答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁上海市靜安區(qū)市西初級中學2025-2026學年九年級上學期9月月考數(shù)學練習卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下列各組圖形一定相似的是（

）A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的等邊三角形都相似C．所有的菱形都相似 D．所有的矩形都相似2．如圖，與相交于點C，若，則等于（

）A． B． C． D．3．如圖，已知E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊AB，BC的中點，AF與DE交于點M，O為BD的中點，則下列結(jié)論：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤．其中正確結(jié)論的是（

）A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤4．下列命題中，真命題是（

）A．一個角相等，兩邊成比例的兩個三角形相似B．周長相等的兩個矩形對角線相等C．相似多邊形都是位似多邊形D．一元二次方程的常數(shù)項為5．如圖，，若，，，則的長度是（

）A． B．5 C． D．86．如圖，在四邊形中，，則點A到的距離是（

）

A．3 B． C．2 D．二、填空題7．已知線段，那么線段a和b的比例中項為．8．在比例尺為的圖紙上，長度為的線段實際長為．9．如圖，為了測量一棟樓的高度，曲杰同學在她腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到他剛好在鏡子中看到樓的頂部．如圖曲杰的身高為1.65米，他估計自己眼睛距離地面的距離為1.6米，同時測得米，米，則樓高為米．10．如圖，點D，E，F(xiàn)分別在的邊上，，．（1）；（2）若點M是的中點，連接并延長交于點N，則．（填數(shù)字）11．如圖，，若，，則．

12．如圖，在平面直角坐標系中，點光源位于處，木桿兩端的坐標分別為．則木桿在軸上的影長為．13．已知在中，是中線，G是重心，如果，那么．14．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，點A，B，C為網(wǎng)格線交點，，垂足為D，則的值為．

15．已知點是線段的黃金分割點（），如果，那么線段．16．如圖，在中，．若，，則．17．如圖，在中，，，點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿邊向點C以的速度移動．若點P、Q分別從點A、B同時出發(fā)，問經(jīng)過秒鐘，與相似．18．如圖，在中，，，點從點出發(fā)，沿方向以每秒的速度向終點運動；同時，點從點出發(fā)，沿方向以每秒的速度向終點運動．將沿翻折，點的對應點為點，設點運動的時間為秒．當四邊形為菱形時，的值為．三、解答題19．解分式方程∶．20．如圖，已知，，求的長．21．如圖，在中，對角線交于點，為中點，連接，且交于點，．(1)證明：；(2)求的長．22．【課本回歸】在學習“相似三角形的性質(zhì)”這一節(jié)中，我們學習了定理：“相似三角形對應高的比、對應角平分線的比，對應中線的比都等于相似比”，對于該定理，書本要求學生自己證明，根據(jù)思路完成下面的問題．如圖，已知，，點，分別是線段，上的動點，連接，．(1)若點，分別是線段，的中點時，求證：．證明：，，．……請完成以上證明過程．(2)在（1）的前提下，如圖，當?shù)拿娣e為時，則的面積為______；(3)點，分別在線段，上運動時，當______時，，并求出的值．23．如圖1，正方形和正方形，連接，．(1)[發(fā)現(xiàn)]：當正方形繞點A旋轉(zhuǎn)，如圖2，線段與之間的數(shù)量關系是______；位置關系是______；(2)[探究]：如圖3，若四邊形與四邊形都為矩形，且，，猜想與的數(shù)量關系與位置關系，并說明理由；(3)[應用]：在（2）情況下，連接（點E在上方），若，且，，求的長．24．如圖，一條直線與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點，與x軸交于D點，軸，垂足為C．(1)如圖甲，①求反比例函數(shù)的解析式；②求n的值及D點坐標；(2)如圖乙，若點E在線段上運動，連接，作，交于F點．①試說明；②當為等腰三角形時，直接寫出F點坐標．25．【探究證明】（1）某班數(shù)學課題學習小組對矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關系進行探究，提出下列問題，請你給出證明：如圖①，在矩形中，，分別交于點E、F，分別交于點G、H，求證：；【結(jié)論應用】（2）如圖②，將矩形沿折疊，使得點B和點D重合，若，求折痕的長；【拓展運用】（3）如圖③，將矩形沿折疊．使得點D落在邊上的點G處，點C落在點P處，得到四邊形，若，求的長．

《上海市靜安區(qū)市西初級中學2025-2026學年九年級上學期9月月考數(shù)學練習卷》參考答案題號123456答案BCDDCB1．B【分析】根據(jù)對應角相等，對應邊成比例的兩個圖形，叫做相似圖形進行判斷即可．【詳解】解：A.任意兩個等腰三角形的對應邊不一定成比例，不一定相似，A錯誤；B.任意兩個等邊三角形對應角相等、對應邊成比例，一定相似，B正確；C.任意兩個菱形的對應角不一定相等，不一定相似，C錯誤；D.任意兩個矩形的對應邊不一定成比例，不一定相似，D錯誤；故選B．【點睛】本題考查的是相似圖形的判定，掌握對應角相等，對應邊成比例的兩個圖形，叫做相似圖形是解題的關鍵．2．C【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，先證明，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例，即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故選：C．3．D【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根據(jù)中點定義求出AE=BF，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，從而求出∠AMD=90°，再根據(jù)鄰補角的定義可得∠AME=90°，從而判斷①正確；根據(jù)中線的定義判斷出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判斷出②錯誤；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)判斷出△AED、△MAD、△MEA三個三角形相似，利用相似三角形對應邊成比例可得，然后求出MD=2AM=4EM，判斷出④正確，設正方形ABCD的邊長為2a，利用勾股定理列式求出AF，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM=MF，判斷出⑤正確；過點M作MN⊥AB于N，求出MN、NB，然后利用勾股定理列式求出BM，過點M作GH∥AB，過點O作OK⊥GH于K，然后求出OK、MK，再利用勾股定理列式求出MO，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出BO，然后利用勾股定理逆定理判斷出∠BMO=90°，從而判斷出③正確．【詳解】在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，∵E、F分別為邊AB，BC的中點，∴AE=BF=BC，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠BAF=∠ADE，∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，∴∠AMD=180°-（∠ADE+∠DAF）=180°-90°=90°，∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°，故①正確；∵DE是△ABD的中線，∴∠ADE≠∠EDB，∴∠BAF≠∠EDB，故②錯誤；∵∠BAD=90°，AM⊥DE，∴△AED∽△MAD∽△MEA，∴∴AM=2EM，MD=2AM，∴MD=2AM=4EM，故④正確；設正方形ABCD的邊長為2a，則BF=a，在Rt△ABF中，AF=∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，∴△AME∽△ABF，∴，即，解得AM=∴MF=AF-AM=，∴AM=MF，故⑤正確；如圖，過點M作MN⊥AB于N，則即解得MN=，AN=，∴NB=AB-AN=2a-=，根據(jù)勾股定理，BM=過點M作GH∥AB，過點O作OK⊥GH于K，則OK=a-=，MK=-a=，在Rt△MKO中，MO=根據(jù)正方形的性質(zhì)，BO=2a×，∵BM2+MO2=∴BM2+MO2=BO2，∴△BMO是直角三角形，∠BMO=90°，故③正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①③④⑤共4個．故選D【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，勾股定理逆定理的應用，綜合性較強，難度較大，仔細分析圖形并作出輔助線構(gòu)造出直角三角形與相似三角形是解題的關鍵．4．D【分析】利用相似三角形的判定、矩形的性質(zhì)、相似圖形的定義、一元二次方程的定義分別判斷后即可得解．本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解相似三角形的判定、矩形的性質(zhì)、相似圖形的定義、一元二次方程的定義等知識，難度不大．【詳解】解：A.兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；B.周長相等的兩個矩形的對角線不一定相等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；C.相似多邊形不一定是位似多邊形，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；D.將一元二次方程化為標準形式為，它的常數(shù)項為，因此一元二次方程的常數(shù)項為，故原命題正確，是真命題，符合題意．故選：D．5．C【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題關鍵．先根據(jù)平行線分線段成比例定理可得的長，再根據(jù)求解即可得．【詳解】解：∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，故選：C．6．B【分析】根據(jù)題意可得B、C、D在以A為圓心，半徑為3的圓上，則由圓周角定理可得，利用勾股定理求出的長，進而利用三角形面積法求出答案即可．【詳解】解：∵，∴B、C、D在以A為圓心，半徑為3的圓上，∵，∴，∴，∴，設點A到的距離為h，∴，∴，故選B．

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，熟知同圓或等圓中，同弧所對的圓周角度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半是解題的關鍵．7．【分析】本題主要考查了比例中項的定義，若，那么c是a，b的比例中項，據(jù)此列式求解即可．【詳解】解：設線段a和b的比例中項為x，由題意得，，∴，∴或（舍去），經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，∴線段a和b的比例中項為，故答案為：．8．5【分析】本題主要考查了比例尺，熟知比例尺＝圖上距離÷實際距離是解題的關鍵．【詳解】解：故答案為：5．9．22【分析】本題考查了相似三角形的應用，正確理解題意是解題關鍵．根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)，，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，∵，（反射角等于入射角），∴，∴，即，∴．所以這棟大樓高為22米．故答案為：22．10．/0.25【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關鍵．（1）由得出，則可得出答案；（2）過點F作交于點G，證明，得出，由（1）得，證出，則可得出答案．【詳解】解：（1）∵，，∴，∵，∴，∴；故答案為：；（2）如圖，過點F作交于點G，∵點M是的中點，∴N是的中點，∴是的中位線，∴，設，∴，∵，∴，∴，由（1）得，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．11．6【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題關鍵．根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，從而可得，代入計算即可得．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，故答案為：6．12．6【分析】本題考查了中心投影；利用中心投影，作軸于，交于，如圖，證明，然后利用相似比可求出的長．【詳解】解：過作軸于，交于，如圖，．，，∴，，，，故答案為：6．13．6【分析】本題考查重心的性質(zhì)，掌握重心的性質(zhì)是解題的關鍵．根據(jù)重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1求解即可．【詳解】解：由題意可知，即，∴．故答案為：6．14．/0.6【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理，解題的關鍵熟記三角函數(shù)的定義并靈活運用．先利用勾股定理求出，再證明，然后利用利用解題即可．【詳解】解：如圖，在中，，∴，

∵，∴，又∵，∴，∴，故答案為：．15．【分析】本題考查了線段的黃金分割點，理解并掌握黃金分割點的計算方法是解題的關鍵．根據(jù)題意，，由此即可求解．【詳解】解：點是線段的黃金分割點（），如果，∴，∴，故答案為：．16．12【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的應用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．根據(jù)題意，易得，有，結(jié)合已知條件，得到的長．【詳解】解：，，，，．故答案為：12．17．2或5/5或2【分析】分和兩種情況解答即可．【詳解】解：設P、Q運動時間為秒，根據(jù)題意，，，則，當時，則，即，解得：；當時，則，即，解得：，綜上，當經(jīng)過2或5秒鐘，與相似．故答案為：2或5．【點睛】本題考查相似三角形的動點問題，理解題意，掌握相似三角形的性質(zhì)，分類討論是解答的關鍵．18．【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和性質(zhì)，折疊性質(zhì)，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．先整理得，根據(jù)菱形的性質(zhì)得，故，，理解題意得，結(jié)合勾股定理列式計算，即可作答．【詳解】解：∵在中，，，∴，∵四邊形為菱形，∴，∴，∴，∵點從點出發(fā)，沿方向以每秒的速度向終點運動；同時，點從點出發(fā)，沿方向以每秒的速度向終點運動．設點運動的時間為秒．∴，則，在中，，∴，整理得，∴，∴解得（舍去），故答案為：19．【分析】此題考查了解分式方程，分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】解：，去分母得：，移項，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：，檢驗：當時，，所以是分式方程的解．20．9【分析】題主要考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式是關鍵．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出比例式，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，解得：．21．(1)詳見解析(2)3【分析】考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．（1）由四邊形為平行四邊形，為中點，M為中點，根據(jù)中位線的性質(zhì)得到，即可證得：；（2）由可得到，根據(jù)，即可求出，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可確定出的長；【詳解】（1）證明：中為中點，M為中點，∴，，∴．（2）解：由（1）知，，，，，，四邊形為平行四邊形，．22．(1)見解析(2)8(3)【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定是解題的關鍵．（1）先證明，即可證明；（2）根據(jù)相似三角形性質(zhì)可得，結(jié)合的面積為，得到，從而得到；（3）當時，得，整理得，因為，得，整理得，即，故當時，，即可得，即可作答．【詳解】（1）證明：，，，，∵點，分別是線段，上的中點時，∴∴，，，∴；（2）解：，∴，，由（1）得，∴∵∴，∴的面積為，設邊上的高為，，，，故答案為：；（3）解：∵，，∴，∴∵，∴，∴則∴則故當時，，此時．23．(1)，，理由見解析(2)，，理由見解析；(3)8．【分析】（1）證明，后證明即可；（2）延長，交于點H，交于點K，．根據(jù)（1）的證明方法，類似證明即可．（3）設與交的交點為M，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，結(jié)合．解答即可．【詳解】（1），．理由如下：延長，交于點N，交于點P，∵四邊形，四邊形是正方形，∴，，，在和中，，∴．∴，，∵，，∴，∴，∴．故且．（2）解：，．理由如下：延長，交于點H，交于點I，∵四邊形，四邊形是矩形，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．∴，，∴，∵，，∴，∴，∴．故且．（3）解：設與交的交點為M，∵，∴，在中，，∴，根據(jù)勾股定理得：，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，由（2）知，，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關鍵．24．(1)①，②，(2)①見解析；②或或【分析】（1）①把A的坐標代入反比例函數(shù)的解析式，即可求得函數(shù)的解析式，②根據(jù)反比例函數(shù)的解析式，求得B的坐標，即可得到n的值，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式，進而求得與x軸的交點D的坐標；（2）①根據(jù)題意易證是等腰直角三角形，利用兩角對應相等的兩個三角形相似即可證得；②分三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)，即可求得的長，則F的坐標可以求得．【詳解】（1）解：①把代入得：，解得：，則反比例函數(shù)解析式是：；②把代入得：，∴，設直線的解析式為，把、代入，得：，解得：，則直線的解析式是：，令，解得：，則D的坐標是：；（