高考專題突破四高考中的立體幾何問(wèn)題

命題點(diǎn)I線線角

例1如圖所示,在三棱柱48示一48速中,例」底面ABC,AB=BC=AA],乙48c=90。,

點(diǎn)、E,“分別是棱A8,3后的中點(diǎn)，試求直線￡尸和3G所成的角.

解以4為原點(diǎn)，分別以直線8C,84,為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).

設(shè)48=1,則4(0,0,0),￡(0,0),10,0,￡),Ci(l,0，D，

所以E尸=(0,8G=(1,0,1).

啟壽2

于是cos市)=

阮山函,X.

所以直線Er和BG所成角的大小為60°.

思維升華用向量法求異而直線所成角的一般步驟：

(1)建立空間直角坐標(biāo)系；

(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；

(4)注意兩異面直線所成角的范圍是(0,身，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的

余弦值的絕對(duì)值.

跟蹤訓(xùn)練1(1)如圖所示，在楂長(zhǎng)為2的正方體/WCQ-ABQQ]中，E是棱CG的中點(diǎn)，AF

=AAD,若異面直線GE和4F所成角的余弦值為嗜，則2的值為.

答案5

解析以。為原點(diǎn)，以Q4,OC,分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系（圖略），正

方體的棱長(zhǎng)為2,

則4(2,02),2(0,0,2),碘,2,1),4(2,0,0),

???弟=(0,2,-1),乖=原+能=與"楊=(一2>.,0,-2).

MFD^E2_3^2

/.cos<A|F,D\E)

一1乖1兩一2也由xvrio

解得％=1（'=一；舍）

（2）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）ABCO中，M,N分別為3C,人。的

中點(diǎn)，則直線4M和CN夾角的余弦值為.

2

答案-

3

解析以｛CA,CB,CQ｝作為基底，

—?—>—?—?I—>—?I—?—?

則MA=C4—CM=CA—5C8,CN=](CA+CO).

設(shè)向量詼與總的夾角為8,

則直線4M和CN夾角的余弦值等于|cos0\.

CNMA-1(C4+CD)[cA

=^CA2-^CACB^CI)CA-^CI)CB

^=—1——1-,4-1-^——1^=一1

28十482-

又△ABC和AAC。均為等邊三角形，

所以|拓M=|兩=乎.

加-2

2-

飛F3

畫

2X

2

所以直線AM和CN夾角的余弦值為予

命題點(diǎn)2線面角

例2(12分)(2020?新高考全國(guó)I)如圖，四校錐尸一A6CO的底面為正方形，/。_1_底面46。。.

設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為/.

(I)證明：/JL平面-DC；

(2)已知~。=4。=1,Q為/上的點(diǎn)，求PB與平面QC。所成角的正弦值的最大值.

規(guī)范解答

⑴證明在正方形44co中，AD//BC,

因?yàn)锳M平面PBC,BCU平面PBC,

所以A?！ㄆ矫鍼BC,

又因?yàn)锳QU平面PAD,

平面必。n平面PBC=h

所以4￡>〃[,[2分]

因?yàn)樵谒睦忮FP-ABCD中，

底面人8CO是正方形，

所以AD_LOC,所以/_LOC,

且PO_L平面A8CO,所以AO_LP。，所以/_LPO,

因?yàn)镈SPD=D,

所以/_L平面尸。C.[4分]

(2)解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，面的方向?yàn)閤軸正方向，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.

因?yàn)槭?AQ=1,則有ZXOOO),因0.1.0),4(1.0,0),ROOD,因1,10),[5分]

???必。平面8MO,MOU平面8M。，

，力〃平面BMD.

⑵解如圖，取線段BC的中點(diǎn)，，連接AH.

???四邊形48co為菱形，^ABC=y：.AHLAD.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以A”，AD,4P所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系.

?"(0,0,0),8(小，-1,0),eg1,0),P(0,0,4)，

喈,2-9,

???加修+田),於=(0,2,0),PC=(y/3,1,一小).

設(shè)平面P8C的法向量為〃i=(x,y,z).

，〃辰=0,[2y=0,

由〈得〈r-r-

ffl-PC=0,-4z=o.

取z=l,則x=l,>'=0,/.m=(l,0,l).

設(shè)直線AM與平面P8C所成的角為仇則

即而慢乂1+9。+2%

sin^=|cos\m,AM)

???直線4M與平面PBC所成角的正弦值為隼.

命題點(diǎn)3二面角

例3(2020?全國(guó)I)如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=

A。.△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為。。上一點(diǎn)，PO=

(1)證明:以_L平面P8C；

(2)求二面角笈一。。一七的余弦值.

(1)證明由題設(shè)，知△小￡為等邊三角形，設(shè)人石=1,

則。。=坐，CO=BO=^AE=^

所以。。=*。0=乎，PC=7。。?+。。2=乎,

同理P8=坐,以=乎，

又△八BC為等邊三角形，

則劇=2"所以吁興

3

PA2+PB2=^=AB2,則N4PB=90。，

所以以_LPB,同理以_LPC,

又PCCPB=P,PC,P4U平面P8C,

所以朋_1_平面PBC.

⑵解過(guò)。作ON〃BC交AB于點(diǎn)N,

因?yàn)镻OJ_平面ABC,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，04所在直線為x軸，0N所在直線為），軸，。。所

在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則《一亨,0,0）,《0,0,嗡,8（—",坐,0）,C（-1,一坐0）,

元=（1-平,由MT乎,-9）,成=（-*邛）,

設(shè)平面PCB的一個(gè)法向量為〃=3，yi,zi）,

"辰=0,（一加—y/3yi—A/2ZI=0,

由《

I—汨+小yl啦zi=0,

/t-PB=O,

令Xi=0,得Z1=—1,yi=o,所以〃=（6，0,—1）,

設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為”，Z2）,

m-PC=0,—X2-小丁2—啦Z2—0,

由，得

一益一&Z2=0,

m-PE=0,

令X2=l，得Z2=一啦，V=坐，

所以〃1=(1,坐,一也)，

u,、inn2-J22-\/5

故cos〈孫〃〉=麗廣廠迎=5'

9-J5

所以二面角8—PC-E的余弦值為告.

思維升華(1)求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，

然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是

銳角還是鈍角.

(2)利用向量法求二面角的大小的關(guān)鍵是確定平面的法向量，求法向量的方法主要有兩種：

①求平面的垂線的方向向量.②利用法向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積為零，列方程

組求解.

跟蹤訓(xùn)練3(2020?宜昌一中模擬)如圖，在四棱錐。一4BCO中，布_L底面A8CQ,AD1AB,

AB//DC,AD=DC=AP=2,A8=l,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).

AB

(1)證明：BEA.PDx

(2)若尸為棱PC上一點(diǎn)，滿足BF_LAC,求二面角尸一43一。的余弦值.

解依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AB,AD,AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

?fe>c

4~BX

可得3(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).

由E為棱PC的中點(diǎn),得E(l』」).

⑴證明向量西=(0,1,1),而=(0,2,-2),

故港?麗=0,所以就麗，所以BE_LPQ.

(2)解就=(1,2,0),CP=(-2,-2,2),啟=(220),麗=(1,0,0),

由點(diǎn)尸在棱PC上，設(shè)#=人而，0W2W1,

故雄=就+#=正+2m=(1一2九2-2；.,22),

由BFLAC,得泳?啟=0,

所以2(1—22)+2(2—2;.)=0,2=1,

即濟(jì)=(一=5

x=0,

〃rA4=0,

設(shè)〃i=（x,y,z）為平面胡3的法向量，則，即1113

wiBF=O,-/+中，+呼=0,

不妨令z=-l,可得用=。3,—1）為平面%B的一個(gè)法向量,

取平面ABD的法向量〃2=（0。1）,

則COS〈川，〃2〉一麗麗=而=-10'

又因?yàn)槎娼?一AB一。為銳二面角，

所以二面角尸一AB-O的余弦值為嚅.

題型二立體幾何中的探索性問(wèn)題

例4（八省聯(lián)考）北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用.刻畫空間的療曲

性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2兀與多

面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體

面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如正四面體

在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是去所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為27t—3乂?=兀，故其

總曲率為4兀

⑴求四棱錐的總曲率；

（2）若多面體滿足：頂點(diǎn)數(shù)一棱數(shù)+面數(shù)=2,證明：這類多面體的總曲率是常數(shù).

（1）解總曲率=2兀、頂點(diǎn)數(shù)一所有內(nèi)角和，對(duì)于四棱錐底面的內(nèi)角和為2兀，四個(gè)側(cè)面的內(nèi)角

和為4兀，

從而總曲率為10兀一2兀一47=4兀

（2）證明對(duì)于多面體有頂點(diǎn)數(shù)一棱數(shù)+面數(shù)=2,

總曲率=頂點(diǎn)數(shù)X2冗一各面內(nèi)角之和，

設(shè)面數(shù)為人,%?為第i（i=l,2,-?-,Z）個(gè)面的邊數(shù)，各面內(nèi)角之和可以表示為工（修一2）兀，

1=1

由于一個(gè)棱會(huì)出現(xiàn)在兩個(gè)面上，所以棱數(shù)X2兀一面數(shù)X27T,

從而總曲率=2兀義頂點(diǎn)數(shù)一棱數(shù)X2兀+面數(shù)X2兀=2兀（頂點(diǎn)數(shù)一棱數(shù)+面數(shù)）=2兀X2=4兀

思維升華隨著新高考改革，考試逐漸回歸其本質(zhì)，別致新穎的主體幾何新題型不斷涌現(xiàn)，其

中新定義問(wèn)題常常使考生束手無(wú)策，因此，讀懂題意才能快速有效地切入新問(wèn)題情景.

跟蹤訓(xùn)練4設(shè)尸為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為I—=

(NQIPQ2+N02P03+???+NQIP2+NQPQD，其中0(i=l,2,…,匕223)為多面體M

的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面Q|PQ2，平面Q2PQ3,…，平面QLIPQ和平面QPQI遍

歷多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面.任取正四面體的一個(gè)頂點(diǎn)，在該點(diǎn)處的離散曲率為

：如圖所示，己知長(zhǎng)方體ASGQi-A3C。，AB=BC=\,A4=為■，點(diǎn)P為底面

內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則四棱錐P-ABC。在點(diǎn)。處的離散曲率的最小值為.

答案II

解析由題意可知，正四面體的所有面都是正三角形，所以取正四面體的一個(gè)頂點(diǎn)，在該點(diǎn)

處的離散曲率為1-始+W+%u

已知長(zhǎng)方體481Goi-點(diǎn)尸為底面內(nèi)妁一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則四棱錐尸一ABC。在

點(diǎn)P處的離散曲率為1一五(N4PQ+NAPB+/8PC+/CPO),

又由48=3C=1,AA=聿，所以AC=8O=&,且為正方形，

當(dāng)/月。。=/4。6=/62。=/。。。時(shí)一，即點(diǎn)。為正方形4山1。|。1的中心時(shí)，離散曲率取得

最小值，

此時(shí)NAPO=/APB=ZBPC=NCP。昔

即口r—施1.+7i/.7t/.nA21

課時(shí)精練

立基礎(chǔ)保分練

1.(2020?全國(guó)HI)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A由中，點(diǎn)E,〃分別在棱。功，/犯上，且2DE

=EDi，BF=2FBi.

⑴證明：點(diǎn)G在平面AE尸內(nèi)；

(2)若A8=2,AD=\,AA=3,求二面角4一石/一4的正弦值.

(I)證明設(shè)人8=a,AD=b,AA\=c>

如圖,

以Cl為坐標(biāo)原點(diǎn)，而，3d的方向分別為X軸，y軸，Z軸正方向，建立空間直角坐

標(biāo)系C\xyz.

連接GF,則Ci(O,O,O),A(a,b,c),電，0,《0,b,；c),

詼=(o,bycir=^(),/?,

所以西=o,

所以EA//CiFt

即A,E,F,G四點(diǎn)共面，

所以點(diǎn)G在平面AEF內(nèi).

(2)解由已知得人(2,1,3),E(2,0,2),嚴(yán)(0,1,1),4(2,1,。),

則危=(0,-1,-I),萬(wàn)=(一2,0,-2),

乖=(0,-1,2),乖=(一2,0,1).

設(shè)〃i=(xi，y,zi)為平面AE尸的法向量，

則’..

WiAF=0,

-yi-zi=0,

即

—2ri—2z)=0,

可取砌=(—1,—1,1).

設(shè)〃2=(X2，>'2>Z2)為平面AiEF的法向量,

n2-A\E=0,-Y2+2Z2=0,

即.

—2X：4-Z2=0,

〃2人尸=0,

同理可取〃2=G，2,1).

因?yàn)镃OS<???2>=點(diǎn)稿=一亭，

所以二面角A-EF-Ai的正弦值為華.

2.(2020?全國(guó)II)如圖，已知三棱柱A8C-A出Ci的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，M,

N分別為BC,8G的中點(diǎn)，戶為4M上一點(diǎn).過(guò)81G和P的平面交A8于E,交AC于F.

(1)證明：AA\〃MN,且平面AMMN_L平面EBiGP：

(2)設(shè)。為△48ICI的中心，若A0〃平面EBiGF,且AO=4B,求直線反石與平面4AMN

所成角的正弦值.

(1)證明因?yàn)閭?cè)面34CC是矩形，且M,N分別為8C,31c的中點(diǎn)，

所以MN//CCi.

又由已知得A4i〃CG,故A4i〃MM

因?yàn)椤?BCi是正三角形，所以SGJ_AiN.

又BC」MN,故8iG_L立面4AMM

又SGU平面EBCF,

所以平面44MALL平面EBiGF.

(2)解由已知得AMJ_BC以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，/質(zhì)的方向?yàn)閤軸正方向，|凝|為單位長(zhǎng)度，建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

y/B

則A8=2,

連接NP,則四邊形AON尸為平行四邊形,

故PM=￥，￡0坐I，o)

由(1)知平面44MNJ_平面ABC,

作NQ_LAM,垂足為Q,

則NQ_L平面ABC.

設(shè)Q3O0),

又〃=(0,-1,0)是平面4AMN的一個(gè)法向量,

4.傳/遮

故sin(g—《〃，B\E)l=cos(〃，B\E)-----=-T7-.

-1〃臉

所以直線%E與平面A/MN所成角的正弦侑為嚶.

3.如圖1,在邊長(zhǎng)為4的正方形A8CO中，E是AO的中點(diǎn)，尸是。。的中點(diǎn)，現(xiàn)將△￡)￡/

沿EF翻折成如圖2所示的五楂錐P-ABCFE.

(1)求證：4C〃'F面PER

⑵若平面PE凡L平面48C/^,求直線PB與平面PAE所成角的正弦值.

⑴證明在題圖1中，連接4C

又E,產(chǎn)分別為A。，C。的中點(diǎn)，

所以EF//AC.

即題圖2中有EF//AC.

又EFU平面PEF,AO7平面PEF,

所以AC〃平面PEF.

⑵解在題圖2中，取EF的中點(diǎn)O,并分別連接OP,OB.

分析知，OP_LEF,OBVEF.

又平面尸石尸_L平面ABCFE,

平面PEFC平面ABCFE=EF,POU平面PEF,

所以00_1_平面ABCFE.

又48=4,

所以PF=AE=PE=2,E0=OP=OF=@,OB=3也

分別以0為原點(diǎn)，OB,OP為工軸，)，軸，Z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則0(0,0,0),P(0,0,巾),8(0,3?0),￡(m,0,0),g/5,啦,0),

所以赤=(0,-3小，小)，函=(小，小，0),EP=(-y/2,0,小).

設(shè)平面附七的一個(gè)法向量〃=(x,y,z),

近i+&y=0,

則＜

+巾z=0,

取x=l,則y=—1,z=I,

所以〃=(1,—1,1).

\0X1+(-31)X(-1)+啦XI2^30

所以cos(BP,II)=/—；-----------=-1—---------；——；=IC.

V024-(-3V2)24-(V2)2X^l2J-(-l)2+l215

分析知，直線PB與平面朋E1所成角的正弦值為嗜.

國(guó)技能提升練

4.(2020?宜昌模擬)如圖，四邊形/WCQ是正方形，四邊形1尸為矩形，ACLBF,G為EF

的中點(diǎn).

(1)求證：4尸_1平面人8c。；

(2)二面角C8G。的大小可以為60。嗎，若可以求出此時(shí)R器F的值，若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1)證明???四邊形BOE尸為矩形，；.BF工BD,

又???AC_LB凡AC,8。為平面ABC。內(nèi)兩條相交直線，

???8尸_1_平面ABCD.

(2)解假設(shè)二面角CBGO的大小可以為60°,

由(1)知B尸平面48C。，以A為原點(diǎn)，分別以AB,A。為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示，不妨設(shè)A8=AD=2,

E

BF=h(h>①,則A(0,0,0),4(2,0,0),C(2,2,0),

￡產(chǎn)的中點(diǎn)G(l,l,〃),BG=(-1J,h),病=(0,2,0).

設(shè)邛面ACG的法向量為〃=(x,y,z),

BGn=0,—x+j+/zz=0,

則彳即|取H=(//,OJ).

12y=0,

BCn=0,

由于4C_L8￡AC1BD,BFCBD=B,BF,8Z)U平面BOG,，AC_L平面BDG,

???平面BDG的一個(gè)法向量為尼=(220).

n-AC