專題01集合

目錄

A題型建模?專項(xiàng)突破.........................................................................

題型一、數(shù)集與點(diǎn)集..............................................................................

題型二、集合中元素的互異性應(yīng)用（?？键c(diǎn)）......................................................2

題型三、集合與元素中的參數(shù)問題.................................................................2

題型四、子集、真子集的個(gè)數(shù).....................................................................3

題型五、集合間的基本關(guān)系中的參數(shù)問題（重點(diǎn)）..................................................3

題型六、集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算...................................................................4

題型七、韋恩圖和容斥原理.......................................................................4

題型八、集合的基本運(yùn)算中的參數(shù)問題（難點(diǎn)）....................................................5

題型九、集合中的結(jié)構(gòu)不良問題...................................................................6

題型十、集合的新定義問題.......................................................................7

B綜合攻堅(jiān)-能力躍升.........................................................................8

A題型建模?專項(xiàng)突破

【說明】試題或者解析中區(qū)間的概念說明：設(shè)。，〃是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且。（力，我們規(guī)定:

定義名稱符號

{x\a<x<b}閉區(qū)間

{x\a<x<b^開區(qū)間（總

[x\a<x<b^半閉半開區(qū)間["，〃）

｛出半開半閉區(qū)間(〃,可

題型一、數(shù)集與點(diǎn)集

1.（24-25高一上?湖北?期中）下列關(guān)系中，正確的個(gè)數(shù)為（）

①、QCR;②;WQ;③0={。};④O￡N；⑤兀eQ；⑥-IwZ.

A.3B.4C.5D.6

x+y=0

2.(24-25高一上?福建泉州?月考)方程組，，解集是()

x~-y=2

A.{(1,-1),(-1,1)}B.{(1,1),(-2,2)}

C.{(1,-1),(-2,2)}D.{?￥=-2,)，=2或I=1,〉=-1}

3.(24-25高一上?山東聊城?期末)已知集合加={0,1},則集合*={(x,y)|xcM,yeM}中所含元素的個(gè)數(shù)

為()

A.1B.2C.3D.4

4

4.集合A=<yy=—中的元素個(gè)數(shù)為()

x+3

A.3B.4C.5D.6

題型二、集合中元素的互異性應(yīng)用(?？键c(diǎn))

1.已知集合A中含有兩個(gè)元素1,%則實(shí)數(shù)。的取值范圍是;若則。=.

2.已知集合M中含有2個(gè)元素x+1,/_24-3,則太滿足的條件是.

3.(24-25高一上?浙江?開學(xué)考試)若由。，g,1組成的集合A與由〃？，a+bt0組成的集合3相等，則

的值為.

4.(24-25高一上?青海西寧?月考)已知集合人={“-3,2”十1,“2十1},集合6={01,?.

(1)若—3wA,求〃的值；

(2)是否存在。和x的值使得4=8,若存在，求出。和x的值；若不存在，請說明理由.

題型三、集合與元素中的參數(shù)問題

1.(24-25高一上?安徽?月考)已知集合4={x|2〃d-3>0,〃wR},若1名A且3e4,則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍

是()

(\31r13](3}(\\

(22J[22)[2)\2)

2.(24-25高一上?上海虹口?月考)若集合從=N狽2-3入?+1=0}的子集只有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)。=.

3.若集合A={x|履2—8X+I6=0}中至多有一個(gè)元素，求左的取值范圍.

4.(24-25高一上?云南紅河?期中)記關(guān)于x的方程,+3+月=2(a,〃cR)的解集為加，且M恰有3個(gè)元

素.

（1）證明:/-4〃=8;

⑵若以M中的元素為邊長的三角形恰好為直角三角形，求a,b的值.

題型四、子集、真子集的個(gè)數(shù)

1.（24-25高一上?湖北恩施?月考）已知集合4={X€川工-44-1},則集合A的真子集個(gè)數(shù)為（）

A.1B.7C.15D.31

2.若{1,2}"q{123,4},則集合M的個(gè)數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

3.已知集合M=<（x,），）y=；-"N={（K），）k2=_2y},則McN的子集個(gè)數(shù)為（）

.>

A.0B.1C.2D.4

4.已知集合”={123,4,5},則集合P={x|xeM,且2x—M}的子集的個(gè)數(shù)為（）

A.7B.8C.4D.6

5.（24-25高一上?吉林長春?月考）若八={1,2,3},B={x\x=mnjnGAJIGAjn*n）,則集合B的非空真子

集的個(gè)數(shù)為.

6.（24-25高一下?云南玉溪?期末）己知集合用=3￡M3<工<4，若集合M有15個(gè)真子集，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍為.

題型五、集合間的基本關(guān)系中的參數(shù)問題（重點(diǎn)）

1.已知集合八={M1W*W4},3={x|a3<x<3a},且A=則實(shí)數(shù)4的取值范圍為（）

4444

A.—<a<2B.a>2^a<—C.-<a<2D.a>2^a<—

3333

2.己知集合P=kW=i},（?={x|6U-=l|,若QqP,則4的值是（）

A.1B.-1C.1或一1D.0,1或—1

x+8<4x-l

3.如果不等式組《的解集是x>3,那么〃?的取值范圍是（）

x>m

A.m=3B.m>3C.m<3D.m<3

4.（24-25高一上?廣西南寧?月考）設(shè)A={X/-8x+15=0},8={水優(yōu)-1=0},若求實(shí)數(shù)〃組

成的集合的子集個(gè)數(shù)有（）個(gè)

A.2B.4C.6D.8

5.（24-25高一上?青海西寧?月考）集合A={x|-1W},集合3={即一mWxW1+m}.若A,則m的

取值范圍是（）

3.（24-25高一上?陜西榆林?月考）為了豐富學(xué)生的課余生活，某校開設(shè)了籃球社團(tuán)、AI社團(tuán)、圍機(jī)社團(tuán),

高一某班學(xué)生共有30人參加了學(xué)校社團(tuán)，其中有15人參加籃球社團(tuán)，有8人參加AI社團(tuán)，有14人參加

圍棋社團(tuán)，同時(shí)參加籃球社團(tuán)和AI社團(tuán)的有3人，同時(shí)參加籃球社團(tuán)和圍棋社團(tuán)的有3人，沒有人同時(shí)參

加三個(gè)社團(tuán)，只參加圍棋社團(tuán)的人數(shù)為（）.

A.10B.9C.7D.4

4.（24-25高一上?福建福州?月考）（多選題）圖中陰影部分用集合表示正確的是（）

B.琳Ac(㈤)

C.名叱8）D.陋)c(網(wǎng)

5.（24-25裔一上?江蘇蘇州?月考）（多選題）下圖中陰影部分用集合符號可以表示為（）

B.(Q⑻(AC)

C.D.(AC8)D(8CC)

題型八、集合的基本運(yùn)算中的參數(shù)問題（難點(diǎn)）

1.設(shè)全集U={123,5,7},集合A={1M_27}QA={3,5},則a的值是（）

A.4B.5C.7D.9

2.（24-25高一下?河南?月考）已知集合八二{1,。},集合B滿足AD8={l,e,7t},則〃的所有可能取值的集

合為（）

A.{1}B.{e}C.{兀}D.{e,7i}

3.已知集合八一{1卬+2},"-{|,3必2},若AB=A,則實(shí)數(shù)〃=（）

A.-IB.1C.2D.T1或2

4.（24-25高一上?天津?期中）已知集合人={乂2-+5=1或r>6}.

（1）當(dāng)a=4時(shí)，求和今8；

（2）若=求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

5.已知全集〃={1,2,3,4,5},A={.r|x2-5qx+4=（）,qeR},A^U.

（1）若電乂中有四個(gè)元素，求4.A用夕的值；

（2）若=求實(shí)數(shù)的取值范圍.

6.設(shè)集合k={1|工+〃吐（）},B={x\-2<x<4},全集U=R.

⑴若（QA）B=0,求實(shí)數(shù)〃，的H乂值范圍；

⑵若（Q.M）c8w0,求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍；

⑶若（Q.8）A=R,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

7.（23-24高一上?浙江?期中）已知集合A=，XWNE<X<4>,B={.^ir-1>（）}.請從①A~B=8,②

AB=A,③Ac（QB）=0這三個(gè)條件中選一個(gè)填入（2）中橫線處，并完成第（2）問的解答.（如果選

擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）

（1）當(dāng)a=g時(shí)，求

（2）若,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

題型九、集合中的結(jié)構(gòu)不良問題

1.在①8={川1<-2或X>1}；②4=孝或犬之當(dāng)}這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題

中.

問題：已知全集〃=心A={x\2x-l<0},且_________,求@4）fW.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

2.（23-24高一上?福建寧德?月考）已知集合/1={4[〃<4<10-4}.

（1）若集合人=0，求〃的取值范圍.

⑵在①"{小I<xv4}；②Q8={小〉6}；③8={#之7}這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問題中.問

題：,若A「8=0,求a的取值范圍.

3.（24-25高一上?山東青島?月考）設(shè)全集為（7=區(qū)，集合A={RX2一7_￥>8},8={.<|a+1vx〈2a-3}.

U

AB

（1）當(dāng)。=6時(shí)，求圖中陰影部分表示的集合C;

（2）在①（々A）c8=0；②AC8=B;③4B=A這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

4.（23-24高一上?山東荷澤?期末）已知集合A={H〃2Vx<2〃4,8=-5或x>4}.

（1）當(dāng)"?=3時(shí)，求AD（Q5）；

（2）在①AuQB,②An“=0,③ACI（Q8）=A這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在（2）問中的橫線上，并求

解?，若,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）

題型十、集合的新定義問題

1.（24-25高一上?山東青島?月考）在研究集合時(shí)，用card（A）來表示有限集合A中元素的個(gè)數(shù).集合

M={1,2,3,4},N={x[x>〃?},若card（M，N）=2,則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍為（）

A.[2,3）B.[2,3]C.（2,3）D.（2,-KO）

2.124-25高一下?湖南長沙?期末）設(shè)集合用={對出，，4}（心3,〃eN）若集合A8,C滿足AU"C=M,

Ac3=8cC=AcC=0,稱（A,SC）為集合M的一個(gè)“三分劃”（不考慮ARC的順序，即（A,8,C）與

（氏AC）視作同一種情況）.對于集合用={123,4,5,6,7,8},在M的所有“三分劃”（A8.C）中，滿足集合

AB,C中元素之和相等的“三分劃”的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

3.（23-24裔一上.江蘇連云港.月考）對于集合A8,集合{（?〃）,eA.bw可記作Ax4,例如，

A={1,2},B={3,4},則有：Ax8={（l,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）},4xA={（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）}.若已知

CxD={（l,2）,（2,2）},則集合O=.

4.（23-24高一上?江蘇南京?月考）我們知道，如果結(jié)合AqS,那么S的子集A的補(bǔ)集為OA={x|xeS且

x任川.類似地，對于集合A地我們把集合{MxwA且X任/叫作集合A與B的差集,記作A-8.例如，

A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7,8},則有4—8={1,2,3},8-4={6,7,8}.若4=卜|14]43},B={J\2<X<4],

貝I」A—3=.

5.（24-25高一上?廣東廣州?月考）已知己={1,2,…（心3）,A=…,4}（a2）是S.的子集，定義集

合父={4-力4嗎eA且《>%）,若KUSf,則稱集合A是5“的恰當(dāng)子集.

（1）若〃=5,A={l,2,3,5）,求A*并判斷集合A是否為反的恰當(dāng)子集;

（2）已知A={1,。也7）（?！慈允桥c的恰當(dāng)子集,求此力的值并說明理由.

6.（24-25高一上?海南?？?月考）定義兩種新運(yùn)算“十”與“③”，滿足如下運(yùn)算法則：對任意的有

?（a?h

a?b=ab9"應(yīng)〃=《『+1?設(shè)全集U=十b+〃，0<aWZ?<3且aeZ,〃wZ},A='x|4（〃十b）+—,

OvavZ?v3且aeZ,beZ}fZ?={x|"?x=l}.

⑴求集合U；

（2）求集合A；

⑶集合A,8是否能滿足（電4）B=0?若能，求出實(shí)數(shù)機(jī)的值；若不能，請說明理由.

綜合攻堅(jiān)?能力躍升

1.（23-24高一上?河北?月考）已知集合例={（1,0）},則下列與M相等的集合個(gè)數(shù)為（）

,K+y=iJ

②{（x,）'）|y=VT^+x/r^}

③-x\x=~~~~~~-,〃eN?

④{兄-1<xv2,xeN}

A.0B.1C.2D.3

2.已知集合4={（乂），）,+）,2?1。心武,），《4},則集合4的元素個(gè)數(shù)為（）

A.9B.8C.6D.5

3.設(shè)全集U=Z,集合A={x|x=3A,&eZ},B={x\x=3k-\,keZ},4（Aj4）=（）

A.0B.{x[x=3攵+1,攵eZ}

C.{工|x=3〃+2,ZwZ}D.{x[x=3k+3,AwZ}

4.（24-25高一上?福建福州?月考）已知全集為U,集合M,N滿足MqNqU,則下列運(yùn)算結(jié)果為U的

是（）.

A.MuNB.（期V）U（MC.MU（QW）D.小騎例）

5.（24-25高一上?北京通州?期中）設(shè)集合W為非空集合，且M={xwNlxN3},若meM,則蔡￡加，

滿足上述條件的集合M的個(gè)數(shù)為（）

A.12B.15C.31D.32

6.（24-25高一上?廣東廣州?月考）對于任意兩個(gè)數(shù)x,y（x,ywN'），定義某種運(yùn)算“■”如下:①當(dāng)蒼），*,），wN*）

同為奇數(shù)或同為偶數(shù)時(shí)，x,y=x+y；②當(dāng)司y（x,ywN"）一奇一偶時(shí),x?y=孫,則集合A={（x,y）|x?y=10}

的子集個(gè)數(shù)是個(gè)（）

A.2,4B.2'3C.2"D.27

7.A={x|-2<x<5},3={x|m+l?xW2〃?—1},若AU5=/4,則實(shí)數(shù)〃，的取值范圍是（）

A.（-oo,3]B.（—,2）C.[2,3]D.（f3）

8.（24-25高一上?山西大同?月考）已知集合4={工,4—2或x>l},2?={x|ar+2<0）,且8qA,則。的

取值范圍是（）

A.{?|0<?<1}B.{a\-2<a^\]

C.[a\-2<a<\\D.{a[-2<a<0或1}

9.（24-25高一上?江蘇無錫?月考）一群學(xué)生參加學(xué)科夏令營，每名同學(xué)參加至少一個(gè)學(xué)科考試.已知有80

名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)考試，50名學(xué)生參加了物理考試，45名學(xué)生參加了化學(xué)考試，學(xué)生總數(shù)是只參加一門考

試學(xué)生數(shù)的2倍，也是參加三門考試學(xué)生數(shù)的4倍，則學(xué)生總數(shù)為（）

A.100名B.108名C.120名D.前三個(gè)答案都不對

10.（24-25高一上?山東?期中）在山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)科技節(jié)中，高一李明同學(xué)定義了可分比集合：若對于集

合M滿足對任意〃，bwM,都有，翅2,3],則稱M是可分比集合.例如：集合{1,46,7}是可分比集合.若集

合A,8均為可分比集合，且4J8={1,2,則正整數(shù)〃的最大值為（）

A.6B.7C.8D.9

11.（23-24高一上?江西吉安?期末）（多選題）如圖，全集為U,集合A,8是U的兩個(gè)子集，則陰影部分

可表示為（）

A.（AC8）D6（AUB）B.（AnB）

C.（Ac4）u[（腳）c（/）]D.（Au3）c[（楙）5/）]

12.（23-24高一上.山西朔州?月考）（多選題）已知集合4={小2-31+2=0},B={x|ar-2=0},Al.B=A,

由實(shí)數(shù)。組成集合C,則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.集合。的所有非空真子集個(gè)數(shù)是2B.集合C的所有非空真子集個(gè)數(shù)是6

C.集合。的所有子集個(gè)數(shù)是4D.集合C的所有子集個(gè)數(shù)是8

3(2口高一上.安徽亳州?月考)已知數(shù)集A滿足條件：當(dāng)時(shí)，占"'若應(yīng)6則A中所有

元素組成的集合是.

ax2-2

14.(24-25高一上?上海?期中)已知集合4={工一x卜恰有兩個(gè)子集，則實(shí)數(shù)。取值集合為______.

x-3

15.(24-25高一上?廣東珠海月考)已知集合4=卜|/-3x+2=0,xtR},8={x|0<x<8,xeN},則滿足

條件A±CB的集合C個(gè)數(shù)為個(gè).

16.已知集合A={xeN|px=10.peN},B={xeR|x>?},若Al8=3,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

17.含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為,3,1,也可表示為付M+hO},求a2025+/?2026的值.

18.已知集合A={x|ad+2x+l=0,awR}.

⑴若A中只有一個(gè)元素，求。的值；

(2)若A中至多有一個(gè)元素，求。的取值范圍；

(3)若A中至少有一個(gè)元素，求。的取值范圍.

19.已知集合A={N-5<x<2},B=(M2a-3<x<a+l}.

(1)若0={3,4,/+勿—3},06("C),求實(shí)數(shù)a的值；

(2)從條件①②③中選擇一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

條件：①4B=B；②8c(4A)=0；③AJ(Q8)=R.

20.已知集合A={x|〃z<x<2/〃},8={x|xM-5或x>4}.

(1)當(dāng)加=3時(shí),求AD(Q8)；

⑵在①②ArB=0；③八。(43)二八這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上.并求解.若

，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

21.(24-25高一上“1|東濰坊?月考)已知集合4={(工,)，),2+)，2Wl,x,yeZ},8={(x,)，)M?2,3?2,x,yeZ},

⑴求Ac8；

(2)若定義集合人十8={(4+0)1+y2)|(Ai,y)e4,(七,外)€可，求A十8中元素的個(gè)數(shù).

22.(23-24高一上.河南洛陽?期中)若集合4具有①OeA,SR,②若則A,且xA0時(shí)，

這兩條性質(zhì)，則稱集合A是“好集”.

x

(1)分別判斷集合8={-1,0,1},有理數(shù)集。是否是“好集”,并說明理由.

⑵設(shè)集合A是“好集”,求證：若為yeA,則x+yeA.

(3)對任意的一個(gè)“好集”A,判斷命題“若％,yi4,則的真假，并說明理由.

23.(24-25高一上?黑龍江哈爾濱?月考)定義：若任意犯〃wA(〃?，〃可以相等)，都有1+〃"-0,則集合

B=卜|x=,+〃,〃?,〃eA，稱為集合A的生成集.

1+mn

⑴求集合A={3,4}的生成集8；

(2)若集合A={〃,2},A的生成集為8,H的子集個(gè)數(shù)為4個(gè)，求實(shí)數(shù)〃的值；

(3)若集合—IWAWI,A的生成集為3,求證A=8.

專題01集合

目錄

A題型建模?專項(xiàng)突破.........................................................................

題型一、數(shù)集與點(diǎn)集..............................................................................

題型二、集合中元素的互異性應(yīng)用（?？键c(diǎn)）......................................................2

題型三、集合與元素中的參數(shù)問題.................................................................2

題型四、子集、真子集的個(gè)數(shù).....................................................................3

題型五、集合間的基本關(guān)系中的參數(shù)問題（重點(diǎn)）..................................................3

題型六、集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算...................................................................4

題型七、韋恩圖和容斥原理.......................................................................4

題型八、集合的基本運(yùn)算中的參數(shù)問題（難點(diǎn)）....................................................5

題型九、集合中的結(jié)構(gòu)不良問題...................................................................6

題型十、集合的新定義問題.......................................................................7

B綜合攻堅(jiān)-能力躍升.........................................................................8

A題型建模?專項(xiàng)突破

【說明】試題或者解析中區(qū)間的概念說明：設(shè)。，〃是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且。（力，我們規(guī)定:

定義名稱符號

{x\a<x<b}閉區(qū)間

{x\a<x<b^開區(qū)間（總

[x\a<x<b^半閉半開區(qū)間["，〃）

｛出半開半閉區(qū)間(〃,可

題型一、數(shù)集與點(diǎn)集

1.（24-25高一上?湖北?期中）下列關(guān)系中，正確的個(gè)數(shù)為（）

①、QCR;②;WQ;③0={。};④O￡N；⑤兀eQ；⑥-IwZ.

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】根據(jù)元素和集合的關(guān)系進(jìn)行判斷，得到答案.

【詳解】近sR,①正確；1eQ,②正確;

0為元素，{0}為集合，兩者不能用等號連接，應(yīng)0e{。},③錯(cuò)誤；

OeN,④錯(cuò)誤；兀任Q,⑤錯(cuò)誤；TeZ，⑥正確.

故選：A

2.(24-25高一上?福建泉州?月考)方程組，,一、解集是()

x~-y=2

A.{(1,-1),(-U)}B.{(U)，(-2,2))

C.{(l.-l),(-2,2)}D.{x=_2,y=2或x=l,y=T}

【答案】C

【分析】解方程求方程組的解，進(jìn)而寫出解集.

JV+y=0fx=1.[x=-2

【詳解】由「解得|或o，

x-y=2=[y=2

所以方程組解集是{。,2,2)}.

lx一)'=2

故選；C.

3.(24-25高一上?山東聊城?期末)已知集合"={0,1},則集合N={(x,y)|xwM,y￡M}中所含元素的個(gè)數(shù)

為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)集合描述法用列舉法求出集合中元素得解.

【詳解】因?yàn)榧嫌?{0,1},N={(x,y)keM,)，eM},

所以N={(0,0),(0,1),(1,0),(1』)},

故選:D

4.集合A=[yy=-j,xeZ,y€z]中的元素個(gè)數(shù)為()

[x+3

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

4

【分析】xeZ,--eZ,X+3可能的取值為±L±2,±4,分別代入可得A,得到元素個(gè)數(shù).

x+3

4

【詳解】因?yàn)閤eZ,所以x+3eZ.又yeZ,所以一-eZ,

x+3

所以x+3可能的取值為±1,±2,±4,分別代入可得4={±4,±2,±1},

所以集合A中共有6個(gè)元素.

故選：D

題型二、集合中元素的互異性應(yīng)用（?？键c(diǎn)）

1.已知集合A中含有兩個(gè)元素1.%則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是;若HWA,則。=.

【答案】。工10或-1

【分析】根據(jù)集合的互異性求解即可.

【詳解】對于①，由集合的互異性知，awl；

對卜②，當(dāng)/=1時(shí)，即a=—1或a=1,

由集合的互異性得。=-1滿足條件，。=1不滿足；

當(dāng)f=a時(shí)，即a=0或。=1，

由集合的互異性得4=0滿足條件：4=1不滿足；

綜上所述，。=0或。=-1.

故答案為：①②0或—1.

2.已知集合M中含有2個(gè)元素x+1,X2-2A-3,則%滿足的條件是.

【答案】xw-1且XH4

【分析】根據(jù)集合中元素的互異性求解.

【詳解】由集合中元素的互異性可知，”+1工/_2尤_3,解得力-1且中4,

故答案為：xwT且XW4

3.（24-25高一上?浙江?開學(xué)考試）若由“，g,1組成的集合人與由a+b,0組成的集合B相等，則

力叫+從⑼的值為

【答案】-1

【分析】根據(jù)集合相等，對應(yīng)元素相同，即可求解

【詳解】由于集合A等于集合8,所以2=0?b0,

a

此時(shí)可得{〃，（）4}={〃,“（）},則/=1,可得只=±1,

當(dāng)〃=1,不滿足集合元素互異性,故舍，

所以。=-1，

所以。初1+力

故答案為：-1

4.（24-25高一上?青海西寧?月考）己知集合人={4-3,2.+1,/+1},集合8={0,1/}.

（1）若一3wA,求。的值；

（2）是否存在。和x的值使得A=8,若存在，求出。和x的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）一2

（2）不存在，理由見解析

【分析】（1）轉(zhuǎn)化條件。―3=—3或勿+1=—3,臉證兀素的互異性即可求解；

（2）按照a—3=0,勿+1=0討論，驗(yàn)證即可求解.

【詳解】（I）V-3GA,a12+1^-3

當(dāng)"一3=-3,即a=0時(shí)，此時(shí)2.+1=1,標(biāo)+1=1,A=不成立，

當(dāng)2+1=—3,即a=-2,此時(shí)。-3=-5,/+1=5,A={-5,-3,5}成立，

。二一2；

（2）由題意可得,〃+1工0,

若〃一3=（）,則a=3,A={0,7,10}工8,不符合題意，

175

若2a+l=0,則a=-q,A=）0,-不H8,不符合題意，

224

故不存在實(shí)數(shù)〃和x的值，使得4=3.

題型三、集合與元素中的參數(shù)問題

1.（24-25高一上?安徽?月考）已知集合4={乂2〃儀—3>0,〃?eR},若IwA且3eA,則實(shí)數(shù)〃1的取值范圍

是（）

3

A.B.

2?2

【答案】A

【分析】根據(jù)集合中的元素特征得出不等式組可解得結(jié)果.

2m-3<0,

【詳解】由且3wA,得

6/n-3>0,

解得:13

22

故選：A.

2.（24?25高一上?上海虹口?月考）若集合A=W-3x+1=0}的子集只有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)。=

9

【答案】。叼

【分析】根據(jù)題意知道A有一個(gè)元素，然后討論。是否為0,然后得出〃的值即可.

【詳解】??乂的子集只有兩個(gè)，「.A有一個(gè)元素，

①”=0時(shí)，A=—,滿足題意；

9

②時(shí)，A=9—4?=0,解得〃=—,

4

…9

.?.。=0或一.

4

9

故答案為：?；蛄?

4

3.若集合A={x|小-8%+16=0}中至多有一個(gè)元素，求左的取值范圍.

【答案】{火伙21或A=0}

【分析】分k=0和兩種情況左。0討論，結(jié)合△判別式列式求解即可.

【詳解】因?yàn)榧?=卜1小-8x+l6=0}中至多有?個(gè)元素，

當(dāng)上=0時(shí)，A={x|-8x+16=0}={2},符合題意;

當(dāng)時(shí),則△=64—64女工（），解得W；

綜上所述：左的取值范圍{攵或々=0}.

4.（24-25高一上?云南紅河?期中）記關(guān)于x的方程,+如+6=2（〃/￡1＜）的解集為M,且M恰有3個(gè)元

素.

（1）證明:a2-4b=S;

⑵若以例中的元素為邊長的三角形恰好為直角三角形，求a,b的值.

【答案】（1）證明見解析

⑵口的值為-16力的值為62.

【分析】（1）先對原方程進(jìn)行等價(jià)變形；再根據(jù)題意、求根公式和兩個(gè)方程判別式之間的關(guān)系可得出A?=。，

進(jìn)而可證得M一劭=8.

（2）先根據(jù)/一4人=8求出方程的三個(gè)實(shí)數(shù)根；再根據(jù)題意，利用勾股定理列出關(guān)「〃方程求解即可.

（詳解］（1）證明：原方程等價(jià)卜”?IaxI占-2或/?a不?2,

即片+公+人一2=0或丁+0￥+。+2=0.

因?yàn)殛P(guān)于x的方程,+依+4=2（0/￡卬的解集為且用恰有3個(gè)元素,

所以方程_?+以+〃一2=0或丁+.+"2=0均有實(shí)數(shù)根，

由求根公式可得：-〃-0-電竺a+“、4小

122

-a+^cr-4Z>-8

22

由于Ai="-4。+8>/-4。-8=生，

所以當(dāng)冬=。時(shí)，M恰有3個(gè)元素，即/-4〃=8.

（2）由（1）知，力=二寸，原方程等價(jià)于-+以+±-4=0或/+辦+工=0,

444

則兩個(gè)方程的三個(gè)根分別為-三-2,-三+2,-三.

222

若它們是直角三角形的三邊，

則D+1卜2）=卜5+2）且“0

解得：。=-16/=62.

故。的值為一16,b的值為62.

題型四、子集、真子集的個(gè)數(shù)

I.（24-25高一上?湖北恩施?月考）已知集合人=及￡川4-4工-1},則集合A的真子集個(gè)數(shù)為（）

A.1B.7C.15D.31

【答案】C

【分析】由集合A中元素個(gè)數(shù)，判斷真子集的個(gè)數(shù).

【詳解】A={xeNlx<3}={0,1,2,3},共有4個(gè)元素，故集合A的真子集個(gè)數(shù)為24-1=15.

故選：C.

2.若{1,2}Mq{l,2,3,4},則集合M的個(gè)數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【詳解】因?yàn)閧1,2}為M的真子集，所以leM,2￡M且用中至少還有一個(gè)元素.乂”1{123,4},所以

M={123}或{1,2,4}或{123,4},故滿足條件的集合M有3個(gè).

3.已知集合M=（x,y）y=g-.*,%={（.%），）-=_2y},則McN的子集個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立方程組，求得集合McN中的元素個(gè)數(shù)，進(jìn)而的集合McN的子集的個(gè)數(shù)，得到

答案

1

v=—x

【詳解】根據(jù)題意，聯(lián)立方程組.2,可得/一21+1=0，

x2=-2y

所以（x-l）2=0,解得x=l,y=—1即集合M

2ll2,

所以集合McN的子集個(gè)數(shù)為2個(gè).

故選：C.

4.已知集合用={123,4,5},則集合P=且2x《M}的子集的個(gè)數(shù)為（）

A.7B.8C.4D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)題設(shè)有xwP則2xe{2,4,6,810},結(jié)合集合的描述得尸={3,4,5},即可確定子集個(gè)數(shù).

【詳解】由％",則2xw{2,4,6,8,10},又尸={x|xwM,且2/任M}

所以尸={3,4,5},故子集個(gè)數(shù)為2，=8.

故選：B

5.（24-25高一上?吉林長春?月考）若A={1,2,3},/?=（x|x=nmjneAjieAjn/:）,則集合B的非空真子

集的個(gè)數(shù)為.

【答案】6

【分析】用窮舉法求出集合8={2,3,6},再求集合8的非空真子集的個(gè)數(shù)即可.

【詳解】由題意,當(dāng)〃7=1,〃=2或〃=3時(shí)，"?〃=2或"?〃=3；

當(dāng)〃?=2,〃=1或〃=3時(shí)，〃?〃=2或mn=6：

當(dāng)加=3,〃=1或〃=2時(shí),mn=3或mn=6；

綜合以上可知，B={2,3,6}；

所以集合區(qū)的非空直子集的個(gè)數(shù)為2'-2-6，

故答案為：6

6.（24-25高一下.云南玉溪.期末）已知集合知=卜€(wěn)M3<4〈力，若集合“有15個(gè)真子集，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍為.

【答案】（7,8]

【分析】根據(jù)真子集的個(gè)數(shù)得M={456,7},即可求解.

【詳解】因?yàn)榧螹有15個(gè)真子集，所以集合用中包含4個(gè)元素，

所以M={xwN13Vx<々}={4,5,6,7},所以7<a48,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為（7,8].

故答案為：（7,8]

題型五、集合間的基本關(guān)系中的參數(shù)問題（重點(diǎn)）

1.已知集合4=W一1344},B={x\a-3<x<3a},且則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

4444

A.—<a<2B.。>2或a<—C.—<a<2D.a>2^a<—

3333

【答案】C

【分析】根據(jù)AqB,列不等式組,求解即可.

【詳解】因?yàn)锳={M-1W4},又B={^a-3<x<3a},且AcB,

4—3<—1A

所以需滿足。，解得

3a>43

故選:C

2.已知集合。=卜—=1},。=k|皿=1},若Q=P,則a的值是（）

A.1B.-1C.1或TD.0,1或一1

【答案】D

【分析】按照。為空集和Q不是空集分類討論，利用集合關(guān)系及方程的解列式求解即可.

【詳解】P={x|x2=l|={-l,l},0=k版=1},

由題意，當(dāng)Q為空集時(shí)，a=0,滿足QqP；

當(dāng)。不是空集時(shí)，Q={x|ar=l}=Tx=/>,

由。口尸得，=1或，=-1,解得〃=1或。=一1.

aa

綜上，〃的值是0,1或-1.

故選：D

x+8<4x-l

3.如果不等式組{的解集是x>3,那么”的取值范圍是（）

x>m

A.in=3B.m>3C.〃?<3D.m<3

【答案】D

【分析】根據(jù)集合的關(guān)系可得〃，的范圍.

【詳解】因?yàn)?，不等式?）的解集是：x>3；

不等式（2）的解集是：x>m,

x+8<4x-l

因?yàn)?，不等式組的解集是x>3,

x>tn

所以，不等式組的解集在數(shù)軸上的大致范圍，如圖所示，

仔細(xì)觀察數(shù)軸，要想保證有公共部分，不等式的解集的部分，必須在x>3的左邊或加與3相等，因此,

用的范圍應(yīng)該是：〃?43,所以/"的范圍是〃z<3.

故選:D.

4.（24.25高一上?廣西南寧?月考）設(shè)A=WY-8K+15=。},B={^\ax-\=O],若A18=8,求實(shí)數(shù)。組

成的集合的子集個(gè)數(shù)有（）個(gè)

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】先解出集合A,再由人。8=8得到BuA,最后根據(jù)包含關(guān)系求出實(shí)數(shù)。即可；

【詳解】A={X|X2-8A+15=0}={3,5},

因?yàn)锳B=B,所以8uA,

所以B=0,{3},{5},

對應(yīng)實(shí)數(shù)。的值分別為0,杲，

其組成集合的子集個(gè)數(shù)為2,=8個(gè).

故選:D.

5.（24-25高一上?青海西寧?月考）集合A={x|-1W3},集合8={即一切W