1.1空間向量及其運算??2025?2026學年高中數(shù)學人教A版選擇性必修一課

時作業(yè)

一、選擇題

1.已知向量a=(2,—1,3),5=(—1,4,—2),c=(l,3,4%若4，c共面，則丸二()

A.4B.2C.3D.1

2.如圖，四面體QWC中，Q4=Q,OB=b,0C=。.點M在04上，且OM=2M4,N為BC

的中點，則MN=()

B

A.-B-211-121

C.——a+-bL-￥—cD.—a+—tb——c

232322322232

3;.如圖，在四面體0A8C中，。為8c的中點，3AG=2AD,且P為0G的中點，則0P=()

O

B

A.-OA+-OB+-OC

666

B.--OA+-OB+-OC

666

C.-OA+-OB--OC

336

D.-OA--OB+-OC

363

4.已知空間單位向量Q，6，C兩兩垂直，則a-b+c=（

B。m

5.設(shè)正四面體A8CO的棱長為2,M是A。的中點，則A6CM的值為（）

A.—x/3C.V3

6.已知其/M｝為單位正交基底，。=1+2/+3A,則〃在i上的投影為（）

7.在四面體ABCD中，P在平面ABC內(nèi)，Q在平面BCD內(nèi)，且滿足AP=xA8+,

,■-?.xV

AQ=sAB+tAC+uAD,若一二一，則下列說法正確的是（）

A.AQ與DP所在直線是異面直線B.AQ與。P所在直線平行

C.線段4Q與。。必相交D.線段AQ與0P延長后相交

8.如圖，M為四面體Q4BC的棱8C的中點，N為。W的中點，點P在線段AN上，且

AP=2PN,設(shè)OA=Q,OB=b,OC=c9則0P=（）

36

C.OP=-a--b

36

二、多項選擇題

9.空間直角坐標系O—?z中，已知A（l,2,-2），3（0,1』），下列結(jié)論正確的有（）.

B.若加=（2,1,1），則"z_LAB

C.點4關(guān)于xOy平面對稱的點的坐標為0,—2,2）

AB=下

10.若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）

?b+c、b，b-cB?小a+b，a-b

Ca+b、a-b，c^a+b'a+b+c^c

ii.如圖,在平行六面體ABC。-AAGA中，設(shè)AB=〃，AO=o，蝴=c，若M為AG與BQ的交

點，則下列等式正確的是（）

AB

A.BM=-a+—b-vc^'A,M=—a+—bC.AM=-a+—b-cD-AC,=a-\-b+c

22122221

三、填空題

1，212、

12.化簡：一(a+2b-3c)+5-u—bH—c—3(a—2b+c)=_______.

21323J

13.在棱長為2的正方體ABC。-A,4G。中，M為棱C￡上任意一點，貝i]AM-4C=.

14.與％=(1,2,-2)共線的單位向量〃是—.

15.如圖，平行六面體A3CO—40GA的底面48co是矩形，AB=6,AD=C，認=2后,

且NAAD=NAAB=60。，則線段AQ的長為.

16.己知a,b都是空間向量，且〈a,b〉=2,求〈2。,一35〉.

17.已知。=，-2/+攵，b=-i+3j+2k,c=-3i+7/,證明這三個向量共面.

2m—n=\in=1

即(1,3")=〃?(2,-1,3)+〃(-1,4,一2),即,-m+4〃=3,解得《/?=1?

3tn-2n=A2=1

故選:D

2.答案：C

---2—

解析：因為OM=2M4,所以M0=——0A,

3

又N為4c的中點，所以O(shè)N=g(OB+OC),

21211

因此，MN=MO+ON=一一OA+—(OB+OC)=--a+-b+-c.

32322

故選C.

3.答案：A

解析:由題意，OP=-OG=-(OA+AG\=-\OA+-AD\=-OA+-X-(ACAB

=-0A+-(0C-0A+0B-0A\=-0A+-0B+-0C,

26、7666

故選：A

4.答案：A

解析：因為空間單位向量Q,兩兩垂直，

所以同=1"=1,同=1，〃.力=0心4=()./?.(?=()

所以?！?,=[(a-b+d)=y/a2+b2+c2-2a-b-2b-c+2a-c

=Jl+l+l-0-0+0=y/3,

故選：A.

5.答案：B

解析:ABCM=ABAM-AC^

=AH(-AD-Ac]=-ABAD-ABAC

(2)2

=—x2x2xcos——2x2xcos—=-l

233

故選：B

6.答案：A

解析：ai||i|cos〈a,i〉，則。在i上的投影為|cos〈Q,i〉=^-^-=(i+2j+3k)i=f=1.故

HI

選A.

7.答案：C

解析：若x=$=o,則AP=yAC,AQ=lAC^uAD,所以AQ-工AP+〃AO,所以A,P,D,

y

Vcc/

Q四點共面；若xwO,swO,則由土=二得二=上，

ytxy

令士二,一〃?，則AQ=〃?AP+〃A。，故A,P,D,。四點共面.

xy

又AQ與。。不平行，所以線段AQ與DP必相交.故選C.

8.答案：A

解析：M為四面體。ABC的楂BC的中點，N為QM的中點，

-1-11------1-1-

故OM=—OB+—OC,ON=—OM=—b+—c,

22244

OP=OA+APf

-,2一

因為AP=2PN,所以AP=—A/V,

3

OP=OA+AP=OA+-AN=OA+^ON-OA^

1-2-1-1-1?

=-a+-ON=-a+—b+—c.

33366

故選：A

9.答案：AB

解析：對A,A8=(0-1,1一2,1+2)=(-1,一1,3卜故A正確；

對民辦A8=(2,l[>(—1,—L3)=2x(—l)+lx(—l)+lx3=O,所以加_LA8,故B正確;

對C,點A關(guān)于xO)，平面對稱的點的坐標為(1,2,2),故C錯誤；

對D,AB=卜1)2+(7)2+32二而，故D錯誤.

故選：AB.

10.答案:ABD

解析：對于A,有。=_1(〃+0)+2_(/?一0卜所以。+1，力比_c共面;

2

+/?)+，(〃_/?卜所以

對于B,有a+bF-b共面;

對于C,假設(shè)&+卜，d—b,c共面，則有a+b=x(a—〃)+yc，即a+/?=xa-xb+yc，由題意a,b,c

\=x

不共面，所以＜1=-x,無解,

y=0

故假設(shè)不成立，所以Q+/),〃_》，c不共面;

對于D.Q+〃+C=(〃+/?)+c,所以〃+〃，&+/?+d，c共面?

故選：ABD.

11.答案：BD

解析：=8旦+隹/必=A4,+g(AO-48)=3+-?)=-gd+gh+3,故A錯誤;

4M=g4C；=：(40+46)=3〃+:/?,故8正確；

AM=M+4M=c+—a+—b，故C錯誤;

22

AC,=A3+CG=4+)+6，故D正確;

故選:BD

597

12.答案：一ad—b—c

626

.l」、1,3105,10.八,

解析r：原武二一。+力——c-\---a——b-\c-3a+6。-3c

22323

597

=—a+—bt——c?

626

13.答案:4

解析：棱K為2的iF方體ABCD-AR￡R如圖所示.

AMBC=(AB+BC+CM)BC=ABBC-t-BCBC-t-CMBC=0+2x2-t-0=4

(1222}

14.答案:或」

33i)I3'§3

解析苛二常志21二]

(]_2_2

,,a即匕=

fl2或卜22)

故答案為:L

I)<33,3>

15.答案：2石

解析：依題意，AC,=AC+CC,,

得AC：=(AC+CC,)2=AC2+2ACCQ+CC：,

由底面ABC。為矩形，AB=叵,AD=6,

——?2-----2___?2

得AC~=AB~+AD=2+2=4,

顯然CC：=A4/=8,

又ACCQ=(AB+ADy-CC^=AB-AA.ADAA.

=|AB|-|M|-COS60°+|AD|-|M|-COS60°

=72x272xl+V2x2>/2x-!-=4,

22

-2

因此AG=4+2x4+8=20,

所以|AC卜26.

故答案：2逐

16.答案：<2a,-3Zr)=—

4

解析：???〃與2。同向，力與一3b反向，且〈。,力=色，

4

二.〈2°,-3b)——.

4

另解：cos〈2a「3》〉="㈠㈤=Wal=a-b=_cos<a,

12ali-3切6|a||b|\a\\b\

〈a,b〉=:，/.cos(2a,-3b)=~~~

又向量的夾角范圍為［o,m，

.?.〈20,一3〃)二牛.

17.答案：證明見解析

解析：證明:設(shè)。=〃>+〃。(4R),

則i-2j+A=(-/I-3//)i+(324-7/z)j+2Zk.

向量i,j,k不共面,

-%-3〃=1,2=^,

.?34+7〃=-2,解得《2

24=1,A=-p

故存在實數(shù)4=,,//=-->使得Q=!5一,c,

2222

故向量a,b,c共面.

18.答案：證明見解析

解析：證明：因為PA_L底面4C,

所以A8為PB在底面AC內(nèi)的射影.

乂BC1PB,所以由三垂線定理的逆定理可得5C_LA3.

又因為底面ABCD是平行四邊形，

所以四邊形ABCD是矩形.

19.答案：(1)—

(4)T

解析：由已知得該四面體為正四面體.(1)ABAC=\AB\\AC\cos(AB,AQ=axax-=—.