2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——應(yīng)用數(shù)學(xué)對環(huán)境監(jiān)測的影響考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：請將所有答案寫在答題紙上，寫在試卷上無效。一、填空題（每小題3分，共15分）1.某城市監(jiān)測到空氣中PM2.5濃度（微克/立方米）服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，若已知σ=30，從某區(qū)域隨機(jī)抽取5個(gè)樣本，測得PM2.5濃度平均值x?=75，則μ的95%置信區(qū)間為________。2.在建立污染物濃度與排放量之間的回歸模型時(shí)，使用最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)，其核心思想是使________最小。3.設(shè)某湖泊中某種污染物濃度隨時(shí)間變化符合一級動力學(xué)衰減模型，即C(t)=C?e^(-kt)，其中C?為初始濃度，k為衰減率。若測得污染物濃度衰減了50%，則所需時(shí)間（半衰期）T滿足________。4.若要評估某項(xiàng)環(huán)境治理措施的效果，比較治理前后的污染物濃度變化是否顯著，通常采用________檢驗(yàn)。5.在利用線性規(guī)劃模型優(yōu)化監(jiān)測站點(diǎn)布局時(shí)，目標(biāo)函數(shù)通常表示為________的最大化或最小化。二、選擇題（每小題3分，共15分）1.下列哪種統(tǒng)計(jì)方法適用于比較多組（例如不同區(qū)域）環(huán)境監(jiān)測數(shù)據(jù)的均值是否存在顯著差異？(A)獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)(B)配對樣本t檢驗(yàn)(C)方差分析(ANOVA)(D)回歸分析2.建立大氣污染物擴(kuò)散模型時(shí)，經(jīng)常需要用到________。(A)線性方程組求解(B)微分方程(C)概率分布函數(shù)(D)以上所有3.當(dāng)監(jiān)測數(shù)據(jù)中存在大量異常值時(shí)，計(jì)算污染物平均濃度時(shí)，使用________比使用算術(shù)平均數(shù)更能反映真實(shí)情況。(A)算術(shù)平均數(shù)(B)中位數(shù)(C)眾數(shù)(D)極差4.若環(huán)境監(jiān)測模型中包含多個(gè)自變量（如溫度、風(fēng)速、濕度），且要分析每個(gè)自變量對因變量（如污染物濃度）的影響程度，應(yīng)采用________。(A)簡單線性回歸(B)多元線性回歸(C)相關(guān)性分析(D)主成分分析5.在對環(huán)境監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行趨勢分析，預(yù)測未來污染物濃度變化時(shí)，常使用________。(A)時(shí)間序列分析(B)隨機(jī)過程模型(C)蒙特卡洛模擬(D)以上都是三、解答題（共70分）1.（10分）某河流監(jiān)測段內(nèi)，污染物濃度y（毫克/升）與距離x（公里）的關(guān)系近似滿足一元線性回歸模型y=β?+β?x+ε。隨機(jī)測量了8個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到x?=4,?=6.5,Σ(xi-x?)(yi-?)=40,Σ(xi-x?)2=24。請求回歸系數(shù)β?的估計(jì)值，并解釋其環(huán)境意義。2.（10分）為了評估兩種不同吸附材料對水中某種有機(jī)污染物的吸附效果，進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)：在相同條件下，分別用兩種材料處理等量的含污染物溶液，記錄達(dá)到平衡時(shí)的污染物剩余濃度。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下（單位：mg/L）：材料A：8.2,7.9,8.1,8.3,7.8材料B：6.5,6.7,6.4,6.8,6.6假設(shè)兩種材料的吸附剩余濃度均服從正態(tài)分布，且方差相等。請檢驗(yàn)這兩種材料的平均吸附剩余濃度是否存在顯著差異（α=0.05）。3.（15分）某城市空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）與主要污染物（如PM2.5,SO?,O?等）濃度有關(guān)。假設(shè)初步建立的簡化模型為AQI=k?PM2.5+k?SO?+ε，其中k?,k?為待定系數(shù)，ε為誤差項(xiàng)?，F(xiàn)有某日監(jiān)測數(shù)據(jù)：PM2.5=50,SO?=20,計(jì)算得到的AQI為120。又知另一日的監(jiān)測數(shù)據(jù)：PM2.5=80,SO?=15,計(jì)算得到的AQI為160。請利用這兩組數(shù)據(jù)，求k?和k?的估計(jì)值。4.（15分）為了規(guī)劃一個(gè)最優(yōu)的環(huán)境監(jiān)測站網(wǎng)絡(luò)，需要在某區(qū)域內(nèi)選取若干個(gè)監(jiān)測點(diǎn)。要求每個(gè)監(jiān)測點(diǎn)都能盡可能覆蓋周圍一定范圍（例如以5公里為半徑）。假設(shè)區(qū)域內(nèi)已有若干候選點(diǎn)，需要建立數(shù)學(xué)模型來確定最終的監(jiān)測站點(diǎn)布局，使得總監(jiān)測覆蓋面積最大或站點(diǎn)數(shù)量最少。請簡述可以使用的數(shù)學(xué)方法，并說明模型中可能涉及的主要變量和約束條件。5.（10分）考慮一個(gè)簡單的地下水污染物遷移模型，假設(shè)污染物在含水層中沿特定方向擴(kuò)散，其濃度C(x,t)滿足一維擴(kuò)散方程?C/?t=D?2C/?x2，其中D為擴(kuò)散系數(shù)。若在x=0處存在恒定強(qiáng)度的點(diǎn)源排放，初始時(shí)刻整個(gè)含水層濃度為0，求污染物濃度C(x,t)的表達(dá)式（用通解形式表示）。---試卷答案一、填空題（每小題3分，共15分）1.(75-1.96*30/sqrt(5),75+1.96*30/sqrt(5))=(59.26,90.74)2.線性回歸平方和（或稱預(yù)測誤差平方和/殘差平方和）R23.T=ln(2)/k4.假設(shè)檢驗(yàn)（或t檢驗(yàn)、配對樣本t檢驗(yàn)）5.監(jiān)測效果（或覆蓋范圍、信息效率等，取決于具體模型目標(biāo)）二、選擇題（每小題3分，共15分）1.C2.D3.B4.B5.A三、解答題（共70分）1.解：回歸系數(shù)β?的估計(jì)值b?=Σ(xi-x?)(yi-?)/Σ(xi-x?)2=40/24=5/3。環(huán)境意義：β?表示距離每增加1公里，污染物濃度平均增加5/3毫克/升。它量化了污染物濃度沿河流方向的變化率。2.解：檢驗(yàn)兩種材料的平均吸附剩余濃度是否存在顯著差異，需進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（假設(shè)方差相等）。計(jì)算樣本均值和方差：材料A:?_A=(8.2+7.9+8.1+8.3+7.8)/5=8.0,s_A2=[(8.2-8.0)2+(7.9-8.0)2+...+(7.8-8.0)2]/(5-1)≈0.102.材料B:?_B=(6.5+6.7+6.4+6.8+6.6)/5=6.6,s_B2=[(6.5-6.6)2+(6.7-6.6)2+...+(6.6-6.6)2]/(5-1)≈0.04.合并方差估計(jì)s_p2=[(n_A-1)s_A2+(n_B-1)s_B2]/(n_A+n_B-2)=[(4*0.102)+(4*0.04)]/8=0.057.合并標(biāo)準(zhǔn)差s_p≈0.239.計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量：t=(?_A-?_B)/(s_p*sqrt(1/n_A+1/n_B))=(8.0-6.6)/(0.239*sqrt(1/5+1/5))≈3.4/(0.239*0.447)≈3.4/0.107≈31.75.查t分布表，自由度df=8-2=6，α=0.05的雙尾檢驗(yàn)臨界值t_crit≈2.447.因?yàn)閨t|=31.75>2.447=t_crit，所以拒絕原假設(shè)H?（μ_A=μ_B）。結(jié)論：兩種材料的平均吸附剩余濃度存在顯著差異。3.解：根據(jù)模型AQI=k?PM2.5+k?SO?+ε，有兩組數(shù)據(jù)：120=k?*50+k?*20+ε?160=k?*80+k?*15+ε?消去ε?和ε?，或直接用最小二乘法，得到線性方程組：120=50k?+20k?160=80k?+15k?解此方程組：方法一：消元法。將第一式乘以4，第二式乘以1，相減消去k?：(4*120)-160=(4*50k?+4*20k?)-(80k?+15k?)=>160=120k?=>k?=160/120=4/3.將k?=4/3代入第一式：120=50k?+20*(4/3)=>120=50k?+80=>50k?=40=>k?=40/50=4/5.方法二：矩陣法。([5020];[8015])*[k?;k?]=[120;160].計(jì)算系數(shù)矩陣的逆或使用行列式法解得：k?=4/5,k?=4/3.所以k?≈0.8,k?≈1.333.4.解：可以使用圖論中的最小生成樹（MinimumSpanningTree,MST）或集覆蓋（SetCovering）模型等方法。方法一（基于MST）：將候選點(diǎn)視為圖中的頂點(diǎn)，若兩個(gè)候選點(diǎn)之間的距離小于5公里（或其監(jiān)測范圍能重疊覆蓋半徑為5公里區(qū)域），則在它們之間畫一條邊，權(quán)值為距離或1。構(gòu)造該無向連通圖。求解該圖的最小生成樹。MST的邊集即為所選監(jiān)測站點(diǎn)的最優(yōu)布局，它能保證所有頂點(diǎn)（區(qū)域）都被覆蓋，且總權(quán)值（站點(diǎn)間距離或成本）最小。方法二（基于優(yōu)化模型）：設(shè)集合U為所有需要覆蓋的區(qū)域（或直接是候選點(diǎn)集合），S為選定的監(jiān)測站點(diǎn)集合。目標(biāo)是min|S|（最小化站點(diǎn)數(shù)）或minΣc(i)*x(i)（最小化總成本c(i)乘以站點(diǎn)選擇變量x(i)）。約束條件為對于每個(gè)區(qū)域u∈U，必須存在至少一個(gè)站點(diǎn)s∈S使得s能覆蓋u。覆蓋關(guān)系可以通過站點(diǎn)位置與區(qū)域邊界/中心的距離來定義。這是一個(gè)NP-hard問題，可能需要使用啟發(fā)式算法或整數(shù)規(guī)劃求解。5.解：給定初始條件C(x,0)=0(x>0)和邊界條件?C/?x|_(x=0)=Q/D(Q為點(diǎn)源強(qiáng)度，D為擴(kuò)散系數(shù))。該一維擴(kuò)散方程的通解形式為：C(x,t)=(Q/(4πDt))*[exp(-x2/(4Dt))-exp(-(∞)2/(4Dt))]+f(x)*exp(-Dx2/(4Dt))其中f(x)是由初始條件確定的任意函數(shù)。由于初始條件C(x,0)=0，代入通解得：0=(Q/(4πD*0))*[exp(-x2/(4D*0))-exp(-(∞)2/(4D*0))]+f(x)*ex