河南省南陽市淅川縣第一高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期

期末拉練一數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

I.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=2+『的虛部為（）

A.-1B.1C.0D.i

2.Kvr?:〃;\.則sin28=（

A.B.-3C.yD.3

22）2

3.用斜二測畫法畫出的水平放置的平面圖形△043的直觀圖為如圖所示的,已知

△。力A是邊長為2的等邊三角形，則頂點8至h?軸的距離是（）

A.2遙B.4C.24D.班

4.若sin40°cos1270+sin50°sin53°?-sin^4則a,A。的

2I?tan?39，

大小關(guān)系是（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

5.直三棱柱4&G的各頂點都在同一球面上，若力8二AC二力4二2,上120。則

此球的表面積等于（）

52斤空

B.207Z7C.%兀D.

6.在V/f8c中，點P滿足21P二尸-I,過點P的直線與力B,所在的直線分別交于點

\，<■t\fvizi.處y^C（x>0,j>0）.則2x+y的最小值為（）

A.3B.yj2C.1D.；

試卷第I頁，共4頁

7.在△45C中，角力，8,C所對的邊分別為“，b,c,若°_百,且c-2A+2、門8式.=上

則該三角形外接圓的半徑為（）

A.1B.JiC.2D.2G

1cl

8.已知、1八（”-〃）?-.cmasin■-則cos(2a?2")).

36t

7B.I77

A.—D.

99

二、多選題

9.已知向量不二（2,1）6=（I,—1）/=（m—2,—a）,其中加，〃均為正數(shù)，且（Z—A＞）IIc,則下

列說法正確的是（）

A.石與；的夾角為鈍角B.向量抽；上的投影向量為f6

C.2nt+/7=4D.mn的最大值為2

10.設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z,原點為O,i為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（）

A.用二?！安芳?，則z.z=2

B.若點Z的坐標為（一3,2）,且2是關(guān)于X的方程產(chǎn)+?汗+4=0（〃，q￡R）的一個根，

則P+夕=19

C.若復(fù)數(shù)二=I—,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限

141

D,若復(fù)數(shù)z滿足|z—l+2i|=1,則U的最小值為石-I

11.已知圓椎S。（。是圓錐底面圓的圓心，S是圓錐的頂點）的母線長為4,底面半徑為3.若

P，0為底面圓周上的任意兩點，則下列說法中正確的是（）

A,圓錐SO的側(cè)面積為12兀B.ASP0面積的最大值為3—

C.三棱錐O—SP。體積的最大值為含7D.圓錐5。的內(nèi)切球的表面積為與八

三、填空題

12.等腰三角形一個底角的余弦為：，那么這個三角形頂角的正弦值是

13.已知單位向量“一滿足卜"」=3則卜一弓卜---------.

試卷第2頁，共4頁

14.一斜坡的坡面與水平而所成的二面角大小為30“，斜坡有一直道，它和坡腳水平線成60。

角，沿這條直道向上100米后，升高了米.

四、解答題

15.已知復(fù):數(shù)Z=3+加GER),且(i+3i).z為純虛數(shù).

(1)求復(fù)數(shù)Z;

⑵若僅二J求復(fù)數(shù)W以及模I域.

16.已知函數(shù)UMPX?吟）■

⑴求“；卜

(2)若函數(shù)式。=2/Q)—只有個零點，求實數(shù)，〃的取值集合.

17.如圖，在四梭錐尸一48。。中，4_L平面48CZ),底面4?C￡>滿足/O//8。，且

—

PA=AB=BC=\,三角形PAC的面積為乎.

(1)畫出平面尸43和平面PC。的交線，并說明理由

(2)求點8到平面PCQ的距離

18.如圖，某小區(qū)為美化環(huán)境，建設(shè)美麗家園，計劃在一塊半徑為A(R為常數(shù))的扇形區(qū)域上,

建個矩形的花壇CQE廠和一個三角形的水池R7G其中GC=GF,0為圓

心,±AOB=120o,C,G,F在扇形圓弧上分別在半徑04QB上，記OG與CF,DE分別交于

MN上GOC=0.

<1)求△產(chǎn)CG的面積S關(guān)于6的關(guān)系式，并寫出定義域;

試卷第3頁，共4頁

《河南省南陽市淅川縣第一高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末拉練一數(shù)學(xué)試卷》參

考答案

題號12345678910

答案ACADBAABCDABD

題號11

答案ACD

1.A

【分析】化簡z,然后利用虛部的定義進行求解.

【詳解】因為z=2+F=2—"所以z的虛部為一1.

故選：A

2.C

【分析】利用和角的余弦公式展開，再平方即得解.

【詳解】解：由題得孝8?。-孝$1(1。CO80-2

兩邊平方得lw】2"=1.sin2^=1.

故選：C

3.A

【分析】過點比作5,8〃/儀交x,軸于點8〃，利用正弦定理求得3,5〃，再由斜二測畫法規(guī)則

即可得到結(jié)果.

【詳解】

過點B,作交x,軸于點5“，如圖所示,

在中，0,8.=2,上加=450,上方,0,8〃=1200,

BITK0

由正弦定理可得,所以98?=

sin120:sin450

由斜二測畫法可知，在原平面圖形中，點8到x軸的距離是287T=

故選:A.

4.D

答案第I頁，共12頁

【分析】由已知得。利用兩角和的正弦公式求解，方用兩角和的余弦公式求解，C先利用正

切化弦，再利用余弦的二倍角公式求解，然后將三個值都化在（0,90。）內(nèi)，利用函數(shù)/tv）=sinx

的單調(diào)性求解即可.

【詳解】由已知得。=sin40°cos127°+sin50°sin53°

=sin40°cos127°+cos50°sin127°=sin(40°+127O)=sin167°=sin13°,

b=——(cos34-sin34)=cos45cos54-sin45sin34=cos79=sinlT.

2

l-<an239-cos:39'-sin:39

r=--------；-----=—；-----------；------cos239-sin239cos78*sin12?

19crK*W4sin*19

因為/G）=sinx在x￡（0,90。）上單調(diào)遞增,

所以sin13°>sin12°>sinl1°?

所以a>c>b,

故選：D.

5.B

【詳解】設(shè)三角形BAC外接圓半徑為r.球的半徑等于

C一氐表面積等于4刀用=20兀選B

6.A

【分析】由向量加減的幾何意義可得“戶=工詛+至，結(jié)合已知有.1，二?，V,根據(jù)

333x

三點共線知丁萬”應(yīng)用基本不等式丁的代換即可求最值，注意等號成立的條件.

【詳解】由題設(shè)，如下圖示；］P.Ui^HP—=AB^AC.又

3333

AhiAB^,

答案第2頁，共12頁

N

IP="<,由M,尸,N三點共線，有：~+」=L

3i3v3x3y

?**-'?1?'Ja'J：』："['）當(dāng)且僅當(dāng)x=v時等號成立.

3x3r33>-313丫3）,3A

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用向量線性運算的幾何表示，得到二一戶一、兀廠、的線性關(guān)系，

根據(jù)三點共線有j1,再結(jié)合基本不等式求最值.

3x3y

7.A

【分析】先應(yīng)用正弦定理及兩角和的正弦公式化簡求出第4再根據(jù)正弦定理求出外接圓半

徑即可.

【詳角阜】（〃：十

JJ-2+2?uusC=0,sinC—2sin/?2siii/kusC=0?

：sinC—2sin（A+C）+2sin4cosC=0,

:sinC—2sin/lcosC—2sinCeosJ+2sio4cosC=0,

：sinC—2sinCeosJ=0,JsinC>0,“I、111V

設(shè)該三角形外接列的半徑為〃

aQ）?

由正弦定理得嬴i?齊~m

2

故選:A.

8.B

【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出sin（a+夕），再利用二倍角的余弦

公式計算作答.

答案第3頁，共12頁

f

【〈】因為IN，>?<?s(utH.而““?、〃，因ilbric。、"，

362

則sin("6)=$incr85"+8§asin(i=

忖【以coM2a??〃)cm2(a*?)12*iin:(a?fJ)I2x(*)?

39

故選：B

【點睛】方法點睛：三角函數(shù)求值的類型及方法

(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角

總有一定關(guān)系.解題時?，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函

數(shù).

(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變

角”，使其角相同或具有某種關(guān)系.

(3)“給值求角”：實質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”,關(guān)鍵也是變角,把所求角用含已知角的式

了?表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍.

9.CD

【分析】對于A：根據(jù)數(shù)量積的符號分析向量夾角：對于B：根據(jù)投影向量的定義運算求解;

對于C：根據(jù)向量共線運算求解即可：對于D：利用基本不等式運算求解即可.

【詳解】對于A,向新二(2,1),8=(1,—I),則方7=2—1=1>0，

又因為2x(—1)工lx1,可知不工不共線，

所以，力的夾角為銳角，放A錯誤:

對于B,因為網(wǎng)72,

所以向量內(nèi)在1上的投影向量為?竿-If

5b?H錯誤:

T

對于C,因為d-b=(|,2)?3=(nt-2,-w),

若(d-b)He,則f=2(附一2),整理可得2/n+〃=4,C正確;

對于D,因為2〃?+〃=4,且/〃，〃均為正數(shù)，

?1,2.上?丫

可得則〃、《癡”).、「、'當(dāng)且僅當(dāng)用=1,〃=2時，等號成立,

Z2\2)

答案第4頁，共12頁

所以“〃的最大值為2,D正確.

故選：CD.

10.ABD

【分析】對于A：設(shè)z=a+bi,根據(jù)復(fù)數(shù)的運算和模長可得/+/=2,即可得結(jié)果：對于

B：可知z=—3+2i,結(jié)合復(fù)數(shù)的運算可得,即可得結(jié)果；對于C：根據(jù)復(fù)數(shù)俯除法

結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷；對于D：根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義分析可知數(shù)z對應(yīng)的點是以點

(1,二)為圓心，1為半徑的圓，結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解.

【詳解】對于A,設(shè)2=4+力i（a,GR）,

可得z（2+i）=（a+加）（2+i）=2a+2Z>i+ai—b=（2a—/?）+（26+a）i,

則■而,化簡得/+從=2,

所以z.z=（a+〃）（a-6i）=/+/）2=2,故A正確；

對于B,若點Z的坐標為(一3,2),可知z=-3+2i,

則（T+2i）2+（T+2i）p+g=0整理得5+q-3p+（2pT2）i=0,

5+q-3〃=0p=6

可得解得所以P+q=19,故B正確:

2p-l2=O”13

?,產(chǎn)iUI-)ii2I?…1I

對于C中：因為：-,-,U1k所以二，i,

i+l(I叫(IT)I-I2222

(\\>

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為,在第四象限，故C不正確;

<**i

對于D中：根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，

|z-l+2i|=1表示復(fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)l—2i對應(yīng)兩點間的距離為1,

所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點是以點(1,—2)為圓心，1為半徑的圓，

乂因為P表示圓上的點到原點的距離|，

所以上的最小值為J」-1，故D正確；

故選：ABD

11.ACD

答案第5頁，共12頁

【分析】A選項，圓錐的惻面展開圖為扇形，母線為扇形半徑，底面圓周長為扇形弧長，據(jù)

此可得圓錐的側(cè)面積；B選項，利用三角形的面積公式可知，當(dāng)上PSQ=90O時，三角形SPQ

面積最大，可判斷選項；C選項，利用三棱錐等體積轉(zhuǎn)換，可得當(dāng)。。_￡面5?！〞r，三極錐

O-SP。體積最大，可判斷選項C：D選項，求出內(nèi)切圓半徑即可.

【詳解】

A選項，因底面半徑為3,則底面圓周長為6n，母線長為4,

則側(cè)面積為?』IX故A正確：

B選項，由母線長為4,江徑為3,可得高為一，設(shè)8c是底面圓的一條直徑，

’,‘

則cos上72?t-1II,即上8SC是鈍角，

2x4x48

=yxSPxSpxsinZP5p=^x4x4xsinZ/,S^=8sinZ/>Sp,

則存在點已。，當(dāng)上"0=900時，sin±PSQ=1,三角形SP0面積的最大值為8,故B錯

誤：

C選項，,.S、y-"7.

222

:當(dāng)OQJL面50尸時,儲?)=:*"**8?二J*1,故C正

確：

D選項，設(shè)內(nèi)切求球心為。|,半徑為廣，過Oi作O/_LSC,

則O/=OOi=r,±：OSC=±ESO*OC=,tO.ES,則"EO、與MOC相似,

則器嗨咕方T

aM

所以內(nèi)切求表面積為［”、1.1)正確?

故選：ACD

答案第6頁，共12頁

445

12.

【分析】設(shè)等腰三角形一個底角6,則可得頂角為兀-29,利用

二倍角的正弦公式及誘導(dǎo)公式可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)等腰三角形一個底角",（一〃；〃「；「；’.

可得頂角為兀-29.

sin（7T-26）=sin26,

由題知所以，加9耳

所以sin2":2?unf/cosd=2?'工-=

339

即$in（;r2〃）'：

,故答案為：八反.

9

13.1

【分析】根據(jù)向量的平方等于該向量的模長的平方以及單位向量的模長是1求解即可.

【詳解】依題意,?3"J??:?以，白?丁?加仁.同'?2.耳?《?3i

解得2G.e2=1,因此

卜寸-仃Cf,3?Kf」c>|^f?22rd；?2?1?l?葉rj=1.

故答案為：1.

14.25>/3

【分析】作出示意圖，作出坡角，即二面角的平面角，結(jié)合直道的長，求解三角形，即可求

得答案.

【詳解】如圖，8表示斜坡」.的直道，/也表示坡腳水平線，

由題意知CQ=100米，作?！ǎ^8C的水平面，垂足為H,線段?！ǖ拈L度就是所求的高

度，

答案第7頁，共12頁

在平面08c內(nèi)，過點。作OGJ_AC,連接G”，

VDHJL平面BCH,8CU平面BCII,

:?DH工BC,又DG工BC,D“CDG=D,D“,DG「立面DGH,

???C8JL平面DGH,又GH1平面DGH,

/.GHA.BC,

.,.上為坡面OGC與水平面所成一面角的平面角，則上DGH=30-.

依題意，上QCG=60”,則/為=100x^=50/3,

，=DG$in3O=5O&[=2S/5(米)，

故答案為：25v13

15.(l)z=3+i；

(2)o(一：i?同二一.

【分析】(1)由復(fù)數(shù)的乘法法則化簡后，根據(jù)復(fù)數(shù)的分類求解：

(2)由復(fù)數(shù)除法法則計算出②，再由復(fù)數(shù)模的定義計算.

【詳解】⑴由題意(1+3。(3+〃)=3-3力+(/)+9>,它為純虛數(shù),

z=3+i；

.”|(3小(2?1)6-37I.

(2?川2?i)555

H=，6+(-，=6.

16.(舊

⑵阿-卷用409kM3J

【分析】(1)結(jié)合二倍角公式、兩角和的余弦公式，輔助角公式化筒可得"”?

2n

A

再代入x=].計算即可；

2令X),原問題可轉(zhuǎn)化為§?w=F在,%上只有一個解，分析即

O/fl

可得解.

答案第8頁，共12頁

[vttt)I/(X>-v'3sinI￥?2r：，l|

=13.2[1—COS(2A*+創(chuàng)+-y-(sin2A—I)

G0,6,1,、A,Q

■--—(—co?2?--anZi)4-ysin2*-^―

3,6.6.

■一-CEZX?-MnXi?-MnZx

=-5?2J=頻心上-3?

所以〃：1-：、m2：一')■:s,n:■:，

32Jn22

2.因為閆0?所以左丁、|[<),

ftft

令，-2x-",貝lj八I”?開),所以〃什?：zni,

66-

函數(shù)g（x）="用一〃?只有一個零點等價于方程/（x）■:只有一個解,

即;川“二F，也即即在，」r.不）上只有一個解，

223A

根據(jù)正弦函數(shù)的圖象，

所以Y<,?<0或巾=3

故實數(shù)〃，的取值集合為"小:網(wǎng)"或“，3）

17.（1）答案見解析；

喈

【分析】（1）延長歷1,C7）交于點E,連接尸E,進而根據(jù)點線面關(guān)系說明即可;

（2）根據(jù)題意證明/3_LBC,進而結(jié)合=%-也）求解即可.

【詳解】（1）解：延長氏4,。。交于點E,連接尸E,則尸E即為平面48和平面PCQ的交線,

理由如下：

因為EW力8,EWC。，/Au平面P//，COL平面PC。，

所以￡￡平而48,￡￡平面PC。，

所以E￡平面尸平面FCO,

答案第9頁，共12頁

因為平面214,PW平面PCQ,

所以PC平面產(chǎn)力80平面PC。，

所以，尸￡為平面218與平面PC。的交線.

(2)解：因為平面/IBC。，XCL平面力BCD,所以R1_L/C，

因為4=AB=BC=1,三角形PAC的面積為當(dāng).

所以=i.p,i(c=Jic-.解得』r_JL

因為AB二BC=1,

所以力"+8C2=/C：即/18j_8C,

因為4D//BC,

所以S.翻力=:=：?CD?皂,PD?—,PC?后

所以S—'Q的心

Q224

因為4AC,1%「I''I"1.5A-i/一

3326

設(shè)點8到平面PC。的距離為〃，

所以I；■.八=l'n「?、力二L“?h=—1解得。=--

r-K/)n-FTD6D1461

所以點B到平面PC。的距離為“

3

IK.(U、RW1SI；|<"17n<1元

【分析】(1)利用圓的幾何性質(zhì)證得GM_LW,利用8表示出廠GGM,由此求得三角形FCG

面積的表達式，并求得8的取值范圍.

(2)求得MN,由此求得矩形CQE廠面積的表達式，利用輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)求最

值的方法，求得矩形CQ￡F面積的最大值，從而求得最高造價.

【詳解】(1)連接。尸，因為GC=GE,所以上GO