7.6空間向量與立體幾何

1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解

及其坐標(biāo)表示.

2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用

向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.

3.理解宜線的方向向旱:及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)

系的一些簡(jiǎn)單定理.

住備知識(shí)回顧自主學(xué)習(xí)?基啾回扣

教材回扣

I.空間向量及其有關(guān)概念

名稱定義

共線(平如果友示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,那

行)向量么這些向量叫做共線向量或平行向量

共面向量平行于同一個(gè)平面的向最,叫做共面向量

共線向?qū)τ谌我鈨蓚€(gè)空間向量〃，bSM),的充要條件是存在實(shí)數(shù)九

量定理使a=/.b

共面向如果兩個(gè)向量％力不共線，則向量〃與向量a,，共面的充要條件

量定理是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使〃=工〃+】力

空間向量如果三個(gè)向量a,b,。不共面,那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在

基本定理哇一的有序?qū)崝?shù)組(y*z),使得p=x〃+*+zc

2.空間向量及其運(yùn)箏E的坐標(biāo)表示

(1)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示：設(shè)a=(m，4/2?。3)，b=?b[,九)，則a+/>=(m—每，

s+aa+岳),a-b=(a\-bi,a?——力2,aa——/?；),=hn、〃3),2￡R,a-b=a\h\+

4262+。323.

(2)空間向量的平行、垂直、模與夾角公式的坐標(biāo)表示：設(shè)4=(<7],心，卬)，h=(bt,Z>2?

%3),則當(dāng)/>#)時(shí)，a〃b=a=Xb=a\=工b\、6=電,43=/44%￡R)：當(dāng)府0,b邦時(shí)，aLb<=>ab

=Ooa#1+〃2力2+aM=0;\a\=a，a=屏+源+海；當(dāng)存0,/>#)時(shí)，cos〈a,h}=""=

同回

。而1+。血+。363

屏+質(zhì)+道屏+星+岳

(3)空間向量的坐標(biāo)及兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)PG1，”，Z1),尸2。2，歹2，Z2),則?2=

(*—X1.以一I'l,Z?一二1),\PlT2\=(X2-X1)2+(12-J'lF+(22—二1)?.

3.用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系向量表示

直線八，/2的方向向量h//hn\//〃2=〃i=i〃2

分別為“1，"2/山2-L〃2=〃l〃2=0

直線/的方向向量為l//a〃_!_/〃=〃?/?=()

〃，平面a的法向量為

Z±ait//mgn=hn

niyiCa

平面a,夕的法向量分a/邛n〃=Z/M

別為〃，aLp〃_Lfw=/r/〃=0

基礎(chǔ)檢測(cè)

1.判斷(正確的畫(huà)7“，錯(cuò)誤的畫(huà)“X”)

(1)空間中任意兩個(gè)非零向量。，b共面.(7)

(2)空間中模相等的兩個(gè)向量方向相同或相反.(x)

(3)若力，B,C,。是空間中任意四點(diǎn)，則有3+於+&)+忌=0.(7)

(4)若直線。的方向向量和平面a的法向量平行，則o〃a(x)

2.(人教A版選擇性必修第一冊(cè)Pl2T3改編)如圖，在四面體215。中，E是力。的中點(diǎn),

泳=3彷，設(shè)成=心防=〃，Pt=c,則彷=(B)

A.—

232

2I2

C.D.〃一3+氣

243343

解析：屋=屋一班=1⑸+用」協(xié)=)一》+I.故選B.

24242

3.(人教A版選擇性必修第一冊(cè)Pl2Tl改編)已知空間向量a=(l,0,3),b=(2,1,0),

c=(5,2,z),若a,b,c共面，則實(shí)數(shù)z的值為(D)

A.0B.1

C.2D.3

解析：因?yàn)槊鱞,c共面，所以存在實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),使得c=xa+j"即(5,2,z)=x(\,

x+2y=5,x=l,

0,3)+j《2,1,0)=(x+2y,乂3x),所以y=2,解得，y=2,故選D.

3x=z,z=3.

4.(人教B版選擇性必修第一冊(cè)P39例1改編)若直線/的方向向量a=(l,0,1),平面

￡的法向量〃=(1,1,一1),則(D)

A./c/?B./±/?

c.D./u0或/〃￡

解析：因?yàn)閍〃=l-1=0,所以a_L〃，所以/u少或，〃用.故選D.

陜鍵能力提升互動(dòng)探究?考點(diǎn)精講

考點(diǎn)1空間向量的線性運(yùn)算及共線、共面定理

［例1］⑴如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E是PQ的中點(diǎn),若可

=“，曲=b,Pt=c,則彷=（C）

1

A.

2!22

131

B.a~nt-c

222

3,.1

C.a-h\-c

222

11..3

D.a-b-rc

2!22

［解析］或=屋一防=；協(xié)一協(xié)=；（聞+熬）一協(xié)=；（筋一屈）=；（闔+比_麗）

=1（⑸一聞+無(wú)一助一用）=?中一3瓦+?園=）一3〃+故選C.

2222222

（2）（多選）下列選項(xiàng)中正確的是（AC）

A.若存在實(shí)數(shù)x,y,使/辦=工宓+卜施，則點(diǎn)P,",A,8共面

B.若p與跖力共面，則存在實(shí)數(shù)x,y,使p=x“一）協(xié)

C.若向量防力所在的直線是異面直線，則向量。，力一定不共線

D.若mb,c是空間三個(gè)向量，則對(duì)空間任一向量p,總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x,戶

z）,使p=xa+m+zc

【解析】由向量失而定理可知，若存在實(shí)數(shù)x,yt使稱=*總+〃施，則點(diǎn)尸，A/,

A,8共而，故A正確；若a,b共線，p不與a,力共線，則不存在實(shí)數(shù)x,y,使〃=xo+）E

故B錯(cuò)誤；若向量明。所在的直線是異面直線，則dA的方向不相同也不相反，所以向量

明。一定不共線，故C正確；若a,b,c是空間三個(gè)基底向量，則對(duì)空間任一向量p,總存

在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,使p=x〃+i辦+zc,故D錯(cuò)誤.故選AC.

"規(guī)律總結(jié)

1.用己知向是表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

(1)要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.

(3)在空間中，向量加法的三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.

2.應(yīng)用共線(面)向量定理證明點(diǎn)共線(面)的方法比較

空間四點(diǎn)(M,P,A,8)共面且任意三點(diǎn)不共

三點(diǎn)(P,A8)共線

f線

中=2麗/辦=工笳+產(chǎn)施

對(duì)空間任一點(diǎn)。，分=為+/丸對(duì)空間任一點(diǎn)O,9=0+工宓+產(chǎn)諦

對(duì)空間任一點(diǎn)O,舁=x6t/+j，勿+(1—X-

對(duì)空間任一點(diǎn)。，0p=x0k-^-(\-x)0h

y)oh

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】(1)設(shè)⑨，C2是空間兩個(gè)不共線的非零向量，已知成=2①+Ag，Bt=

4+3?2,Dt=2e\-ei，且4B,。三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)A的值為(A)

A.-8B.-4

C.-2D.8

解析：因?yàn)?B,。三點(diǎn)共線，所以弘￡R,使得法=燒，又成=2幻+〃。2,Bt=e\

+3。2,Dtj=2ei~C2,所以彳力=港+衣"一方t'uQei+船2)+(。1+3。2)—(2ei—C2)=ei—(左+

4)62,則2ei+ke2=2[ei+G+4)e2],則2=2,X(k+4)=k,解得〃=-8.故選A.

(2)(多選)如圖，平面相C內(nèi)的小方格均為邊長(zhǎng)是1的正方形，力，B,C,。，E,F均為

正方形的頂點(diǎn)，尸為平面厘AC外一點(diǎn)，則(ABD)

、、、、、、、

A.Ak=Pk-Pt

B.E=一可+,聞一反

55

C.許=向一3建一2的

55

D.初一用+加-6比

55

解析：在平面力8C內(nèi)選取兩個(gè)互相垂直的單位向量i,,j,且祀=2i+j,則無(wú)'一局:

+j,協(xié)一中=-3i+j,Pt~Pi=5i,則：=一；聞+；無(wú)，j，=一就+2譯+3代,所以彳

55

-2i-j=P^~Pt：t亞=-2i+j=_^+；勵(lì)+；逑，注=1嘮+#=扇+―/=2可一步

2P&,必=可+力=屆+4=—用+4/+6反.故選ABD.

5755

考點(diǎn)2空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

【例2】(1)如圖，在斜三棱柱力8C-48cl中，AC=BC=CCi=4,N8CG=N4CG

=N,NACB=K,則刀I?（動(dòng)+不）=（C）

34

A.48

C.32+82D.32-82

【解析】刀??（國(guó)+口）=（&i+B）?（仍+口）=&\?仍+++=

Hn2

4x4xCos+4X4XCOS"+4X4XCOS+4=8+8+82+16=32+82.故選C.

334

（2）在四面體中，BC±BD,/ABC=/ABD=；,BA=BD=2,BC=3,貝ijX。與

8C所成角的余弦值為（A）

【解析】如圖，由題知，孔=耿一曲,令夕為應(yīng)與質(zhì)的夾角，

DABt正限一此鍵

則cos0===

\DAY\BC\\Bk-Bb\\Bt\I城F+前|2-2：成II協(xié)|cos；|殖

網(wǎng)成|cos兀一函品|cos7t2x3x1

32=；.故選A.

I后F+I防|2—2|后II筋|cos「I型4+4-2x2x2xk

"規(guī)律總結(jié)

由向量數(shù)量積的定義知，要求〃與，的數(shù)量積，需已知同，網(wǎng)和Q,b),a與b的夾角

與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使〃力計(jì)算準(zhǔn)確.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】(1)向量次1=(1,2,3),彷=(2,1,2),辦=(1,1,2),點(diǎn)。在直

線”上運(yùn)動(dòng)，則)?砂的最小值為(B)

解析：???芬=(1,1,2),點(diǎn)0在直線0P上運(yùn)動(dòng)，：.可設(shè)(5。=2分=(尤2,22).又向量

0^=(1,2,3),份=(2,i,2),.*.0^=(1-z,2-z,3-2A),0^=(2-z,1-2,2-2A),

則/@=(1一，)x(2—Q+(2-/l)x(i—,)+(3—2#x(2—2；)=6萬(wàn)一162+10,易得當(dāng)4=:時(shí)，

力?效取得最小值一;?故選B.

(2)如圖，在所有棱長(zhǎng)均為1的平行六面體中，M為4G與&D的交

點(diǎn)，NB4D=NB44=ND44=60°,則8M的長(zhǎng)為(C)

解析：依題意鼠=胡1+瓦%/=麗|+1工)產(chǎn)麗i+匕工)L/1弦i)=刀兄)」力，所

2222

以8游=43+Ab—=41/+”?+Ah2-\-AA\Ab-AA\Ah-'AI)A8=12+*x12+

224424

^Xp+jxjx1—lx]x^—1xlxlx1=所以|就/|=5即8M=5.故選C.

42222422

考點(diǎn)3利用向量法解決平行、垂直問(wèn)題

【例3】如圖，在直三棱柱4中，N4BC=90。,50=2,CCi=4,點(diǎn)E在

線段4小上，且￡3=1,D,F,G分別為CG，CMCM的中點(diǎn).求證：

(1)平面小與。_1_平面.44。；

(2)平面EG/7〃平面ABD.

【證明】(1)易得歷I,BC,881兩兩垂直，以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA,8C,881所在直線

分別為x軸、歹軸、Z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則8(0,0,0),￡)(0,2,2),51(0,

0,4),E(0,0,3),F(0,1,4),Ct(0,2,4).

設(shè)則4(a,0.0),4(a,0,4),

因?yàn)榫?(d0,0),Bb=(0,2,2),瓦力=(0,2,-2),所以氏力晶=0,氏力勵(lì)=0,

所以氏力_1_瓦5,Q力屁)，HPB\D.LBA,BiDLBD.

又BAC\BD=B,BA,BDJ干曲ABD,所以6|OJ_干面/6D

因?yàn)?iZ)u平面A\B\D,所以平面48iQ_L平面ABD.

(2)因?yàn)檑?(2‘1'",濟(jì)=(0,1,1),帥=(0,2,-2),所以瓦力花=0,帥?赤

=0,

所以BiDLEG,BiD_EF.

因?yàn)镋GC\EF=E,EG,￡7七平面EGF,所以SOJL平面EGF.

又由(1)知4Q1.平面ABD,所以平面EGFH斗畫(huà)ABD.

」規(guī)律總結(jié)

1.利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件，

準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及直線、平面的要素).

2.向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開(kāi)立體幾何的

有關(guān)定理.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】如圖，正方形力。痔與梯形48CD所在的平面互相垂直，ADLCD,

AB//CD,AB=AD=2,CD=4,也為CE的中點(diǎn).求證：

(1)8/W〃平面力。EE；

(2)8C_L平面BDE.

證明：(1)根據(jù)題意可知平面力?！?口_平面/8C。，斗面4DEFC平面＜BCD=4。,

又四邊形《。匹/是正方形，所以/ID工ED,EDa^-^jADEF,

所以EQJ_平面/BC。，從而可得忌，皮，用兩兩垂直.

以力為原點(diǎn)，扇，皮，方方的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，則。(0,0,()),A(2,0,0),5(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),F(2,0,

2),

義M為CE的中點(diǎn)、,所以M(0,2,I),則破=(一2,0,1),亦=(一2,0,0),斤=(0,

0,2),

所以或=力十1赤，故而。，力，力共而.

2

義BMC平面ADEF,所以BM〃平面ADEF.

(2)衣=(-2,2,0),加=(2,2,0),初=(0,0,2),易知展?協(xié)=-4+4=0,所以

SCJ_。及又於51=0,可得6CJLOE.

叉DBCDE=D,DB,DEu平面BDE,所以8C_L平面

|高考創(chuàng)新方向雷新定義

O-----------------------------------

【例】(多選)在空間直角坐標(biāo)系中，有以下兩條公認(rèn)事實(shí)：

(1)過(guò)點(diǎn)R)(xo,yo,zo)且以〃=(mb,c)(岫今0)為方向向量的空間直線/的方程為*一"°=

y—yo_z—zo^

hc,

(2)過(guò)點(diǎn)尸(x(),yo，zo)且以y=(〃?，〃，f)(w〃原0)為法向量的平面a的方程為m(x—x())+〃(y

-yo)+?z-zo)=O.

現(xiàn)已知平面a：x+2y+3z=6,/i：—''b：x=y=2-z,h："L'=z,

3y~2z=1,5—4I

則(CD)

A.I}//aB.h//a

C.h//aD./i±a

【解析】平面a:x+2y+3z=6,即x—1+2(y-l)+3(z—1)=0,則平面a的法向量為w

I,1

[2A—y=Lx—,yz+

=(1,2,3).對(duì)于/i：則6x-3=3y=2z+l,即2='.=2,所以/過(guò)點(diǎn)

3y-2z=1,111

632

Q'°'―J,方向向量為〃1=1，3'2),所以v=6〃i,所以了〃“I,所以故A錯(cuò)誤，

D正確；對(duì)于，2：X=y=2-z,即x=J'=z-,所以12過(guò)點(diǎn)(0,0,2),方向向量為“2=(1,1,

11—1

一1),點(diǎn)(0,0,2)適合平面a的方程x+2y+3z=6,所以心與平而a有公共點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)

于，3：“-1=?)'=',所以，3過(guò)點(diǎn)(1,0,0),方向向量?jī)?nèi)=(5,-4,1),因?yàn)榭伞?=(1,2,

5—41

3)(5,-4,1)=5-8+3=0,所以NJL〃3,所以/3UZ或h〃a,但點(diǎn)(1,0,0)不適合平面a的

方程x+2p+3z=6,故hCa,所以4〃a,故C正確.故選CD.

創(chuàng)新解讀

本題屬于新定義理解問(wèn)題，解題過(guò)程中需將直線方程表示為給出的公式形式，從而找到

直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)和方向向量，考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)方法分析和解決新定義問(wèn)題的能力，

體現(xiàn)新高考的趨勢(shì)和變化.

課時(shí)作業(yè)50

▲;亞基礎(chǔ)鞏固,

1.(5分)己知“=(2,2,I),力=(一1,-1,k),且aJ_2b,則A的值為(D)

A.5B.-5

C.3D.4

解析：由題意可得2/>=(-2,-2,2k),則。?26=—4-4+2%=0,解得女=4.故選D.

2.(5分)已知點(diǎn)—3,5),8(0,b,2),C(2,7,-1),若4,B,。三點(diǎn)共線,

則a，b的值分別是(D)

A.—2,3B.-I,2

C.I,3D.-2,2

解析：因?yàn)?(a,-3,5),8(0,b,2),C(2,7,-1),所以港=(一a,b+3,—3),Bt

=(2,1-h,-3),因?yàn)?,B,C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)丸使前=k忒,所以(一出b+

—a=2k,k=l,

3,-3)=A<2,7-b,-3),所以b+3=k(7-b),解得a=-2故選D.

-3=一乂,b=2.

3.(5分)若向量〃=(1,-1,2),b=(2,1,-3),則m〃的夾角的余弦值為(C)

721

A.B.

321

_521_21

C.D.

4221

解析：向量a=(l,-1,2),b=(2,1,—3),則〃力=1x2—1x1—2x3=—5,|a|=

12+(-1)2+22=6,步|=22+12+(-3)2=14,所以心力的夾角的余弦值為cos〈*b〉

ab61二=一5丁,故選C.

W\b\

4.(5分)在正三棱錐A48C中，。是△48C的中心，PA=AB=2,則說(shuō)?(用+協(xié))

=(D)

10

A.B.

97

解析：如圖，在正三棱錐P-48C中，。為正三角形48C的中心，PA=AB=2,OA=OB

232

=xJA8=,則PO_L平面力8C,而04,O8u平面.48。，所以PO_LCM,POA.OB,且

323

PO2=22-（3）2=8,所以用?（用+或）=巾（用+冉+用+彷）=2防2=2x8=16

333

故選D.

；：C\

二。〕、、\

----1^4

5.（5分）如圖，三棱柱中，G為棱/。的中點(diǎn)，若反5=〃，豉=b,應(yīng)）=c,

則江=（A）

a~b+c

22

解析：散=a,Bt=b,Bb=c,則江=B+筋+5&=—6+。+1次=—b+c+l（赤

22

+廄）=—〃+c+%—。+〃）=」一〃+%故選A.

222

6.（5分）如圖，在正方體/JBCQ-MSGOi中，點(diǎn)M,N分別是棱?？诤途€段8c上的

動(dòng)點(diǎn)，則滿足與力。?垂直的直線MN（D）

!」力-----

一'

A.有且僅有1條B.有且僅有2條

C.有且僅有3條D.有無(wú)數(shù)條

解析：以。為原點(diǎn)，扇，皮，協(xié)?的方向分別為x粘、y軸、z軸的正方向建立空間直角

坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為I,M（0,0,a）（0<a<l）,N（x，1，1-X）（0<Y<1）,則4（1,0,

0),Di((),0,1),所以/加=(x,1,\~x~a),/i75i=(-l,0,1),若ADJMN,則向「歷1

=一工+1—x-a=0,即2<=1—.(0人1,OS?<1),方程有無(wú)數(shù)組解.故選D.

7.（5分）如圖，在直三棱柱力8C-45G中，NBAC=90。,AB=AC=AA\=\,G,E,

尸分別是棱CG和"的中點(diǎn)，點(diǎn)。是線段4C上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）.若GDLEF,

則線段4。的長(zhǎng)為（A）

4

4

解析：在直三棱柱力6C-小41cl中，NA4c=90。，以/為原點(diǎn)，祀，成，筋i的方向分別

為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則4（0,0,0）,fC'0,2I

k\11/L-1,-11w」〕

d2J,M2J,設(shè)O（x,0,0）（0<x〈l）,則9=12J,助=〔22）.

由于GOJ_E￡所以⑸存=一五一1+1=0,解得所以線段力。的長(zhǎng)為1.故選A.

4244

8.（6分）（多選）下列說(shuō)法正確的是（BD）

A.若向量a,b,c共面，則它們所在的直線共面

B.若G是四面體。相C的底面△月8c的重心，則次7=1（為+仍+求）

3

C.若（5&=—;況+；彷+：求，則力，B,C,G四點(diǎn)共面

D.若向量p=〃?x+〃『+kz，則稱（/〃，〃，2）為〃在基底｛x，八力下的坐標(biāo)，已知〃在單

位正交基底歷，b,c｝下的坐標(biāo)為（|,2,3）,則P在基底｛。一4c｝下的坐標(biāo)為（一？‘2,3]

解析：根據(jù)共面向量的定義可得它們所在的直線不一定在同一個(gè)平面上，故A錯(cuò)誤；設(shè)

0(0,0,0),A(x\,y\,zi),8(X2,yi,Z2),C(X3,yy,Z3),則。力=(內(nèi)，y\,zi),Ob=gyi,

,|+也+冷yi+v+yjzi+z：+z3

z2）,ot=（x3,J，3,Z3）,又因?yàn)镚是底面AABC的重心,則（f

333

所以帥=1（為+勵(lì)+虎）成立，故B正確；因?yàn)椋?&=—2況+3加比，一2+3+3,],

3555555

所以4R,C,G四點(diǎn)不共面，故C錯(cuò)誤；設(shè)〃在基底一6a+b,c｝下的坐標(biāo)為（x,y>

z),則p=x(“-A)+y(a+b)+zc=(x+y)a+(-x+y)力+zc,

t=->

x+y=1,2,

因?yàn)?在基底｛%b,。下的坐標(biāo)為（1,2,3）,所以一x+y=2,解得_3

r

二=3,

二=3,

所以…底—下的坐標(biāo)為馬鴻

,故D正確.故選BD.

9.（5分）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，若點(diǎn)力（-1,3,1）,8（—1,3,4）,D（l,1,1)，

且赤=2或，則|用|的值為23.

解析：設(shè)點(diǎn)P（x,>>,z）,因?yàn)?=2附，，4（一1,3,1),4(一1,3,4),所以(x+1,y-

x+1=2(—1—x),v=-l,

3,Z-1)=2(-1-A-,3—y,4—z),則),—3=2(3-y),解得丁=3,即。(一1,3,

z—1=2(4—z),z=3,

3),又。(1,I,1),所以協(xié)=(2,-2,-2),所以|瓦)|=23.

10.(5分)已知點(diǎn)?(0,2,0),0(0,0,0),力(I,2,4),B（-1,2,4）,過(guò)點(diǎn)尸作尸，

，平面。4氏，為垂足，則點(diǎn)，的坐標(biāo)是

解析：設(shè)〃(訪b,c),則麗=m,b-2,c),5^=(1,2,4),仍=(-1,2,4),因?yàn)?/p>

PH_L平面OAB,OA,OBu平面OAB,所以P4_LOA,PH±OB,則

麗"=a+2(b-2)+4c=0,4=0,

解得所以〃(0,2-2C,0).因?yàn)镻〃1平面

麗.勵(lì)=一。+2(/>—2)+4c=0,[b=2~2c,

OAB,〃為垂足，所以O(shè),A,B,〃四點(diǎn)共面，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)（x,y）使得殖=人蘇+），彷,

O=x-y,

即(0,2~2c,c)=(x—yt2x+2y,4r+4y),所以2—2c=2x+2y,解得x=y=；o，c=

c=4x+4y,

所以；3.

11.(15分)如圖，已知正四面體48co的棱長(zhǎng)為1,E,尸分別為棱8C,CD的中點(diǎn),

G為線段力尸的中點(diǎn).

(1)用施，祀，歷表示民：

(2)求動(dòng)力的值.

解：(1)在正四面休MA8中，E,尸分別為棱AC,CO的中點(diǎn)，G為姣段/戶的中點(diǎn)，

則花=1#=乂1(於+=)=1祀所以防=成+就+砧=一成+

22244

1團(tuán)+〔祀+〔在=一成+](赤一祀)+】花+1加=一1蘇一1祀

244244244

(2)正四面體48。的棱長(zhǎng)為1,則施充=成,歷="ixcos60°=；,

所以前?成=」(2初+花一歷)?Z&=-1(2加+充?通一Xb?戲)=」.

442

12.(18分)如圖，在正方體力〃。-小囪GA中，E,尸分別是89，。出?的中點(diǎn).求

證：

(1)小?！ㄆ矫鍮CCB；

(2)EF±AiD.

證明：(1)如圖，以。為原點(diǎn)，DA,DC,。。所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則。(()，0,0),4(2,(),2),￡(2,2,1),尸(1,

1,2),C(0,2,0),所以雙=(0,2,0),山產(chǎn)(2,0,2),

因?yàn)?。CJ_平面BCG3],所以皮=(0,2,0)為平面8CG歷的一個(gè)法向量，

又比方丸=0,即成方丸，

義4。C平面BCCiBi,

所以40〃平面BCCM

(2)由⑴知彷=(一1,-1,1),

所以存?扇i=-lx2+(-l)x()+lx2=0,所以EF-LAiD.

理素養(yǎng)提升4

13.(5分)(2024?山東濟(jì)南二模)如圖所示，正方體/出CQ-48C。]的棱長(zhǎng)為2,E,F,

G分別為8C,CCi，8用的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是(B)

A.直線與直線,4尸垂直

B.直線小G與平面4E/平行

C.三棱錐盡4的體積為:

O

D.直線8C與平面XE/所成的角為45。

解析：在正方體48CZ)-小囪GA中，DD\〃CC\,直線力/與直線CG不垂直，所以直線

N/7與直線力Qi不垂直，故A錯(cuò)誤；如圖，以。為原點(diǎn)，DA,DC,。力1所在直線分別為x

軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則力(2,0,0),E(l,2,0),F(0,2,I),GQ、2,

1),4(2,0,2),設(shè)平面/K廠的法向量為"一(x,y,z),

jJ*?=-x+2y=0,

則:

AP-n=—2x+2y+z=0,

令y=l,則”=(2,1,2),因?yàn)閾羝?(0,2,-1),所以/ii"〃=0x2+2xl-lx2=0,

所以因?yàn)樾在平面力跖外，所以直線小G與平面力平行，故B正確；SA48E

=，5EJB=1X1X2=1,所以三棱錐廣48E的體積為4”1=1,故C錯(cuò)誤：8(2,2,0),C(0,

2233

一|淤川1-41

2,0),比=(-2,0,0),設(shè)直線8。與平面力￡尸所成的角為6,則sin3==

兩川2x22+R+22

=2,故D錯(cuò)誤.故選B.

3

14.(5分)如圖1,在RtZU3C中，NC=90。，BC=3,AC=6,E分別是4C,AB

上的點(diǎn)，滿足。E〃8C且DE經(jīng)過(guò)△/14C的重心，將△/IDE沿OE折起到△小OE的位置，使

小CJ_C。，M是〃。的中點(diǎn)，如圖2.點(diǎn)N在線段44上(N不與端點(diǎn)小，4重合)，使平面

CMN與平面。硒垂直，則4N=z.

BN

解析：在。中，因?yàn)镈E〃BC,故。月_L/C,故在四棱錐小-QE4C中，有5C_L

CD,DE±A\D,DEA.CD,而小。0(?。=。，故QE_L平面小CD因?yàn)樾u平面小CQ,所以

DElAiC,忘DE//BC,故4C_L8C,而小C_LCO,故以C為原點(diǎn)，CD,CB,C4所在直

線分別為人軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角生標(biāo)系.

AF}0DF

在RIA48C中，因?yàn)镺E經(jīng)過(guò)△/8C的重心，則力〃="="匕故力。=4,CD=2,DE

AC3BC

=2.在RtA4OC中，A\C=16-4=23,則C(0,0,0),A\(0,0,23),D(2,0,0),

4((),3,0),E(2,2,0),M(1,0,3).設(shè)G=A/i^(0<lvl),則瓜=(0,32,~23z),

故N(0,32,23-232.),C^=(0,3A,23—23Q,彷=(0,2,0),麻=(-2,3/1,

23-232),cX/=(1,0,3).設(shè)平面CWN的一個(gè)法向量為〃i=(s,/,w),

〃i?說(shuō)=3力+(23-23A)w=0,

則，

〃「原/=s+3H,=0,

(_q23A-23]

取w=l,則$=-3,Z=23a~23,故”=1—32'J.設(shè)平面OEN的一

3A

〃2?勵(lì)=2h=0,

個(gè)法向量為〃2=(S],力，W),則

m-DK'=_2s,I+3z/i4~(23—23A)vvi=0,

取W|=I,則0=0,S1=3-32,故〃2=(3-3九0,I).因?yàn)槠矫?。EML平面CNN,

故〃I_L〃2,所以(3—37)x(-3)+1=0,故2=2,所以4N=2.

3BN

/亞創(chuàng)新訓(xùn)練4

15.(6分)(多選)在空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)尸()