第一章勾股定理第1節(jié)探索勾股定理第1課時(shí)探索勾股定理（1）1.我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦。2.勾股定理：直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)度的平方和等于斜邊長(zhǎng)度的平方。如圖，如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩條直角邊和斜邊的長(zhǎng)度，那么a2＋b2＝c2。認(rèn)識(shí)勾股定理【例1】在△ABC中，若∠ABC＝90°，則下列選項(xiàng)中正確的是（D）A.BC＝AB＋AC B.BC2＝AB2＋AC2 C.AB2＝AC2＋BC2 D.AC2＝AB2＋BC2歸納總結(jié)應(yīng)用勾股定理時(shí)，分清斜邊、直角邊是解題的關(guān)鍵，直角所對(duì)的邊是斜邊。?跟蹤訓(xùn)練1.下列說(shuō)法中正確的是（C）A.已知a，b，c是三角形的三邊，則a2＋b2＝c2B.在直角三角形中，兩邊和的平方等于第三邊的平方C.在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以BC2＋AC2＝AB2D.在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以BC2＋AC2＝AB2應(yīng)用勾股定理解決問(wèn)題【例2】如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，底端到左墻腳的距離為0.7m，梯子頂端距離地面2.4m。如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，梯子頂端距離地面2m，那么小巷的寬度為（C）A.0.7m B.1.5mC.2.2m D.2.4m歸納總結(jié)本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，先根據(jù)勾股定理求出梯子的長(zhǎng)，當(dāng)梯子靠在右邊墻上時(shí)，梯子的長(zhǎng)度不變，同理可得出梯子底端到右墻腳的距離，進(jìn)而得出答案。?跟蹤訓(xùn)練2.一長(zhǎng)方形零件尺寸（單位：mm）如圖，其中∠ACB＝90°，則兩孔中心A和B的距離為150mm。運(yùn)用勾股定理求面積【例3】如圖，圖中所有四邊形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A，B的面積分別為12，4，則正方形C的面積是（D）A.10 B.8C.4 D.16歸納總結(jié)本題是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，在直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)度的平方和等于斜邊長(zhǎng)度的平方，而在本題的圖形中三邊的平方正好可以通過(guò)三個(gè)正方形的面積表示。?跟蹤訓(xùn)練3.如圖是一株美麗的“勾股樹”，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形A，B，C，E的面積分別為2，5，1，10，則正方形D的面積是2。1.如圖，直線AO⊥OB，垂足為O，線段AO＝6，BO＝8。以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線AO于點(diǎn)C，則OC的長(zhǎng)為（B）第1題圖A.3 B.4 C.5 D.62.如圖，一棵與水平地面垂直的大樹于一次大風(fēng)中在距地面5m處折斷，倒下后樹頂端著地點(diǎn)A與樹底端B的距離為12m，則這棵大樹在折斷前的高度為（B）第2題圖A.10m B.18mC.17m D.20m3.如圖，陰影部分長(zhǎng)方形的面積是45cm2。第3題圖4.如圖，若∠BAD＝∠DBC＝90°，AB＝3，AD＝4，BC＝12，則CD＝13。第4題圖1.已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6和8，則第三邊長(zhǎng)的平方是（D）A.100 B.28 C.10或14 D.100或282.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，則△ABC的面積為（D）A.5 B.60 C.45 D.303.如圖，兩個(gè)正方形的面積分別是64和49，則AC的長(zhǎng)為17。4.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，則AB2＋AC2＋BC2＝50。5.如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC＝20，CD＝12，BD＝9。求AB與BC的長(zhǎng)。解：因?yàn)镃D⊥AB，所以∠ADC＝∠BDC＝90°。在Rt△CDB中，CD＝12，BD＝9，由勾股定理得BC2＝CD2＋BD2＝122＋92＝225，所以BC＝15。在Rt△ADC中，AC＝20，CD＝12，由勾股定理得AD2＝AC2－CD2＝202－122＝256，所以AD＝16。所以AB＝AD＋DB＝16＋9＝25。6.已知在△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC邊上的高AD＝8，則邊BC的長(zhǎng)為21或9。7.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分別以各直角邊為直徑向外作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”。當(dāng)AC＝3，BC＝4時(shí)，陰影部分的面積為6。8.對(duì)角線互相垂直的四邊形叫作“垂美四邊形”?，F(xiàn)有如圖所示的“垂美四邊形”ABCD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O。若AD＝2，BC＝4，求AB2＋CD2的值。解：因?yàn)锳C⊥BD，所以∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°。由勾股定理得AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2，AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2，所以AB2＋CD2＝AD2＋BC2。因?yàn)锳D＝2，BC＝4，所以AB2＋CD2＝22＋42＝20。9.八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組利用所學(xué)知識(shí)測(cè)風(fēng)箏的垂直高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：①測(cè)得水平距離BD的長(zhǎng)為12m；②根據(jù)手中剩余風(fēng)箏線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長(zhǎng)為20m；③牽線放風(fēng)箏的小亮的身高AB為1.7m。（1）求風(fēng)箏的垂直高度CE。解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得CD2＝BC2－BD2＝202－122＝256，所以CD＝16，由題意得DE＝AB＝1.7，所以CE＝CD＋DE＝16＋1.7＝17.7（m）；答：風(fēng)箏的垂直高度CE為17.7m。（2）小紅認(rèn)為如果想讓風(fēng)箏沿CD方向下降7m，就應(yīng)該往回收線7m。你同意她的說(shuō)法嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（2）不同意小紅的說(shuō)法，理由如下：在線段CD上取點(diǎn)M，使CM＝7m。由（1）得CD＝16m，所以DM＝CD－CM＝16－7＝9（m）。在Rt△BDM中，由勾股定理得BM2＝DM2＋BD2＝92＋122＝225，所以BM＝15m，所以BC－BM＝20－15＝5（m）。即應(yīng)該往回收線5m。第2課時(shí)探索勾股定理（2）1.我們通過(guò)測(cè)量和數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了勾股定理。還可以通過(guò)拼圖法運(yùn)用面積相等來(lái)驗(yàn)證勾股定理。2.在利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，只要知道直角三角形其中兩邊的長(zhǎng)，即可求出第三邊的長(zhǎng)。勾股定理的驗(yàn)證【例1】下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（D）歸納總結(jié)本題主要考查勾股定理的圖形驗(yàn)證，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形、梯形以及三角形面積公式，利用等面積法建立等量關(guān)系，再利用完全平方公式化簡(jiǎn)得到勾股定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。?跟蹤訓(xùn)練1.如圖所示的是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成。若AE＝5，BE＝13，則EF2＝（D）A.32 B.64C.98 D.128勾股定理與全等三角形的結(jié)合【例2】如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c。若a，c的面積分別為7和15，則b的面積為（B）A.8 B.22C.24 D.26歸納總結(jié)本題主要考查全等三角形和勾股定理的綜合運(yùn)用，根據(jù)已知條件可判定△ABC≌△CDE，得出BC＝DE。由勾股定理可知AB2＋BC2＝AC2，從而得到b的面積＝a的面積＋c的面積。?跟蹤訓(xùn)練2.如圖，在直線上依次擺著7個(gè)正方形，若傾斜放置的3個(gè)正方形的面積分別為1，2，3，水平放置的4個(gè)正方形的面積分別是S1，S2，S3，S4，則S1＋S2＋S3＋S4＝4。勾股定理與軸對(duì)稱的結(jié)合【例3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分線。若P，Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC＋PQ的最小值是245歸納總結(jié)本題主要考查軸對(duì)稱與勾股定理的綜合運(yùn)用。由于點(diǎn)Q關(guān)于AD所在直線的對(duì)稱點(diǎn)在邊AB上，則PC＋PQ的最小值即為點(diǎn)C到邊AB的垂線段的長(zhǎng)度。運(yùn)用勾股定理求出AB，再運(yùn)用面積法求出垂線段的長(zhǎng)度，即得PC＋PQ的最小值。?跟蹤訓(xùn)練3.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝8，點(diǎn)M在BC上，且BM＝2，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則BN＋MN的最小值為10。勾股定理的實(shí)際運(yùn)用【例4】某市的一條主路限速70km/h。如圖，一輛小汽車在這條主路的直道上行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到車速檢測(cè)儀A正前方30m的C處，過(guò)了2s后，小汽車行駛至B處，此時(shí)小汽車與觀測(cè)點(diǎn)間的距離AB為50m，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷：這輛小汽車是否超速？解：根據(jù)題意可知∠ACB＝90°，由勾股定理得BC＝40m＝0.04km，2s＝118000.04÷11800＝72km/h＞70故這輛小汽車超速了。歸納總結(jié)本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，確定直角邊與斜邊，根據(jù)勾股定理求出BC的距離，然后根據(jù)時(shí)間求出速度，從而可判斷小汽車是否超速。?跟蹤訓(xùn)練4.如圖所示，在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)需要在C處進(jìn)行爆破，已知點(diǎn)C與公路上的停靠站A的距離為300m，與公路上的另一?？空綛的距離為400m，且CA⊥CB。為了安全起見，爆破點(diǎn)周圍半徑250m范圍內(nèi)不得進(jìn)入。在進(jìn)行爆破時(shí)，公路AB段是否需要封鎖？請(qǐng)計(jì)算并說(shuō)明理由。解：公路AB段需要暫時(shí)封鎖，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D。因?yàn)锽C＝400m，AC＝300m，∠ACB＝90°，由勾股定理得AB＝500m。因?yàn)镾△ABC＝12AB·CD＝12BC·所以CD＝BC·ACAB＝400×300500＝由于240＜250，故有危險(xiǎn)，因此公路AB段需要暫時(shí)封鎖。1.如圖，△ABC的頂點(diǎn)分別在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上，BD⊥AC于點(diǎn)D，則BD的長(zhǎng)為（B）第1題圖A.245 B.16C.85 D.2.課堂上，王老師給出如圖所示的甲、乙兩個(gè)圖形，能利用面積驗(yàn)證勾股定理a2＋b2＝c2的是（C）第2題圖A.甲 B.乙 C.甲和乙 D.甲、乙都不行3.如圖，直線l過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)B，點(diǎn)A，C到直線l的距離分別是1和2，則正方形ABCD的面積是5。第3題圖4.如圖是2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)標(biāo)，它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形。若大正方形的邊長(zhǎng)是13cm，每個(gè)直角三角形較短的一條直角邊的長(zhǎng)是5cm，則小正方形的邊長(zhǎng)為7cm。第4題圖5.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC＝20，BC＝15，求BD的長(zhǎng)。解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，由勾股定理得AB＝25，因?yàn)镃D⊥AB，所以12AB·CD＝12AC·所以CD＝20×1525＝12所以在Rt△BCD中，BC2－CD2＝81，所以BD＝9。1.在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，甲同學(xué)用四個(gè)相同的直角三角形（直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c）構(gòu)成如圖所示的正方形；乙同學(xué)用邊長(zhǎng)分別為a，b的兩個(gè)正方形和長(zhǎng)為b、寬為a的兩個(gè)長(zhǎng)方形構(gòu)成如圖所示的正方形。甲、乙兩位同學(xué)給出的構(gòu)圖方案，可以證明勾股定理的是（A）第1題圖A.甲 B.乙 C.甲，乙都可以 D.甲，乙都不可以2.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D。若CA＝4，CB＝3，則CD＝（C）第2題圖A.35 B.45 C.125 3.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形，大正方形的面積為41，小正方形的面積為1。設(shè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為b，較短的直角邊長(zhǎng)為a，則a＋b的值是（B）第3題圖A.10 B.9 C.7 D.64.在Rt△ABC中，∠C＝90°。若AC＋BC＝14cm，AB＝10cm，則Rt△ABC的面積為（D）A.48cm2 B.30cm2 C.36cm2 D.24cm25.如圖，AB⊥BC于點(diǎn)B，AB⊥AD于點(diǎn)A，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)。若BC＝5，AD＝10，BE＝132，則AB的長(zhǎng)是126.如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D為AB邊上一點(diǎn)。（1）試說(shuō)明：BD＝AE；（2）若線段AD＝5，AB＝17，求線段ED的長(zhǎng)。解：（1）因?yàn)椤鰽BC和△ECD都是等腰直角三角形，所以AC＝BC，CD＝CE，所以∠ACB＝∠DCE＝90°。所以∠ACE＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD，所以∠ACE＝∠BCD，所以△ACE≌△BCD（SAS），所以BD＝AE。（2）因?yàn)锳D＝5，AB＝17，所以BD＝17－5＝12。由（1）得△ACE≌△BCD，△ABC是等腰直角三角形，所以AE＝BD＝12，∠EAC＝∠B＝∠BAC＝45°，所以∠EAD＝90°，由勾股定理得ED＝13。7.一輛裝滿貨物的卡車高3m，寬2.4m，想開進(jìn)上邊是半圓、下邊是長(zhǎng)方形的橋洞，如圖所示，已知半圓的直徑為4m，長(zhǎng)方形的寬是2.3m。（1）此卡車是否能通過(guò)橋洞？請(qǐng)說(shuō)明你的理由。（2）為了適應(yīng)車流量的增加，準(zhǔn)備把橋洞改為雙行道，要使寬為2.4m、高為3m的卡車能安全通過(guò)，那么此橋洞的寬至少應(yīng)增加到多少？解：（1）此卡車能通過(guò)橋洞，理由如下：如圖，記半圓的圓心為O，當(dāng)卡車從橋洞的正中心通過(guò)時(shí)，OC＝1.2m，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OC，交半圓于點(diǎn)D，連接OD。在Rt△OCD中，OD＝2，OC＝1.2，由勾股定理得CD＝1.6，所以1.6＋2.3＝3.9＞3，所以此卡車能通過(guò)橋洞。（2）如圖，同理（1），由題意知，若卡車剛好能過(guò)，則OF＝2.4，DF＝3－2.3＝0.7，Rt△OFD中，由勾股定理得OD＝2.5，所以2OD＝5，所以橋洞的寬至少要增加到5m。第2節(jié)一定是直角三角形嗎1.如果三角形三條邊的長(zhǎng)度a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。2.滿足a2＋b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。勾股數(shù)【例1】下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的為（B）A.6，7，10 B.12，16，20 C.1，2，3 D.0.3，0.4，0.5歸納總結(jié)本題考查勾股數(shù)，勾股數(shù)既要滿足a2＋b2＝c2，又要都是正整數(shù)。勾股數(shù)的正整數(shù)倍也是勾股數(shù)，如3，4，5是一組勾股數(shù)，6，8，10也是一組勾股數(shù)。?跟蹤訓(xùn)練1.下列各組整數(shù)是勾股數(shù)的為（C）A.4，5，6 B.6，8，9 C.8，15，17 D.13，14，15勾股定理逆定理的應(yīng)用【例2】如圖，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求CD的長(zhǎng)和S△ABC。解：在△ABD中，AB＝10，BD＝6，AD＝8，所以BD2＋AD2＝62＋82＝100＝AB2，所以△ABD為直角三角形，∠ADB＝90°，所以∠ADC＝90°。在Rt△ADC中，AD＝8，AC＝17，由勾股定理得DC＝15，S△ABC＝12AD·BC＝12AD·（BD＋DC）＝歸納總結(jié)本題考查勾股定理及其逆定理的應(yīng)用。利用勾股定理的逆定理可判斷△ABD為直角三角形，然后利用勾股定理求出DC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)，即可求出三角形的面積。?跟蹤訓(xùn)練2.如圖，在△ABC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，B是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AB。若AB＝20，求△ABD的面積。解：在△ADC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，所以AC2＋DC2＝122＋92＝152＝AD2，所以△ADC是直角三角形，∠ACD＝90°。在Rt△ABC中，AB＝20，AC＝12，由勾股定理得BC＝16，所以BD＝BC－DC＝16－9＝7，所以S△ABD＝12BD·AC＝12×7×12＝1.下列四組數(shù)據(jù)中，不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（B）A.6，8，10 B.10，15，20 C.5，12，13 D.7，24，252.在△ABC中，AB＝8，BC＝15，AC＝17，則下列結(jié)論正確的是（B）A.△ABC是直角三角形，且∠A＝90° B.△ABC是直角三角形，且∠B＝90°C.△ABC是直角三角形，且∠C＝90° D.△ABC不是直角三角形3.已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別是a，b，c，則添加下列條件，不能判定△ABC是直角三角形的是（A）A.a∶b∶c＝2∶2∶1 B.a2＋b2＝c2C.a∶b∶c＝5∶12∶13 D.a∶b∶c＝4∶5∶34.如圖，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，則BC邊上的高AD為（C）A.3 B.4C.6013 D.4.5.木工師傅要制作一張長(zhǎng)方形桌面，若桌面的角為直角，則制作合格。做好后量得這個(gè)桌面的長(zhǎng)為80cm，寬為60cm，對(duì)角線為100cm，則這張桌面制作合格。（填“合格”或“不合格”）6.如圖，CD是△ABC的高，AC＝4，BC＝3，DB＝95（1）求AD的長(zhǎng)。（2）△ABC是直角三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）在Rt△BDC中，BC＝3，BD＝95由勾股定理得CD＝125在Rt△ADC中，AC＝4，CD＝125由勾股定理得AD＝165（2）由（1）得AB＝AD＋BD＝165＋95＝所以在△ACB中，AC2＋BC2＝16＋9＝25＝AB2。所以AB2＝AC2＋BC2。所以△ABC是直角三角形。1.若3，4，a是一組勾股數(shù)，則a的值為（B）A.2 B.5 C.6 D.72.在△ABC中，若AC2－BC2＝AB2，則（B）A.∠A＝90° B.∠B＝90° C.∠C＝90° D.不能確定3.有五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是（C）4.下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（D）A.△ABC中，若∠B＝∠C－∠A，則△ABC是直角三角形B.△ABC中，若a2＝（b＋c）（b－c），則△ABC是直角三角形C.△ABC中，若a∶b∶c＝3∶4∶5，則△ABC是直角三角形D.△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，則△ABC是直角三角形5.如圖，△ABC在正方形網(wǎng)格中，若小方格的邊長(zhǎng)為1，則△ABC是（A）第5題圖A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.以上答案都不對(duì)6.若一個(gè)三角形的三邊的比為5∶4∶3，周長(zhǎng)為60cm，則它的面積是150cm2。7.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝12，BC＝10，CD＝8，DA＝6，其中∠D＝90°，則四邊形ABCD的面積是72。第7題圖8.圖1是某品牌嬰兒車，圖2為其簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)示意圖，根據(jù)安全標(biāo)準(zhǔn)需滿足BC⊥CD，現(xiàn)測(cè)得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB與BD之間由一個(gè)固定為90°的零件連接（即∠ABD＝90°），通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該車是否符合安全標(biāo)準(zhǔn)。解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2－AB2＝92－62＝45。在△BCD中，BC2＋CD2＝32＋62＝45，所以BC2＋CD2＝BD2，所以∠BCD＝90°，即BC⊥CD。故該車符合安全標(biāo)準(zhǔn)。9.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)。當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝16或25s時(shí)，△BPC為直角三角形。10.如圖，學(xué)校有一塊四邊形空地，計(jì)劃在其內(nèi)部區(qū)域種植草皮。經(jīng)測(cè)量，∠B＝90°，AB＝12m，BC＝9m，CD＝20m，AD＝25m。若種植草皮費(fèi)用為200元/m2，求種植這塊草皮的費(fèi)用。種植此塊草皮的費(fèi)用為19200元。11.我們稱滿足a2＋b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)a，b，c為勾股數(shù)。王老師給出幾組數(shù)據(jù)讓學(xué)生觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41。學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過(guò)，于是王老師提出以下問(wèn)題讓學(xué)生解決。（1）請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：11，60，61。（2）如果第一個(gè)數(shù)用字母a（a為奇數(shù)且a≥3）表示，那么后兩個(gè)數(shù)用含a的代數(shù)式分別怎么表示？聰明的小明發(fā)現(xiàn)每組第二個(gè)數(shù)有這樣的規(guī)律：4＝32－12，12＝52－12，24＝72－1（3）請(qǐng)你驗(yàn)證（2）中用字母a（a為奇數(shù)且a≥3）表示出的三個(gè)數(shù)是勾股數(shù)。解：（3）因?yàn)閍2＋a2－1a2+12所以a2＋a2－1又因?yàn)閍為奇數(shù)，且a≥3，所以a，a2－12第3節(jié)勾股定理的應(yīng)用1.運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形模型，把實(shí)際問(wèn)題抽象為幾何問(wèn)題。2.勾股定理的兩種常用方法：一是已知直角三角形的兩條邊，根據(jù)勾股定理求出第三邊；二是將直角三角形中的某一邊設(shè)為未知量，根據(jù)勾股定理建立方程，通過(guò)解方程求得未知量的值，進(jìn)而解決問(wèn)題。直接利用勾股定理解決問(wèn)題【例1】如圖，A，B兩個(gè)小鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，到河的距離分別為AC＝10km，BD＝30km，且CD＝30km。現(xiàn)在要在河邊建一自來(lái)水廠，向A，B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為3萬(wàn)元/km，請(qǐng)你在河流CD上選擇建水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用是多少萬(wàn)元。解：作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，與CD的交點(diǎn)為M，點(diǎn)M即為所求作的點(diǎn)。如圖構(gòu)造Rt△BA'K，則可得A'K＝CD＝30km。DK＝A'C＝AC＝10km，所以BK＝BD＋DK＝40km，由勾股定理得A'B＝50km，即AM＋BM＝50km，所以總費(fèi)用為50×3＝150（萬(wàn)元），答：總費(fèi)用為150萬(wàn)元。歸納總結(jié)本題考查勾股定理及軸對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是確定自來(lái)水廠的位置M，需要作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，連接點(diǎn)B和點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，與河的交點(diǎn)即為自來(lái)水廠的位置M，然后構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理求解即可。?跟蹤訓(xùn)練1.一架梯子長(zhǎng)25m，如圖，將這架梯子斜靠在一面墻上，此時(shí)梯子底端到墻腳的距離BO為7m。（1）這個(gè)梯子的頂端距離水平地面有多高？這個(gè)梯子的頂端距水平地面24m。（2）如果梯子的頂端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8m。利用勾股定理構(gòu)造方程解決問(wèn)題【例2】蕩秋千（圖1）是中國(guó)古代北方少數(shù)民族創(chuàng)造的一種運(yùn)動(dòng)。有一天，趙彬在公園里游玩，如圖2，他發(fā)現(xiàn)秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度DE＝0.5m，將它往前推送1.8m（水平距離BC＝1.8m）時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝CE＝1.1m，秋千的繩索始終拉直，求繩索AD的長(zhǎng)度。解：由題意得∠ACB＝90°，AB＝AD，BC＝1.8m，設(shè)繩索AD的長(zhǎng)度為xm，則由AC＝AD＋DE－CE，得AC＝x＋0.5－1.1＝（x－0.6）m，在Rt△ACB中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，所以x2＝1.82＋（x－0.6）2，解得x＝3，答：繩索AD的長(zhǎng)度是3m。歸納總結(jié)本題考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵。設(shè)繩索AD的長(zhǎng)度為xm，則AC＝（x－0.6）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可。?跟蹤訓(xùn)練2.池塘中有一株荷花的莖長(zhǎng)為OA，無(wú)風(fēng)時(shí)露出水面的部分AC＝0.4m，如果把這株荷花向旁邊拉至它的頂端A恰好到達(dá)池塘的水面B處，此時(shí)荷花頂端離原來(lái)位置的距離BC＝1.2m，則這株荷花的莖長(zhǎng)OA的長(zhǎng)為2m。1.如圖，貨車卸貨時(shí)支架側(cè)面是Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，已知AB＝2.5m，AC＝2m，則BC的長(zhǎng)為（A）第1題圖A.1.5m B.2m C.2.5m D.3m2.如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為8dm，3dm，2dm。A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為（B）第2題圖A.15dm B.17dm C.20dm D.25dm3.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則AE的長(zhǎng)為（D）第3題圖A.78 B.3 C.254 D4.如圖，一個(gè)梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，測(cè)得AO＝2m。若梯子的頂端沿墻下滑0.5m，這時(shí)梯子的底端也恰好外移0.5m，則梯子的長(zhǎng)度AB為（A）第4題圖A.2.5m B.3m C.1.5m D.3.5m5.山坡上有甲、乙兩棵樹，由于大風(fēng)，甲樹被從4m處攔腰折斷，如圖所示，其樹頂端恰好落在另一棵樹乙的根部C處。已知AB＝4m，BC＝13m，兩棵樹的水平距離為12m，求甲樹原來(lái)的高度。甲樹原來(lái)的高度是19m。1.如圖所示的是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20dm，3dm，2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)的最短路程為（B）第1題圖A.30dm B.25dm C.20dm D.35dm2.如圖，一棵垂直于地面且高度為7m的“風(fēng)景樹”被臺(tái)風(fēng)折斷，樹頂A落在離樹底部C的1m處，則這棵樹折斷的位置離地面的高度為（C）第2題圖A.5m B.6m C.247m D.2573.如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地高度AB＝2.5m，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)器的感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)（AD≤2.2m），感應(yīng)門就會(huì)自動(dòng)打開。一個(gè)身高1.6m的學(xué)生（CD＝1.6m）正對(duì)門，緩慢走到離門1.2m的地方時(shí)（BC＝1.2m），感應(yīng)門會(huì)自動(dòng)打開。（填“會(huì)”或“不會(huì)”）第3題圖4.如圖，在離水面高度為8m的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時(shí)繩子BC的長(zhǎng)為17m，此人以1m/s的速度收繩，7s后船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置。若繩子一直保持是直的，則船向岸邊移動(dòng)了9m。第4題圖5.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D為AC上一點(diǎn)。若BD是∠ABC的平分線，則AD＝5。第5題圖6.如圖所示，某中學(xué)院內(nèi)有一塊不規(guī)則的四邊形空地ABCD，學(xué)校計(jì)劃在空地上鋪懸浮地板。經(jīng)測(cè)量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m。（1）求空地ABCD的面積?？盏谹BCD的面積是144m2。（2）若每鋪1m2懸浮地板需要120元，問(wèn)：總共需投入多少元？總共需投入資金17280元。7.如圖，在筆直的公路上，A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩村莊所在位置，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B。現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，求E應(yīng)建在距A多遠(yuǎn)處。E應(yīng)建在距A點(diǎn)15km處。8.在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的第九章《勾股》中記載了這樣的一個(gè)問(wèn)題：“今有開門去（kǔn）一尺，不合二寸，問(wèn)門廣幾何?！庇脭?shù)學(xué)方法理解意思是：推開如圖所示的兩扇門AD和BC，門邊緣D，C兩點(diǎn)到門檻的距離是1尺（即C，D到線段AB的距離為1尺），兩扇門的間隙CD為2寸，則門寬AB是多少寸？（1尺＝10寸）門寬AB是101寸。9.森林火災(zāi)是一種常見的自然災(zāi)害，危害很大。直升機(jī)灑水是一種撲滅火源的高效方式。如圖所示，有一臺(tái)救火直升機(jī)沿東西方向由點(diǎn)A飛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為其中一個(gè)著火點(diǎn)，點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A，B的距離分別為600m和800m，且AB＝1000m，直升機(jī)中心周圍500m以內(nèi)可以受到灑水影響。（1）著火點(diǎn)C受灑水影響嗎？為什么？（2）若直升機(jī)的速度為10m/s，要想撲滅著火點(diǎn)C估計(jì)需要13s，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算判斷著火點(diǎn)C能否被撲滅。解：（1）著火點(diǎn)C受灑水影響。理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D。因?yàn)锳C＝600m，BC＝800m，AB＝1000m，所以AC2＋BC2＝10002＝AB2，所以△ABC是直角三角形。所以S△ABC＝12AC×BC＝12AB×所以CD＝AC·BCAB＝600×8001因?yàn)?80＜500，所以著火點(diǎn)C受灑水影響。（2）如圖，以點(diǎn)C為圓心，500m為半徑作圓，交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)。則CE＝CF＝500m。因?yàn)镃D⊥AB，所以ED＝DF＝12EF在Rt△CDE中，由勾股定理得ED＝140m，所以EF＝2ED＝280m，所以280÷10＝28（s）。因?yàn)?8＞13，所以著火點(diǎn)C能被撲滅。專題一用勾股定理解決折疊問(wèn)題折疊后直接利用勾股定理1.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足為D，將邊AC沿CD翻折，使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)E處，則線段BE的長(zhǎng)度為75折疊后利用勾股定理構(gòu)造方程解決問(wèn)題2.如圖，在Rt△ACB中，BC＝3，AB＝5，∠BCA＝90°，在AC上取一點(diǎn)E，連接BE，將△ABE沿BE翻折得到△A'BE，使得點(diǎn)A'落在直線BC上，則AE的長(zhǎng)度為（C）第2題圖A.1.5 B.2 C.2.5 D.33.如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，將△ABC沿DE翻折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)B重合。若AB＝6，AC＝8，則折痕DE的長(zhǎng)度為（B）第3題圖A.4 B.154 C.5 D.4.如圖，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，將△ABC折疊，使點(diǎn)A與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，則DN的長(zhǎng)度為（B）第4題圖A.4 B.5 C.6 D.75.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，按圖中所示的方法將△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)C'處。（1）求C'D的長(zhǎng)度；DC'的長(zhǎng)度為3cm。（2）求△ABD的面積。△ABD的面積為15cm2。☆問(wèn)題解決策略：反思解決問(wèn)題之后，對(duì)解決問(wèn)題的過(guò)程、方法及問(wèn)題的變化等方面進(jìn)行反思，可以加深對(duì)問(wèn)題及解決問(wèn)題的思路、策略與方法的理解，豐富解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，提高解決問(wèn)題的能力。最短路徑問(wèn)題的解決與反思【例】如圖，圓柱形玻璃杯底面周長(zhǎng)為30cm，高為35cm，杯底厚1cm。在玻璃杯外壁距杯口2cm的點(diǎn)A處有一只螞蟻，螞蟻相對(duì)面的內(nèi)壁底部B處有一滴蜂蜜，螞蟻沿杯口爬入內(nèi)壁去吃蜂蜜，求螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)（玻璃杯的壁厚忽略不計(jì)）。解：展開玻璃杯的側(cè)面，如圖，作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥A'A于點(diǎn)C，則BC＝15，A'M＝AM＝2，CM＝35－1＝34，CA'＝CM＋A'M＝36。在Rt△A'BC中，根據(jù)勾股定理得A'B＝39cm，所以螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為39cm。歸納總結(jié)1.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于將不在同一平面上兩點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為展開圖中兩點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)度問(wèn)題，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。2.要理解螞蟻爬行的最短路徑問(wèn)題只是一種數(shù)學(xué)模型，現(xiàn)實(shí)中螞蟻很難會(huì)沿著最短路徑走。3.當(dāng)圓柱的高和底面半徑的比例變化到一定程度時(shí)，計(jì)算最短路徑的方法也會(huì)發(fā)生改變。?跟蹤訓(xùn)練如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為4cm和8cm，高為10cm，一只螞蟻從點(diǎn)P開始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)。若螞蟻的爬行速度為1.5cm/s，則20s內(nèi)螞蟻能否爬到Q點(diǎn)？解：如圖所示，將長(zhǎng)方體的側(cè)面展開在同一平面內(nèi)。因?yàn)镻A＝2×（8＋4）＝24（cm），QA＝10cm，∠A＝90°，由勾股定理得PQ＝26cm。因?yàn)?6÷1.5≈17.3（s），17.3＜20，所以20s內(nèi)螞蟻能爬到點(diǎn)Q。1.如圖，有一個(gè)圓柱，它的高為7cm，底面圓的周長(zhǎng)為48cm。在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點(diǎn)A相對(duì)的點(diǎn)B處的食物，螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程為25cm。2.如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為10cm，寬為8cm，高為16cm，BC＝4cm，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，求螞蟻需要爬行的最短路程。螞蟻爬行的最短路程是20cm。1.如圖是放在地面上的一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體形盒子，其長(zhǎng)、寬、高分別為4cm，4cm，6cm，一只螞蟻想從盒底的點(diǎn)A沿盒的側(cè)面爬到盒頂?shù)狞c(diǎn)B，你能幫螞蟻設(shè)計(jì)一條最短的線路嗎？螞蟻要爬行的最短行程是多少？解：①如圖所示，連接AB即為所求路線。根據(jù)題意：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2×4＝8（cm），CB＝6cm，根據(jù)勾股定理AB2＝AC2＋BC2＝100，所以AB＝10（cm）。②如圖所示，連接AB即為所求路線，根據(jù)題意：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6＋4＝10（cm），CB＝4cm，根據(jù)勾股定理，AB2＝102＋42＝116，因?yàn)?00＜116，所以最短行程是10cm。2.如圖，小明家住20樓，一天他與爸爸去買了一根長(zhǎng)3m的鋼管，如果電梯的長(zhǎng)、寬、高分別是1.5m，1.5m，2.5m，在不損壞鋼管的前提下請(qǐng)你幫小明計(jì)算一下這根鋼管能否放進(jìn)電梯內(nèi)。解：如圖所示，由勾股定理得AB2＝1.52＋1.52＝4.5，所以BC2＝AB2＋AC2＝4.5＋2.52＝10.75＞32，所以鋼管能放進(jìn)電梯。3.如圖1，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為12，圓柱的高為8，在圓柱的側(cè)面上，過(guò)點(diǎn)A，C嵌有一圈長(zhǎng)度最短的金屬絲。（1）現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AB剪開，所得的圓柱側(cè)面展開圖是圖3中的A；（2）求該長(zhǎng)度最短的金屬絲的長(zhǎng)；金屬絲的長(zhǎng)為20。（3）如圖2所示，若將金屬絲從點(diǎn)B繞四圈到達(dá)點(diǎn)A，所需金屬絲的最短長(zhǎng)度為m，則m2的值為2368。第一章復(fù)習(xí)課勾股定理及逆定理的應(yīng)用1.如圖是一個(gè)圓柱形飲料罐，其底面半徑是5cm，高是12cm，上底面中心有一個(gè)小圓孔，一條長(zhǎng)16cm的直吸管底部按圖中所示緊貼底部側(cè)面，則吸管露在罐外部分a的長(zhǎng)度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計(jì)）是（B）第1題圖A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm2.如圖，某學(xué)校準(zhǔn)備舉辦元旦聯(lián)歡會(huì)，在舞臺(tái)一側(cè)長(zhǎng)5m、高3m的臺(tái)階上鋪設(shè)紅地毯。已知臺(tái)階的寬為3m，則共需購(gòu)買紅地毯（A）第2題圖A.21m2 B.45m2 C.24m2 D.12m23.如圖1，在某居民小區(qū)內(nèi)有一塊近似長(zhǎng)方形的草坪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在草坪內(nèi)走出了一條“路”，僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草。如圖2，經(jīng)過(guò)測(cè)量，AC＝3m，AB＝4m，則走“捷徑”BC僅僅少走了2m。勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題4.如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，A，B，C，D，E是格點(diǎn)，則下列線段長(zhǎng)度最長(zhǎng)的是（C）第4題圖A.AB B.AD C.AC D.AE5.如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上。若AD⊥BC于點(diǎn)D，則線段AD的長(zhǎng)為2。第5題圖6.如圖1與圖2，正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫圖。（1）在圖1中，畫一個(gè)直角三角形，使每條邊的長(zhǎng)度都是整數(shù)。（2）在圖2中，畫一個(gè)面積為10的正方形。（1）作圖如圖1所示。圖1（2）作圖如圖2所示。圖2利用勾股定理構(gòu)造方程問(wèn)題7.圖1中有一首現(xiàn)代詩(shī)，根據(jù)詩(shī)中的描述可以計(jì)算出紅蓮所在位置的湖水深度，其示意圖如圖2所示，其中AB＝AB'，AB⊥B'C于點(diǎn)C，BC＝0.5尺，B'C＝2尺。設(shè)AC的長(zhǎng)度為x尺，則可列方程為x2＋22＝（x＋0.5）2。8.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，點(diǎn)D在BC上，DA⊥CA，求BD的長(zhǎng)。BD＝72勾股定理的實(shí)際應(yīng)用9.某超市的購(gòu)物車如圖1所示，圖2為其側(cè)面簡(jiǎn)化示意圖?，F(xiàn)測(cè)得支架AC＝8dm，AB＝6dm，兩輪中心的距離BC＝10dm，滾輪半徑r＝1dm。（1）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若購(gòu)物車上籃子的左邊緣D與點(diǎn)A的距離AD＝13dm，AE＝5dm，且AE⊥DE，AE和BC都與水平地面平行，求購(gòu)物車上籃子的左邊緣D到水平地面的距離。解：（1）因?yàn)锳C2＋AB2＝1002＝BC2，所以△ABC是直角三角形。（2）購(gòu)物車上籃子的左邊緣D到水平地面的距離為17.8dm。10.如圖，某隧道的截面由半徑為5m的半圓構(gòu)成。（1）如圖1，一輛貨車寬5.8m，高4m，它能通過(guò)該隧道嗎？（2）如圖2，如果該隧道內(nèi)設(shè)雙行道，一輛寬為4m、高為2.7m的貨車能駛?cè)脒@個(gè)隧道嗎？解：（1）因?yàn)镺C＝5m，CD＝4m，由勾股定理得OD＝3m，因?yàn)?×3＞5.8，所以這輛車能通過(guò)該隧道。（2）連接OC，如圖所示，由題知CD⊥AB，OD＝4m，因?yàn)镺C＝5m，由勾股定理得CD＝3m，因?yàn)?＞2.7，所以這輛車能駛?cè)朐撍淼?。?）如圖3，如果該隧道內(nèi)設(shè)雙行道，為了安全起見，在隧道正中間設(shè)有0.6m寬的隔離帶，則一輛寬為2.8m、高為4m的貨車不能通過(guò)該隧道。（填“能”或“不能”）1.國(guó)慶節(jié)假期小華與同學(xué)去玩探寶游戲，按照探寶圖，他們從門口A處出發(fā)到達(dá)藏寶點(diǎn)B，則門口A到藏寶點(diǎn)B的直線距離是（D）A.20m B.14mC.11m D.10m2.如圖為某公園平面示意圖的一部分，四邊形ABCD為休閑區(qū)域，四周是步道，AB⊥BC，中間是花卉種植區(qū)域，為減少擁堵，中間穿插了步道AC，經(jīng)測(cè)量AB＝9，BC＝12，CD＝8，AD＝17。（1）試說(shuō)明：AC⊥CD；（2）求四邊形ABCD的面積。（1）AC⊥CD。理由：在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝12，由勾股定理得AC2＝AB2＋BC2＝92＋122＝225，因?yàn)锳D2＝172＝289，CD2＝64，所以AD2＝CD2＋AC2，所以△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，所以AC⊥CD。（2）四邊形ABCD的面積為114。3.如圖，有兩只猴子在一棵樹CD上的點(diǎn)B處，且BC＝4m，它們都要到A處吃東西，其中一只猴子甲沿樹爬下再走到離樹8m的A處（即AC＝8m），另一只猴子乙先爬到樹頂D處后再沿纜繩DA滑到A處。已知兩只猴子所經(jīng)過(guò)的路程相等，求這棵樹的高。這棵樹高6m。4.如圖，兩條公路l1，l2交于點(diǎn)O，有一學(xué)校在公路l2上的點(diǎn)A處，與O點(diǎn)的距離為170m，點(diǎn)A到公路l1的距離AM為80m，一輛大貨車從O點(diǎn)出發(fā)，行駛在公路l1上，汽車周圍100m范圍內(nèi)會(huì)受到噪聲影響。（1）該貨車在公路l1上行駛時(shí)，學(xué)校是否受噪聲影響？為什么？（2）若該貨車的速度為90km/h，則學(xué)校受噪聲影響多少秒？（1）因?yàn)锳M＝80m＜100m，所以貨車開過(guò)時(shí)學(xué)校會(huì)受噪聲影響。（2）學(xué)校受噪聲影響4.8s。第二章實(shí)數(shù)第1節(jié)認(rèn)識(shí)實(shí)數(shù)第1課時(shí)認(rèn)識(shí)實(shí)數(shù)（1）事實(shí)上，滿足等式a2＝2的a既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，所以a不是有理數(shù)。有理數(shù)的判別【例1】如圖是由12個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼成的圖形，連接這些小正方形的頂點(diǎn)，可得到一些長(zhǎng)度不同的對(duì)角線（如最長(zhǎng)的對(duì)角線是AC，最短的對(duì)角線是AE等），從中找出長(zhǎng)度是有理數(shù)的對(duì)角線，用字母表示該對(duì)角線并寫出它們的長(zhǎng)度。長(zhǎng)度是有理數(shù)的對(duì)角線為AC、BD，長(zhǎng)均為5。歸納總結(jié)判斷圖形中的線段長(zhǎng)度是不是有理數(shù)的方法：可將所求線段的長(zhǎng)看成某一直角三角形的邊長(zhǎng)，由勾股定理求出這條線段長(zhǎng)的平方，若沒有平方等于這條線段長(zhǎng)的平方的有理數(shù)，則該線段長(zhǎng)度不是有理數(shù)。?跟蹤訓(xùn)練1.如圖，圖中是由16個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成的大正方形，連接CA，CB，CD，CE四條線段，其中長(zhǎng)度是有理數(shù)的為線段CD。估計(jì)非有理數(shù)的大小【例2】設(shè)面積為10π的圓的半徑為x。（1）x的整數(shù)部分是多少？（2）將x精確到十分位是多少？解：（1）根據(jù)題意，得πx2＝10π，所以x2＝10。因?yàn)?2＜10＜42，所以3＜x＜4，所以x的整數(shù)部分是3。（2）因?yàn)?.162＝9.9856，3.172＝10.0489，所以3.16＜x＜3.17，所以x精確到十分位的值是3.2。歸納總結(jié)估算非有理數(shù)x的大小的步驟和方法：（1）確定x的整數(shù)部分。根據(jù)平方的定義，把x2夾在兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)的平方之間，從而確定x的整數(shù)部分，如確定x2＝7的整數(shù)部分，因?yàn)?2＜7＜32，所以2＜x＜3，故x的整數(shù)部分是2。（2）確定x的小數(shù)部分。整數(shù)部分保持不變，將x2夾在兩個(gè)連續(xù)的十分位數(shù)字的平方之間，從而可確定十分位數(shù)字。依此類推，可確定x的百分位、千分位數(shù)字等。如確定x2＝7中x的十分位數(shù)字。因?yàn)?.62＝6.76，2.72＝7.29，而6.76＜7＜7.29，所以2.6＜x＜2.7，故x的十分位數(shù)字為6。?跟蹤訓(xùn)練2.若正數(shù)x滿足x2＝11，則x精確到十分位的值是3.3。1.下列各數(shù)中，不是有理數(shù)的為（D）A.3.14 B.－43 C.0.57 D.2.下列一組數(shù)：－8，27，π2，3.14，0.1010010001…（每相鄰兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0），其中不是有理數(shù)的個(gè)數(shù)為（A.0 B.1 C.2 D.33.如圖所示，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則△ABC的邊長(zhǎng)不是有理數(shù)的條數(shù)是（C）A.0 B.1 C.2 D.34.（1）估計(jì)面積為5的正方形的邊長(zhǎng)b的值。（結(jié)果精確到0.1）2.2。（2）如果結(jié)果精確到0.01，那么邊長(zhǎng)b的值為多少？2.24。1.以下各正方形的邊長(zhǎng)不是有理數(shù)的是（C）A.面積為25的正方形 B.面積為425C.面積為8的正方形 D.面積為1.44的正方形2.若等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，則它的高h(yuǎn)（D）A.是整數(shù) B.是分?jǐn)?shù) C.是有理數(shù) D.不是有理數(shù)3.下列各數(shù)：－8，－312，π2，0.23··，0，9.8181181118…（每?jī)蓚€(gè)8之間1的個(gè)數(shù)逐次加1），0.112134，其中不是有理數(shù)的有A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)4.如圖所示，在4×4的正方形網(wǎng)格圖中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則△ABC是等腰直角三角形。5.如圖所示，Rt△ABC的三邊長(zhǎng)分別是a，b，c。（1）計(jì)算：①a＝1，c＝2，b2＝3；②a＝3，c＝5，b2＝16；③a＝0.6，c＝1，b2＝0.64。（2）通過(guò)（1）中計(jì)算出的b2的值我們知道，b是整數(shù)的是②；b是分?jǐn)?shù)的是③；b既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)的是①。（均填序號(hào)）6.如圖是面積分別為1，2，3，4，5，6，7，8，9的正方形，其邊長(zhǎng)是有理數(shù)的正方形有3個(gè)。7.面積為15的正方形的邊長(zhǎng)的整數(shù)部分為a，面積為56的正方形的邊長(zhǎng)的整數(shù)部分為b，求a＋b的值。10。8.已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別是9cm和5cm，斜邊長(zhǎng)是xcm，則x的整數(shù)部分是10，十分位上的數(shù)字是2。9.閱讀下列材料：設(shè)x＝0.3·＝0.333…①，則10x＝3.333…②，則由②－①，得9x＝3，即x＝13，所以0.3·＝0.333…＝13。根據(jù)上述方法把下列兩個(gè)數(shù)化成分?jǐn)?shù)：0.7·＝79，1.10.如圖所示，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，請(qǐng)你在圖中畫一個(gè)面積為10的正方形。如圖所示。（畫法不唯一）11.如圖的網(wǎng)格是由邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成的。（1）請(qǐng)你把各圖帶陰影的部分剪開，分別重新拼成同一個(gè)大正方形；（2）這些大正方形一樣大嗎？（3）這些大正方形的邊長(zhǎng)是有理數(shù)嗎？解：（1）如圖所示。（2）這些大正方形一樣大，面積都是5；（3）這些大正方形的邊長(zhǎng)不是有理數(shù)。第2課時(shí)認(rèn)識(shí)實(shí)數(shù)（2）1.事實(shí)上，有理數(shù)總可以用有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)表示。反過(guò)來(lái)，任何有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)。2.無(wú)限不循環(huán)小數(shù)稱為無(wú)理數(shù)。3.有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。4.事實(shí)上，每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示；反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)。也就是說(shuō)，實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。無(wú)理數(shù)的定義【例1】下列各數(shù)中哪些是有理數(shù)？哪些是無(wú)理數(shù)？哪些是正分?jǐn)?shù)？哪些是負(fù)整數(shù)？0.0213，0.07，－13，0，－3.1415926，－6.2·31·，－32，－5，0.313131…，π3，－0.121121112…（有理數(shù)：0.0213，0.07，－13，0，－3.1415926，－6.2·31·，－32，－5，0.無(wú)理數(shù)：π3，－0.121121112…（每相鄰兩個(gè)2之間依次多一個(gè)1正分?jǐn)?shù)：0.0213，0.07，－13，0.313負(fù)整數(shù)：－32，－5。歸納總結(jié)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的區(qū)別：（1）無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)是有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)；（2）有理數(shù)可化為分?jǐn)?shù)，無(wú)理數(shù)不能化為分?jǐn)?shù)。?跟蹤訓(xùn)練1.把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的大括號(hào)里：－227，π，－0.212112…（每相鄰兩個(gè)2之間依次增加一個(gè)1），0，－（－2.28），－－4，0.151515正數(shù)集合：{π，－（－2.28），0.15151515…，…}；負(fù)有理數(shù)集合：{－227，－－4，…整數(shù)集合：{0，－－4，…}無(wú)理數(shù)集合：{π，－0.212112…（每相鄰兩個(gè)2之間依次增加一個(gè)1）…}。用數(shù)軸上的點(diǎn)表示無(wú)理數(shù)【例2】如圖，在數(shù)軸上找出表示3的點(diǎn)A，則OA＝3，過(guò)點(diǎn)A作直線l垂直于OA，在直線l上取點(diǎn)B，使AB＝2，以原點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)為C，設(shè)點(diǎn)C表示的實(shí)數(shù)為m，則m2＝13。歸納總結(jié)在數(shù)軸上畫表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)：先依據(jù)勾股定理，通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)得到長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的線段，再以原點(diǎn)為圓心，上述線段長(zhǎng)為半徑畫弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)便是表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)。?跟蹤訓(xùn)練2.如圖，半徑為1的圓在數(shù)軸上滾動(dòng)，開始在數(shù)軸上點(diǎn)A處，向右滾動(dòng)一周至點(diǎn)B處。若點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是－3，則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是2π－3。1.下列說(shuō)法正確的是（B）A.所有無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù) B.所有無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)C.有理數(shù)都是有限小數(shù) D.不是有限數(shù)的數(shù)不是有理數(shù)2.和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的數(shù)是（D）A.整數(shù) B.有理數(shù) C.無(wú)理數(shù) D.實(shí)數(shù)3.如圖，數(shù)軸上兩點(diǎn)M，N所表示的實(shí)數(shù)分別為m，n，則m－n的結(jié)果可能是（C）A.－1 B.1 C.2 D.34.下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無(wú)理數(shù)？－559180，3.97·，－234.10101010…（每相鄰兩個(gè)1之間有1個(gè)0），0.123451010010001…（每相鄰兩個(gè)1之間依次多1個(gè)有理數(shù)：－559180，3.97·，－234.10101010…（每相鄰兩個(gè)1之間有1個(gè)無(wú)理數(shù)：0.123451010010001…（每相鄰兩個(gè)1之間依次多一個(gè)0）。5.如圖，面積為4的正方形ABCD的邊AB在數(shù)軸上，且點(diǎn)B表示的數(shù)為1。將正方形ABCD沿著數(shù)軸水平移動(dòng)，移動(dòng)后的正方形記為A'B'C'D'，點(diǎn)A，B，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'，B'，C'，D'，移動(dòng)后的正方形A'B'C'D'與原正方形ABCD重疊部分圖形的面積記為S。當(dāng)S＝1時(shí)，數(shù)軸上點(diǎn)B'表示的數(shù)是多少？點(diǎn)B'表示的數(shù)為－0.5或2.5。1.下列各數(shù)中，無(wú)理數(shù)有（A）①0.4583；②3.967·；③－π；④－17；⑤A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2.已知實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子正確的是（C）A.ab＞0 B.a－b＜0 C.a＞－b D.a＜b3.若數(shù)軸上的A，B，C三點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)分別為a，1，－1，則a+1表示（BA.A，B兩點(diǎn)間的距離 B.A，C兩點(diǎn)間的距離C.A，B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和 D.A，C兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和4.如圖，在一條不完整的數(shù)軸上，從左到右的點(diǎn)A，B，C把數(shù)軸分成了①②③④四部分，點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是a，b，c。已知ab＜0，則原點(diǎn)在（B）A.第①部分 B.第②部分C.第③部分 D.第④部分5.下列命題：①無(wú)理數(shù)的相反數(shù)是無(wú)理數(shù)；②有理數(shù)都是有限小數(shù)；③有限小數(shù)都是有理數(shù)；④無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)；⑤實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；⑥沒有最大的負(fù)實(shí)數(shù)，但有最小的正實(shí)數(shù)。其中是假命題的有②⑥。（填序號(hào)）6.如圖，在數(shù)軸上作一個(gè)5×5的正方形網(wǎng)格，以點(diǎn)O為圓心，涂色正方形的邊長(zhǎng)AO為半徑畫弧，交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為n，則n2＝13。7.把下列各數(shù)的序號(hào)填在相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)：①－2.5；②－0.15··；③0；④8；⑤－45；⑥π2；⑦53；⑧－0.5252252225…（每相鄰兩個(gè)5之間依次增加（1）正數(shù)集合：{④⑥⑦…}；（2）負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{①②⑤…}；（3）整數(shù)集合：{③④…}；（4）無(wú)理數(shù)集合：{⑥⑧…}。8.在數(shù)軸的正半軸上找出一個(gè)點(diǎn)A，使該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)a滿足a2＝10，保留必要的作圖痕跡（不寫作法）。實(shí)數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示：9.如圖，點(diǎn)A為數(shù)軸上一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為a。若－a＜b＜a－1，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的整數(shù)b的值：－2（答案不唯一）。第9題圖10.如圖，圓的直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度，該圓上的點(diǎn)A與數(shù)軸上表示－1的點(diǎn)重合，將圓沿?cái)?shù)軸滾動(dòng)1周，點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A'的位置，則點(diǎn)A'表示的數(shù)是－π－1或π－1。第10題圖11.如圖所示，已知OA＝OB，OC＝3，BC＝2，則點(diǎn)A所表示的數(shù)＜－3.5。（填“＞”或“＜”）第11題圖12.如圖，4×4方格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1。（1）設(shè)圖1中正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則a2＝2；（2）在圖2的4×4方格中畫一個(gè)面積為8的正方形；如圖所示，正方形OPQR即為所求正方形；（3）把圖2中的數(shù)軸補(bǔ)充完整，再用圓規(guī)在數(shù)軸上找出一個(gè)點(diǎn)M，使該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的正實(shí)數(shù)b滿足b2＝8。如圖，點(diǎn)M即為所求的點(diǎn)。13.小明把兩個(gè)面積為1的小正方形分別沿對(duì)角線剪開，將所得的4個(gè)直角三角形拼成一個(gè)面積為2的大正方形，如圖1所示。設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為x，則x2＝2，從而判斷x為無(wú)理數(shù)。（1）小剛受到小明的啟發(fā)，把圖2中每個(gè)面積為1的5個(gè)小正方形剪拼成圖3后，得到y(tǒng)2＝5，其中y為所拼的大正方形的邊長(zhǎng)，從而判斷y為無(wú)理數(shù)。請(qǐng)你在圖2中畫出裁剪線（用實(shí)線表示）。解：（1）如圖1中的實(shí)線即為裁剪線；（2）參考小明、小剛的方法，請(qǐng)你將圖4中長(zhǎng)為5、寬為2的長(zhǎng)方形裁剪成若干塊，拼成一個(gè)大正方形。①求該大正方形的邊長(zhǎng)z所滿足的條件；②請(qǐng)?jiān)趫D4中畫出一種滿足①中條件的裁剪線（用實(shí)線表示）。解：（2）①因?yàn)槠闯梢粋€(gè)面積為10的大正方形，所以大正方形的邊長(zhǎng)z滿足z2＝10；②如圖2中的實(shí)線為裁剪線，拼成的大正方形如圖3。第2節(jié)平方根與立方根第1課時(shí)平方根與立方根（1）1.一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個(gè)正數(shù)x就叫作a的算術(shù)平方根，記作a，讀作“根號(hào)a”。特別地，我們規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0，即0＝0。2.當(dāng)a≥0時(shí)，a2＝a，（a）2＝a；當(dāng)a＜0時(shí)，a2＝－a算術(shù)平方根的計(jì)算【例1】求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：（1）11；11。（2）225；15。（3）0.81；0.9。（4）1211441112（5）（－4）2。4。歸納總結(jié)求算術(shù)平方根的方法：（1）借助平方運(yùn)算，求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根；（2）若被開方數(shù)為帶分?jǐn)?shù)或含有運(yùn)算，應(yīng)將其化為假分?jǐn)?shù)或進(jìn)行整理；（3）開方開不盡的，算術(shù)平方根帶根號(hào)。?跟蹤訓(xùn)練1.求下列各式的值：（1）49；7。（2）25196514（3）0.0.3。（4）－64。－8。運(yùn)用a2和（a）2的性質(zhì)【例2】化簡(jiǎn)下列各式：（1）25；5。（2）（2025）2025。（3）22025。（4）（－2.478。歸納總結(jié)在式子a2中，a的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，運(yùn)用a2＝a化簡(jiǎn)時(shí)，一定要先判斷出a的符號(hào)，然后才能化簡(jiǎn)。在式子a中，a的取值范圍是a≥0，故（a）2＝?跟蹤訓(xùn)練2.化簡(jiǎn)下列各式：（1）1313。（2）（－25。（3）144；12。（4）（15）2。15。利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求值【例3】若a－3＋（b＋5）2＋c+1＝0，求代數(shù)式－解：因?yàn)閍－3≥0，（b＋5）2≥0，c+1≥0，所以a－3＝0，b＋5＝0，c＋1＝0。所以a＝3，b＝－5，c＝－1。所以－ab＋c＝－3歸納總結(jié)“幾個(gè)非負(fù)數(shù)和為0”型問(wèn)題的解題步驟：（1）令：令每一個(gè)非負(fù)數(shù)為0；（2）定：確定各字母的值；（3）代：代入所求的代數(shù)式；（4）求：求代數(shù)式的值。?跟蹤訓(xùn)練3.已知2x－4＋x+2y－10＝0，運(yùn)用算術(shù)平方根解決實(shí)際問(wèn)題【例4】如圖，用R表示足球的半徑，球的表面積公式為S＝4πR2，如果做一個(gè)足球需要的橡膠布的面積為1936πcm2，那么這個(gè)足球的半徑R應(yīng)為多少？解：由題意，得4πR2＝1936π，因?yàn)镽＞0，所以R＝22。即這個(gè)足球的半徑R是22cm。歸納總結(jié)掌握算術(shù)平方根的定義是解決實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)，在解答過(guò)程中，有時(shí)會(huì)涉及整式的化簡(jiǎn)求值和“π”的運(yùn)算，要熟練運(yùn)用。?跟蹤訓(xùn)練4.全球氣候變暖導(dǎo)致一些冰川融化并消失。在冰川消失12年后，一種低等植物苔蘚就開始在巖石上生長(zhǎng)，且會(huì)長(zhǎng)成近似圓形，苔蘚的直徑和其生長(zhǎng)年限近似地滿足如下的關(guān)系式：d＝7×t－12（t≥12）。其中d代表苔蘚的直徑（單位：cm），t代表冰川消失的時(shí)間（單位：（1）計(jì)算冰川消失16年后苔蘚的直徑；冰川消失16年后苔蘚的直徑為14cm。（2）如果測(cè)得一些苔蘚的直徑是35cm，問(wèn)：冰川約是在多少年前消失的？冰川約是在37年前消失的。1.下列運(yùn)算正確的是（C）A.4＝±2 B.52＝±5C.（－7）D.－3＝－2.化簡(jiǎn)：（－2）2A.±2 B.－2 C.4 D.23.有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當(dāng)輸入的x為64時(shí)，輸出的y是（A）A.8 B.18 C.12 D.84.求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：（1）121；11。（2）96438（3）0.01；0.1。（4）72。7。1.下列語(yǔ)句寫成數(shù)學(xué)式子正確的是（B）A.9是81的算術(shù)平方根：±81＝9 B.5是（－5）2的算術(shù)平方根：（－5C.±6是36的算術(shù)平方根：36＝±6 D.－2是－4的算術(shù)平方根：－4＝－2.若一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是a，則比這個(gè)正數(shù)大3的數(shù)的算術(shù)平方根為（D）A.a＋3 B.a2＋3 C.a＋3 D.a3.若實(shí)數(shù)x，y滿足2x－1＋y－1＝0，則x＋A.1 B.32 C.2 D.4.若用一個(gè)x的值說(shuō)明“x2＝x”是錯(cuò)誤的，則x的值可以是－2（答案不唯一，x取值小于0即可）5.已知36＝x，y＝3，z是16的算術(shù)平方根，則2x＋y－5z的值為1。6.若（a－5）2＋b－12＋（c－13）2＝0，請(qǐng)判斷以a，b以a，b，c為三邊的△ABC是直角三角形。7.若一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根為a，則與這個(gè)自然數(shù)相鄰的下一個(gè)自然數(shù)是（B）A.a＋1 B.a2＋1 C.a2+1 D.a8.若a是2025的算術(shù)平方根，則2025100的算術(shù)平方根是A.a10 B.aC.±a10 D.9.觀察表格并回答下列問(wèn)題。a（a＞0）…0.00010.01110010000…a…0.01x1y100…（1）表格中，x＝0.1，y＝10。（2）①已知6≈2.45，則0.06≈0.245②已知0.0012≈0.03464，2m≈34.64解：②因?yàn)?.0012≈0.03464，2m所以根據(jù)表格中數(shù)據(jù)總結(jié)規(guī)律可知，0.03464的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)了3位得到34.64，所以由上述表格可知被開方數(shù)0.0012小數(shù)點(diǎn)需要向右移動(dòng)6個(gè)單位得到2m，所以0.0012×106＝2m，解得m＝600，所以m的值為600。10.已知x，y互為倒數(shù)，c，d互為相反數(shù)，a的絕對(duì)值為3，m的算術(shù)平方根是1。求2025（c＋d）＋2025xy－2022或2028。11.已知x，y滿足x－4＋y－8＝0，求以x20。12.觀察：2－25＝225，3－310＝3（1）6－66637（2）寫出第8個(gè)等式。9－982＝（3）寫出符合這一規(guī)律的一般等式。（用字母n表示，n為自然數(shù)，且n≥2）n－nn2+1＝nnn2+1（第2課時(shí)平方根與立方根（2）1.一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個(gè)數(shù)x就叫作a的平方根（也叫作二次方根）。2.一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，若這個(gè)正數(shù)是a，這兩個(gè)平方根合起來(lái)可以記作±a，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”；0只有一個(gè)平方根，它是0本身；負(fù)數(shù)沒有平方根。3.求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫作開平方，a叫作被開方數(shù)。平方根的計(jì)算【例1】求下列各數(shù)的平方根：（1）81；±9。（2）10049±107（3）0.0009；±0.03。（4）（－15）2；±15。（5）17。±17。歸納總結(jié)求一個(gè)數(shù)的平方根是利用平方運(yùn)算和開平方互為逆運(yùn)算來(lái)求的，但應(yīng)記?。阂粋€(gè)正數(shù)一定有互為相反數(shù)的兩個(gè)平方根；0只有一個(gè)平方根，是它本身；負(fù)數(shù)沒有平方根。任何數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)。?跟蹤訓(xùn)練1.求下列各數(shù)的平方根：（1）169；±13。（2）10；±10。（3）1649±47（4）94±32（5）18?！?8。平方根與算術(shù)平方根的綜合應(yīng)用【例2】已知7－3m＋（n－5）2＝3m－7－4m－3，則m＋2n的平方根為歸納總結(jié)算術(shù)平方根和平方根的區(qū)別類型算術(shù)平方根平方根區(qū)別個(gè)數(shù)不同正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根表示方法不同a±a取值范圍不同正數(shù)或0一正一負(fù)或都為0?跟蹤訓(xùn)練2.已知3a－1的算術(shù)平方根是2，2是3a＋b－1的一個(gè)平方根，求a＋2b的平方根。a＋2b的平方根是±5。1.下列說(shuō)法正確的是（A）A.－1是1的一個(gè)平方根 B.兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和一定是無(wú)理數(shù)C.無(wú)限小數(shù)是無(wú)理數(shù) D.0沒有算術(shù)平方根2.下列式子中，正確的是（C）A.36＝±6 B.－36＝－C.36＝6 D.±36＝63.若m與m－2是同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根，則m的值為（C）A.－2 B.－1 C.1 D.24.若（a－1）2與b+1互為相反數(shù)，則a2026－b25.如果a的平方根等于±2，那么a＝16。1.3的平方根是（D）A.3 B.±3 C.3 D.±32.下列說(shuō)法中，正確的是（C）A.4是8的算術(shù)平方根 B.16的平方根是4C.6是6的平方根 D.－a沒有平方根3.下列各式中，正確的是（B）A.（－3）2＝－3 B.－C.（±3）2＝±3 D.4.若ab＝－1，則當(dāng)a＝25時(shí)，b的值為（A）A.－15 B.15 C.125 5.若a－3是16的平方根，則a的值為7或－1。6.求下列各式中x的值：（1）x2＝25；x＝±5。（2）3x2－15＝0；x＝±5。（3）2（x＋1）2－8＝0。x＝1或x＝－3。7.若a是（－4）2的平方根，b的一個(gè)平方根是2，則代數(shù)式a＋b的值為（C）A.8 B.0 C.8或0 D.4或－48.已知x，y為實(shí)數(shù)，且y＝1－8x＋8x－1＋12，則9.若一個(gè)正數(shù)a的平方根是3x－2和5x＋6，則a＝49410.在Rt△ABC中，∠C＝90°，c為斜邊，a，b為直角邊，則化簡(jiǎn)（a－b＋c）2－2c－a－b的結(jié)果為11.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，化簡(jiǎn)：a＋a2－4a+412.若m是121的算術(shù)平方根，n是169的平方根，求：（1）m＋n的值；24或－2；（2）（m＋n）2的平方根?！?4或±2。13.已知x＝1－a，y＝2a－5，且x≠y。（1）如果x的算術(shù)平方根為3，求a的值及x＋y＋16的平方根；a＝－8，x＋y＋16的平方根為±2。（2）如果x，y是同一個(gè)數(shù)的平方根，求這個(gè)數(shù)。9。14.小華學(xué)習(xí)了《實(shí)數(shù)》一章后，進(jìn)行了如下探究：①（4×9）2＝4×9＝36，（4×9）2＝（4）2×（9）2＝4×9＝36，4×9和4×9都是36的算術(shù)平方根，而36的算術(shù)平方根只有一個(gè)，所以4×9＝4×9。②（25×16）2＝25×16＝400，（25×16）2＝（25）2×（16）2＝25×16＝400，25×16和25×16都是400的算術(shù)平方根，而400的算術(shù)平方根只有一個(gè)，所以＝。（1）請(qǐng)仿照①幫助小華完成②的填空。（2）猜想當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)a，b，ab之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并舉例驗(yàn)證你的猜想。（3）運(yùn)用以上結(jié)論，計(jì)算49×144－81×121。解：（1）25×1625×16（2）猜想ab＝a·b。舉例：（9×16）2＝9×16＝144，（9×16）2＝（9）2×（16）2＝9×16＝144，所以9×16＝9×16。（舉例不唯一）（3）原式＝49×144－81×121＝7×12－9×11＝84－99＝－15。第3課時(shí)平方根與立方根（3）1.一般地，如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，即x3＝a，那么這個(gè)數(shù)x就叫作a的立方根（也叫作三次方根）。2.每個(gè)數(shù)a都有一個(gè)立方根，記作3a，讀作“三次根號(hào)a”。正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)3.求一個(gè)數(shù)a的立方根的運(yùn)算叫作開立方，a叫作被開方數(shù)。4.性質(zhì)：（3a）3＝a；3a3＝立方根的計(jì)算【例1】求下列各數(shù)的立方根：（1）0.001；0.1。（2）－1；－1。（3）－1216－16（4）8000；20。（5）82723（6）－512。－8。歸納總結(jié)（1）立方根的符號(hào)和被開方數(shù)的符號(hào)一致；（2）求一個(gè)帶分?jǐn)?shù)的立方根時(shí)，必須將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)。?跟蹤訓(xùn)練1.化簡(jiǎn)下列各式：（1）－30－0.4。（2）3－－8。（3）－3－2。（4）－3（5。（5）（3－6）－6。立方根與平方根的綜合應(yīng)用【例2】已知5a＋2的立方根是3，3a＋b－1的算術(shù)平方根是4，c是11的整數(shù)部分。（1）求a，b，c的值；（2）求3a－b＋c的平方根。解：（1）因?yàn)?a＋2的立方根是3，3a＋b－1的算術(shù)平方根是4，所以5a＋2＝27，3a＋b－1＝16，所以a＝5，b＝2。因?yàn)?＜11＜4，c是11的整數(shù)部分，所以c＝3。（2）3a－b＋c＝15－2＋3＝16，16的平方根是±4。歸納總結(jié)平方根是開二次方根，立方根是開三次方根，注意問(wèn)題中隱含條件的作用，熟記平方根與立方根的性質(zhì)及公式是解題的關(guān)鍵，明確算術(shù)平方根和立方根的意義及其表示方法，特別是求字母的值必須滿足算術(shù)平方根的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，否則求出的值無(wú)意義。?跟蹤訓(xùn)練2.已知實(shí)數(shù)a＋9的一個(gè)平方根是－5，2b－a的立方根是－2。（1）求a，b的值；a＝16，b＝4。（2）求2a＋b的立方根。2a＋b的立方根是336利用立方根解決實(shí)際問(wèn)題【例3】小穎在爸爸的建議下，準(zhǔn)備動(dòng)手制作一個(gè)大鳥籠，請(qǐng)你按照下列方案解決問(wèn)題。（1）如果做一個(gè)體積大約為0.125m3的正方體鳥籠，那么這個(gè)鳥籠的棱長(zhǎng)為多少？（2）如果這個(gè)正方體鳥籠的體積為0.729m3，那么這個(gè)鳥籠的棱長(zhǎng)是多少？解：（1）設(shè)鳥籠的棱長(zhǎng)為am。根據(jù)題意可知a3＝0.125，解得a＝0.5。（2）當(dāng)正方體鳥籠的體積為0.729m3時(shí)，可知a3＝0.729，解得a＝0.9。歸納總結(jié)在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常需設(shè)未知數(shù)x，但由于之前只學(xué)過(guò)一元一次方程，所以遇到二次或三次方程時(shí)，只能用平方根或立方根的定義來(lái)求解，即若x2＝a，則x＝±a；若x3＝a，則x＝3a?跟蹤訓(xùn)練3.一個(gè)正方體的體積是棱長(zhǎng)為3cm的正方體體積的8倍，這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是多少？這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是6cm。1.下列說(shuō)法正確的是（C）A.4是16的算術(shù)平方根，即±16＝4 B.－3是27的立方根C.64的立方根是2 D.1的立方根是－12.若－b是a的立方根，則下列結(jié)論正確的是（A）A.－b3＝a B.－b＝a3 C.b＝a3 D.b3＝a3.16的平方根與－8的立方根之和是（D）A.0 B.－4 C.4 D.0或－44.已知一個(gè)正方體的體積是1000cm3，現(xiàn)要在它的8個(gè)角上分別截去1個(gè)大小相同的小正方體，截去后余下部分的體積是488cm3。（1）截去的每個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)是多少？截去的每個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)是4cm。（2）截完后余下部分的表面積是多少？截完余下部分的表面積是600cm2。1.下列說(shuō)法正確的是（C）A.0.8的立方根是0.2 B.1的立方根是±1C.－1的立方根是－1 D.－125沒有立方根2.下列結(jié)論正確的是（D）A.9的平方根是3 B.－18C.立方根等于本身的數(shù)是0 D.3－643.－27的立方根與81的平方根之和是（C）A.6 B.0 C.0或－6 D.6或－64.若a3＝－8，則a的絕對(duì)值是（A）A.2 B.－2 C.12 D.－5.（1）若33x－1＝2，則x＝（2）若x＝（3－5）3，則－x－16.若a≠0，則（－3a）3a7.計(jì)算：38＋0－1328.把一個(gè)長(zhǎng)為6cm、寬為4cm、高為9cm的長(zhǎng)方體鐵塊鍛造成一個(gè)正方體鐵塊，求鍛造后正方體鐵塊的棱長(zhǎng)。鍛造后正方體鐵塊的棱長(zhǎng)為6cm。9.已知一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別為3a－5和7－a，則這個(gè)正數(shù)的立方根是（A）A.4 B.3 C.2 D.110.已知3x－1＝x－1，則x2＋x的值為A.0或1 B.0或2 C.0或6 D.0或2或611.觀察下列各式解決問(wèn)題：（1）已知15≈3.873，1.5≈1.225，則150≈12.25（2）已知310≈2.154，3γ≈0.2154，則γ＝0.0112.已知M＝m－4m+3是m＋3的算術(shù)平方根，N＝2m－4n+3n－2M－N的平方根是±2。13.第一個(gè)等式：312－1＝－312；第二個(gè)等式：329－33328；……根據(jù)所給式子的規(guī)律，第n個(gè)等式為3nn3+1－n＝－n3n第4課時(shí)平方根與立方根（4）比較無(wú)理數(shù)的大小有兩種方法：一是取近似值進(jìn)行比較；二是將兩個(gè)數(shù)同時(shí)平方或立方進(jìn)行比較。值得注意的是比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小時(shí)，絕對(duì)值大的反而小。估算無(wú)理數(shù)的近似數(shù)【例1】估算下列無(wú)理數(shù)：（1）13.6（結(jié)果精確到0.3.7。（2）32