第一章一元一次函數(shù)、方程和不等式章末綜合檢測試題

上學期高中數(shù)學必修第一冊（人教A版）

一、單選題

1.若不等式法—2<()的解集為{x|—2vx<l},則。+()

A.-2B.0C.1D.2

2.己知T<avO,那么_。,-式/的大小關系是()

A.cr>-ay>-aB.-a>cr>-o'

C.-a3>-a>a2D.a1>-a>-a

3.若不等式2h?+履-?<0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍為()

O

A.-3<k<0B.T,ZvOC.-3叫0D.-3<k,0

4.已知不等式加+-+c>0的解集為何-2vxvl},那么不等式--爾+少>0的解集為（）

A.卜川B.?(1,+8)

C.卜用D.(f-1)U

5.對于任意實數(shù)。，b,c,d,有以下四個命題:

①若〃。2>兒2,則。>力；

②若a>b,c>d,則a+c>Z?+d；

③若a>b,c>d,則acv；

④若a>），則上>：.

ab

其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.若對任意正數(shù)x,不等式rjw2恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍為（）

x+4x

A.[0,-KO）B.一：，+8）C.；,+8）D.g，+8）

7.已知實數(shù)蒼丁滿足-4?x-yWT,-l<4x-y<5,則9x-），的取值范圍是（）

A.[-7,26]B.[-1,20]

C.[4,15]D.[L15]

8.若實數(shù)小人滿足，力>0,則/+從+工+1的最小值為（）

2ab

A.2B.3C.4D.5

二、多選題

9.若4,bA。，且a十》=1,則（）

A.4a+4b<-jlB.—+—>9

ab

C.a2+4b2^-D.—+->l

4ab

10.已知x>0,y>0,且x+.y+D—3=。，則下列結論正確的是（）

A.邛的取值范圍是（。,9]B.K+），的取值范圍是[2,3）

C.x+2y的最小值是40-3D.x+4y的最小值是3

11.下列說法正確的有（）

A.若工<:，則+的最大值是-1

22x-I

B.若xeR,則4r7+了占的最小值為2

"+4

141

C.若〃，b,。均為正實數(shù)，且a+Hc=2,則--+--+——的最小值是4

a+bb+ca+c

1?

D.已知a>0,Z?>0,且一十不=1,則&SD最小值是3十2五

ab

12.若（以-4乂/+沖之0對任意恒成立，其中。，〃是整數(shù)，則〃+〃的可能取值為（）

A.-7B.-5C.-6D.-17

三、填空題

Y*—x—6<0

13.設命題〃：實數(shù)x滿足4ar+3a2<0,其中。>0,命題心實數(shù)尤滿足，.。八，若力

x~+2x-8>0

是9的必要不充分條件，則實數(shù)〃的取值范圍為

221

14.設。>2Z?>0,則“+茄+q（q_2（）的最小值為?

15.若不等式f-54+6<0的解集也滿足關于x的不等式2f-9x+a<0,則〃的取值范圍是.

16.設函數(shù)/（x）=f+2x+a,若關于光的不等式/（〃x））<0的解集為空集，則實數(shù)。的取值范圍

為?

四、解答題

17.設a,b,cwR,a+b+c=0,abc=\.

（1）證明：ab+bc+ca<Q；

（2）用max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值，證明：max{a,b,c}>^4.

18.甲廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求l?x<10）,每小時可獲得利潤是

3

100（5%+1-二）元.

x

⑴要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍；

⑵要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤.

19.己知乂），為正實數(shù)，且滿足x+y=L

（1）若封恒成立，求施的最小值;

（2）證明：+…”.

VV力2

20.設實數(shù)4,〃,〃?￡/?,若滿足3-M2cS-m）2,則稱4比力更接近機.

⑴設2x比x+1更接近0,求X的取值范圍；

r4-V—2m

⑵判斷“———<-1”是“上比更接近…的什么條件？并說明理由；

（3）設x>0且x/正，尸與，試判斷x與）'哪一個更接近&.

x+]

?'?方程ov?+Zzr+c-0的兩根為-2和1.H.a<0,

不等式cP-at+〃>002x2+x-l>0,

解得x<-l或％》（，

2

二不等式c/_3+b>0的解集為S-1）嗚收）.

故選：D.

5.B

【分析】

由不等式的性質可判斷①②③，取特殊值可判斷④.

【詳解】

選項①a2>秘2,由不等式的性質可得，正確；

選項②若”>力，c>d,由不等式的可加性可得a+c>〃+d正確；

選項③若。>〃>0,c>d>0,則ac</M錯誤；

選項④。>〃，則一>工錯誤，比如—1>—2,但―-<—■.

ab-1-2

故選：B

6.B

C22

【分析】原不等式即2"+1…二j,再利用基本不等式求得二彳的最大值，可得”的范圍.

“十X+一

XX

c12.v2

【詳解】依題意得，當x>0時，7百":"恒成立，

X十一

X

4

又因為X+—..4,當且僅當x=2時取等號，

x

2

所以，［的最大值為:，

XH--N

X

所以2a+l..〈，解得〃的取值范圍為

24

故選：B

7.B

n-m

x=----

【分析】令，〃=工一九〃=4x-y,則3,然后根據(jù)不等式的性質即可求出答案.

n-4m

y=-----

13

n-tn

x=----

【詳解】解：令加=不一兒〃=貝叫,,

n-4m

85

貝ljz=9x-y=-n--m,

-4<in<-\,

333

又

8/8,40

?二<-H<,

333

QC

,-1<z=9x-y=—〃——tn<20,

33

故選：B.

【點睛】本題主要考查不等式的性質的應用，考查邏輯推理卻計算能力，屬于中檔題.

8.B

【分析】兩次應用基本不等式可得最值，注意等號成立.的條件是一致的.

【詳解】解：因為，心>0,則。2+6+」+1224)+」+整2」2。。一!-+1=3,

2ablabY2ab

當且僅當2"=」且。=力時取等號，即〃二人二立時取等號，

2ab2

此時取得最小值3.

故選:B.

【點睛】本題考查用基本不等式求最小值，本題兩次應用了基本不等式，應強調兩次應用基本不等式

時等號成立的條件必須相同，即等號同時取到.

9.ABD

【分析】利用基本不等式判斷A、B、D,消元、結合二次函數(shù)的性質判斷C.

【詳解】因為。1>0,且a+b=l,

對于A：(&+〃)=a+b+2\[ab=1+2\[cib<\+a+b=2,當且僅當a=8=g時取等號,

所以G+振工夜，當且僅當時取等號，故A正確；

對于B：抬出+加+加1+4+*葉+2日-%

當且僅當2=半，即4=?、力=]時取等號，故B正確；

ab33

(I-/?)2+4//=5//—20+1=5(力一+瀉，當且僅當力號、〃二，取等號，故C

對于c：a2+4b2

不正確；

對于D：—+—+1=—+—+a+/?>2.1a--+2.1b--=4,

abab7aNb

當且僅當時取等號，故D正確.

故選：ABD

10.BC

【分析】根據(jù)基本不等式可求得0<孫工1，判斷A,將%+)，+歲-3=。變形為3-(1+)，)=D<(=

4

結合基本不等式，判斷B,由》+丁+冷=3=。整理得到工=-1+—;結合基本不等式可判斷CD.

【詳解】對于A,因為x>0,y>(),

所以當且僅當年X時取等號，

由x+y+肛-3=0=>3—；9，=x+y,

即3-肛22A后，解得0<7^WI,

即0<孫KI,A錯誤；

對于B,由x>0,y>0,3-(x+y)=xv<

當且僅當犬二丁時取等號，

得(x+)，『+4(x+y)-12“，

所以x+”2,

又3-(x+)')=.q，>0,

所以x+y<3,即2Kx+y<3,

故B正確;

對C選項，因為3>x>0,3>y>0,x+y+x>^-3=0,

-y+3

得x=

),+1

4

所以x+2y=-l++2y=—+2(y+l)-3>4>/2-3,

y+1

4

當且僅當一-=2(>'+l),即1時等號成立，C正確,

)’+1

—V4-3

對于D,C選項知：%=一~^=T+

y+1)'+1

44I4

貝ijx+4），=_l+——-+4y=——-+4（y+l）-5>2----4（y+l）-5=3,

y+\y+1Y），+l'

4

當且僅當一r=4（），+l）,即產(chǎn)。時等號成立，但y>0,

所以x+4y>3.（等號取不到），故D錯誤；

故選：BC.

11.AD

【分析】根據(jù)選項中各式的特點，進行適當變形，使用基本不等式進行判斷.注意“1”的妙用及等號

能否取到.

【詳解】對于A,由可得

由基本不等式可得y=2x+—!—=-[（1一2幻+—!—]+14-2?1-2外?——+1="1,

2x-\l-2xV\-2x

當且僅當l-2x=」；一即x=0時取等號，

\-2x

所以），=2x+4；的最大值為—1,故A正確；

2x-l

對于B,y/x2+4+-=J=>2bx2+4-.1=2,

“+4VJx+4

當且僅當‘）+4=WZ時等號成立，但此時x無解，等號無法取得，

則最小值不為2,故B錯誤；

14III41

對于C,由〃+/7+C=2可得-+-+=-(r+-+)(?+/>+/>+c+fl+c)

a+bb+cc+a4a+bb+cc+a

1b+c4(a+b)4(“+c)b+ca+ca+b、

=-[6+---+—-----+—-----+----++----]

4a+bb+cb+cc+aa+bc+a

>1(6+2、+14^777777+gR=4,

4\a+bb+cVb+cc+a\a+bc+a

當且僅當〃+c=2(a+〃)=2(c+a)且〃+/?+c=2,即a=0,b=l,c=l時，等號成立,

由于“，b,。均為正實數(shù)，則等號取不到，故C錯誤；

12

對于D,由—?—=1可得

ab

代入至ij-\)=cib-a=a+b={a+b)(—+—)=3+—+—>3+2.—-—=3+2后，

ababNab

當且僅當2=學即。=0+1,〃=2+應時，等號成立，故D正確.

ab

故選：AD.

12.BCD

【分析】對〃分類討論，當人20時，由（仆-4乂丁+""0可得以-420,由一次函數(shù)的圖象知不存

在；當/”()時，由(奴-4乂丁+匕)20,利用數(shù)形結合的思想可得出。力的整數(shù)解.

【詳解】當此()時，由(蛇一人/十人”?？傻?.420對任意xe(-8,0］恒成立,

即對任意xe(—,0］恒成立，此時。不存在：

當〃<0時，由(如-4乂對任意X?YO,0］恒成立,

可設/(力=(仇一4,8(工)=/+〃,作出/(x),g(x)的圖象如下,

a=-\d=-4a=-2

匕是整數(shù)可得或1或

b=-\6b=-4

所以a+A的可能取值為-17或-5或-6

故選：BCD

【分析】解不等式求出其〃國對應的集合，根據(jù)力是*的必要不充分條件，可得集合間的包含關系,

列出不等式組，即可求得答案.

【詳解】解/一4妝+3/<0，其中00,可得a<x<3a,

X2-X-6<0J-2<x<3

解叫《4或可得2d,

X2+2X-8>0

因為是9的必要不充分條件,

Xp:{x\a<x<3a},則力：{x|xWa或x23〃},q：{x|2<xK3},

則{x|2vx43}{x|x<an￡x>3?},

a>0a>02

所以或，解得或aN3,

3?<2a>3

故實數(shù)a的取值范圍為0，￡U［3,+8),

LJ

(yl

故答案為：0,-O[3,-Hx)

LJ

14.6

【分析】對式子進行變形，然后利用基本不等式求解即可.

2121

[詳角W+—-7-------r=a(〃-2/?)+2cib4+---------r

1廿附」aba(a-2b),)aba(a-2。)

>2p(/7-2/7)x---5------+2llabx—=2+4=6,

X{)a(a-2b)Vab

當且僅當取等號,即_6取等號，

.=T

221

所以"+茄十所函的最小值為6?

故答案為：6

15.(Y,9]

【分析】解得不等式/一51+6<0的解集，令/。)=2/_9尤+〃，根據(jù)不等式/一5丹6<0的解集也

滿足關于x的不等式2/_窕+。<0,列出不等式組，即可求得答案.

【詳解】解不等式f一51+6<0可得2vxv3,即不等式f一54+6<0的解集為(2,3)

因為不等式/-5x+6<0的解集也滿足關于"勺不等式2/_"+a<0，

f(2)<08-18+fl<0

故令/(x)=2x2-9x+a,則4"

f(3)<018-27+?<0

解得aW9,

即。的取值范圍是(f，9],

故答案為:(一8,9]

【分析】根據(jù)題意，設/(“=/，可知d4-1,從而將不等式/(/(")<0的解集為空集，轉化為

〃，)<0在區(qū)間[afy)上的解集為空集，從得出而尸a+lf+a-lZO在區(qū)間[a-1,+00)上恒成立,

根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質，得出)，=(f+l>+a-l,開口向上，對稱軸為f=-l,且A=4-4a,分

類討論△<()和△>()兩種情況，進而根據(jù)一元二次不等式恒成立問題，即可求出。的取值范圍.

【詳解】解：根據(jù)題意，可知/(x)=f+2x+a=(x+l『+a-l之a(chǎn)-l,

設/(x)=r,則/Na—1,

因為不等式/(〃x))<o的解集為空集，

即/(，)<。在區(qū)間［。-1，*。)上的解集為空集，

即)，=/2+2/+4=(/+1)2+〃一1<0在區(qū)間［。-1,位)上無解，

所以>=(1+1)2+4-120在區(qū)間［4—1，心)上恒成立，

對于二次函數(shù)y=(f+l)2+a—l,開口向上，對稱軸為/=一1,

/.A=4-4?,

當△=4一4。<0,即。21時，則

所以)，=(/+l)2+a—12()在區(qū)間［a—1,包)上恒成立，符合題意；

當△=4-4。20,即aWl時，

令y=(7+1)-+a-1N0,解得：/<-1—>J\-a/>-1+>J\—ci>

要使得y=(/+l『+a-l之0在區(qū)間上恒成立，

只需滿足〃一1>，=一1且〃一1之一1+Jl-a，

即。>0且。2+。一1之0,解得：a<士正(舍去)或

22

又因為401,故解得：~］+y^<a<\,

2

綜上得，實數(shù)〃的取值范圍是三5,+8.

-/

故答案為：芳叵，+8)

17.(1)證明見解析(2)證明見解析.

【分析】(I)方法一：由(a+〃+c、)2=〃2+〃+/+2(心+2址+2/%、=0結合不等式的性質，即可得出

證明；

(2)方法一：不妨設max{a,Ac}=a,因為。+b+c=O,aZ?c=1,所以a>0,Z?<0,cvO,

a=(")+(—c)N2癡=25，則a~4,a之班.故原不等式成立.

【詳解】(I)［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法

(^a+b+c)"=a2+b2+c2+lab+2ac+2JJC=0,

：.ab+be+ca=-^a2+b2+c2).

4人。=1,「.4,〃,(?均不為0,則/+6+不>。，ab+bc+ca=-^a2+b~+c2^<0.

［方法二］:消元法

由a+b+c=0得b=—(a+c),則a力+be+ca=Z?(a+c)+ca=-(a+c)?+ac=~(a2+4+/)

|2-1?<0,當且僅當。=〃=c=0時取等號,

又4權=1,所以“〃+歷+(?4<0.

［方法三］:放縮法

方式1：由題意知aw。,a+匕+c=0,a=—(c+Z?),=(。+〃/=°2+〃2+2cbN4Ac,乂

ab+bc+ca=a(b+c)+bc=-2+bc<.-a2+—=-—<0,故結論得證.

a44

方式2：因為〃+〃+c=0.

所以0=(a+〃+蛾=/+〃+/+2ab+2bc+2ca

=；[(/+")+("+/)+(d+1/2)]+2ab+2bc+2ca

>2ab+2bc+2ca)+lab+2bc4-2ca-3(ab+be+ca).

即出?+權*+840,當且僅當。=8=。=0時取等號,

又abc=1,所以〈而+從+的<0.

［方法四］:

因為4+〃+c=0,"c=l,所以小b,c必有兩個負數(shù)和一個正數(shù),

2

不妨設〃W〃<°<c,則a=—(〃+c),ab+bc+ca=bc+a(<c+b)=bc-a<0.

［方法五］:利用函數(shù)的性質

方式1：6Z?=-(6/+C),令/(c)=ab+be+ca=-c2

二次函數(shù)對應的圖像開口向下，又abc=l,所以aw。,

判別式△=/—4a?=—3a2V0，無根,

所以/(c)<。，即ab+be+ca<0.

方式2：Tg/(x)=(.r-t7)(x-/?)(.r-c)=x3+(fl/?+Z?c4-ra)x-l,

則,f(x)有“，b,c三個零點，若ab+bc+caNO,

則/(“為R上的增函數(shù)，不可能有三個零點,

所以4〃十氏?tCW＜0.

(2)［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法

不妨設max{a。,。}=a，因為a+b+c=。"加=1,所以4>0,匕<0“<0,4=(-3+(_<?)>2yfbc=

則蘇244N澗.故原不等式成立.

［方法二］:

b+c=-a,

不妨設max{〃,/?,c}=〃，因為a+〃+c=O"而c=l,所以。＞0,且，|

bc=—,

a

則關于x的方程/+心+』=0有兩根，其判別式A=/一即"之孤.

aa

故原不等式成立.

［方法三］:

不妨設max{a,/?,c}=。，則。>0,/)=—(a+c),abc=\,-(a+c)ac=tac2+a2c+\=0,關于c?的方程有

解，判別式△=(/)2-4〃20,則/之4,。之次.故原不等式成立.

［方法四］:反證法

假設max{a,b,c}〈直,不妨令＜/，則"=：＞七，一〃一/?=(?＜次，又

2

孤＞一〃一622而＞南=2*=加，矛盾，故假設不成立.即max{a,hc}之正，命題得證.

【整體點評】(1)方法一：利用三項平方和的展開公式結合非零平方為正數(shù)即可證出，證法常規(guī)，

為本題的通性通法，也是最優(yōu)解法；方法二：利用消元法結合一元二次函數(shù)的性質即可證出；方法三：

利用放縮法證出；方法四：利用符號法則結合不等式性質即可證出；方法五：利用函數(shù)的性質證出.

(2)方法一：利用基本不等式直接證出，是本題的通性通法，也是最優(yōu)解；

方法二：利用一元二次方程根與系數(shù)的關系以及方程有解的條件即可證出：方法三：利用消元法以及

一元二次方程有解的條件即可證出；方法四：利用反證法以及基本不等式即可證出.

18.(1)3＜x＜10(2)x=6時，％.=您:消觸元

【詳解】⑴根據(jù)題意，200||＞3000,即5x-14—4.乂1鄴10,可解得3鄴10.

\X)x

(2)設利潤為y元，則丫=出400(5葉1一^/gxlO4-30一口+普，

xVX)\x6)12

故x=6時，ymax=457500%.

9⑴;；⑵證明見解析.

【解析】（I）利用基本不等式的變形形式孫工（亨）（、=>,時取等號）求得個的最大值，即得機的最

小值；

（2）先利用“乘1法”轉化，使用基本不等式證得'+,24,在利用基本不等式的變形形式

xy

,,（a+b）21Y（1丫、25

a2+b2>------止得x+-+y+-^―.

21xjIyj2

【詳解】解：（1）因為x>0,y>0,x+y=\t

由基本不等式得冷，4（亨）=；,當且僅當x=y=g時取等號.

因為孫金〃恒成立，所以加之,〃?的最小值為；

44

11']1、尤Y

（2）因為一+-