§6.2等差數(shù)列

【考試要求】1.理解等差數(shù)列的概念2掌握等差數(shù)列的通項公式與前〃項和公式3能在具體的

問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函

數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系.

-落實主干知識

【知識梳理】

1.等差數(shù)列的有關(guān)概念

⑴等差數(shù)列的定義

一般地，如果一個數(shù)列從第1項起，每一項與它的前一項的差都等于回二例數(shù)，那么這個

數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母&表示，定義表達式

為a”一冊i=d(常數(shù))也22,

(2)等差中項

由三個數(shù)〃，4,人組成等差數(shù)列，則A叫做。與〃的等差中項，且有2A=〃+A

2.等差數(shù)列的有關(guān)公式

(1)通項公式：⑥=〃i+(〃-l)d.

⑵前〃項和公式：5“=，必+必//或S”=幽產(chǎn)2

3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項公式的推廣.：cin=Cm+(n-m)d(n,

(2)若｛“”｝為等差數(shù)列，且k+/=〃?+〃(匕則苗+4/=4"+斯.

(3)若｛%｝是等差數(shù)列,公差為4則即as詼+為，…化，是公差為血的等差數(shù)列.

(4)數(shù)列S,S2m-SmfS3”LS2〃”…也是等差數(shù)列.

(5)5勿-1=(2〃-1)斯.

(6)等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”|小｝為等差數(shù)列.

【常用結(jié)論】

1.已知數(shù)列｛斯｝的通項公式是a”=p〃+q(其中p,g為常數(shù))，則數(shù)列伍〃｝?定是等差數(shù)列，

且公差為

2.在等差數(shù)列｛斯｝中，0>0,dVO,則S〃存在最大值：若?VO,J>0,則存在最小值.

3.等差數(shù)列｛〃”｝的單調(diào)性：當d>0時，｛?。沁f增數(shù)列；當d<。時，｛m｝是遞減數(shù)列：當

4=0時，｛〃〃｝是常數(shù)列.

4.數(shù)列｛?。堑炔顢?shù)列臺S“=A〃2+B〃(A,B為常數(shù)).這里公差4=24.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

⑴若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)

列.（X）

⑵數(shù)列｛〃“｝為等差數(shù)列的充要條件是對任意〃￡N*,都有2aH■|=斯+?！?2.（V）

⑶在等差數(shù)列｛?,｝中，若斯|+〃“=%+的,則〃?+〃=p+q.（X）

（4）若無窮等差數(shù)列｛斯｝的公差冷0,則其前〃項和S”不存在最大值.（J）

【教材改編題】

1.在等差數(shù)列｛&｝中，己知的=11，。8=5,則00等于（）

A.-2B.-1C.1D.2

答案C

ll=ai+4d,[di=19,

解析設(shè)等差數(shù)列｛m｝的公差為乩由題意得《解得‘,

5=0十7d,a=~2.

：.an=-2/i+21./.aiu=-2X10+21=1.

2.設(shè)等差數(shù)列｛詼｝的前〃項和為S“，若S4=8,S8=20,則。9+aio+au+m2等于（）

A.12B.8C.20D.16

答案D

解析等差數(shù)列｛4｝中,&,SLSA,Si2-S8仍為等差數(shù)列，即8,20-8,“9+00+01+02

為等差數(shù)列，所以09+010+011+012=16.

3.設(shè)等差數(shù)列｛小｝的前〃項和為S..若0=10,54=28,則S”的最大值為.

答案30

n（n-1）

解析由0=10,S4=4〃i+6d=28,解得"=—2,所以---—^=一/+]|幾當〃

=5或6時，S”最大，最大值為30.

■探究核心題型

題型一等差數(shù)列基本量的運算

例1（1）（2023.開封模擬）已知公差為1的等差數(shù)列｛〃“｝中，底=劣生，若該數(shù)列的前八項和S,

=0,則〃等于（）

A.10B.11C.12D.13

答案D

解析由題意知（ai+4）2=（ai+2）3i+5）,/W1+”"2=0,解得m=—6,n=13.

（2）（202。?全國H）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層.上層中心有一塊

圓形石板（稱為天心石）,環(huán)境天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊.下

一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同,

且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699塊B.3474塊

C.3402塊D.3339塊

答案C

解析設(shè)每一層有〃環(huán)，由題意可知從內(nèi)到外每環(huán)之間構(gòu)成d=9,m=9的等差數(shù)列.由等

差數(shù)列的性質(zhì)知S〃，S?“一S”,S3“一S?”成等差數(shù)列，且（S3”一S2”）一（S2“一￡）=//則9/=729,

得〃=9,

27X26

則三層共有扇面形石板?睨=S27=27X9+--—X9=3402（塊）.

思維升華（1）等差數(shù)列的通項公式及前幾項和公式共涉及五個量0,“，乩斯，5,?知道其

中三個就能求出另外兩個（簡稱“知三求二”）.

（2）確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個最基本的量，即首項m和公差d.

跟蹤訓(xùn)練1（1）《周髀算經(jīng)》有這樣一個問題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨

水、驚蜚、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、

春分日影長之和為三丈一尺五寸，前九個節(jié)氣日影長之和為八丈五尺五寸，問芒種日影長為

（一丈=十尺=一百寸）（）

A.一尺五寸B.二尺五寸

C.三尺五寸D.四尺五寸

答案B

解析由題意知，從冬至日起，依次為小寒、大寒等十二個節(jié)氣日影長構(gòu)成一個等差數(shù)列{%},

設(shè)公差為"，

???冬至、立舂、春分日影長之和為三丈一尺五寸，前九人節(jié)氣日影長之和為八丈五尺五寸，

ai+a4+a7=34i+9d=315,

,9X8一一

%=9。1+-2~1=855,

Q\—\35,

解得

J=-10,

???芒種日影長為02=0+1M=135—11X10=25（寸）=2尺5寸.

（2）數(shù)列￡，［｝是等差數(shù)列，且41=1,。3=—；，那么々2024=.

較案」

口樂I012

解析設(shè)等差數(shù)列的公差為4因為0=1,的=一（所以=7=1,.所以

4〃十IJ3十1￡13?1

22，2（P?

3=l+2d,解得d=l.所以^^7=1+〃-1=〃，所以小=二一1.所以。2024=療逅-1=一引擊

an-v1HZU24LUZ4

1on

=-l012-

題型二等差數(shù)列的判定與證明

例2（2021?全國甲卷）已知數(shù)列｛〃”｝的各項均為正數(shù)，記S”為｛m｝的前〃項和，從下面①②③

中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列；②數(shù)歹IJ｛遮｝是等差數(shù)列；③〃2=3四.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

解①③0②.

已知｛斯｝是等差數(shù)列，s=3s.

設(shè)數(shù)列｛〃“｝的公差為d,

則。2=3白1=m+d,得d=2（u,

所以Sn=na\4-^2^d=ira\.

因為數(shù)列｛小｝的各項均為正數(shù)，

所以信=小/帚，

所以返W—低J=（〃+—/八/^=磊（常數(shù)），所以數(shù)列｛逐J是等差數(shù)列.

已知他“｝是等差數(shù)列，｛低｝是等差數(shù)列.

設(shè)數(shù)列｛?”｝的公差為d,

則Sn=na\+「（"21）4=3〃24+（41-96

因為數(shù)列｛低｝是等差數(shù)列，所以數(shù)列｛低｝的通項公式是關(guān)于〃的一次函數(shù)，則《—3=（）,

即4=241,所以42=ai+d=34i.

①.

已知數(shù)列｛低｝是等差數(shù)列，s=30,

所以Si=〃i,S2=+。2=4〃|.

設(shè)數(shù)列｛遮｝的公差為d,介0,

則的=d,得0=/,

所以—】)d=，?d,

所以S“=〃2理，

222

所以a,i=Sn—Stl-1=ird—(//—1)J=—cP(n>2),是關(guān)于〃的一次函數(shù)，且。|="滿足

上式，所以數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列.

思維升華判斷數(shù)列｛m｝是等差數(shù)列的常用方法

(1)定義法.

(2)等差中項法.

(3)通項公式法.

(4)前〃項和公式法.

跟蹤訓(xùn)練2己知數(shù)列｛斯｝的各項都是正數(shù)，〃￡N*.

(1)若是等差數(shù)列,公差為a且兒是小和詼+i的等比中項，設(shè)如=易”一易，〃WN,求

證：數(shù)列｛6｝是等差數(shù)列：

(2)若H+應(yīng)+搦+…+加=￡,S”為數(shù)列｛?,｝的前〃項和，求數(shù)列｛6｝的通項公式.

⑴證明由題意得屆=aMi+i,

則?！?孱+1—易=?！?1?！?2—4”4”+1=2而”+|,

因此c”+1-c”=2或?！?2—o?+1)=2/(常數(shù))，

???(的｝是等差數(shù)列.

⑵解當〃=1時，H=山，Vai>o,A?1=1.

川+近+出H-----1■加=曉，①

當時，〃￥+■+〃§+???+星-1=&-1,②

①一②得，易=扉一￡T=(S〃-SLD(S”+S〃T).

*.*a,i>0,al=Sn4-S,i-i=2S〃一?！保?/p>

???ai=l也符合上式，，當〃22時，曷一I=2S“T一%-1，?

③―④得an—O7i-\=2(s?—5W-1)-an+an-\=2an-an-\-an-\=a”+%-1,

?a〃+a”-[X),??cin。〃-i=l,

，數(shù)列｛斯｝是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，可得“=兒

題型三等差數(shù)列的性質(zhì)

命題點1等差數(shù)列項的性質(zhì)

例3(1)已知在等差數(shù)列｛?。?，若48=8且1。82(24?2%?…?2%)=22,則$3等于()

A.40B.65C.8()D.40+log25

答案B

a,(，2ei,'/

解析log2(2-2)=log22+log22s4-------biog22"=ai+a2T-----解”=11。6=

”的g-omilc13(m+ai3)13伍6+儡)

22,所以〃6—2,則Si3—2—2—65.

(2)已知數(shù)列｛m｝,｛d｝都是等差數(shù)列，且ai=2,bi=-3,田一切=17,則。2024一歷024的值

為.

答案4051

解析令cn=an-bn.因為｛斯｝,出〃｝都是等差數(shù)列，所以｛c”｝也是等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列｛c〃｝的

公差為d,由已知，得Ci=tzi—b\=5,6=17,則5+6"=17,解得d=2.故。2024—岳024=。2024

=5+2023X2=4051.

思維升華等差數(shù)列項的性質(zhì)的關(guān)注點

(1)在等差數(shù)列題目中，只要出現(xiàn)項的和問題，一般先考慮應(yīng)用項的性質(zhì).

(2)項的性質(zhì)常與等差數(shù)列的前〃項和公式&=〃(”%結(jié)合.

跟蹤訓(xùn)練3(1)若等差數(shù)列｛〃“｝的前15項和$5=30,則2。5—。6—00+04等于()

A.2B.3C.4D.5

答案A

解析VSi5=30,.,.果田+4[5)=30,

???2。8=4,??。8=2.

:.2的一〃6一。1。+04=。4+。6—劭-〃io+〃14=〃4—0。+。14=。10+痣—。10=〃8=2.

(2)(2023?保定模擬)已知等差數(shù)列｛⑶｝滿足卷=-2,則下列結(jié)論一定成立的是()

AA.-。9=—1B?M

出

AD-

答案C

解析由送=—2得45Ho,2〃5+。8=。4+〃6+。8=3。6=0,

所以a>=0,。3+。9=2。6=0,

因為的K0,。6=0,

所以〃3工。，^=—1.

命題點2等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)

例4⑴設(shè)等差數(shù)列｛斯｝,｛九｝的前〃項和分別為S〃，7；,若對任意的〃￡N“，都有衿狂!，

則春+科的值為()

29n13八9c19

A45B29Ci9D-30

答案C

解析由題意可知83+〃13=85+。11=〃|+85=2。8,

.。2?04。2+〃14Sl52X15-3279

**by-\-bi3/乃+力”2仇人8T\s4X15—35719,

⑵已知等差數(shù)列｛〃“｝共有(2〃+1)項,其中奇數(shù)項之和為290,偶數(shù)項之和為中1,則麗］的

值為()

A.30B.29C.28D.27

答案B

解析奇數(shù)項共有(〃+1)項，其和為哈2(〃+1)=竽?(〃+1)=290,

，(〃+1)。“+|=290.

偶數(shù)項共有〃項，其和為皆"

???〃〃+1=290—261=29.

思維升華等差數(shù)列前〃項和的常用的性質(zhì)是：

在等差數(shù)列｛.”｝中,數(shù)列$”，Szm—SntfS3m-Sin,…也是等差數(shù)列,且有S2”=〃(ai+“2n)=…

=〃(。”+如+1);S2n-\=(2n—\)an.

跟蹤訓(xùn)練4(1)設(shè)等差數(shù)列｛m｝的前〃項和為S”，若S4=20,S5=3O,即=40,則m等于()

A.6B.10C.20D.40

答案C

解析由S4=20,S5=3O,得。5=S5-54=10,由等差數(shù)列的性質(zhì)，得S5=30=5〃3,故的

=6,而〃5一。3=10—6=4=24,故d=2,an,=40=tz5+2(/n—5),解得機=20.

(2)已知S”是等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項和，若m=-2020,鐮一端=6,則S2023等于()

A.2023B.-2023

C.4046D.-4046

答案C

解析?噌｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為丁，

52020_S2014

2020—2014==6,*.d'=1,

首項為牛=—2020,

.52023

=-2020+(2023-1)X1=2,

*,2023

.*.52023=2023X2=4046,故選C.

課時精練

D基礎(chǔ)保分練

1.首項為-21的等差數(shù)列從第8項起為正數(shù)，則公差4的取值范圍是(

A.(3,+8)

D(3,J

答案D

解析21+(〃-l)d,因為從第8項起為正數(shù)，所以〃7=-21+61W0,〃8=-21+7心＞0,

7

解得

2.設(shè)S〃是等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和，若$50-547=12,則597等于()

A.198B.388C.776D.2023

答案B

解析VS50-547=t/48+aw+a50=12,.*.?49=4,

97X(ai4-097)

:.S97=——-----=97?49=97X4=388.

3.」知等差數(shù)列｛〃”｝的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項之和為319,所有偶數(shù)項之和為290,

則該數(shù)列的中間項為()

A.28B.29C.30D.31

答案B

解析設(shè)等差數(shù)列｛斯｝共有2n+l項，

則5奇=。1+的+45~1-----b612/1+1,

Sq=〃2+〃4+。6-1-----

該數(shù)列的中間項為

又S奇一S3=〃1+伍3—。2)+(的一〃4)-1----F(a2"+i—"2〃)=ai+d+dH------Fd=ai+〃d=a“+],

所以詼+產(chǎn)So-S偈=319—290=29.

4.天干地支紀年法，源于中國.中國自古便有十天干與十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、

戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天

干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干

由“甲”起，地支由“子”起，比如說第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙

寅”，……，依此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“卬”重新開始，即“甲戌”“乙亥”，

之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，……，依此類推.1911年中國爆發(fā)推翻清朝專制

帝制、建立共和政體的全國性革命，這一年是辛亥年，史稱“辛亥革命”.1949年新中國成立,

請推算新中國成立的年份為（）

A.己丑年B.己西年

C.丙寅年D.甲寅年

答案A

解析根據(jù)題意可得，天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，從

1911年到1949年經(jīng)過38年，且1911年為“辛亥”年，以1911年的天干和地支分別為首項,

則38=3X10+8,則1949年的天干為己，38=12X3+2,則1949年的地支為丑，所以1949

年為己丑年.

5.設(shè)￡為等差數(shù)列｛為｝的前〃項和，若3的=7頷,且0乂）.則使S”<0的〃的最小值為（）

A.30B.31C.32D.33

答案B

解析根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列｛?。墓顬?

若345=74“，且

則3（ai+4d）=7（m+l0d）,

變形可得4ai+58d=0,則a\=一當乩

所以S尸.+吆*

因為m=-yr/>0,所以t?1<0,

若S〃vO,必有序一30心0,又由則〃>3（）,故使5〃<0的〃的最小值為31.

6.（多選）在△A8C中，內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,若二』~J，一方，依次

IdnMIdIIDIdllv

成等差數(shù)列，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）

A.a,b,。依次成等差數(shù)列

B.W,4，正依次成等差數(shù)列

C.?2,分，/依次成等差數(shù)列

D.島b\/依次成等差數(shù)列

答案ABD

解析在△4區(qū)中，若消不焉，康依次成等差數(shù)列，則熹=焉+康，整理得喘

cosCcosAM+c2—廬屏+乂―/從+^—

利用正弦定理和余弦定理得2.,整理得

sinCsinA2abe~2abe2abc

2〃=〃2+/，即〃2,〃，理依次成等差數(shù)列，此時對等差數(shù)列。2,按，/的每一項取相同的

運算得到數(shù)列a,b,C或爪，、仍，正或。3,b\c\這些數(shù)列都不一定是等差數(shù)列，除非a

=b=c,但題目中未說明AABC是等邊三角形.

7.(2022?全國乙卷)記S”為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和.若2s3=3S?+6,則公差d=.

答案2

解析由2s3=3S2+6,

可得2(41+42+43)=3(0+42)+6,

化簡得2a3=ai+s+6,

即23i+2")=2ai+d+6,

解得d=2.

8.設(shè)S是等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和,Sio=16,SIOO-S9O=24,則SOO=.

答案200

解析依題意，5io>5io?Sao—S20,…，Sioo—Soo依次成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列的公

Q

差為〃.又Sio=l6,5ioo-$90=24,因此Sioo—S9?=24=16+(10—1)4=16+94,解得d=§,

En10X9,10X98

因此與oo=1OSIO+d=10X16+7X-=200.

9.已知｛斯｝是公差為d的等差數(shù)列，其前〃項和為S”且儂=1，.若存在正整數(shù)〃,

使得S,有最小值.

⑴求｛?！ǎ耐椆?；

⑵求S”的最小值.

從①〃3=—1，②d=2,@d=-2這三個條件中選擇符合題意的一個條件，補充在上面的問

題中并作答.

注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.

解選擇①作為補充條件：(1)因為。5=1,<73=—1,所以d=l,所以a“=l+(〃-5)X1=〃

一4(〃￡N").

(2)由(1)可知。|=一3,所以S”=()~7).

因為〃￡N*,所以當〃=3或4時，S”取得最小值，且最小值為一6.故存在正整數(shù)〃=3或4,

使得S,有最小值，且最小值為-6.

選擇②作為補充條件：(1)因為的=1,d=2,所以%=1+(〃-5)X2=2〃-9(〃WN*).

(2)由(1)可知?i=—7,所以S”=迪苧匈=”2—8〃.

所以當〃=4時，S”取得最小值，且最小值為-16.

故存在正整數(shù)〃=4,使得S“有最小值，最小值為一16.

不可以選擇③作為補充條件.

10.在數(shù)列｛〃“｝中，0=8,04=2,且滿足雙+2-M+i+a“=0(〃￡N)

(1)求數(shù)列｛&｝的通項公式；

⑵設(shè)7L=MI+ls|+…+|辦求Tn.

解(1)；。”+2—2m+|+小=0,

:.〃〃+2-1=4〃+\~Qin

，數(shù)列｛所｝是等差數(shù)列，設(shè)其公差為乩

;a?=8,&|=2,

+l)d=1()—2〃，;

(2)設(shè)數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”,則由(1)可得,

S*=8〃+弛嚴X(-2)=9〃一〃2,nGN*.

由⑴知小=10—2〃，令a“=0,得〃=5,

???當n>5時，an<0,

則北=同+㈤+???+|編

=a\+a2H-----Kas-Q+sH-----ba”)

=S5—(S”-S5)=2s5—Sn

=2X(9X5-25)-(9〃一〃2)=〃2-9〃+4O；

當〃W5時，斯20,

則〃=|。||+|叫+???+|編

=4|+。2+~+。〃=9〃一〃2,

9〃一〃2,〃W5,

?T—4

"〃2—9〃+40,〃26.〃WN*.

C綜合提升練

11.（多選）已知數(shù)列｛斯｝是公差不為0的等差數(shù)列，前〃項和為S”，滿足0+56=S8,下列

選項正確的有（）

A.0o=OB.Sio最小

C.Sy=S\2D.520=0

答案AC

解析根據(jù)題意，數(shù)列｛m｝是等差數(shù)列，若m+5a3=Sg,

即0+50+lOd=8s+28d,變形可得0=-9".

又由1）1=（“-10）d,

得00=0,故A正確；

不能確定a和〃的符號，不能確定Sio最小，故B不正確；

t.n(n-I)d,n(n-I*7)dd2

又由Sn=na\+----9〃4+---------9=TX(〃--19/i),

得S7=S12,故C正確；

20X19

520=206/1+——d=-1X(W+1904=I(W.

因為“#0,

所以S20#0,故D不正確.

12.已知等差數(shù)列｛m｝的前〃項和為S〃，且，當則即等于()

31?55

-B-C-

A.76D.4

-11

答案D

42+207+。82的+2〃7446205_

解析，所以I

④+俏俏+拆。3+。611IT

511114611665

所以

Sx4(6/14-678)4(。3+〃6)4'

13.將數(shù)列｛2〃-1｝與｛3〃一2｝的公共項從小到大排列得到數(shù)列｛〃”｝,則｛m｝的前〃項和