專題12矩形、菱形和正方形復習考點攻略

一、考點歸綱與例題講解

考點一矩形

1.矩形的性質(zhì)：

（1）四個角都是直角；

（2）對角線相等且互相平分；

（3）面積=長x寬=2S&所4s乩（如圖）

2.矩形的判定:

（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形;

（2）有三個角是直角的四邊形是矩形；

（3）對角線相等的平行四邊形是矩形.

【答案】D

【解析】???四邊形ABCD是矩形，.\ZABC=90°,AC=BD,OA=OC=OD=OB,

故選：D.

【例2】如圖，已知平行四邊形中，E是8。的中點，連接AE并延長，交QC的延長

線于點R且AF=AQ,連接8/W求證：四邊形4/3FC是矩形.

B

E

【答案】見解析

考點二菱形

1.菱形的性質(zhì)：

（I）四邊相等：

（2）對角線互相垂直、平分，一條對角線平分一組對角;

（3）面積=底x高二對角線乘積的一半.

2.菱形的判定：

（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

（3）四條邊都相等的四邊形是菱形.

【答案】115。

.,.ZBCD=18O0ZB=13O°,ZACE=—ZBCD=65°,

2

【例4】如圖，在AABC中，八。是N84C的平分線，OE〃人C交AB于七，。尸〃人8交4c

于凡求證：四邊形AED尸是菱形.

【答案】見解析

【解析】TOE〃人C,DF//AB,

???四邊形AEQ廠為平行四邊形,

：.ZFAD=ZEDA,

:A。是N8AC的平分線，：.ZEAD=ZFAD,：,ZEAD=ZEDA,

：,AE=ED,J四邊形AEDF是菱形.

考點三正方形

1.正方形的性質(zhì)：

（1）四條邊都相等，四個角都是直角；

（2）對角線相等且互相垂直平分；

（3）面積=邊長x邊長二25乙八以尸45“08.

2.正方形的判定：

（I）有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形；

（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；

（3）一個角是直角的菱形是止方形；

（4）對角線相等且互相垂直、平分的四邊形是正方形.

【例5】如圖，正方形ABCD中，點E.F分別在邊CD,AD上，8E與C/交于點G.若BC=4,

DE=AF=\,則G/的長為（）

1312

A.—B.

5T

C,史16

D.

5T

【答案】A

【解析】正方形"CO中，???8C=4,

：,BC=CD=AD=4tNBCE=NCOQ90。，

'：AF=DE=\,:.DF;CE=3,：.BE=CF=5,

:.ABCEWACDF(SAS),：.ZCBE=ZDCF,

⑦

①兩組對邊分別平行：②相鄰兩邊相等：③有一個角是直角；④有一個角是直角：⑤相

鄰兩邊相等；⑥有一個角是直角，相鄰兩邊相等；⑦四邊相等；⑧有三個角都是直角.

［例7］如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD,AC、BD是對角線，E、F、G、H分別是

AD、BD、BC、AC的中點，連接EF、FG、GH、HE,則四i力形EFGH的形狀是（）

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】C

【解析】由點E、F、G、”分別是任意四邊形A8CO中AZXBD、BC、CA的中點，根據(jù)三

角形中位線性質(zhì)，得EF=GH=L\B,EH=FG=-CD,又由AB=CD,得EF=FG=GH

22

=￡〃時，四邊形EFG”是菱形.

二?點、E、F、G、，分別是任意四邊形4BCO中40、BD、BC、C4的中點，

2

AB,EH=FG=—CD,VAB=CD,:.EF=FG=GH=EH時,四邊形EFG”是菱形，故選

2

C.

考點五中點四邊形

（1）任意四邊形所得到的中點四邊形一定是平行四邊形.

（2）對角線相等的四邊形所得到的中點四邊形是矩形.

（3）對角線互相垂直的四邊形所得到的中點四邊形是菱形.

（4）對角線互相垂直且相等的四邊形所得到的中點四邊形是正方形.

【例8】如果順次連接四邊形的各邊中點得到的四邊形是矩形，那么原來四邊形的對角線一

定滿足的條件是（）

A.互相平分B.相等C.互相垂直D.互相垂直平分

【答案】c

根據(jù)題意畫出圖形如卜.：答：AC與BD的位置關(guān)系是互相垂直.

證明：???四邊形EFGH是矩形，???NFEH=90。，

又：點E、F、分別是AD、AB、各邊的中點，JEF是三角形ABD的中位線,

，EF〃BD,.\ZFEH=ZOMH=90°,

又???點E、H分別是AD、CD各邊的中點，...EH是三角形ACD的中位線，

，EH〃AC,.\ZOMH=ZCOB=90°,即ACJLBD.故選C.

二、眼蹤拓展訓爍題

第一部分選擇題

一、選擇題（本題有10小題，每題4分，共40分）

1.如圖，在平行四邊形48CO中，〃、N是3。上兩點，BM=DN,連接AM、MC.CN、NA,

添加一個條件，使四邊形AMCN是矩形，這個條件是（）

2

【答案】A

【解析】由平行四邊形的性質(zhì)可知：OA=OC,O8=OD再證明OM=ON即可證明四邊形

4MCN是平行四邊形.

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

：,OA=OC,OB=OD

???對角線4。上的兩點N滿定BM=DN,

：.OB-BM=OD-DN,即OM=ON,

/.四邊形AMCN是平行四邊形，

?.?OM=LC,

2

:?MN=AC,

???四邊形AMCN是矩形.

2.如圖，四邊形A8CO為菱形，A8=2,NOA8=60。，點E、廠分別在邊。C、BC±,且

CE=—CD,CF=—CB,則以位尸=()

33

A.返B.返C.返D.返

2349

【答案】D.

【解答】???四邊形人8CO為菱形，人8=2,ZDAB=60°

：.AB=BC=CD=2,NDCB=60。

*：CE=—CD,CF=—CB

33

：.CE=CF=—

3

???△CE/為等邊三角形

:&CEF=*~xg)2音

3.順次連接菱形四邊的中點得到的四邊形一定是()

A.正方形B.菱形C.矩形D.以上都不對

【答案】C

【解析】解：如圖，???四邊形ABCD是菱形，???ACJ_BD,

VE,F,G,H是中點,；?EF〃BD,FG〃AC,AEF±FG,

同理：FG1HG,GH1EH,HE±EF,???四邊形EFGH是矩形.故選：C.

4.把邊長分別為1和2的兩個正方形按圖的方式放置.則圖中陰影部分的面積為（）

（亞⑻：（C）l（。）：

6354

【答案】八

211

【解析】陰影部分面積=lx—x—=上

326

5.如圖為矩形ABCD,一條直線將該矩形分割成兩個多邊形，若這兩個多邊形的內(nèi)角和分別

為a和b,則a+b不可能是（）

4I-------1。

5'-------T

A.360°B.540°C.630°D.720°

【答案】C.

【解析】一條直線將該矩形ABC。分割成兩個多邊形，每一個多邊形的內(nèi)角和都是180。的

倍數(shù)，都能被180整除，分析四個答案，

只有630不能被180整除,所以a+h不可能是630°.

6.如圖，矩形4BC。中，對角線4c的垂直平分線所分別交BC,于點E,F,若BE=

A.4^5B.4立C.10D.8

【答案】A

【解析】連接AE,由線段垂直平分線的性質(zhì)得出OA=OC,AE=CE,證明

COE得出AF=CE=5,得出AE=CE=5,BC=BE+CE=8,由勾股定理求出AB=

22=4,

7AE-BE再由勾股定理求出AC即可?

連接AE,如圖：

VEF是AC的垂直平分線，

：.OA=OC,AE=CE,

???四邊形A8CO是矩形，

AZB=90°,AD//BC,

：?/OAF=/OCE,

rZAOF=ZCOE

在“OF和aCOE中，，OA=OC,

ZOAF=ZOCE

:.(ASA),

：.AF=CE=5,

：.AE=CE=5,BC=BE+CE=3+5=S,

A^=7AE2-BE2=V52-32=4,

Z.AC=AyAB2+BC2="2?=4%；

7.如圖，在菱形ABC。中，AB=5,4。=6,過點。作Z）E_L84,交B4的延長線于點E,則

線段DE的長為（）

E

BC

24

C.4D.

T

【答案】D

故選D.

8.如果順次連接四邊形的各邊中點得到的四邊形是矩形,那么原來四邊形的對角線一定滿足

的條件是（）

A.4相平分B.相等C.C相垂直D.互相垂直平分

【答案】C

【解析】根據(jù)題意畫出圖形如下：答：AC與BD的位置關(guān)系是互相垂直.

證明：???四邊形EFGH是矩形，???NFEH=90。，

又???點E、F、分別是AD、AB、各邊的中點，，EF是三角形ABD的中位線,

，EF〃BD,AZFEH=ZOMH=90°,

又???點E、H分別是AD、CD各邊的中點，JEH是三角形ACD的中位線，

，EH〃AC,.\ZOMH=ZCOB=90°,即AC_LBD.故選C.

【答案】B

9.如圖①，E為矩形A8CD的邊A。上一點，點。從點8出發(fā)沿折線8-E-。運動到點。

停止，點Q從點B出發(fā)沿BC運動到點C停止，它們的運動速度都是1c加s.現(xiàn)P,Q兩點

同時出發(fā)，設(shè)運動時間為.Ms），的面積為y（c加2）,若），與x的對應關(guān)系如圖②所示，

則矩形48C。的面積是（）

A.96cm2B.84?！ㄊ?/p>

【答案】C

【解析】解：從函數(shù)的圖象和運動的過程可以得出：當點P運動到點E時，x=IO,y=30,

AED=4,.'.BC=AD=I2,???矩形的面積為12x6=72.

故選：C.

第二部分填空題

二、填空題（本題有6小題，每題4分，共24分）

12.如圖，已知菱形ABCQ的對角線AC,8。交于點O,E為的中點，若OE=3,則菱

形的周長為.

D

0

B

【答案】24

【解析】???四邊形A8CD是菱形,

：,AB=BC=CD=AD,BO=DO,

???點七是4c的中點，

???0E是△BCO的中位線，

，CO=2OE=2x3=6,

，菱形48CD的周長=4x6=24

13.如圖，在正方形紙片44CO中，E是CO的中點，將正方形紙片折疊，點3落在線段AE

上的點G處，折痕為AF.若AQ=4C7〃，則C/的長為cm.

【答案】6-2V5.

【解析】設(shè)貝ijFG=x,CF=4-x,在即AGE尸中，利用勾股定理可得七產(chǎn)=(2加

-4)2+7,在MAFCE中,利用勾股定理可得后產(chǎn)=(4-x)2+22,從而得到關(guān)于x方程，

求解x,最后用4-x即可.

設(shè)BF=x,則FG=x,CF=4-x.

在Rt^ADE中,利用勾股定理可得AE=2A/5.

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AG=AB=4,所以GE=2在-4.

在RfAGEF中,利用勾股定理可得￡產(chǎn)=(275-4)2+x2,

在RfNCE中,利用勾股定理可得后產(chǎn)=(4-x)2+22,

所以(2加?4)?+/=(4-x)2+22,

解得x=2-\/5-2.

則FC=4-x=6-2加.

14.如圖，在2x6的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，網(wǎng)格中小正方形的頂

點叫格點，點A,B,C在格點上，連接A8,BC,則tan/A8C=.

【答案】i

2

【解析】連接AQ，根據(jù)網(wǎng)格利用勾股定理求出AB,AD,3。的長，利用勾股定理的逆

定理判斷出三角形人以）為直角三角形，利用銳角三角函數(shù)定義求出所求即可.

連接A。，由勾股定理得：AD=r]2+]2==^^,AB=個/+2?=2^"^,BD=^]2+32="10,

222

??,（V2）2+（2訛）2=（V10）2,cpAD+AB=BD,

???△AB。為NB4D是直角的直角三角形，

B

15.如圖，矩形ABCO中將其沿E/翻折后，。點恰落在B處，ZBFE=65°,則

NAEB=.

【答案】50°

【解析】如圖所示,

由矩形ABCO可得A￡)〃BC,.\Zl=ZBra=65°,由翻折得N2=N1=65。,

AZAEB=1800-Zl-Z2=180o-65o-65o=50°.故答案為：50°.

【解析】解：由題干?描述可作出兩種可能的圖形.①MN交DC的延長線于點匕如下圖所

示

②MN交DC的延長線于點F,如下圖所示

第三部分解答題

三、解答題(本題有7小題，共56分)

17.已知：如圖,在同AACD中,AEIRC,CFIAD.E,尸分別為垂足.

(1)求證：AABEQACDF；

(2)求證:四邊形4EC尸是矩形.

【答案】（1）見解析：（2）見解析.

【解析】（I）證明：???四邊形A8CQ是平行四邊形,

B=/D,AB=CD,AD//BC,

'：AE±BC,CF1AD,

，NAEB=ZAEC=ZCFD=ZAFC=90Q,

"ND

在八A“上前中，，NAEB二NCFD，

AB二CD

???△ABE/ACDF（A4S）；

（2）證明:YAD//BC,

：.ZEAF=N4￡4=90°,

，ZEAF=ZAEC=NArC=90°,

J四邊形AEC產(chǎn)是矩形.

18.如圖，在菱形A4C。中，點￡：、產(chǎn)分別為A。、C。邊上的點，DE=DF,

求證：Z1=Z2.

【解析】證明：???四邊形48C。是菱形,

：.AD=CD,

rAD=CD

在AA。/和△(?￡)￡中，，ND二ND，

DFRE

:?△ADF沿XCDE(SAS),

AZ1=Z2.

19.如圖，在菱形A8c。中，點￡F分別為AD.。。邊上的點，DE=DF,求證：Z1=Z2.

【答案】見解析.

【解析】???四邊形A8CO是菱形,

：.AD=CD,

：.^ADF^^CDE(SAS),

AZ1=Z2.

【答案】見解析

【解析1證明：連接BD,交AC于O,如圖所示:

???四邊形ABCD是菱形，???OA=OC,OB=OD,AC±BD,

VAE=CF,Z.OE=OF,工四邊形BEDF是平行四邊形，

,??EF_LBD,J四邊形BEDF是菱形.

21.如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm,AD=4cm,EF經(jīng)過對角線BD的中點O,分別交

AD,BC于點E,F.

(1)求證：aBOF&ADOE；

(2)當EFJ_BD時，求AE的長.

7

【答案】(1)見解析；(2)-cm

【解析】(1)???四邊形ABCD是矩形,

，AD〃BC,

.\ZBFO=ZDEO,NFBO=NEDO,

又TO是BD中點，

.\OB=OD,

AABOF^ADOE(ASA)

(2)連接BE.

VEF1BD,O為BD中點，

.\EB=ED,

設(shè)AE=xcm,由EB=ED=AD-AE=(4-x)cm,

在RIAABE中,AB=3cm,

根據(jù)勾