第07講因式分解（知識點+題型+分層強化）

。目錄

知識1.因式分解的意義2.提公因式法

梳理3.公式法4.十字相乘法

5,分組分解法6.因式分解的一般步驟

一、判斷是否是因式分解二、已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)

題型三、提公因式法分解因式四、平方差公式分解因式

鞏固五、完全平方公式分解因式六、綜合運用公式法分解因式

七、綜合提公因式和公式法分解因式

八、因式分解在有理數(shù)簡算中的應(yīng)用九、十字相乘法

十、分組分解法十一、因式分解的應(yīng)用

分層一、單選題（4）二、填空題（11）

強化三、解答題（7）

事

知識點1.因式分解的意義

1、因式分解：將多個項的整式化為幾個次數(shù)更低的整式的積，叫作把這個整式因式分解，

2、因式分解與整式乘法互為逆變形：

式中機可以代表單項式，也可以代表多項式，它是多項式中各項都含有的因式，稱為公因式.

知識點2.提公因式法

1、提公因式法：如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式

乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

2、具體方法：

（1）當(dāng)各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項的相同的字母，

而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項式，多項式的次數(shù)取最低的.

(2)如果多項式的第一項是負的，一般要提出號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)成為正數(shù).

提出號時，多項式的各項都要變號.

3、口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守：提負要變號，變形看奇偶.

4、提公因式法基本步驟：

(1)找出公因式；

(2)提公因式并確定另一個因式：

①笫一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母：

②第二步提公因式并確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商

即是提公因式后剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式；

③提完公因式后，另一因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.

知識點3.公式法

1、如果把乘法公式反過來，就口」以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法.

平方差公式：a2-b2=Ca+b)(a-b)；

完全平方公式：『±2"+戶=.)2；

2、概括整合：

①能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號柞反.

②能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)(或式)的平方和的形

式，另一項是這兩個數(shù)(或式)的積的2倍.

3、要注意公式的綜合應(yīng)用，分解到每?個因式都不能再分解為止.

知識點4.十字相乘法

借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項式分解因式的

方法，通常叫做十字相乘法.

①，+(p+4)x+pg型的式子的因式分解.

這類二次三項式的特點是：二次項的系數(shù)是I；常數(shù)項是兩個數(shù)的積；

可以直接將某些二次項的系數(shù)是1的二次三項式因式分解：

/+(〃+q)x+pq=(.x+p)(x+<y)

②(〃和)型的式子的因式分解

這種方法的關(guān)鍵是把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)m,6的積川?〃2,把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)ci,s的

積CI?C2,并使。IC2+a2cl正好是一次項/?,那么可以直接寫成結(jié)果：aV2+Z?A+C=(?ix+ci)(A2X+C2).

知識點5.分組分解法

1、分組分解法一般是針對四項或四項以上多項式的因式分解，分組有兩個目的，一是分組后能出現(xiàn)公因式,

二是分組后能應(yīng)用公式.

2、對于常見的四項式，一般的分組分解有兩種形式：①二二分法，②三一分法.

例如：①好+0+區(qū)+力

=x（。+h）+y十〃）

=（a+h）（x+y）

②與，?7+1?

=-（J2-Zyy+y2）+1

=1-（x-y）2

=（1+x-y）（1-x+y）

知識點6.因式分解的一般步驟

因式分解的方法主要有：提公因式法，公式法，分組分解法，十字相乘法，添、拆項法等.

因式分解步驟

（1）如果多項式的各項有公因式，先提取公因式；

（2）如果各項沒有公因式那就嘗試用公式法；

（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來分解.

（4）結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止.

題型鞏固

題型一、判斷是否是因式分解

1.（2425七年級上?上海?期中）下列各式從左到右是因式分解的是（）

【答案】D

【知識點】判斷是否是因式分解

【分析】本題考查因式分解的概念：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做因式分解，據(jù)此判斷即

可.

故選：D.

2.下列由左邊到右邊的變形，是因式分解的有（填序號）

①。（x+y）=ax-\-ay\

(1)利用多項式乘多項式的法則，展開后，利用恒等得到對應(yīng)項的系數(shù)相同，進行求解即可；

(2)求出其奇次項系數(shù)之和，偶次項系數(shù)之和，進行判斷即可：

故答案為：T,-4：

故答案為：-1：

題型三、提公因式法分解因式

【答案】D

【知識點】提公因式法分解因式

【分析】此題主要考查了提公因式法分解因式，解題的關(guān)鍵是正確找出公因式.直接提取公因式-3%即可分

解.

故選：D.

【答案】+

【知識點】提公因式法分解因式

【分析】本題考杳了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題的關(guān)鍵，直接利用提取公因式法分解

因式得出即可.

【詳解】解：原式=(1+%)(1+工)+%(l+X)2+…+X(l+X)n

=(1+X)2+X(1+X)2+-+X(1+x)n

=(1+%)2(1+X)+X(1+X)3+…+X(1+x)n

=(1+x)3+x(l+x)3+…+x(l+x)n

=(1+x)n-1+X(1+x)n-1+X(1+x)n

=(1+x)n+x(l+X)n

=(l+x)n+1.

故答案為:(l+x)n+l.

【知識點】提公因式法分解因式

【分析】本題考查了提公因式法分解因式，熟練掌握分解因式的步驟是解題的關(guān)鍵.直接利用提公因式法

分解因式即可求解.

題型四、平方差公式分解因式

9.(2024七年級上?上海?專題練工)下列多項式中，能運用平方差公式分解因式的是()

【答案】C

【知識點】平方差公式分解因式

【分析】本題考查了公式法進行因式分解.根據(jù)平方差公式進行因式分解分別判斷即可.

故選：C.

【知識點】平方差公式分解因式

【知識點】平方差公式分解因式

【分析】本題考查公式法分解因式.根據(jù)平方差公式進行計算即可.

題型五、完全平方公式分解因式

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【知識點】完全平方公式分解因式

故選：B.

【知識點】完全平方公式分解因式

【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，涉及完全平方和公式因式分解，設(shè)止方形的邊長為xm,由題意列出等

式，因式分解求解即可得到答案.熟練掌握完全平方和公式因式分解是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為人5，

【知識點】完全平方公式分解因式

【分析】本題可先根據(jù)多項式乘法法則將原式展開，然后利用完全平方公式進行因式分解.本題主要考查

了因式分解中完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握多項式乘法法則和完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵.

題型六、綜合運用公式法分解因式

15.對于：

其中因式分解正確的是（）

A.①③B.②③C.①④D.②④

【答案】D

【知識點】綜合運用公式法分解因式

【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個判斷即可.

故選D.

【點睛】本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義是解題的關(guān)鍵，注意：把一個多項式化成幾

個整式的積的形式，叫因式分解.

【知識點】綜合運用公式法分解因式

【分析】本題考查了實數(shù)范圍內(nèi)因式分解，利用完全平方公式與平方差公式是解題的關(guān)鍵：先把前兩項湊

成完全平方式，再利用平方差公式分解，再對每一個因式繼續(xù)利用平方差公式分解；把一個二次根式表示

成一個實數(shù)的平方是解題的關(guān)鍵.

【知識點】綜合運用公式法分解因式

【分析】本題考查因式分解，先分組，然后根據(jù)完全平方公式與平方差公式因式分解，即可求解.

題型七、綜合提公因式和公式法分解因式

【答案】A

【知識點】綜合提公因式和公式法分解因式

【分析】本題考查了平方差公式因式分解的知識，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平方差公式因式分解即可選出.

故選A.

【知識點】綜合提公因式和公式法分解因式

【分析】本題考查了提取公因式法，公式法分解因式，掌握提取公因式公式法是關(guān)鍵.

【知識點】綜合提公因式和公式法分解因式

【分析】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解.先提取公因式4,再利用平方差公式進行分解,

然后利用完全平方公式繼續(xù)分解即可得答案.

題型八、因式分解在有理數(shù)簡算中的應(yīng)用

【答案】C

【知識點】因式分解在有理數(shù)簡算中的應(yīng)用

【分析】此題考查完全平方公式進行因式分解，根據(jù)完全平方公式因式分解即可得答案.

故選:C.

【答案】^/0.55

【知識點】因式分解在有理數(shù)簡算中的應(yīng)用

【分析】接利用平方差公式把每個算式因式分解，再進步發(fā)現(xiàn)規(guī)律訂算即可.

故答案為：義.

【點睛】此題考查因式分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于利用公式進行計算.

【答案】80

【知識點】因式分解在有理數(shù)簡算中的應(yīng)用

【分析】提公因式1.6,再利用平方差公式分解，進行簡便計算即可求解.

【點睛】本題考查了利用因式分解簡便計算，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

題型九、十字相乘法

A.10B.17C.15D.8

【答案】C

【知識點】十字相乘法

【分析】本題考查了十字相乘法分解囚式.把16分解為兩個整數(shù)的枳的形式，％等于這兩個整數(shù)的和.

回整數(shù)人的值是±8或±10或±17,

觀察四個選項，C選項符合題意.

故選：C.

【知識點】十字相乘法

【分析】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)十字相乘法可進行分

解因式.

【知識點】十字相乘法

【分析】本題主要考查了十字相乘法分解因式，直接利用十字相乘法分解因式得出答案

題型十、分組分解法

【答案】D

【知識點】分組分解法

【分析】把二、三、四項作為一組，第一項作為一組，然后根據(jù)完全平方公式和平方差公式分解即可.

故選:D.

【點睛】本題考查了分組分解法分解因式，正確分組是解答本題的關(guān)鍵.

【答案】是

【知識點】分組分解法

故答案為：是

【點睛】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，掌握分組分解法是解題的關(guān)鍵.

【知識點】分組分解法

【分析】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解.因式分解常用

的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法：④分組分解法.用分組分解法分解即可.

題型十一、因式分解的應(yīng)用

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】B

【知識點】因式分解的應(yīng)用

故選B.

【知識點】因式分解的應(yīng)用

【答案】等腰三角形，理由見解析

【知識點】因式分解的應(yīng)用

彭分層強化

一、單選題

A.-1B.1C.0D.2

【答案】B

【知識點】完全平方公式分解因式

故詵：B.

A.滕王閣序B.岳陽樓記C.滕王閣D.岳陽樓

【答案】A

【知識點】提公因式法分解因式

【分析】本題考查了因式分解，將給定的代數(shù)式因式分解，并根據(jù)對應(yīng)關(guān)系確定密碼.

組合后為“滕王閣序〃，

故答案為：A.

3.下列各式從左到右的變形是因式分解的是（）

【答案】C

【知識點】判斷是否是因式分解

【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個判斷即可.

【詳解】解：A.從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；

C.從左到右的變形屬丁因式分解，故本選項符合題意；

D.從左到右的變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：把一個多項式化成

幾個整式的積的形式，叫因式分解.

4.下列變形中正確的是（）

【答案】C

【知識點】運用完全平方公式進行運算、判斷能否用公式法分解因式

故選：C.

【點睛】本題考查用乘法公式進行化簡和因式分解，解題關(guān)鍵是熟練掌握乘法公式.

二、填空題

【知識點】平方差公式分解因式

【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵.

直接利用平方差公式分解即可.

【知識點】提公因式法分解因式

【分析】直接提取公因式X,進而分解因式得出答案.

【點睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵.

【知識點】提公因式法分解因式

【分析】根據(jù)提公因式因式分解即可求解.

【點睛】本題考查了提公因式法因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

【知識點】綜合提公因式和公式法分解因式

【分析】本題考查了因式分解，先提取公因式y(tǒng),然后根據(jù)完全平方公式進行因式分解即可.

【知識點】綜合提公因式和公式法分解因式

【分析】本題考查了因式分解，利用平方差公式是解題關(guān)鍵.根據(jù)平方差公式因式分解，可得答案.

【答案】2

【知識點】平方差公式分解因式

【分析】根據(jù)平方差公式因式分解，即可求得.

故答案為：2.

【點睛】本題考查了用平方差公式進行因式分解，熟練掌握和運用平方差公式是解決本題的關(guān)鍵.

11.因式分解（直接寫出答案）

【知識點】綜合提公因式和公式法分解因式、十字相乘法、分組分解法

【分析】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

（1）運用平方差公式進行因式分解；

（2）運用完全平方公式進行因式分解；

（3）先提公因式后，運用十字相乘法進行因式分解：

（4）先分組運用完全平方公式分解后，再運用平方差公式金色因式分解.

【知識點】綜合提公因式和公式法分解因式

【分析】先提取公因式，后采用公式法分解即可

【點睛】本題考查了因式分解，熟記先提取公因式，后套用公式法分解因式是解題的關(guān)鍵.

【答案】2022

【知識點】提公因式法分解因式、因式分解的應(yīng)用

【分析】將/=2x+l,/-2x=l代入計算可求解.

【詳解】解：?.,/-2x-l=0,

/.A2=2X+1,x2-2x=l,

/.原式=〃?/-Zv2-6.V+2020

=2x(2.V+1)-lx2-6x+2020

=4/+2x-lx2-6x+2020

=2^-4X+2020

=2(x2-2x)+2020

=2X1+2020

=2022.

故答案為：2022

【點睛】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，適當(dāng)?shù)倪M行因式分解，整體代入是解題的關(guān)鍵.

14.因式分解：x3-6.r2+ll.v-6=.

【答案】(x-3)(x-2)(x-1)

【知識點】綜合提公因式和公式法分解因式、十字相乘法、分組分解法、完全平方公式分解因式

【分析】首先將11A拆項，進而利用提取公因式法以及公式法分解因式進而得出答案.

【詳解】解：V-6/+11X-6

=9-6X2+9X+2.X-6

=A(x2-6x+9)+2(x-3)

=A(A-3)2+2(A-3)

=(x-3)[x(x-3)+2]

=(A--3)(A2-3A+2)

=(x-3)(jr-2)(x-1).

故答案為：(x-3)(x-2)(x-1).

【點睛】此題主要考查了分組分解法分解因式，正確分組是解題關(guān)鍵.

【知識點】提公因式法分解因式

【點睛】本題考查了提公因式法，一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出