§7.4空間直線、平面的平行

【考試要求】1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以記明.2.

掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用.

【知識梳理】

1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

如果平面外i條直線與此迤'

--------a

判定定理平面內(nèi)的一條直線平行,=a〃a

那么該直線與此平面平行a//b

一條直線與一個(gè)平面平

a//a}

行，如果過該直線的平面

性質(zhì)定理aUB}=>〃〃/,

與此平面相交,那么該直

線與交線平行

2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

aS、

如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相buB

判定定理交亙線與另一個(gè)平面平行，aCb=P

那么這兩個(gè)平面平行口

b"a>

兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)/r^7a"6'

性質(zhì)定理平面與這兩個(gè)平面相交,那儀■—=〃,=>a//b

么兩條交線平行有8a.

【常用結(jié)論】

1.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若小山，則a〃瓜

2.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若a〃小則a〃/

3.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即〃_La,/?±?,則a〃A

4.若a〃少，“Ua,則

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“X”）

(1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面.(X)

(2)若直線a與平面a內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a〃a.(X)

⑶若直線平面a,直線bu平面a//b,則”/￡.(X)

(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線也相互平行.(X)

【教材改編題】

1.平面a〃平面廳的一個(gè)充分條件是()

A.存在一條直線a//G,a"B

B.存在一條直線a,QUQ,a//p

C.存在兩條平行直線a,h,力U夕，a//p,b//?

D.存在兩條異面直線a,b,aUa,力u/?,a//fi,b//a

答案D

解析若an￡=/,a//l,ada,時(shí)則〃〃a,a//p,排除A；若00夕=/,aU*〃〃/,則

a//^排除B；若。口尸=1,aUa,〃〃/,bu￡,b//l,則〃〃人b//a,排除C.

2.(多選)已知a,夕是兩個(gè)不重合的平面，/,小是兩條不同的直線，則下列說法正確的是()

A.若/〃加，l//p,則〃防尸或夕

B.若a〃/?，機(jī)Ua,lC.pf則〃?〃/

C.若/_!_〃?，則/〃a

D.若山〃a,〃?u夕，aC\p=l,則機(jī)〃/

答案AD

解析對于A,若/〃加，！〃萬，則〃1〃夕或小U0,A正確；

對于B,若a〃夕，/up,則加〃/或/,機(jī)異面，B錯(cuò)誤；

對于C,若〃?_La,/_!_〃?，則/〃a或/Ua,C錯(cuò)誤；

對于D,由線面平行的性質(zhì)知正確.

3.如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀

為.

H

答案平行四邊形

解析平面ABFE//平面DCGH,

又平面EbG”n平面ABFE=EF,

平面EFGHC平面DCGH=HG,

廣〃”G.同理EH〃/G,

???四邊形EFGH是平行四邊形.

題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)

命題點(diǎn)I直線與平面平行的判定

例1如圖，在四棱錐P—ABCO中，底面A8CO為梯形，AB//CD,PD=AD=AB=2,CD

=4,￡為PC的中點(diǎn).

求證：8E〃平面PAD.

證明方法一如圖，取PD的中點(diǎn)F,連接七凡FA.

由題意知E/為△POC的中位線,

：.EF//CDt且EF=；CD=2.

大,：AB//CD,AB=2,C￡>=4,：.ABEF,

???四邊形A3EV為平行四邊形，：.BE//AF.

又A戶U平面以。，BEQ平面力。，

???8E〃平面PAD.

方法二如圖，延長。A,C8相交于從連接

■:AB=2,CO=4,

???黑=綜=1即8為"C的中點(diǎn)，

/7CDZ

又E為戶。的中點(diǎn)，:.BEUPH、

又BEtZ平面PAD,PHU平面PAD,〃平面PAD.

方法三如圖，取C。的中點(diǎn)上連接BH,HE,

A

???￡為PC的中點(diǎn)，:.EH；/PD,

③利用面面平行的性質(zhì)(a〃從aUa=o〃0.

④利用面面平行的性質(zhì)a邛,a//a=^a//fi).

(2)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確

定交線.

跟蹤訓(xùn)練1如圖，四邊形A3C。為長方形，PD=AB=2,AQ=4,點(diǎn)、E,尸分別為A。，PC

的中點(diǎn).設(shè)平面POCG平面PBE=/.證明：

(1)。尸〃平面PBE；

(2)DF//L

證明(1)取P8中點(diǎn)G,連接尸G,EG,

因?yàn)辄c(diǎn)尸為PC的中點(diǎn)，

所以FG//RC,FG=^RC,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為長方形，所以8C〃AD,且BC=AD,

所以?！辍ㄊ珿,DE=FG,所以四邊形OEG/為平行四邊形，

所以。?〃GE,因?yàn)?。?nèi)平面08E,GEU平面PBE,所以Q”〃平面P8E；

⑵由⑴知DF〃平面PBE,

又。/u平面PDC,平面POCD平面PBE=l,

所以DF//L

題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)

例3如圖，四楂柱ABCQ—AdiG。］的底面ABCO是正方形.

⑴證明：平面4BD〃平面CDiBi.

⑵若平面Ascon平面CDB產(chǎn)/,證明：B\D\〃L

證明(1)由題設(shè)知BB\〃DD\且BB】=DDi,

所以四邊形是平行四邊形，

所以BD〃BD.

又BW平面CDS,平面CDIBI,

所以4。〃平面CDiBi.

因?yàn)?Oi〃BiG〃8C且ANi=BiG=8C,

所以四邊形A山CG是平臺四邊形，

所以4i3〃DC

又4用平面。。閏，OCU平面C。由1.

所以4B〃平面CDB.

又因?yàn)?。門48=8,BD,48U平面A山Q,

所以平面A由?！ㄆ矫鍯D,Z?i.

(2)由(1)知平面A田如〃平面CDB,

又平面4BCOG平面CD\B\=l,

平面A6CQA平面AiBD=BD,

所以/〃BO,

又BiD、〃BD,所以8。"http://.

思維升華(1)證明面面平行的常用方法

①利用面面平行的判定定理.

②利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(/_La,/JL夕=>?！ǚ?

③利用面面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行(a〃夕/〃y

=>a//y).

(2)當(dāng)已知兩平面平行時(shí)，可以得出線面平行，如果要得出線線平行，必須是與第三個(gè)平面的

交線.

跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在三楂柱A8C-A|8iG中，過3c的平面與上底面交于GH(GH

與BiG不重合).

(1)求證：BC//GH,

(2)若七，F(xiàn),G分別是A8,AC,A1B1的中點(diǎn)，求證：平面切■A〃平面8C〃G.

證明⑴???在三棱柱ABC—4SG中，

?,?平面ABC//平面A\B\C\f

又???平面BCHGC平面ABC=BC,

且平面BC〃Gn平面AIS尸HG,

???由面面平行的性質(zhì)定理得BC//GH.

(2)VE,F分別為A&AC的中點(diǎn)，:.EF//BC,

TEN平面BCHG,BCU平面BCHG,

???)〃平面BCHG.

又G,E分別為ABi,AB的中點(diǎn)，AiBi-AB,

：?AiG統(tǒng)EB,

???四邊形AxEBG是平行四邊形，

：.A}E//GB.

??兄政平面BCHG,G4U平面BCHG,

???AE〃平面BCHG.

又???AiEn￡：/=￡：,4E,EFU平面￡7%],

；?平面￡/4〃平面BCHG

題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

例4如圖所示，四棱錐P-A8CD的底面是邊長為。的正方形，側(cè)棱以J_底面ABCD,在

側(cè)面P3C內(nèi)，有BEUC于E,且跳：=幸〃，試在"上找一點(diǎn)凡使EF〃平面出D

解如圖，在平面PCO內(nèi)，過點(diǎn)E作fG〃CO交P。于點(diǎn)G,連接AG,

在A8上取點(diǎn)P,使4"=EG,

因?yàn)镋G〃CD〃人凡EG=AFf

所以四邊形尸EG4為平行四邊形，所以Er〃AG.

又4GU平面以。，￡加平面以。，所以￡尸〃平面以D

所以點(diǎn)尸即為所求的點(diǎn).

又以_L平面A8CO,所以以_L3C,

XBCLAB,所以BC_L平面%B.所以尸BJ.BC

所以PC2=BC2+PB2=fiC2+4fi2+fi42.

設(shè)PA=x,則PC=y/2a^-h?,由PBBC=PCBE,得11=d2a?+￡當(dāng)a,

所以x=a,即以=a,所以尸。=小口

會2GEpE

所以

所以---

p.r39

3JCD

222

即GE=gCO=gq,所以4/=學(xué)/.

故點(diǎn)尸是A8上靠近B點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).

思維升華解決面面平行問題的關(guān)鍵點(diǎn)

(1)在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面

平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具

體條件而定，絕不可過于“模式化”.

(2)解答探索性問題的基本裝略是先假設(shè)，再嚴(yán)格證明，先猜想再證明是學(xué)習(xí)和研究的重要思

想方法.

跟蹤訓(xùn)練3如圖，在斜三棱柱ABC—481G中，。，。|分別為AC,4G上的點(diǎn).

(I)當(dāng)W君等于何值時(shí)，〃平面4以小？

(2)若平面BG?！ㄆ矫?8?！鼻蠛诘闹?

解(1)當(dāng)段*=1時(shí)，8G〃平面AB。.

□1L1

如圖，連接4B交A以于點(diǎn)0,連接。。.

B

由棱柱的性質(zhì)知，四邊形4ABs為平行四邊形，

??.點(diǎn)。為A|8的中點(diǎn).

在8G中，。，d分別為4仇41G的中點(diǎn)，

：.OD\//BC\,

又。DC平面8GQ平面AB。［，平面ABQ1.

，當(dāng)時(shí)，3cl〃平面461。1.

（2）由已知，平面8GO〃立面/W。，且平面A由GG平面BCiD=BCi,平面ABCE平面

AB\D\=OD\.

因此8G〃0D|,同理AD/DG.

.4￡）1_AOA。1_DC

?，DiCi=市，QQ=而

￥1?I即I

入OB—K?,AD-1,-DC-1.

課時(shí)精練

丐基礎(chǔ)保分練

I.如圖，已知P為四邊形人BC。外一點(diǎn)，E,產(chǎn)分別為BO,PD上的點(diǎn),若EF〃平面PBC,

則（）

A.EF//PA

B.EF//PB

C.EF//PC

D.以上均有可能

答案B

解析由線面平行的性質(zhì)定理可知EF//PB.

2.已知三條互不相同的直線/,〃?，〃和三個(gè)互不相同的平面a,B，步現(xiàn)給出下列三個(gè)命題:

①若/與為異面直線，lUa,mU§,則a〃川；

②若a〃4，/Ua,mUp,則/〃〃”

③若aC,=l,yCl尸=〃?，yC\a=n,l//y,則〃z〃〃.

其中真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.D

答案C

解析對于①，兩條異面直線分別在兩個(gè)平面內(nèi)，這兩個(gè)平面可能平行，也可能相交，故①

錯(cuò)誤；

對于②，兩個(gè)平行平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線的位置關(guān)系是平行或異面，故②錯(cuò)誤；

對于③，因?yàn)?〃％/Ua,an），=〃，所以由線面平行的怛質(zhì)定理可得/〃小同理/〃，小所以

m//n,故③正確，

因此真命題的個(gè)數(shù)為1.

3.在如圖所示的三棱柱4BC—A山Ci中，過Ai?的平面與平面A3C交于。E,則。E與A3

的位置關(guān)系是（）

A.異面

B.平行

C.相交

D.以上均有可能

答案B

解析在二棱柱AAC。中，AR/ZAtRi.

??YBU平面ABC,ABiQ平面ABC,."百〃平面ABC,

???過Ai?的平面與平面ABC交于DE.：、DE"A\B\、：.DE"RB.

4.設(shè)a,p,y為三個(gè)不同的平面，〃?，〃是兩條不同的直線，在命題“aG尸=〃?，“Uy,且

，則，〃〃/'中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題.

①a〃八〃up；②“?〃/，n///}-,③〃〃夕，〃?u/

可以填入的條件有（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

答案C

解析由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)〃〃.，加Uy時(shí)，〃和機(jī)在同一平面內(nèi)，且

沒有公共點(diǎn)，所以平行，③正確.

5.（多選）（2022?濟(jì)寧模擬）如圖，在下列四個(gè)正方體中，A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，。，E,F

為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線A8與平面。￡尸平行的是（）

答案AC

解析對于A,AB//DE,AR平面。EF,

QEU平面DEF,

???直線48與平面7）E尸平行，故A正確;

對于B,如圖1,作平面。E/交正方體的棱于點(diǎn)G,連接/G并延長，交48的延長線于點(diǎn)兒

則AB與平面。后r相交于點(diǎn)”，故B錯(cuò)誤；

對于C,AB//DF,ABQ平面DEF,。/U平面。石凡

???直線AB與平面OEF平行，故C正確；

對于D,如圖2,連接AC,取AC的中點(diǎn)。，連接0。，

又D為BC的中點(diǎn)，:.AB//0D,

???0。與平面QE尸相交，

???直線43與平面。￡廠相交，故D錯(cuò)誤.

6.（2023廣州模擬）如圖,在三棱柱人8C-A15G中，AM=2MAlfBN=2NBi，過MN作一平

面分別交底面△ABC的邊BC,AC于點(diǎn)E,凡則（）

A.MF//EB

B.A\B\"NE

C.四邊形MNEb為平行四邊形

D.四邊形MNE”為梯形

答案D

解析由于8,E,尸三點(diǎn)共面，廣￡平面BEE

平面故ME￡4為異面直線，

故A錯(cuò)誤；

由于N,Z?二點(diǎn)共面，0U平面歷N&A百平面3NE,故4小，N￡為異面直線，故B

錯(cuò)誤；

???在平行四邊形AAiB山中,AM=2MA\t

BN=2NBi,

:?AM〃BN,AM=BN,

故四邊形AMNB為平行四邊形，

:,MN〃AB.

又MNQ平面ABC,A8U平面4BC,

〃平面ABC.

又MNU平面MNEF,

平面MNEFQ平面ABC=EF,

:,MN〃EF,:.EF"AB,

顯然在△A8C中，EFWAB,

:.EFWMN,

???四邊形石尸為梯形，故C錯(cuò)誤，D正確.

7.如圖，平面a〃平面少〃平面y,兩條直線”，“分別與平面a,6y相交于點(diǎn)A,B,C和

點(diǎn)、D,E,E已知A8=2cm,DE=4cm,EF=3cm,則AC的長為cm.

答案\

解析過點(diǎn)。作直線A5的平行線分別交平面外與平面丁于點(diǎn)M,N,連接40,BM,CN,

ME,NF,如圖所示，所以AD〃8M〃CN,ME〃N「，

43

--

所以衣=礪=而，因?yàn)锳B=2cm,DE=4cm,EF=3cm,所以虎=32

37

所以AC=4B+BC=2+1=g(cm).

8.如圖所示，CD,48均與平面EFGH平行，E,F,G,”分別在8D,BC,AC,A0上,

且CO_LA8.則四邊形EFGH的形狀為.

D

答案矩形

解析因?yàn)镃O〃平面EFGH,COU平面BCD,平面石FG"C平面BCD=EF,所以CO〃石F.

同理”G〃C。，所以E/〃“G同理”E〃GF,所以四邊形EFGH為平行四邊形.

又因?yàn)镃O_LAB,所以“E_LE￡所以平行四邊形EFG”為矩形.

9.如圖，四邊形ABC。與四邊形人。E尸均為平行四邊形，M,N,G分別是八8,AD,E產(chǎn)的

中點(diǎn).求證：

(1)BE〃平面DMF；

⑵平面8QE〃平面MNG.

證明(1)如圖，設(shè)?！迸cGN的交點(diǎn)為。，連接A￡,則AE必過點(diǎn)O,

連接MO,則M0為△A8E的中位線，所以BE//MO,

又平面。MF,M0U平面。MF,所以BE〃平面。MF.

(2)因?yàn)镹,G分別為平行四邊形4DE尸的邊A。，E廣的中點(diǎn)，所以。E〃GN,

又0期平面MNG,GNU平面MNG,

所以O(shè)E〃平面MNG.

又M為的中點(diǎn)，

所以MN為△A8。的中位線，

所以BD〃MN,

又MNU平面MNG,平面MNG,

所以80〃平面MNG、

又。￡,4OU平面30七，DEC\BD=D,

所以平面8。七〃平面MNG.

10.如圖所示，在等腰梯形A8CQ中，已知8C〃A。，BP1AD,垂足為P,將AAB尸沿BP

折起，使平面A3P_L平面。8c。，連接A。，AC,M為梭A。的中點(diǎn)，連接CM.

試分別在8P,CO上確定點(diǎn)E,F,使平面ME廣〃平面A8C

解E,F分別為8P,CO的中點(diǎn)時(shí)，可使平面加￡尸〃平面ABC,證明如下:

如圖，取8。的中點(diǎn)E,CD的中點(diǎn)F,連接ME,MF,EF.

??M,尸分別為AO,C。的中點(diǎn)，

:,MF〃AC.

???MRZ平面ABC,ACU平面A3C,???加產(chǎn)〃平面48C,

又三為的中點(diǎn)，且四邊形尸BC。為梯形，

J.EF//BC.

「后用平面A4C,BCU平而ABC,「.Er〃平面A3C,

MFCEF=F,MF,EFU平面MEF,

工平面ME/7〃平面ABC.

過綜合提升練

11.（多選）如圖，向透明塑料制成的長方體容器ABC。-48Gd內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底

面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個(gè)結(jié)論，其中正確的是

A.沒有水的部分始終呈棱柱形

B.水面EFG”所在四邊形的面積為定值

C.棱Ai。始終與水面所在的平面平行

D.當(dāng)容器傾斜如圖所示時(shí)，BEBF是定值

答案ACD

解析由題圖，顯然A是正確的，B是錯(cuò)誤的；對于C,因?yàn)锳iA〃8C,BC//FG,

所以A\D\//FG且/GU平面EFGH,4。巡平面EFGH,所以4?！ㄆ矫嫫摺篏"（水面），所

以C是正確的；

因?yàn)樗嵌康模ǘw積口.所以S&B/滬8C=匕即尹EBF-8C=V,所以座?斯=虎（定值），

即D是正確的.

12.如圖所示，在四棱錐P—A4co中，ABA-AD,BC//AD,PA=AD=4,AB=BC=2,PAL

平面4BCQ,點(diǎn)E是線段A8的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段以上，且E/〃平面0CQ,直線PQ與平

面CEF交于點(diǎn)H,則線段CH的長度為（）

C.2gD.2小

答案C

解析?:PD與平面CEF交于點(diǎn)H,；?平面CE尸n平面PCD=CHIEF〃平面PCD,

：.EF//CH,過點(diǎn)〃作〃以交A。于點(diǎn)M,連接CM,如圖所示.

'：EFDAP=FfCHC\HM=H,

???平面AEF〃平面CHM.

?.?平面AEFC平面ABO）=AE,平面C"MC平面A8C0=CM,:.AE"CM.滅BC//AM、

四邊形人BCM為平行四邊形，???AM=BC=2.又人。=4,???M是八。的中點(diǎn)，則，為P/）的

中點(diǎn)，/.CH=y）CM2+MH2=^22+22=2^2.

13.如圖，在正方體ABCD-AiSG。中，4S與截面ADC的位置關(guān)系是,48與

平面。功GC的位置關(guān)系是.

答案相交平行

解析與截面AQC相交，

由題意得人用〃。C,而平面。QCC,OCU平面。"GC,

所以48〃平面DDiCiC.

14.如圖，在四面體A8CD中，M,N分別是平面△AC。，△8CO的重心，則四面體的四個(gè)

面中與MN平行的是________.

A

答案平面ABC,平面A8。

解析如圖，連接AM并延長交CQ于E,連接4N并延長交C。于F,由重心性質(zhì)可知，E,

EMEN1

產(chǎn)重合為一點(diǎn)，且該點(diǎn)為CD的中點(diǎn)，由礪=麗=］，得MN〃/1B,又ABU平面ABC,AB

u平面48。，MNQ平面ABC,MM1平面ABD,因此，MN〃平面ABC且MN〃平面48D

拓展沖刺練

15