專題22.3角平分線

1.知道角平分線的性質(zhì)定理；

2.學(xué)會(huì)角平分線的判定定理；

教學(xué)目標(biāo)

3.掌握角平分線的性質(zhì)與判定綜合；

4.三角形的內(nèi)心及其應(yīng)用。

1重.點(diǎn)

（1）角平分線的性質(zhì)定理及其應(yīng)用；

（2）角平分線的判定定理，及其與性質(zhì)定理綜合：

（3）角平分線有關(guān)是尺規(guī)作圖：

教學(xué)重難點(diǎn)

（4）三角形的內(nèi)心及其應(yīng)用。

2難.點(diǎn)

（1）角平分線的性質(zhì)、判定定理與其他幾何圖形性質(zhì)結(jié)合；

（2）角平分線的綜合應(yīng)用。

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)1角平分線的性質(zhì)定理

操作

我們知道，角是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)?稱軸是角平分線所在的直線.

已知一個(gè)角，你能用直尺和圓規(guī)作出它的平分線嗎？

如圖2221,已知NAOB,求作NAOB的平分線.

作法

（1）以點(diǎn)O為圓心、以任意長(zhǎng)度a為半徑作弧，分別交OA、0B于點(diǎn)D、E;

⑵分別以點(diǎn)D、E為圓心，以DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于NAOB內(nèi)的一點(diǎn)C;

(3)作射線OC.射線OC就是NAOB的平分線(圖2222).

證明如圖2223,連接CD、CE.在AOCD和ZiOCE中，

()D=()E,

<oc=oc,

..CD=CE,

*

AAOCD^AOCE.

???ZCOD=ZCOE,

即OC平分NAOB.

如圖2224,設(shè)OC是NAOB的平分線，在OC上任取一個(gè)不與點(diǎn)O重合的點(diǎn)P、過點(diǎn)P分別向OA、0B作垂

線段，那么這兩條垂線段的長(zhǎng)相等.

圖22-2-4

歸納上述事實(shí)，得到角平分線的性質(zhì)定理：

定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊所在直線的距離相等.

顯然，角平分線的端點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊所在直線的距離相等，都為0.

注意：研究角平分線有關(guān)問題時(shí)，約定所涉及的角小于平角.

角平分線的性質(zhì)定理證明

如圖2224,已知：OC是NAOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)O重合),PD_LOA,PE_LOB,垂足分別

為D、E.求證：PD=PE.

證明因?yàn)镺C是NAOB的平分線，所以N1=N2.因?yàn)镻D_LOA.PE_LOB,所以NPDO=NPEO=90。.又因?yàn)?

l=/2,/PDO=NPEO,OP為公共邊，所以△PDO0Z\PEO.由此推出PD=PE.

【即學(xué)即練】

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

故選：C.

A------0。

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【答案】D

故選:D.

知識(shí)點(diǎn)2角平分線的判定定理

定理在角的內(nèi)部，到角的兩邊所在直線距離相等的點(diǎn)，均在這個(gè)角的平分線上.

角平分線的判定定理證明

如圖2225,已知：Q為NAOB內(nèi)部一點(diǎn)，QD_LOA,QEJLOB,垂足分別為D、E,QD=QE.

求證：點(diǎn)Q在NAOB的平分線上.

圖22-2-5圖22-2-6

證明如圖2226,作射線0Q.因?yàn)镼DJ_OA,QE_LOB,所以NQDO=NQEO=90。.又因?yàn)镼D=QE,OQ為公共邊,

根據(jù)直角三角形全等的判定定理，得RsQDOgRsQEO.由此推出N1=N2,即OQ是NAOB的平分線，由

此可見點(diǎn)Q在/AOB的平分線上.

【即學(xué)即練】

.-.ZCAD=^ZBAC=30°,

/.ZDGF=ZCAD+ZADG=3O0+120°=150°.

故答案為：150。.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定與三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，仔細(xì)分

析圖形是解題的關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)3三角形的內(nèi)心

1.三角形的內(nèi)心

例如圖2227,已知：在AABC中，AO、BO分別是/BAC、NABC的平分線，OD_LBC,OEJ_AB,垂足分別

為D、E.求證：點(diǎn)O在NC的平分線上.

證明如圖2228,過點(diǎn)O作OF_LAC,垂足為F.

TAO是NBAC的平分線，OE_LAB,OF_LAC,

???OE=OF（角平分線的性質(zhì)定理）洞理，可得OE=OD.

AOD=OF.

XVOD±BC,OF±AC,

???點(diǎn)O在NC的平分線上（在角的內(nèi)部，到角的兩邊所在直線距寓相等的點(diǎn)，均在這個(gè)角的平分線上）.

本題結(jié)論表明：三角形的三個(gè)內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)叫作三角形的內(nèi)心.

2.作垂直平分線與角平分線的交點(diǎn)

例如圖22211,已知NAOB及其內(nèi)部一點(diǎn)C.

求作/AOB內(nèi)部一點(diǎn)P,使PC=PO,且點(diǎn)P到直線OA、OB的距離相等.

圖22-2-11圖22-2-12

分析假定點(diǎn)P已經(jīng)作出，由PC=PO,可知點(diǎn)P一定在線段OC的垂直平分線上.又由點(diǎn)P在NAOB內(nèi)部

且到直線OA、0B的距離相等，可知點(diǎn)P在/AOB的平分線上.因此，P應(yīng)是線段0C的垂直平分線與

ZAOB的平分線的交點(diǎn).

作法

(1)連接0C,作線段0C的垂直平分線MN;

(2)作NAOB的平分線ODQD與MN相交于點(diǎn)P.

P就是所求的點(diǎn)(圖22212).

【即學(xué)即練】

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)心的概念可得出答案.

【詳解】A.三角形內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等，并不是到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故符合題意；

B.三角形的內(nèi)心是三個(gè)內(nèi)角的先平分線的交點(diǎn)，所以P在△/18C的內(nèi)部，故不符合題意：

C.三角形的內(nèi)心是三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，故不符合題意；

D.三角形內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等，故不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，即三個(gè)內(nèi)角的三條角平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)

心，三角形內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.三角形的三條角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.如圖，點(diǎn)O是aABC的內(nèi)心，若NA=8Q。，則N

BOC=.

【答案】130。

【詳解】試題分析：由NA=80。根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得NABC+NACB的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)心

的定義結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得/OBC+/OCB的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可.

ZA=80°

AZABC+ZACB=100°

???點(diǎn)O是AABC的內(nèi)心

AZOBC+ZOCB=50o

AZBOC=130°.

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理

點(diǎn)評(píng)：三角形的內(nèi)角和定理是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，是中考中極為重要的知識(shí)點(diǎn)，

?般難度不大，需熟練掌握.

題型精講

題型01角平分線的性質(zhì)定理

A.3B.4C.2D.1

【答案】B

A.2B.72C.73D.2.5

為AB上一動(dòng)點(diǎn),

???DQ的最小值為DH的長(zhǎng)，即OQ的最小值為2.

故選:B.

A.2B.3C.4D.I.5

【答案】A

【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距

離相等.

即點(diǎn)。到A8的距離為2.

故選:A

題型02角平分線性質(zhì)定理的實(shí)際應(yīng)用

【答案】C

【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，能夠熟練運(yùn)用角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可.

故選：C.

【變式1】.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)解決以下問題，其中作圖正確的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】C

【分析】

【詳解】解：???”點(diǎn)到AC和兩邊的距離相等，

，丙同學(xué)的作圖正確.

故選:C.

【變式2】.如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展、某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村.要使這

個(gè)度假村到三條公路的距離相等，應(yīng)在何處修建？

【答案】度假村應(yīng)該在圍成的三角形三條角平分線的交點(diǎn)處.

【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)解答.

【詳解】解：???度假村在三條公路圍成的平地上且到三條公路的距離相等，

???度假村應(yīng)該在圍成的三角形三條角平分線的交點(diǎn)處.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型03角平分線性質(zhì)定理的幾何應(yīng)用I

A.30B.60C.78D.39

【答案】A

故選：A.

A.42B.21C.84D.28

【答案】A

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，掌握角平分線的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

故選：A.

A.24B.36C.48D.60

【答案】A

本題考查了作圖基本作圖，角平分線的性質(zhì)，熟記角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

故選：A.

題型04角平分線性質(zhì)定理的幾何應(yīng)用II

【詳解】作DE_LAB于E,如圖所示

ACD=DE

ACD=4

故答案為4.

【點(diǎn)睛】此題主要考查角平分線的性質(zhì)，熟練掌握，即可解題.

35

【答案】y.

【分析】過點(diǎn)D作DE_LAB,DF±AC,垂足分別為E、F,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可

得DE二DF,再根據(jù)角平分線AD將AABC分成面積比為3：7的兩部分，且AC<AB,得出S^BD：SAACD=

(yAB*DE)：(yAC*DF)=AB：AC=7：3,然后由AC=5即可求得AB的值.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DE_LAB,DF1AC,垂足分別為E、F,

TAD是AABC的角平分線,

ADE=DF,

.".SAABD：SAACD=(yAB*DE)：(yACeDF),

VAC<AB,

ASAABD：SAACD=(yAB-DE)：(yAC-DF)=AB：AC=7：3.

VAC=5,

??.AB蕓

3

故答案為學(xué).

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，作出輔助線表示出三角形的面積是解題

的關(guān)鍵.

100

B.25C.D.50

【答案】C

故選：C.

【答案】A

故選：A.

題型05角平分線的判定定理

A.點(diǎn)P在—A的平分線上B.點(diǎn)2在—4的平分線上

C,點(diǎn)。在一。的平分線上D.點(diǎn)。是/A,/B,—C平分線的交點(diǎn)

【答案】B

【分析】本題考查了角平分線判定，能熟記角平分線判定的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：在角的內(nèi)部，到

角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.根據(jù)角平分線判定推出即可.

???點(diǎn)尸在N3的平分線上，

但從現(xiàn)有條件無法推導(dǎo)出點(diǎn)P在/A的平分線上，點(diǎn)P在/。的平分線上,

故選：B.

【答案】45。/45度

【分析】本題考查了角平分線的判定定理，三角形的外角的性質(zhì)，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

故答案為:45°.

【答案】D

【分析】本題考查角平分線的判定，根據(jù)到角兩邊相等的點(diǎn)在角的角平分線上，進(jìn)行判斷即可.

故選D.

題型06三角形的內(nèi)心及其應(yīng)用

C.4。是邊上的中線D.是8c邊上的中垂線

【答案】A

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)心的定義，根據(jù)三角形內(nèi)心的定義直接判斷即可；解答此題的關(guān)鍵是掌握

內(nèi)心的定義.

故選：A.

【答案】A

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)心的含義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟記三角形的內(nèi)心是三角形三

個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵.

【答案】5

???/為三角形三條角平分線的交點(diǎn)，

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握內(nèi)心的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

【答案】20

故答案是20。

【點(diǎn)睛】本題主要考杳了三角形的內(nèi)心的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和，正確掌握三角形的內(nèi)心是三條角平分線

的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

A

【答案】C

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)心的定義，三角形的面積公式，熟練掌握三角形內(nèi)心的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

題型07角平分線的判定與性質(zhì)綜合

【答案】25。/25度

【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)定理以及判定定理.

故答案為：25°.

【答案】30

???￡是8c的中點(diǎn)，

故答案為：30.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的判定和性質(zhì)，熟練掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩

邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

【答案】310/31度

本題考查了角平分線的性質(zhì)和判定，以及三角形的全等和三角形的內(nèi)角和定理，注意知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用.

故答案為：31°.

題型08尺規(guī)作圖

【答案】見解析

【分析】本題考查作圖一基本作圖，掌握角平分線的作圖方法是解答本題的關(guān)鍵.根據(jù)作角平分線的方法

步驟作圖即可.

【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)。即為所求.

【答案】見詳解

【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖一作已知角的平分線，涉及三角形外角的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是正

確解答此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：以。為圓心，任意長(zhǎng)為半徑，與。、co分別交7兩點(diǎn)，以這兩點(diǎn)為圓心，大于這兩點(diǎn)距離

的3為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)例，作射線CM,射線CM即為求作的.

射線GW即為求作的.

【變式2].己知：如圖，線段A8和射線8W交于點(diǎn)8.利用尺規(guī)完成以卜.作圖，并保留作圖痕跡（不寫作

法）.

（1）作出線段A4的垂直平分線初V；

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的作法作線段AB的垂直平分線HN：

（2）根據(jù)角平分線的作法作NABM的角平分線8C交于點(diǎn)D.

【詳解】（1）作出A8的垂直平分線如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線、線段垂直平分線的作法，關(guān)鍵是正確畫出圖形.

題型09尺規(guī)作圖的應(yīng)用

【答案】（1）見解析

⑵見解析

【分析】本題考查基本作圖，等腰三角形的判定，角平分的定義，掌握角平分線的尺規(guī)作圖基本步驟及角

平分線的定義性質(zhì)是解決的關(guān)鍵；

【詳解】（1）解：作圖如圖所示，

則為所求作的角平分線

【答案】（1）見解析

⑵：

【詳解】（1）解：如圖所示：點(diǎn)戶即為所求：

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)及尺規(guī)作圖.掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖方法畫出即可.

【詳解】⑴如圖所示,射線AD即為所求.

理由如下：

【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖和三角形全等的判定，關(guān)鍵在于牢記相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí).

題型10角平分線的有關(guān)解答證明題

【答案】見解析

【詳解】證明：:。是8。的中點(diǎn)，

【答案】見解析

【詳解】證明：連接AP.

A

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，角

平分線的判定是解題的關(guān)鍵.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】本題考查了全等三角形.熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定是解題的關(guān)鍵.

【答案】（1）詳見解析

⑵32

【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)與判定、直角三角形兩銳角互余、三角形的面積，掌握角平分線的性質(zhì)

與判定定理是解題的關(guān)鍵.

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

A

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)題意作出點(diǎn)。到4c的距離EO,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解即可.

：.ED=BD=4.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離是解題關(guān)鍵.

【答案】B

【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得點(diǎn)P到0B的距離為5,再根據(jù)垂線段最短解答.

【詳解】???點(diǎn)P在NAOB的平分線上，點(diǎn)P到OA邊的距離等于5,

???點(diǎn)P到OB的距離為5,

???點(diǎn)Q是OB邊上的任意一點(diǎn)，

APQ>5.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

3.如圖，0C為NAOB的平分線，CM1OB,△的面積為9,0M=6,則點(diǎn)C到射線OA的距離為（）

A.9B.6C.3D.4.5

【答案】C

【分析】作CN_LOA,利用面積求出CM,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得CN=CM,即可得答案.

【詳解】解：過點(diǎn)C作CNJ_OA,

VCM1OB,△的面積為9,0M=6,

???0C為NAOB的平分線，CN10A,CM1OB,

ACN=CM=3.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積，角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)，到角兩邊的距離相等；熟練掌握角

平分線的性質(zhì)和面積公式是解題關(guān)鍵.

A.60vB.45°C.30°D.75°

【答案】C

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的判定，熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

5.下列說法正確的有（）

①角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等

②到?個(gè)角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線I:

③三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等

④三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理和判定定理逐一判斷即得答案.

【詳解】解：角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，故①正確；

在一個(gè)角的內(nèi)部，到一個(gè)角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上，故②錯(cuò)誤，

三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等，故③錯(cuò)誤，④正確；

綜上，正確的說法是①④，有2個(gè).

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和判定定理，屬于基本題目，熟練掌握基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得AC邊上的高，再由SAABD+S.ACD二SAABC，即可得

解.

【詳解】解：作DF_LAC于F,如圖：

TAD平分NBAC,DE±AB,DF±AC,

???DE=DF=3,

,**SAABD+SAACD=SAABC>

AAC=4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

如圖②，步驟如下：

第一步：以8為圓心，以。為半徑畫弧，分別交射線K4，BC于點(diǎn)。，E；

第三步；畫射線研，射線4P即為所求.

（圖②）

（圖①）

下列敘述不正確的是()

【答案】D

【分析】根據(jù)用尺規(guī)作圖法畫已知角的角平分線的基本步驟判斷即可

B、根據(jù)作圖步驟可知用X8E,PD=PE,BP=BP,:?ABDPmABEP(SSS),故正確

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查用尺規(guī)作圖法畫己知角的角平分線及理論依據(jù)，熟練尺規(guī)作圖的基本步驟是關(guān)鍵

【答案】D

【分析】先利用證明△AEOg/iAF。得至ljAE=AF,ZEDA=ZFDG,ZDAE=ZDAFt從而可以利用“SAS'

證明△A￡GgZ\A尸G,〉DEG@/\DFG,由此求解即可.

【詳解】解：?.?4。平分NA4C,DE1AB,DF1AC,

:.DE=DF,NDE4=NO陰=90。

*：AD=AD,

(HL),故B不符合題意；

：,AE=AF,/EDA=/FDG,NDAE=NDAF,

*：AG=AG,DG=DG

???△AEGgZ\A”G(SAS),ADEG94DFG(SAS),故A和C不符合題意；

根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明故D符合題意；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)

知識(shí)進(jìn)行求解.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】過點(diǎn)。作OEJ_AC于點(diǎn)E,OFJ_BC于點(diǎn)F,由題意易得OE=1,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可

求解.

【詳解】解：過點(diǎn)0作OE_LAC于點(diǎn)E,OFJ_BC于點(diǎn)F,如圖所示：

???0C平分NACB,

.\OE=OF,

/.OF=OE=1；

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【詳解】解：如圖所示：

故①錯(cuò)誤；③正確；

故②正確；

故④正確；

綜上可知，正確的有3個(gè)，故C正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角定理，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，以及角

平分線的性質(zhì)與判定等知識(shí).解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，以及

角平分線的性質(zhì)與判定快速得到AD也是角平分線.

二、填空題

【答案】3

【分析】本題考查垂線段最短，角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

???PE的最小值是3.

故答案為：3.

12.如圖，PMLOA,PNLOB,/8OC=30。，PM=PN,則NAO8=.

【答案】60。/60度

【分析】根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上判斷出0C平分NA08,再根據(jù)角平分線的定義可得

4A0B=2/B0C.

【詳解】解：???PM_L04PN10R,PM=PN,

???0C平分N408,

.??NAOB=2N3OC,

又N8OC=30。，

/.Z1AOB=60°.

故答案為：60°.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定，掌握角平分線的判定是解題的關(guān)鍵.

【答案】4

故答案為:4.

【答案】6

C

故答案為：6.

【答案】24

故答案為；24.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形面積，熱知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題

的關(guān)鍵.

【答案】12

17.如圖，在四邊形48C。中，AD=CD,AB=CB.下列結(jié)論：①3。垂直平分AC：②8。平分NA。。：③

AB//CD；④AABD/CBD.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①②④

【分析】根據(jù)垂直平分線及全等三角形的判定和性質(zhì)依次對(duì)各個(gè)結(jié)論進(jìn)行判斷即可得.

???8。垂直平分AC,①正確；

③無法證明；

故正確結(jié)論有：①②④，

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】題目主要考查垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定利性質(zhì)，角平分線的判定等，理解題意，綜

合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

12

【答案】y

12

故答案為：y.

三、解答題

【答案】⑴見解析；

（2）見解析.

【分析】（1）根據(jù)角平分線的作圖方法作圖即可；

（2）根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖，0C即為所求：

【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的作圖方法以及等腰三角形三線合一

的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

（2）求的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析

（2）4

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌

握全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【答案】（1）見解析

【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)直接得出結(jié)論即可；

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、三角形面積求法，難度中等，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解答