第二章二次函數(shù)專題四二次函數(shù)與幾何綜合

二次函數(shù)與三角形綜合1.

如圖，Rt△OAB的頂點A（－2，4）在拋物線y＝ax2

上，將Rt△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OCD，

邊CD與該拋物線交于點P，則點P的坐標為（C）B.

（2，2）C第1題圖2.

拋物線y＝ax2＋3ax＋b的一部分圖象如圖，設(shè)該拋物

線與x

軸的交點為A（－5，0）和

B，與y

軸的交點為C，

若△ACO∽△CBO，則∠CAB的正切值為

.第2題圖

3.

（蘭州中考）如圖（1），二次函數(shù)y＝a（x＋3）（x

－4）圖象交坐標軸于點A，B（0，－2），點P為x軸上

一動點.第3題圖（1）求二次函數(shù)y＝a（x＋3）（x－4）的表達式；

（2）過點P作PQ⊥x軸分別交線段AB和拋物線于點Q，

C，連接AC.

當(dāng)OP＝1時，求△ACQ的面積；

（3）如圖（2），將線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到

線段PD.

當(dāng)點D在拋物線上時，求點D的坐標.解：（3）如圖，過點D作x軸垂線交于點N.

設(shè)P（t，0），∵∠BPD＝90°，∴∠OPB＋∠NPD＝90°，∠OPB＋∠OBP＝90°.∴∠NPD＝∠OBP.

∵BP＝PD，∴△PND≌△BOP（AAS）.∴OP＝ND，BO＝PN，∴D（t＋2，－t）.

解得t＝1或t＝－10.∴D（3，－1）或D（－8，10）.

二次函數(shù)與特殊四邊形綜合

B.

－2≤h≤1A第4題圖

第5題圖6.

（資陽中考）已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為A（1，

4），且與x軸交于點B（－1，0）.（1）求二次函數(shù)的表達式.解：（1）∵二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為A（1，4），∴設(shè)二次函數(shù)的表達式為y＝a（x－1）2＋4.又∵B（－1，0），∴0＝a（－1－1）2＋4，解得a＝－1，∴y＝－（x－1）2＋4（或y＝－x2＋2x＋3）.（2）如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點P（m，0）旋轉(zhuǎn)180°，此時點A，B的對應(yīng)點分別為點C，D.

①連接AB，BC，CD，DA，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時，求m的值.②在①的條件下，若點M是直線x＝m上一點，原二次函

數(shù)圖象上是否存在一點Q，使得以B，C，M，Q為頂點

的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點Q的坐標；若不

存在，請說明理由.解：（2）①∵點P在x軸正半軸上，∴m＞0，∴BP＝m＋1.由旋轉(zhuǎn)可得BD＝2BP，∴BD＝2（m＋1）.過點A（1，4）作AE⊥x軸于點E，∴BE＝2，AE＝4.在Rt△ABE中，AB2＝BE2＋AE2＝22＋42＝20.當(dāng)四邊形ABCD為矩形時，AD⊥AB，∴∠BAD＝∠BEA＝90°.又∠ABE＝∠DBA，∴△BAE∽△BDA，∴AB2＝BE·BD，∴4（m＋1）＝20，解得m＝4.②由題可得點A（1，4）與點C關(guān)于點P（4，0）成中心對稱，∴C（7，－4）.∵點M在直線x＝4上，∴點M的橫坐標為4.存在以點B，C，M，Q為頂點的平行四邊形.（1）當(dāng)以BC為邊時，平行四邊形為BCMQ，點C向左平移8個單位，與點B的橫坐標相同，∴將點M向左平移8個單位后，與點Q的橫坐標相同，∴將Q（－4，y1）代入y＝－x2＋2x＋3，解得y1＝－21，∴Q（－4，－21）.（2）當(dāng)以BC為邊時，平行四邊形為BCQM，點B向右平移8個單位，與點C的橫坐標相同，∴將M向右平移8個單位后，與點Q的橫坐標相同，∴將Q（12，y2）代入y＝－x2＋2x＋3，解得y2＝－117，∴Q（12，－117）.（3）當(dāng)以BC為對角線時，點M向左平移5個單位，與點B的橫坐標相同，∴點C向左平移5個單位后，與點Q的橫坐標相同，∴將Q（2，y3）代入y＝－x2＋2x＋3，得y3＝3，∴Q（2，3）.綜上所述，存在符合條件的點Q，其坐標為（－4，－21）或（2，3）或（12，－117）.

二次函數(shù)與幾何變形

D.

y＝－3x2第7題圖B8.

如圖所示，已知拋物線y＝－2x2－4x的圖象E，將其向右平移兩個單位長度后得到圖象F.

第8題圖（1）求圖象F所表示的拋物線的表達式；解：（1）∵拋物線y＝－2x2－4x＝－2（x＋1）2＋2的圖象E，將其向右平移兩個單位后得到圖象F，∴圖象F所表示的拋物線的表達式為y＝－2（x＋1－2）2＋2＝－2（x－1）2＋2，即圖象F所表示的拋物線的表達式為y＝－2（x－1）2＋2.（2）設(shè)拋物線F和x軸分別相交于點O，點B（點B位于

點O的右側(cè)），頂點為點C，點A位于y軸負半軸上，且

到x軸的距離等于點C到x軸的距離的2倍，求AB所在直

線的表達式.解：（2）由（1）可知頂點C的坐標為（1，2）.當(dāng)y＝0時，－2（x－1）2＋2＝0，解得x1＝0，x2＝2，∴點B的坐標為（2，0）.

二次函數(shù)與線段最值問題

第9題圖（1）求拋物線的表達式；

（2）求