專題02函數(shù)的單調(diào)性與最值

目錄

A題型建模?專項突破...............................................................1

題型一、定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性（重點(diǎn)）.........................................................1

題型二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.......................................................................2

題型三、由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)（難點(diǎn)）..........................................................3

題型四、函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用I：比較大小..........................................................4

題型五、函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用H：解不等式...........................................................5

題型六、函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用in：求最值（范圍）（常考點(diǎn)）.........................................6

B綜合攻堅-能力躍升..............................................................7

A題型建模?專項突破

題型一、定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性（重點(diǎn)）

1.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）已知函數(shù)/（x）的定義域為R,則下列說法中正確的是（）

A.若“力滿足則“X）在區(qū)間［0,1］內(nèi)單調(diào)遞增

B.若/（X）滿足則/（x）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減

C.若/（外在區(qū)間［。,1］內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間［1,2］內(nèi)單調(diào)遞增，則/（x）在區(qū)間［0,2］內(nèi)單調(diào)遞增

D.若“X）在區(qū)間［?！粌?nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（L2］內(nèi)單調(diào)遞增，則“X）在區(qū)間［0,2］內(nèi)單調(diào)遞增

2.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）設(shè)/（x）=x,g（x）=-L則（）

X

A.f（x）+g（x）在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增

B.〃”+g（”在區(qū)間（。,+8）上單調(diào)遞減

C.”x）-g（x）在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增

D./"）-g（x）在區(qū)間（。,+8）上單調(diào)遞減

3.（23-24高一上?浙江寧波?期中）（多選題）函數(shù)y=/（x）在0+8）是減函數(shù)，且0<K</，則下列選項

正確的是（）

A./(^1)>/(^2)B./U)-/(^)>0

/(百)一/(嘰0

C.(%-8)[/(%)-/(毛)]<0D.

(0,+oo),都有△<匕"％)>()”的是()

4.(多選題)下列函數(shù)中滿足“對任意內(nèi)，x2e

王一修

2

A./(A)=--B./(x)=-3x+i

C.〃x)=d+4x+3D./(x)=x-l

5.證明：定義在R上的函數(shù)〃x）=3x+〃是增函數(shù).

6.（25-26高一上?全國?隨堂練習(xí)）判斷函數(shù)在（-00,-2］上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義來

X

證明.

7.（23-24而一上?內(nèi)蒙古赤峰?月考）已知函數(shù)"x）=￡^（a,0wR）,且"l）=g,/（2）=i.

（1）求a和b的值;

⑵判斷了（力在［2,+a））上的單調(diào)性，并根據(jù)定義證明.

8.求證：〃力=一9+1在R上是減函數(shù).

題型二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

1.（25-26高一上?山東德州?開學(xué)考試）若函數(shù)/（x）的圖象如圖所示，則其單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.B.[-M]

C.[-2,2]D.[-4,-1],[1,4]

2.（24-25高一上.江蘇?月考）函數(shù)），=卜+1|的單調(diào)增區(qū)間是（）

A.(F-1)B.S,l)C.(-l,4oo)D.(1,+co)

3.（24-25裔一上?吉林長春?期中）函數(shù)/（幻=。-。|27|的匿調(diào)遞增區(qū)間為（）

33

A.弓⑵B.啜)

3

c.D.弓收）

4.（23-24高一上.江蘇連云港?期中）函數(shù)/（同=一二的單調(diào)減區(qū)間是________

x—3

5.（23-24高一上?河南新鄉(xiāng)?月考）函數(shù)/"）=：三的單調(diào)遞噌區(qū)間為.

6.（2025高一?全國?專題練習(xí)）函數(shù)）,二T的單調(diào)遞減區(qū)間為.

7.（24-25高一上?全國?課前預(yù)習(xí)）求函數(shù)/（工）=-犬+2兇+3的單調(diào)區(qū)間，并指出其值域

題型三、由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)（難點(diǎn)）

1.“函數(shù)/（x）=（Z-l）x-3在R上為增函數(shù)”是“Q2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（23-24高一上.江蘇南京?期中）已知函數(shù)/（"=">4）彳_%1之］，若函數(shù)/（月在R上單調(diào)遞增，則

實數(shù)〃的取值范圍是（）

2

——ax—5?EK1

3.已知函數(shù)/5)=〃是R上的增函數(shù)，則〃的取值范圍是()

—,x>1

A.-3WaW-2B.a<—2

C.-3<a<()D.a<0

,(2a+3)x-2a+2,xv1,,一/'(x)-/(.r).

4.已知函數(shù)/&)二,、、]，滿足：對任意X，Z￡R，當(dāng)工產(chǎn)一時，都有2’>。成

x~-ax+3,x>\-V]-x2

立，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(-oo,2]B.(-1,2]C.D.[-1,2]

av+—,xe（-a>,2）

5.（23-24高一上.山東泰安?期中）若實數(shù)。>0,函數(shù)/（"=:在R上是單調(diào)函數(shù)，則

x+—+2a,xe[2,+oo）

大

〃的取值范圍為（）

A.（0,4]B.[1,2]C.[1,4]D.[2,+8）

6.（24-25高一上?上海長寧?期末）已知函數(shù)/（"=-/+2*+3在區(qū)間[4.+8）上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實數(shù)。的

取值范圍是.

7.（24-25高一上?廣東湛江?月考）已知命題P：函數(shù)/"）=公2+（32-2卜-5在（—,1]上單調(diào)遞減，若命

題P是真命題，則k的取值范圍是.

8.（23-24高一上?廣東河源?月考）已知函數(shù)/（x）=|x-a|在區(qū)間[0.4]上具有單調(diào)性，則實數(shù)口的取值范圍

是?

9.已知函數(shù)f（x）=一Y4-S一在區(qū)旬（T”）上為增函數(shù)，則實數(shù)〃的取值范圍是____.

。+2-x

題型四、函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用I:比較大小

I.若函數(shù)/。)=(小-1口+〃在R上是增函數(shù)，則“⑼與/⑴的大小關(guān)系是()

A./(/?)</(I)B./(〃?)>/⑴

C./(/?)</(I)D./(^)>/(D

2.己知定義域為R的函數(shù)/(力，匕，內(nèi)<占，都有(芭一々)[/儲)一/(々)]<0,則()

A./(3)</(JC)</(2)B./(n)</(3)</(2)

C.〃2)<〃兀)<〃3)D.〃兀)<〃2)<〃3)

3.(24-25高一上?江蘇宿遷?期中)已知定義在R上的函數(shù)/*)滿足/(r)=/(x),且/(x)在(。什⑹上單

調(diào)遞減，則/(-3),/(|)J0的大小順序是()

A./(|)</(-3)</(1)B./(-3)</(|)</(夕

7575

C./(-)</(-3)</(-)D./(-)</(-)</(-3)

4.(24-25高一上?上海?課后作業(yè))函數(shù))，=/")在R上是嚴(yán)格增函數(shù)，且〃+。>0,則()

A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)

B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)

C.f[a}-f(b)>f(-a)-f(-b)

D.f(a)+f(b)<f(-a)-f(-b)

5.（25-26高一上.全國.課后作業(yè)）已知函數(shù)/（力的定義域為（0、+8）,且函數(shù)外力在（0,+司上單調(diào)遞減，

則f-4+1）與的大小關(guān)系為一.

題型五、函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用U:解不等式

（1、

I.已知函數(shù)/（X）是定義在。心）上的增函數(shù)，則滿足-的4的取值范圍是（）

\21「12]（12]「12）

l_33jL33J123）[23）

2.（24-25高一上?湖南?期中）己知函數(shù)/（X）對任意.々cR，總有（5-9）[/（%）-/'（毛）]＞。.若存在

xe（a-lM）使得不等式“3〃-力《/（4+/）成立，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.[-L2]B.[0,1]C.（-＜?,0）U（1,-KO）D.（-oo,-l]u[2,+oo）

3.（24-25高一上?內(nèi)蒙古赤峰?期末）已知函數(shù)y=〃r）的定義域為[-L4],滿足"“）一"電）＞0,且/⑶=o,

占一A

則不等式9（x）4。的解集為（）

A.（-OO,0]U[3,-HX＞）B.（F0）“3,+＜X）

C.[-1,0]U[3,4]D.[-l,0）U（3,4]

4.（23-24高一上?遼寧沈陽?期末）定義域為R的函數(shù)〃x）滿足〃3+X）=〃3T）,“4）=0,且％,

修43.長0）,當(dāng)用工七時.＞。,則不等式（x-3）f（x）＜0的解集為（）

NF

A.（-OO,2）54,+℃）B.（2,3）U（4,+oo）

C.（2,3）J（3,4）D.（YO,2）U（3,4）

5.（24-25高一上?安徽蚌埠?期末）已知函數(shù)/（X）滿足：VXPX2€R,當(dāng).x產(chǎn)々時，/（$），?）＞2恒成

馬一七

立，且/⑵=12,若/。叫之2/+8,則實數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.B.[-2,2]

C.（-00,-夜]U[應(yīng),+oc）D.（e,-2]U[2,+8）

6.（23-24高一上.山西大同?月考）已知/（x）是定義在R上的增函數(shù)，且/，-2）＜/（T）,則T的取值范圍

是.

7.（24-25高一上?江蘇淮安?月考）已知函數(shù)），=〃x）,xe[-3.3],對任意的a,b?[3,3]且aM,總有

/⑷-若/（〃7+1）＞/⑵小，則實數(shù)〃?的取值范圍是____.

a-b

8.已知函數(shù)/（“在R上單調(diào)且其部分圖象如圖所示，若不等式-2</（工+，）<4的解集為則實數(shù)I

x,x<1,

9.設(shè)函數(shù)小則不等式川川+/（2）>。的解集為一，

題型六、函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用m：求最值（范圍）（?？键c(diǎn)）

2

1.函數(shù)/（x）=x—的最大值為（）

X

A.-IB.IC.72D.2

2.函數(shù)/（x）=（x+l）2—l,x￡[l,3]的值域為（）

A.RB.[3,飲）C.[3,15]D.[-1,15]

3.（23-24高一上.云南玉溪.期末）函數(shù)=的值域為（）

（X一Z—

A.B.[-1,2]C.；,2D.

-2」L--

4.已知/（力=立"2a>o）,則/（力的最小值是（）

X+1

A.2B.3

C.4D.5

5.（24-25高一上?海南?？?月考）max{/（x）,g（必表示/（“與g（x）中的較大者，設(shè)

/?（.r）=max{k+l|,-f+2x+3},則函數(shù)分（x）的最小值是（）

A.-2B.-1C.0D.I

6.函數(shù)〃x）=x+VLxe[0,4]的最大值為,最小值為.

7.（25-26高一上.全國.課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)〃”=竺4（〃>1）在區(qū)間（〃,田）上的值域為（0,1）,則

m-n=.

3

8.（24-25高一上?四川遂寧?月考）當(dāng)x23時，/@）=x+—的最小值是

9.(24-25高一上?上海寶山?期末)函數(shù))，=|x+l1+1工-3|的最小值是.

10.(2025高一?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(力=-3+吩,求外力在區(qū)間[”+1]上的最大值g⑺.

B綜合攻堅?能力躍升」

1.函數(shù))，=/(%)為定義在R上的單調(diào)增函數(shù)，若/工0,則()

A.

B..")>/“)

C.f(t2+t)>f(t)

D./(r+/)>/(/+1)

2.(24-25高一上?福建泉州?期中)函數(shù)/(x)=L-JTR的值域為()

X

A.(-oo,-l]B.[l,+oo)C.[-U]D.R

3.(24-25高一上?全國?課后作業(yè))已知函數(shù)"x)=x+,，xe(L”)，則下列不等式恒成立的是(

A./(8)>/(二+22+4)B./(6)>f(k2+2k+4)

C./(4)</(公+2攵+4)D.〃2)</伙2+2八4)

4.已知/")是R上的減函數(shù)，42,-3),8(0,3)是其圖象上的兩點(diǎn)，則不等式-3</(x-l)<3的解集為(

A.S,l)U(3,+oo)B.J(1,-KO)

C.(1,3)D.(-U)

5.(23-24高一上.四川南充.月考)已知函數(shù)/("=1(2一°)：-4?！?lt;1,若對于任意給定的不等實數(shù)甘，

ar,x>1

不等式(5-/)"(3)-/(七)1>。恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

Q

6.(2025高一?全國?專題練習(xí))函數(shù)產(chǎn)的最值為().

A.最大值為8,最小值為0B.不存在最小值，最大值為8

C.最小值為0,不存在最大值D.不存在最小值，也不存在最大值

7.（24-25高一上?江蘇南通?月考）設(shè)函數(shù)/"）=/-4區(qū)-8在區(qū)間[2,4]上具有單調(diào)性，則k的取值范圍是

（）

A.[1,2]B.C.[2,-KO）D.（-OO,1]<J[2,+CO）

8.（24?25高一上?江蘇連云港?期中）已知函數(shù)/（x）=k+2|+x-3,若則實數(shù)〃的取值

范圍是（）

A.(-<?,-2)B.(-oo,-I)

C.(1,-KC)D.(3,+co)

9.函數(shù)“x)=|4-4(x—l)的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(別B.(1,4)C.S，4)(符｝(2)

D.

10.函數(shù)/(犬)=4-4+J/-2x的域小值為()

A.0B.4C.72D.2叵

11.若函數(shù)y=+：在（1，儕）上單調(diào)遞增，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

-Vj

A.B.[-1,-KX)C.(-00,1]D.[1,+℃)

12.（24-25高一上?內(nèi)蒙古呼和浩特?期末）設(shè)函數(shù)/（x）的定義域為R,對任意的且*=W，都有

不等式叢止3<0,/（2）=0,則不等式0?（4）>（）的解集是（）

X\~X2

A.（-<?,2）B.（0,2）C.（-oo,0）D.（2,-HO）

：（：：）+X,的值域為則實數(shù)q的取值范圍是（）

13.已知函數(shù)/(%)=?R,

\x-2a\-\,x>a.

A.（-oo,-2）B.[-2,0）C.（2,+a>）D.[-2,2]

14.（24-25高一上?山東濟(jì)寧?期中）已知/（x）=a/+3x+i是定義在R上的函數(shù)，若對于任意一26心勺V-l,

都有生11二/則實數(shù)。的最大值是（）

A.—1B.—C.!D.1

22

15.（25-26高一上?全國?課后作業(yè)）（多選題）下列說法正確的是（）

A.若y=/'（x）在區(qū)間/上，隨著自變量的減小，函數(shù)值反而增大，則y=〃x）在/上單調(diào)遞減

B.函數(shù)/"）=/在[0,內(nèi)）上單調(diào)遞增

C.函數(shù)/（耳=-,在定義域內(nèi)為增函數(shù)

X

D.函數(shù)/（x）=1的單調(diào)遞減區(qū)間為（YO,0）u（0,叱）

X

16.（23-24高一上?全國?課后作業(yè)）（多選題）如果函數(shù)/（x）在［。肉上是增函數(shù)，那么對于任意的與、

w目（玉工出），下列結(jié)論正確的是（）

A.”引二八號）＞0

C.若則/（。）＜/（芭）＜/（々）＜/伍）

，

M-x＞n

4/（x1）-/（x2）

17.（24-25高一下?云南昭通?月考）（多選題）函數(shù)/（x）=2-竺N在區(qū)間5,e）上單調(diào)遞增，則下列說

x+I

法正確的是（）

A.m＜—2B.m＞—2

C.n＜-\D.n＞-\

18.（2024高一?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）對于任意的百百?0,”）（工產(chǎn)吃），都有〃內(nèi)）［，.）＜0,

X\-X2

則f（2）/（2/（3）的大小關(guān)系為

19.已知函數(shù)/（%）=蕓》在區(qū)間上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.

20.（24-25高一上?上海?期末）求函數(shù)〃"）=|2人-1卜2k-1|的最小值.

21.（23-24高一上?四川遂寧?期天）已知函數(shù)/（“在R上有定義，且f（O）=O.若對任意給定的實數(shù)

x?x2（x,^x2）,均有/（毛）］＜0恒成立，則不等式（x+l）/（l-2x）＜0的解集是.

x2+（I-a）x-2?+6,x＜1

22.（24-25高一上?山東淄博?期末）己知函數(shù)〃力=〃+1，對于H，wcR且不工占，

------+zx,x＞\

x

都有'%）-/（））＜2成立,則a的取值范圍為一.

不一天

23.（24?25高一上?廣東深圳?月考）函數(shù)/（x）=4-萬7+&（2-x）的最大值為.

24.函數(shù)），="+廠的值域為___.

\lx+\+?+2

25.（23-24高一?上海?課堂例題）分別作出下列函數(shù)的大致圖象，并指出它們的單調(diào)區(qū)間：

（l）y=|x2-4x|；

⑵），=2國-3.

26.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）根據(jù)定義，研究函數(shù).“xb5+Zx+Z在區(qū)間（YO,0）上的單調(diào)性.

3

27.（24-25高一上?江西?月考）已知函數(shù)/（x）=x+±.

X

⑴判斷了（X）在（2,田）上的單遍性，井用定義證明；

⑵判斷命題“DacR,，（/+2。+4/4”的真假，并說明理由.

專題02函數(shù)的單調(diào)性與最值

目錄

A題型建模?專項突破...............................................................1

題型一、定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性（重點(diǎn)）.........................................................1

題型二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.......................................................................2

題型三、由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)（難點(diǎn)）..........................................................3

題型四、函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用I：比較大小..........................................................4

題型五、函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用H：解不等式...........................................................5

題型六、函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用in：求最值（范圍）（?？键c(diǎn)）.........................................6

B綜合攻堅-能力躍升..............................................................7

題型建模?專項突破

題型一、定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性（重點(diǎn)）

1.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）已知函數(shù)/（x）的定義域為R,則下列說法中正確的是（）

A.若“力滿足則“X）在區(qū)間［0,1］內(nèi)單調(diào)遞增

B.若/（X）滿足則/（x）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減

C.若/（外在區(qū)間［。,1］內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間［1,2］內(nèi)單調(diào)遞增，則/（x）在區(qū)間［0,2］內(nèi)單調(diào)遞增

D.若“X）在區(qū)間［?！粌?nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（L2］內(nèi)單調(diào)遞增，則“X）在區(qū)間［0,2］內(nèi)單調(diào)遞增

【答案】C

【分析】根據(jù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)逐項分析判斷即可.

【詳解】對于AB：函數(shù)”力滿足/（0）＜〃1）,或〃0）＞/⑴，特值并不具有任意性,

所以區(qū)間端點(diǎn)值的大小關(guān)系并不能確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，故A,B錯誤；

對「C：區(qū)間［0』和0,2］有交集，故函數(shù)在區(qū)間［0,2］內(nèi)單調(diào)遞增，故C1E確，

對于D：區(qū)間［0』和（L2］沒有交集，故不能確定函數(shù)在區(qū)間［0,2］內(nèi)的單調(diào)性.

例如〃力二，一二在［0,1］和（1,2］上遞增，但八1）=2＞1=/⑵，故D錯誤.

X—1,1＜XS2

故選：C.

2.（24?25高一上?全國?課后作業(yè)）設(shè)〃x）=x,g（x）=-L則（）

X

A./'（x）+g（x）在區(qū)間（0,+e）上單調(diào)遞增

B.〃x）+g（x）在區(qū)間（0,+向上單調(diào)遞減

C.”x）-g（x）在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增

D./"）一履6在區(qū)間（0,+向上單調(diào)遞減

【答案】A

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)、定義逐一判斷即可.

【詳解】函數(shù)〃x）=x,g（x）=」在區(qū)間（0,y）上均單調(diào)遞增,因此當(dāng)』?0,yo）時,f（x）+g（力單調(diào)遞

增，A正確，B錯誤；

令力（x）=/（x）-g（x）=x+L任取0＜內(nèi)＜/，

.1

則力（王）一人（工2）=內(nèi)一工2+，-'=^：^（工/2-1）小-工2＜。，

再X2X^Xy

當(dāng)0"＜巧＜1時，。"電＜1,用王）-/?毛）＞0,故人（同在區(qū)間（o」）內(nèi)單調(diào)遞減；

當(dāng)1"＜/時，X］W＞1,/7（N）-〃（工2）＜。，故〃（X）在（1，芹）上單調(diào)遞增，C錯誤,D錯誤.

故選：A

3.（23-24高一上.浙江寧波?期中）（多選題）函數(shù)y=/（x）在（D,+oo）是減函數(shù)，且0＜內(nèi)＜與，則下列選項

正確的是（）

A./（x））＞/（x2）B./（^,）-/（%2）＞0

c.（…）卜（6〃刈＜0D./（x,）-/（X2）＞o

X\~X2

【答案】ABC

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及。＜王＜占，得到/（%）＞/（毛），進(jìn)而判斷出ABC正確，D錯誤.

【詳解】AB選項，y=/（x）在（0，+8）是減函數(shù)，且0v玉〈占，故/（%）＞/（%），

/（再）-/㈤＞。，AB正確;

CD選項,因為％一再次0,（力0,所以（％-芍）［〃大）-/5）］＜0,

/(±)-/(工)

＜0,C正確，D錯誤.

內(nèi)一電

故選：ABC

4.（多選題）下列函數(shù)中滿足“對任意x/,X2?（0,+8）,都有＞0"的是（）

內(nèi)一々

2

A./（%）=—B./（x）=-3x+l

X

C./（X）=AT+4x+3D./（x）=x-l

【答案】ACD

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定正確答案.

【詳解】因為對任意力，刈￡（0,+00）,都有“'J二/（切＞0,

王一看

所以/（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增，

A：根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)可知=在（0,+oo）上單調(diào)遞增，符合題意；

?A

B：根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知，〃x）=-3x+l在（0,+Q0）上單調(diào)遞減，不符合題意：

C根I:函數(shù)的性質(zhì)可知/（x）=f+4x+3在（0,+oo）上單調(diào)遞增，符合題意；

D：根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知，〃力=工-1在（0,+8）上單調(diào)遞增，符合題意.

故選：ACD

三、解答題

5.證明：定義在R上的函數(shù)/（司=3%+〃是增函數(shù).

【答案】證明見解析

【分析】通過函數(shù)單調(diào)性的定義證明/（x）=3x+A在R是增函數(shù)

【詳解】證明：設(shè)々和々是任意兩個實數(shù)，且為＜與，則

」（々）一〃與）=（3叫+6）-（35+6）=3（七一石）＞0.

于是/（可＞/（5）?

由函數(shù)單調(diào)性的定義可知，函數(shù)“X）是R上的增函數(shù).

6.（25-26高一上?全國?隨堂練習(xí)）判斷函數(shù)〃x）=x+3在（—「2］上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義來

X

證明.

【答案】/（X）在（YO,-2］上是增函數(shù)，證明見解析

【分析】先利用特殊值法猜想/"）的單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法即可得證.

【詳解】對于〃力=x+2,

.1

29u13）

-5,---,-4

T

故猜想/（x）=x+±在（-8，-2］上是增函數(shù)，證明如下:

X

任取不毛￡（田,一2］,且玉＜勺，

則f（M）-/（占）=1%+：TV4（毛71）=a72）?君二^

=X）-X,+

因為內(nèi)<X2?-2,所以工|一工2<0.0丫2>4,xrv2-4>0,

所以/（內(nèi)）-/（9）＜0，即/（%）＜/（9），

因此/（x）=x+3在（-8,-2］上是增函數(shù).

X

7.（23-24高一上.內(nèi)蒙古赤峰?月考）已知函數(shù)/（x）=竿稱/wR）,且川）=（,/（2）=1.

X*11?！?/p>

⑴求。和〃的值；

⑵判斷“X）在［2,+?））上的單調(diào)性，并根據(jù)定義證明.

【答案】⑴4=1力=。

⑵/（X）在［2,七句上的單調(diào)遞減，證明見解析

【分析】⑴由/⑴=）（2）=；,代入直接可求;

（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明單調(diào)性.

【詳解】（1）因為〃l）=gj（2j=：,

a+b=—1

2；+/，解得I』.

所以

8~4

⑵由（1）知：f（x）=-^,”X）在［2,田）上的單調(diào)遞減,

證明如下：

在［2,*0）上任取為,工2，ZL2＜X,＜x2,

X、內(nèi)（考+4）-%儲+4）（占-刈（g-4）

〃』）-/仇）=

M+4考+4（片+4）（4+4）（才+4）儂+4）

":2<x,<x,,

而一%>0,x}x2-4>0,（x；+4）（x；+4）>0,

（%）-/（與）>°，

，f(內(nèi))>〃毛)，/(%)在[2,+oo)上的單調(diào)遞減.

8.求證：在R上是減函數(shù).

【答案】證明見解析

【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的定義取值、作差、變形、定號這個過程證明即可.

【詳解】/("=一/+1,在實數(shù)集上任取玉

則f(X)-/(吃)=(T：+1)-(-￡T)=￡7；=(8-xJ(E+XR+x；)=(.v2-.r,)(8+JxJ+：

又由$<七，則&-內(nèi)>°，且N，4不同時為零，所以々+；丹)+；后>0,

/(*)-/㈤>。,即/(%)>/(w)，

故f(x)=-d+l在R上是減函數(shù).

題型二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

1.(25-26高一上.山東德州?開學(xué)考試)若函數(shù)〃力的圖象如圖所示，則其單調(diào)遞增區(qū)間是(

A.[-4,-l]u[l,4]B.[-M]

C.[-2,2]D.

【答案】D

【分析】利用函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，即可求解..

【詳解】由函數(shù)/(x)的圖象可知，單調(diào)遞增區(qū)間是[-41]，[L4],

又由圖知/(一3)=0〉/(1)=-2,血一3<1,所以A不正確，

故選:D.

2.(24-25高一上?江蘇?月考)函數(shù)y=|x+l|的單調(diào)增區(qū)間是()

A.(-8,-1)B.y,l)C.(-1,-KX>)D.(l,+oo)

【答案】c

【分析】將y=|x+l|寫成分段函數(shù)判斷即可.

【詳解】y=|x+i|=f:一,故單調(diào)增區(qū)間是（一1,m）.

故選：C

3.（24-25高一上?吉林長春?期中）函數(shù)/（幻=（1一旦|2一回的電調(diào)遞增區(qū)間為（）

33

A.（—,2）B.（1,—）

22

C.口令D.弓,+8）

【答案】A

【分析】化函數(shù)為分段函數(shù)，再結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性求出單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】函數(shù)/（幻=（1）.|2-目=卜=3：+2：<2

［-x~+3x-2,x>2

當(dāng)x22時，f（x）=-X2+3X-2在［2,+OO）上單調(diào)遞減，

當(dāng)x<2時，/（x）=f-3x+2在（-co,］）上單調(diào)遞減，在（萬,2）上單調(diào)遞增,

3

所以函數(shù)/。）的單調(diào)遞增區(qū)間為',2）.

故選：A

4.（23-24高一上?江蘇連云港?期中）函數(shù)/"）=—1的單調(diào)減區(qū)間是________

X-3

【答案】（一,3）,（3,侄）

【分析】畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.

【詳解】畫出函數(shù)〃工）=一二的圖象，如下：

X—3

故單調(diào)遞減區(qū)間為（-8,3）,（3,+力）.

故答案為：（-3）,（3,+8）

4丫一3

5.（23-24高一上.河南新鄉(xiāng).月考）函數(shù)的單調(diào)遞漕區(qū)間為.

/人"1"。

33

【答案】(-8,-]),(-5,+00)

9

【分析】利用分離常數(shù)法，得?。?2-不，結(jié)合，的范圍可得答案.

4x-34.V+6-9,9

【詳解】/w=

2x+32x+32x+3

3

由2r+3?0,得工工一二，

2

3Q

當(dāng)iey,q）時，），=3所單調(diào)遞減，/*）單調(diào)遞增；

3Q

當(dāng)+8）時，y=-一；單調(diào)遞減，/（工）單調(diào)遞增，

22x+3

所以/（x）的單調(diào)增區(qū)間為（一8,-3，（-。,+8）.

22

33

故答案為：（-00,-,+°°）.

22

6.（2025高一?全國?專題練習(xí)）函數(shù)y=x+V7二i的單調(diào)遞減區(qū)間為

【答案】（FT］

【分析】先求函數(shù)的定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性以及單調(diào)性的性質(zhì)分析判斷函數(shù)單調(diào)性.

【詳解】因為yeVTK.Li，

令/一120，解得xNl或

可知y=x+-1的定義域為（Y°,-，

又因為），=4在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，〃=/_］在內(nèi)單調(diào)遞增，在（-00,-1］內(nèi)單調(diào)遞減,

可知丁=序］在［1，+8）內(nèi)單調(diào)遞增，在（—,7］內(nèi)單調(diào)遞減，

且y=x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

可知y=x+\/x2-1C［1，心）內(nèi)單調(diào)遞增，y=x--Jx2-1在（Y°，叫內(nèi)單-調(diào)遞增，

則ynx+JTW在內(nèi)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)y=X+J巨工的單調(diào)遞減區(qū)間為（-8，-］

故答案為：11

7.（24-25高一上?全國?課前預(yù)習(xí)）求函數(shù)/（9=-丁+2兇+3的單調(diào)區(qū)間，并指出其值域

【答案】單調(diào)遞增區(qū)間為（f,-1）和［0,1］,遞減區(qū)間為［-1。和（1,口），值域為（7,4］.

【分析】去絕對值，對函數(shù)/（可進(jìn)行分段，然后作出圖像，根據(jù)函數(shù)圖像確定單調(diào)區(qū)間及值域.

【詳解】/?=：：；+2x+3,x>0,

-2X+3,A<0,

z、—(x—1)+4,x>0,

“l(fā)2

I_(X+1)+4,X<0,

由圖象知，函數(shù)/"）二一/+2國+3在和［0,1］上是增函數(shù),

在卜1,0）和（1,+co）上是減函數(shù),/（-1）=〃1）=4.

所以函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（F-1）和［0/，

遞減區(qū)間為［T,O）和。,田），

值域為（f,4］.

題型三、由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)（難點(diǎn)）

1.“函數(shù)/（6=仕-1）無-3在R上為增函數(shù)”是“々>2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充耍條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性及充分必要條件的定義判斷即可.

【詳解】函數(shù)〃x）=（攵—1八一3在R上為增函數(shù)，

等價于即女>1,

所以“函數(shù)/（"=（&T）x-3在R上為增函數(shù)“是“>2"的必要不充分條件.

故選：B.

ax,x<I/、

2.（23-24高一上?江蘇南京?期中）己知函數(shù)〃"=,（l-?）x-2ax>r若函數(shù)/（X）在R上單調(diào)遞增，則

實數(shù)。的取值范圍是（）

B.(*)

4

【答案】A

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，列出不等式組，即可求解.

or,x<1

【詳解】由函數(shù)〃力=<0-。）八2〃,a1在R上單調(diào)遞增,

a>0

，即實數(shù)。的取值范圍為（0；.

則1-?>0,解得

a<\-3a

故選：A.

-x2-ax-5,x<1

3.已知函數(shù)〃x）=〃是R上的增函數(shù)，則〃的取值范圍是（）

—,x>1

A.—3WaW—2B.a<-2

C.-3<a<()D.a<0

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)是R上的增函數(shù)，每一段函數(shù)都為增函數(shù)，且在斷點(diǎn)處，右邊的函數(shù)值不小于左邊的函

數(shù)值求解.

【詳解】由題意，xeR,

-x2-ax-5,x<1

在f(x)=(a中，函數(shù)在R上是增函數(shù),

一,x>1

lx

<。<0，

解得—3WaW-2.

故選：A.

（（2a+3）x-2a+2,xV1,4_

4.己知函數(shù)/（幻=:、、]，滿足：對任意不￡￡R，當(dāng)工產(chǎn)）時，都有?,3>°成

[x~-ax+3,x>\-V]-x2

立，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.（-co,2]B.（-1,2]C.D.[-1,2]

【答案】C

【分析】由題意可得函數(shù)在R上單調(diào)遞增，列出不等式組求解即可.

【詳解】因為對任意不々wR，當(dāng)玉工42時，都有』'）二""）>0成立,

X1~X2

所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，

2。+3>0

所以941，解得一]<〃4-l,

22

2。+3-2。+241-。+3

所以實數(shù)。的取值范圍是（-芯3-1].

故選：C.