第一章直角三角形的邊角關(guān)系5三角函數(shù)的應(yīng)用第3課時坡度問題

1.

如圖，斜坡AB的坡度為i，傾斜角（坡角）為α，AC

為水平距離，BC為垂直距離，則有i＝tanα＝

.

2.

坡度是一個比值，即斜坡上某一點到底面的垂直距離

與水平距離的比，也稱為

坡比

.坡比

坡角與坡度【例1】沿江大堤經(jīng)過改造后的某處橫斷面為如圖所示的

梯形ABCD，高DH＝12

m，斜坡CD的坡度i＝1∶1.此處大堤的正上方有高壓電線穿過，PD表示高壓線上的點與堤面AD的最近距離（點P，D，H在同一直線上），在點C處測得∠DCP＝26°.（1）求斜坡CD的坡角α；解：（1）由題意知斜坡CD的坡度i＝1∶1，∴tanα＝DH∶CH＝1∶1＝1，∴α＝45°.即斜坡CD的坡角α為45°.（2）電力部門要求此處高壓線離堤面AD的安全距離不低

于18

m，此次改造是否符合電力部門的安全要求？（參考

數(shù)據(jù)：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin

71°≈0.95，tan71°≈2.90）

在坡度問題中，求坡角的度數(shù)就是利用正切，當(dāng)坡

度為特殊值時，坡角為特殊角，所以要熟記30°，45°

和60°的特殊三角函數(shù)值；若坡度的比值不為特殊值，

需借助科學(xué)計算器進行計算.

綜合運用【例2】實驗學(xué)校某班開展數(shù)學(xué)“綜合與實踐”測量活動.有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線MN的距離皆為100

cm.小明觀測到高度90

cm矮圓柱的影子落在地面上，其長為72

cm，而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示.已知落在地面上的影子皆與坡腳水平線MN互相垂直，并視太陽光為平行光，測得斜坡坡度i＝1∶0.75，在不計圓柱厚度與影子寬度的情況下，請解答下列問題：（1）若小明的身高為150

cm，且此刻他的影子完全落在

地面上，則他的影子長為多少？

（2）猜想：此刻高圓柱和它的影子與斜坡的某個橫截面

一定同在一個垂直于地面的平面內(nèi).請直接回答這個猜想

是否正確.解：（2）正確.∵高圓柱在地面的影子與MN垂直，∴太陽光的光線與MN垂直，則在斜坡上的影子也與MN垂直，則過斜坡上的影子的橫截面與MN垂直，而橫截面與地面垂直，高圓柱也與地面垂直，∴高圓柱和它的影子與斜坡的某個橫截面一定同在一個垂直于地面的平面內(nèi).（3）若同一時間量得高圓柱落在坡面上的影子長為100

cm，則高圓柱的高度為多少？解：（3）如圖，AB為高圓柱，AF為太陽光，△CDE為

斜坡，CF為圓柱在斜坡上的影子.如圖，過點F作FG⊥CE于點G，由題意，得BC＝100cm，CF＝100cm.

設(shè)FG＝4kcm，CG＝3kcm，在△CFG中，由勾股定理，得（4k）2＋（3k）2＝1002，解得k＝20，∴CG＝60cm，F(xiàn)G＝80cm，∴BG＝BC＋CG＝160（cm）.再過點F作FH⊥AB于點H.

由題意知同一時刻，90cm矮圓柱的影子落在地面上，其

長為72cm，F(xiàn)G⊥BE，AB⊥BE，F(xiàn)H⊥AB.

本例具有一定的綜合性，涉及平行投影、勾股定理

及相似三角形，也包含方程思想和數(shù)形結(jié)合思想，這樣

的例題需要熟練掌握相關(guān)知識點，并巧妙結(jié)合使用，才

能正確且簡潔地解決問題.

A.10

mC.5

m第1題圖A2.

如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹

AB，當(dāng)太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下時，在斜

坡上的樹影BC長為m，則大樹AB的高為（A）第2題圖A3.

如圖，為了了解山坡上兩棵樹間的水平距離，數(shù)學(xué)活

動小組的同學(xué)們測得該山坡的傾斜角α＝20°，兩樹間的

坡面距離AB＝5

m，則這兩棵樹的水平距離約

為

4.7

m.（結(jié)果精確到0.1

m，參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.342，

cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）4.7第3題圖

第4題圖（1）求燈桿AB的高度；解：（1）延長BA交CG于點E，如圖，則BE⊥CG.

在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，

在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，

∴AB＝BE－AE＝18－6＝12（m）.（2）求CD的長度.

第5題圖20.62m.

6.

小明去爬山，如圖，在山腳看山頂角度為30°，小明

在坡比為5∶12的山坡上走1

300

m，此時小明看山頂?shù)慕嵌?/p>

為60°，山高為（B）第6題圖B

8.

（河南模擬）如圖，AD是土坡AB左側(cè)的一個斜坡，

坡度為55°，村委會在坡底D處建一個高為3

m的平臺，

并將斜坡AD改為AC，坡比i＝1∶1，求土坡AB的高度.

（精確到0.1

m，參考數(shù)據(jù)：sin

55°≈0.82，cos

55°≈0.57，tan

55°≈1.43）第8題圖解：過點C作CE⊥AB于點E，如圖.設(shè)AE＝xm.∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴四邊形CDBE為矩形.∴BE＝CD＝3m，CE＝DB.

∵斜坡AC的坡比i＝1∶1，∴CE＝AE＝xm.∴AB＝（x＋3）m.

解得x≈6.98，則AB＝x＋3＝9.98≈10.0（m）.答：土坡AB的高度約為10.0m.

9.

某市移動公司為了提升5G網(wǎng)絡(luò)信號，保證廣大市民的

通信質(zhì)量，臨時在坡度為i＝1∶2.4的山坡上加裝了信號塔

PQ（如圖所示），信號塔底端Q到坡底A的距離為3.9

m.同時為了提醒市民，在距離斜坡底A點4.4

m的水平地面上立了一塊警示牌MN.第9題圖當(dāng)太陽光線與水平線成53°角時，測得信號塔PQ落在警示牌上的影子EN長為3

m，則信號塔PQ的高約為（B

）（結(jié)果精確到十分位，參考數(shù)據(jù)：

sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）BA.10.4

mB.11.9

mC.12.9

mD.13.4

m第9題圖10.

如圖，某校教學(xué)樓后面緊鄰著一個山坡，坡上面是一

塊平地.BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB長26

m，斜坡AB

的坡比為12∶5.為了減緩坡面，防止山體滑坡，學(xué)校決定

對該斜坡進行改造.經(jīng)地質(zhì)人員勘測，當(dāng)坡角不超過50°

時，可確保山體不滑坡.若改造時保持坡腳A不動，則坡頂B沿BC至少向右移

10

m時，才能確保山體不滑坡.（取tan50°＝1.2）10第10題圖

（涼山州中考）去年，我國南方某地一處山坡上一座輸電