第06講空間向量及其線性運算4種常見考法歸類

1.理解空間向量的相關(guān)概念的基礎(chǔ)上進行與向量的加、減運算、數(shù)量積的運算、夾角的相關(guān)運算及空

間距離的求解.

2.利用空間向最的相關(guān)定理及推論進行空間向量共線、共面的判斷.

［由基礎(chǔ)知

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知識點1空間向量的有關(guān)概念

1.在空間，把具有方向和大小的量叫做空間向量,空間向量的大小叫做空間向量的長度或模.

注：數(shù)學中討論的向量與向量的起點無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量

可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。

2.表示法：

（1）兒何表示法：空間向量用有向線段表示，有向線段的氐度表示空間向量的模

（2）字母表示法：用字母表示，若向量。的起點是4,終點是8,則。也可記作筋，其模記為間或|勘

3.幾類特殊的空間向量

名稱定義表示法

零向

規(guī)定長度為0的向量叫做零向量記為0

量

單位|a|=l或

模為1的向量叫做單位向量

向量|=1

相反

與向量。長度相篁而方向機區(qū)的向量，叫做。的相反向量記為一。

向量

共線如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,那么這些向量叫做共a〃b或商

向量線向量或平行向量.規(guī)定：零向量與任意向量壬紅，即對于任意向量”，都有0叱＞

//~CD

相等方向相同且模相等的向量稱為相等向量.在空間，同向且等長的有向線段表示同一向

ac-1o、漲tai/

向量量或相等向量

AB=CD

（1）平面向量是一種特殊的空間向量.

（2）兩個向量相等的充要條件為長度相等，方向相同.

（3）向量不能比較大小.

（4）共線向量不一定具備傳遞性，比如0.

易錯辨析：

（1）空間向量就是空間中的一條有向線段？答：有向線段是空間向量的一種表示形式，但不能把二者

完全等同起來.

（2）單位向量都相等？答：單位向量長度相等，方向不確定

（3）共線的單位向量都相等？答：共線的單位向量是相等向量或相反向量

（4）若將所有空間單位向量的起點放在同一-點，則終點圍成一個圓？答：將所有空間單位向量的起點

放在同一點，則終點圍成一個球

（5）任一向量與它的相反向量不相等？答：零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等

的.

（6）若⑷=|例，則用b的長度相等而方向相同或相反?答：同=|加只能說明。，b的長6相等而方向

不確定

（7）若向量屈，《辦滿足|曲|＞|祖則初＞夕＞?答：向量不能比較大小

（8）空間中，a//b,b//c,則。〃c?答：平行向量不一定具有傳遞性，當力=0時，。與c不一定平行

（9）若空間向量"I,〃，p滿足血=〃，〃=p,則/〃=p?答：向量的相等滿足傳遞性

（10）若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同？答：當兩個空間向量的起點相同，終

點也相同時，這兩個向量必相等；但當兩個向量相等時，不一定起點相同，終點也相同

知識點2空間向量的線性運算

（一）空間向量的加減運算

語言敘述首尾順次相接，首指向尾為和

三角形C

加法運算法則

AaB

平行四邊形法則語言敘述共起點的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點對角線為和

BC

圖形敘述

()aA

語言敘述共起點，連終點，方向指向被減向量

三角形

減法運算B

法則圖形敘述

a%

交換律a~\~b=b~\~a

加緩運算

結(jié)合律(a+b)+c=a+(力+c)

注意點:

(1)空間向量的運算是平面向量運算的延展，空間向量的加法運算仍然滿足平行四邊形法則和三角形

法則.而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運算，不以將向最合并；

(2)求向量和時，可以首尾相接，也可共起點；求向量差時，可以共起點.

(3)空間向量加法的運算的小技巧：

①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，

因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；

②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，

(二)空間向量的數(shù)乘運算

定義與平面向量一樣，實數(shù)2與空間向量。的乘積量仍然是一個向量，稱為空間向量的數(shù)乘

2>0za與向量a的方向相同

2<0/M與向量。的方向相反

幾何意義一

A-0加=0,其方I可是任意的

〃的長度是〃的長度的回倍

結(jié)合律)=(2")a

運算律

分配律(2+")a=〃+〃a,2(a+b)=2a+勸

注意點：

利用向量的線性運算即可，但一定要注意

所表示的向量必須有一個公共點。

―5直線/的方向向量

如圖在直線，上取非零向量a,設(shè)尸為，上的任意一點，貝歸2ER使得/'

定義：把與a平行的非零向量稱為直線/的方向向量./P

3.與空間向■的線性運算相關(guān)的結(jié)論X

(ifAB=~OB-7)A.

(2)在平行六面體向Ci"中，有軸=封+就+引.

(3)若。為空間中任意一點，則

①點P是線段A5中點的充要條件是/=；(加+萬萬)；

②若G為△A3。的重心，則身=或加+/+/).

易錯辨析：

(1)若兩個空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量？

答：空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個向量.所以，任意兩個空間

向量總是共面，而三個向量可能共面也可能不共面

(2)在平面內(nèi)共線的向量在空間不一定共線？

答：在平面內(nèi)共線的向量在空間一定共線

(3)在空間共線的向量在平面內(nèi)不一定共線？

答：在空間共線的向量，平移到同一平面內(nèi)一定共線

［重解題策略］

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I、空間向量有關(guān)概念問題的解題策略

(1)兩個向量的模相等，則它們的長度相等，但方向不確定，即兩個向量(非零向量)的模相等是兩個向量

相等的必要不充分條件.

(2)空間向量的概念與平面向量的概念相類似，平面向量的其他相關(guān)概念，如向量的模、相等向量、平

行向量、相反向量、單位向量等都可以拓展為空間向量的相關(guān)概念.熟練掌握空間向量的有關(guān)概念、向量

的加減法的運算法則及向量加法的運算律是解決好這類問題的關(guān)鍵.

2、解決空間向量線性運算問題的方法

進行向量的線性運算，實質(zhì)二是在正確運用向量的數(shù)乘運算及運算律的基礎(chǔ)上進行向量求和，即通過

作出向量，運用平行四邊形法則或三角形法則求和.運算的關(guān)鍵是將相應的向量放到同一個三角形或平行

四邊形中.

注：(1)向量減法是加法的逆運算，減去一個向量等于加上這個向量的相反向量.

(2)首尾相連的若干向量構(gòu)成封閉圖形時，它們的和向量為零向量.

3、空間向量加法、減法運算的兩個技巧

(1)巧用相反向量：向量的三甬形法則是解決空間向量加法、成法的關(guān)鍵，靈活運用相反向量可使向量

首尾相接.

(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務必注意和向量、差向量

的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結(jié)果.

4、利用數(shù)乘運算進行向量表示的技巧

(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運算解題時，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向

量轉(zhuǎn)化為已知向量.

(2)明確目標：在化簡過程中要有目標惹識，巧妙運用中點性質(zhì).

5、空間向量線性運算中的三個關(guān)鍵點

結(jié)合圖形，明確圖形中各線段的幾

何關(guān)系

空

間

向

量正確運用向量加、減、數(shù)乘運算的

線

性幾何意義

運

算

平面向量的三角形法則、平行四邊

形法則在空間向量中仍然成立

6、判定空間圖形中的兩向量共線技巧

要判定空間圖形中的兩向量共線，往往尋找圖形中的三角形或平行四邊形，并利用向量運算法則進行

轉(zhuǎn)化，從而使其中一個向量表示為另一個向量的倍數(shù)關(guān)系，即可證得這兩向量共線.

7、證明空間三點P,A,3共線的方法

(\)~PA=fPB(AeR).

(2)對空間任一點0,蘇=在+。運(reR).

(3)對空間任一點O,~OP=xOA-\-yOB(x+y=l).

8、解決向?共面的策略

(1)若已知點P在平面ABC內(nèi)，則有7萬或加=x7江(x+y+z=l),然

后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù).

(2)證明三個向量共面(或四點共而)，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進行向量的分解與合成,

將其中一個向量用另外兩個向量來表示.

9、證明空間四點P,M,A,8共面的等價結(jié)論

（1）M?=A-M4+yMB；

（2）對空間任一點O,~0P=~0M+xMA+yMB；

⑶對空間任一點。，~0P=xOA+yOB+zOM（x+y+z=l）；

（4）~PM//~AB（或啟〃標或元〃前）.

10、證明三點共線和空間四點共面的方法比較

Q考點剖析

-----------------IIIIIUIMiaillllllMllllillliUlBIIIIIII

考點一：空間向量的概念辨析

F例1.（2023春?高二課時練習）下列命題中，正確的是（）.

變式1.【多選】（2023春?福建寧德?高二校聯(lián)考期中）下列說法正確的是（）

A.空間向量AB與84的長度相等

B.平行于同一個平面的向量叫做共面向量

C.若將所有空間單位向量的起點放在同一點，則終點圍成一個圓

D.空間任意三個向量都可以構(gòu)成空間的一個基底

變式2.（2023春?高二課時練習）下列命題中是假命題的是（）

A.任意向量與它的相反向量不相等

B.和平面向量類似，任意兩個空間向量都不能比較大小

D.兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同

變式3.（2023?全國?高二專題練習）下列命題為真命題的是（）

A.若兩個空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量

A.4B.3C.2D.1

D}Ci

AB

⑴試寫出與八8相等的所有向量;

（2）試寫出4A的相反向最：

（1）與B片相等的向量;

（2）與AG相反的向量;

（3）與84平行的向量.

C.3D.4

變式3.（2023?全國?高三專題練習）如圖，已知正方體A8CD4出/。0的中心為。，則下列結(jié)論中

①OA十OD與。Ai十是?對相反向量；

②080cl與OC?是一對相反向量；

③04?+081+0C?+0。1與。。+。。+08+0A是一對相反向量；

?0C04與OC?1是一對相反向量.

正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

考點二：空間向量的線性運算

、

A.ACB.AC}C.BCtD.BD

C.③④D.①④

O

N

B

小a

c?D.2

考點三：空間向量共線問題

（一）空間向量共線的判斷

0例7.（2023?江蘇?高二專題練習）

下列向量中，真命題是（填序號）

①若A、B、C、。在一條直線上，則A4與CD是共線向量;

②若A、B、C、。不在一條直線上，則.與。。不是共線向豉;

③向量人?與。O是共線向量，則八."，C，Q四點必在一條直線上;

④向量八B與CO是共線向量，則八、仄C三點必在一條直線上.

DiG

（二）由空間向量共線求參數(shù)值

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

（三）空間共線向量定理的推論及其應用

B

考點四：空間向量共面問題

（一）空間向量共面的判斷

【多選】（2023春?高二課時練習）下列說法錯誤的是（)

A.空間的任意三個向量都不共面

B.空間的任意兩個向量都共面

C.三個向量共面，即它們所在的直線共面

D.若三向量兩兩共面，則這三個向量一定也共面

變式1.（2023春?江蘇淮安?高二校聯(lián)考期中）下列命題中是真命題的為（）

A.共面B.不共面C.共線D.無法確定

A.A8與AC共線B.A8與。。共線

C.A,3,C,。四點不共面D.A,B,C,D四點共面

（二）空間向量共面求參數(shù)

A.1B.-1C.—D"

5

A.2B.1C.1D.2

C.2D.-2

C.1D.2

33

A.y有最小值：B.y有最大值：c.y有最小值iD.y有最大值I

44

I?4

A.gB.4C.1D.-

233

（三）空間共面向量定理的推論及其應用

A.O,A,B,C四點共面B.P,A,B,。四點共面

C.。，P,B,C四點共面D.O,P,A,B,C五點共面

變式3.【多選】（2023春?高二課時練習）下列條件中，使M與4,B,。一定共面的是（）

變式4.【多選】（2023春,江蘇鹽城?高二鹽城市大豐區(qū)南陽中學?？茧A段練習）以下能判定空間四點P、

M、A、B共面的條件是（）

［冒過關(guān)檢測］

一?laillMillllUlllllllillllMIIIBIMIIIUI——