(x~\),

2好+44

設4汨，J|),8(X2,)'2),.，.X|+X2=；L^2~=2+后，

4

由拋物線定義可知，\AB\=x\+X2+2=4+73.

KT

同理得|。芯|=4+必2,

.??H3|+|Q￡]=8+4R+W28+2代=16.

K

當且僅當！=N,即左=±1時取等號.

/C

故H8I+IOE]的最小值為16.

課時精練

應基礎保分練

I.(2019?全國II)若拋物線./=2〃即＞0)的焦點是橢圓會+5=1的一個焦點，則p等于()

opP

A.2B.3C.4D.8

答案D

解析由題意知，拋物線的焦點坐標為g,0),橢圓的焦點坐標為(士折，0),所以§=后,

解得〃=8,故選D.

2.（2020?全國III）設0為坐標原點，直線x=2與拋物線C：）2=2外。>0）交于。，E兩點,若

OD±OE,則。的焦點坐標為（）

A.Q,0）B.&0）C.（1,0）D.（2,0）

答案B

解析方法一???拋物線C關于x軸對稱，

???。，E兩點關于工軸對稱.

可得出直線x=2與拋物線的兩交點的坐標分別為（2,2辦），（2,—2⑺）.

不妨設。（2,2近）,E（2,一2辦），

則而=（2,2辦），赤=（2,-2辦）.

又???OO_LOE,

，"歷=4一4〃=0,解得〃=1,

???C的焦點坐標為弓，0）.

方法二???拋物線。關于x軸對稱，

???/）,E兩點關于x軸對稱.

???OO_LOE,???O,E兩點橫、縱坐標的絕對值均相等.

不妨設點。（2,2）,將點D的坐標代入C：）2=2明，

得4=4〃，解得〃=1,故C的焦點坐標為（：，0）.

3.中國古代橋梁的建筑藝術，有不少是世界橋梁史上的創(chuàng)舉，充分顯示了中國勞動人民的非

凡智慧.一個拋物線型拱橋，當水面離拱頂2m時，水面寬8m.若水面下降1m,則水面

寬度為（）

A.2加mB.4-76mC.4小mD.12m

答案B

解析由題意，以拱橋頂點為原點，建立平面直角坐標系,

設拋物線方程為x2=-2/?v（p>0）,

由題意知，拋物線經過點A（-4,—2）和點8（4,—2）,

代入拋物線方程解得〃=4,

所以拋物線方程為』=一8），，

水面下降1米，即），=—3,解得不=2#,也=-2加，

所以此時水面寬度d=2xi=4#.

4.（2020?北京）設拋物線的頂點為。，焦點為凡準線為/.P是拋物線上異于。的一點，過P

作I/于Q,則線段FQ的垂直平分線（）

A.經過點。B.經過點P

C.平行于直線OPD.垂直于直線O尸

答案B

解析如圖所示，P為拋物線上異于。的一點，

則|PF|=|PQ,

???。尸的垂直平分線經過點P.

5.（多選）設拋物線＞，=加3＞0）的準線與對稱軸交于點P,過點P作拋物線的兩條切線，切點

分別為A和8則（）

A.點，的坐標為（0，一方

B,直線AB的方程為），￡

C.PALPB

D.H用=土

答案ABC

解析由丁=卅得，］2=%,則焦點*，土）.

OO，A2p=-,???〃=?，

其準線方程為尸一看認0,-￡）,A正確；

卜=加，

設切線方程為），=履一了;（AW0）,由＜1

?！璅，

得or2—攵r+5=0,

令4=A2-4XaX*=0,解得2=±1.

???設切點A￡,e'4一=5

因此直線/W的方程為尸。B正確;

又從=隔/p&=（'/

???麗?麗=_a+表=0.

從而無_L無，即附03,C正確;

明=崗-（014D錯誤.

6.（多選）已知拋物線C：＞2=2〃的＞0）的焦點為F,斜率為小且經過點尸的直線/與拋物線C

交于4,8兩點（點A在第一象限），與拋物線的準線交于點。，若|AQ=4,則以下結論正確

的是（）

A.〃=2B.尸為AO的中點

C.\BD\=2\BF\D.|B尸|=2

答案ABC

解析如圖.

咯，。），直線/的斜率為小，

則直線/的方程為），=小（工一勻，

y=2/xv,

聯斗尸對T）.

得12^—20妙+3〃2=0.

/31

解得XA=R）,XB=@,

3

由H/]=Xp+?=2p=4,得p=2.

，拋物線方程為/=4.v.

I1

切十巧,

14

則|8F|=q+l=w；

4

\BF\38

\BD\=

cos60°13'

2

：.\BD\=2\BF\t

84

|8D|+|BQ=Q+3=4,則尸為A。的中點.

故選ABC.

7.（2020?新高考全國I）斜率為小的直線過拋物線C：）R=4X的焦點，且與C交于A,B兩點、,

則|4陰=.

Mg16

答案—

解析如圖，由題怠得，拋物線焦點為尸（1,0）,

設直線A8的方程為y=?。üひ?）.

產小(1),

由“

y=4x,

得3/一10=+3=0.

設A(xi,yi),8(x2,刈，

則1]+/2=￥，所以|4陰=；1|+12+2=號.

8.已知直線/是拋物線y=2px（p>0）的準線，半徑為3的圓過拋物線頂點O和焦點F與/相

切，則拋物線的方程為.

答案爐=8]

解析???半徑為3的圓與拋物線的準線/相切,

???圓心到準線的距離等于3,

又???圓心在O尸的垂直平分線上,|0月二5

§+§=3,???p=4,故拋物線的方程為尸=8.

9.直線/過拋物線C)，2=2px(p>0)的焦點”(1,0),且與C交于A,8兩點，則〃=,n方

1

m

答案21

解析由題意知g=1,從而〃=2,

所以拋物線方程為)，2=4.r.

當直線4B的斜率不存在時，將x=l代入拋物線方程，解得|AQ=|8F1=2,

從而由+麗=L

當直線A8的斜率存在時，設A8的方程為)=《%—1),

y=k(x-i)

聯立)t

y=4.v,

整理，得&2/-(2d+4)x+〃2=o,

設A(?,yi),BCm%),

2好+4

汨+'=個

則<

X\X2=1，

口一1,1_____]_____I______為+-+2XI+42+2_

“'便麗十麗=汨+1+丁7=箝+1+.叫氏+1=K+也+2=L

綜上，麗+麗=L

10.點尸為拋物線)2=4x上的動點，點A(2,l)為平面內定點，尸為拋物線焦點，則：

(1)1網+|PQ的最小值為：

⑵解|一儼/]的最小值為,最大值為.

答案⑴3(2)-72也

解析(I)如圖1,由拋物線定義可知，|PF]=|P，|,|%|+|PF|=|以|+|P"1，從而最小值為A

到準線的距離為3.

(2)如圖2,當P,A,產三點共線，且尸在用延長線上時，|力|一|PF|有最小值為一閃回=一小.

當尸，A,尸三點共線，且尸在A/延長線上時，|以|一『外有最大值為故|陰|一|P網

的最小值為一小，最大值為港.

11.定長為3的線段A8的端點A,B在拋物線32=x上移動，求A8的中點到），軸距離的最

小值，并求出此時A8中點的坐標.

解如圖所示，F是拋物線），2=工的焦點，

過A,B兩點作準線的垂線，垂足分別為C,D,

過A8的中點M作準線的垂線MN,垂足為N,

則|M/M=；（|/1C|+|BQ|）.

連接人凡BF,由拋物線的定義知HC|=|AP|,|8。|=舊八

所以|MN1=|（h4F|+|8司）2y48|=*

設點M的橫坐標為x,則MN]=r+1,

3I5

所以1一不=不

當弦4B過點尸時等號成立，

此時，點M到），軸的距離最短，最短距離為京

設A。〕，yi）,8（X2,竺），則為+工2=2匕

當x=Z時,易知》”=_,=一：,

所以8+父）2=5+於+2yly2=2Y_g=2.

所以巾+丁2=力，得y=彎,即M修，±^.

12.（2021?沈陽模擬）已知拋物線C：x2=2py（p>0）,其焦點到準線的距離為2,直線/與拋物

線C交于A,B兩點、,過A,3分別作拋物線。的切線小，b,且人與心交于點M.

⑴求〃的值；

（2）若八_L/2,求△M4B面積的最小值.

解（1）由題意知，拋物線焦點為（0,

準線方程為尸一歲

焦點到準線的距離為2,即〃=2.

（2）由（I）知拋物線的方程為#=4），，

即丁="必，所以=5,

設4汨，yi),8(X2,>2),

/1：y_、=翔一川,

/2：y~J=^(X-X2),

由于［JJ2,所以日若=-1,

即X|X2=-4.

設直線,的方程為)，=履+，〃，與拋物線方程聯立，

得。'=履+〃?，

lx2=4)',

所以爐一4米一4〃?=0,/=16尸+166>0,

XI+X2=4A,jqx2=-4〃?=—4,所以〃?=1,即/：y=Ax+l.

X|X?

y=2x~7f鼠=2限

、得即M(2k,-1).

(y專-半尸一葭

，上門士,…-匚+,K2A+1+1I2|F+1|

M點到直線/的距離4后’

HBl=yj(l+^2)l(xi+x2)2—4xiX2j=4(1+F),

?|P4-11

所以S=±X4(1+公)X=4(1+/戶24,

\1+公

當2=0時，△MAB的面積取得最小值4.

用技能提升練

13.拋物線爐=4)，的焦點為E過點尸作斜率為坐的直線/與拋物線在)，軸右側的部分相交

于點A，過點A作拋物線準線的垂線，垂足為"則廠的面積是()

A.4B.3小C.4小D.8

答案C

解析由拋物線的定義可得HF|=|A"|，

TA戶的斜率為當，，直線A