第一章空間向量與立體幾何（A卷基礎(chǔ)卷）

考試時間：1（）（）分鐘；

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一.選擇題（共8小題）

1.（2020春?和平區(qū)期中）已知空間向量二_（3,1,3）,"（b7），且二〃2則實數(shù)九=（）

11

A.——B."3C.—D.6

33

2.（2020春?點軍區(qū)校級月考）在正四面體P-"C中，棱長為2,且E是棱AB中點，則品.藍的值為（）

7

A.-1B.1C.x/3D.-

3

3.（2020春?點車區(qū)校級月考）設(shè)x,y￡R,向量：=（x,1,1）,%=（1,），，I）,1=（2,-4,2）,且

b〃c，則J+b尸（）

A.2業(yè)B.回C.3D.4

4.（2019秋?焦作期末）在AA8C中，。是線段A8上靠近B的三等分點，￡是線段AC的中點，BE與CD

交于產(chǎn)點，若g=%+/）￡?則小〃的值分別為（）

11111111

A.一,—B.一,—C.—.-D.一,一

24423523

J2

5.（2019秋?榆樹市期末）若向量；=（i,九1）,1=（2,-1,-2），且:與力的夾角余弦為二，則入等于

6

（）

A.-y/2B.企C.一也或企D.2

6.（2020?山東）日晝是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晝面垂直的唇針投射到唇面的影子來測定時

間.把地球看成一個球（球心記為O）,地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A

處的水平面是指過點4且與。A垂直的平面.在點A處放置一個口唇，若唇面與赤道所在平面平行，點

4處的緯度為北緯40。，則號針與點A處的水平面所成角為（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

7.（2019秋?龍巖期末）如圖所示，在平行六面體人BCD-A&G5中,AB=a'AD=b'AA\=C>M是

T1

D|。的中點，點N是A。上的點，且/1N=—4Q，用；，；表示向量時"的結(jié)果是（）

3

ITIT4T

A.—a+b+cB.—aH—b+—c

2555

IT3tIT1-2T1-

C.-a--b--cD.—a--b--c

5105336

8.（2020?茂名二模）己知六楂錐尸-4BCQM的底面是正六邊形，以_1_平面A8C,PA=2AB.則下列命題

中正確的有（）

①平面附B_L平面PAE\

②PB_LAD；

③直線。。與尸尸所成角的余弦值為亙;

5

④直線PD與平面ABC所成的角為45。；

⑤CO〃平面PAE.

A.(D?B.①?④C.②③⑤D.(D@④⑤

B.

評卷人得分

二.多選題（共4小題）

9.（2019秋?連云港期末）已知點P是AABC所在的平面外一點，若幾=（-2,1,4）,筋=（1,-2,

1）,元=（4,2,0）,則（）

A.APA.ABB.AP1BPC.BC=國D.AP//BC

1（）.（2019秋?南通期末）設(shè)；。；是空間一個基底（）

A.若小"匕與，則

B.則:。:兩兩共面，但二。最不可能共面

C.對空間任一向量;，總存在有序?qū)崝?shù)組（X,y,Z）,使"二4+J+ZC：

D,則：+，，/+；，：+定能構(gòu)成空間的i個基底

11.（2019秋?建鄴區(qū)校級期中）已知點P是平行四邊形ABCO所在的平面外一點，如果.%=（2,-I,-

4）,Aj=（4,2,0）,Ap=（-1,2,-I）.下列結(jié)論正確的有（）

A.APA.AB

B.APA.AD

C.4j是平面48CD的一個法向最

D-AP7/BD

12.（2019秋?莉澤期末）如圖，在四棱錐P-/WCO中，底面為直角梯形，AD//BC,/84。=90。，以_1_底

面48CO,且必=AQ=A8=28C,M、N分別為PC、P8的中點.則（）

A.CD1AN

B.I3D1PC

18.（2020?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，四棱臺A8S-A山］的底面是矩形，平面A8COJ.平面"8內(nèi),

4B=24S=2,A4）=2,8/=*.

（1）求證：DC±AA］；

（2）若二面角8-CG-。的二面角的余弦值為-科，求AD的長.

19.（2019秋?清遠期末）如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面ABC。為平行四邊形，ND4B=45。，？。_1平

ffiABCD,APLBD.

（1）證明：BC工平面PDB,

（2）若相=也,P8與平面APO所成角為45。，求點8到立面/1PC的距離.

20.（2020?安徽模擬）如圖1,四邊形P8C。是等腰梯形，BC/7PD,PB=BC=CD=2,尸。=4,A為PD

的中點，將△ABP沿48折起，如圖2,點M是棱尸。上的點.

（1）若M為P。的中點，證明：平面PCO_L平面ABM：

（2）若PC=#,試確定M的位置，使二面角M-AB-。的余弦值等于

5

B€

B

圖?圖2

21.（2019秋?揚州期末）如圖，直三棱柱ABC-A/iG中，A4=8C=CA=AA|=2,點。為A8中點，點

D為44|中點.

（1）求平面A8C與平面8|CZ）所成銳二面角的大?。?/p>

（2）已知點E滿足盛1G（0三2三1）,當(dāng)異面直線。E與CS所成角最小時，求實數(shù)人的值.

第一章空間向量與立體幾何（A卷基礎(chǔ)卷）【答案版】

一.選擇題（共8小題）

1.（2020春?和平區(qū)期中）已知空間向量：=（3,1,3）,；=（-1,X,-1）,且益〃；，則實數(shù)入=（）

11

A.--B.-3C.-D.6

33

-l=3k1

【解答】解：????；〃；，???可設(shè)a-—；，?.?4=%，解得入=&=--.故選：兒

mnm-n[_i=3/c3

2.（2020春?點軍區(qū)校級月考）在正四面體P-"C中，棱長為2,且E是棱AB中點，則后.左的值為（）

7

A.-1B.1C.J3D.一

3

【解答】解：如圖，--AOC為正四面體，則々人〃〃=60。，￡足棱入。中點，

T1TT,.1_.

所以PE=-(P/14-PB)BC=PC-PBW以PE?8。=](P4+PB)*PC-PB)

=—PA-PC+—PB-PC--PA-PB--PB=—x2x2xcos60°-—x22=1-2=-1,故選：A.

222222

3.(2020春?點軍區(qū)校級月考)設(shè)x,>GR,向量;=(x,1,I),￡=(1,y,1),；=(2,-4,2),且

a'c，b"c，則J+b尸（）

A.Z?B.710C.3D.4

【解答】解：設(shè)&y￡R，向量展=（M1，1），h=（%丫，1），：=（2，?4,2）,

2x-4+2=0

且;_L：:/屋，：.1=，=L解得工=1，y=-2,

2-42

+；=(1，1，1)+(1，-2,1)=(2,-1,2),???|；+1=\/4+1+4=3.故選：C.

4.（2019秋?焦作期末）在A48C中，。是線段A8上靠近8的三等分點，E是線段AC的中點，BE與CD

交于尸點，若6=%+/）啟則小〃的值分別為（）

11111111

A.一,—B.一,—C.一,—D.—.一

24423523

【解答】解：取AQ的中點為G,連接G及由已知得GE〃CD,所以。/〃EG,又因為。是G8的中點，

TITT1ITIT1>

所以尸是BE的中點，所以4"=-{AB+AE）=~{AB+-AQ=-AB+-AC.

22224

11

一?b——.故選：A.

24

J2

5.（2019秋?榆樹市期末）若向量；=（i，九1）,力=（2-1,-2Y且：與力的夾角余弦為二，則人等于

6

()

A.-隹B.企C.-也或企D.2

J2

【解答】解：：向量0=（1,九1）,8=（2,-1,-2），Q與》的夾角余弦為不，

TT

-ta-b

/.cos<a,b>=--------------,-——=—,解得入=-也.故選：兒

6

\a\-\b\/2+%?0

6.（2020?山東）F1展是中國古代用來測定時間的儀器，利用與卷面垂直的孱針投射到孱面的影了?來測定時

旬.把地球看成一個球（球心記為O），地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A

處的水平面是指過點4且與。4垂直的平面;在點A處放置一個日唇，若屬面與赤道所在平面平行，點

4處的緯度為北緯40。，則輕針與點4處的水平面所成角為（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

【解答】解：可設(shè)4所在的緯線圈的圓心為0',0。垂直于緯線所在的圓面，

由圖可得NOH4為屬針與點A處的水平面所成角，又NOAO,為40。且OAJ_4”,

在RSOAM中，O'AA_OH,ZOHA=ZOAO'=40°,故選：B.

7.（2019秋?龍巖期末）如圖所示，在平行六面體ABCO-A/|C]D]中，幾=京R=1，高=；，M是

T1

5。的中點，點N是八G上的點，且4N=-/4C1，用：，片，;表示向量的結(jié)果是（）

3

1---ITIT4T

A.—a+b+cB.—aH—b+—c

2555

1-3tITIT2TL

C.-a--b--cD.—a--b--c

5105336

1TTT1T1-

【解答】解：???加是GD的中點，AN=-/Ifr*.

MN=MD+DA+AN=~萬。0-4。+-ACX

ITTITTT

=--AAX-AD+-（AAx+AD+AB}=-AB--AD--AAX=-a--b--c.故選：D.

23336336

8.（2020?茂名二模）已知六棱錐P-ABCQEF的底面是正六邊形，%_L平面48C,PA=2AB.則下列命題

中正確的有（）

①平面物B_L平面PAE\

②P8_L/IQ；

③直線CD與尸F(xiàn)所成角的余龍值為“；

5

④直線PD與平面A8C所成的角為45。；

⑤C?！ㄆ矫鍼AE.

p

A.①④B.?@?C.②③⑤D.④⑤

【解答】解：_L平面A4C,：,PA1,AB,在正六邊形44co石/中，A131AE,PAC\AE=A,：.ABA.^

面以E,且A3u面%8,???平面以4_L平面以E,故①成立；

?；4。與PB在平面的射影AB不垂直，，②不成立；

料

'JCD//AF,直線CO與P/所成角為NP放，在Rt△辦戶中，PA=2AF,??.cosNP以=」，，③成立.

5

在Rt△必。中，PA=AD=2AB,：.ZPDA=45°,故④成立.

???CO〃A尸〃平面以凡平面南開1平面%F=B4,工直線CD〃平面附石也不成立，即⑤不成立.

二.多選題（共4小題）

9.(2019秋?連云港期末)已知點P是AABC所在的平面外一點，若京=(-2,1,4),Ap=(1,-2,

1),^c=(4,2,0),則()

A.AP1ABB.APIBPC.BC=廓D.AP//BC

【解答】解；人.力p?{8=_2-2+4=0,*9AP^~AB,因此正碓.

=BA4-AP=(2，-1?-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),月產(chǎn)力。=3+6-3=6#0,.\AP

與8尸不垂直，因此不正確.

222

C.BC=AC-AB=(%2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),.\|^|=x,'6+I+(-4)=^53，

因此正確.

(1=6k

D.假設(shè)4=3"，則之系無解，因此假設(shè)不正確，因此AP與8c不可能平行，因此不正確?

故選：AC.

10.(2019秋?南通期末)設(shè):Z［是空間一個基底()

A.a^-h'b'c，則a'c

B.則：J；兩兩共面，但京t,1不可能共面

C.對空間任一向量p；總存在有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使口=%0+,，+2；

D.則展+。h+cf；+；一定能構(gòu)成空間的一個基底

【解答】解：由京。［是空間一個基底，知：在A中，若社。則:與之相交或平行，故斗錯

誤；在8中，晟。:兩兩共血，但〉。pb可能共面，故8止確；

在C中，對空間任一向量J總存在有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使：_無；+丫，+/［故C正確；

在。中，a+bf，+J1+；一定能構(gòu)成空間的一個基底，故。正確?故選：BCD.

11.(2019秋?建鄴區(qū)校級期中)已知點P是平行四邊形ABCO所在的平面外一點，如果前=(2,-1,-

4),A=(4,2,0),Ap=(-1,2,-1).下列結(jié)論正確的有()

A.APA.AB

B.APYAD

C.筋是平面ABCQ的一個法向量

D-AP7/BD

【解答】解：對于4AB*AP=2x(-?)+<-1)y2+(-4)x(-1)=0,-AP^-ABf即人尸，4從

,4正確；對于&4M八=(-1)X4+2X2+(-1)x0=0,二心工八，即人P_L/W,B正確;

對于C，由力2_1-力9，且4pJ?4D，得出4P是'I',面46。。的一個法向量,C正確；

對于。，由是平面A8CO的法向量，得出力8、，則。錯誤.故選：ABC.

12.(2019秋?薄澤期末)如圖，在四棱錐P-4BC。中，底面為直角梯形，AD//BC,ZBAD=90°,%_1_底

ffiABCD,且必=AO=AB=28C,M、N分別為PC、PB的中點.則（)

A.CD1AN

B.BD1PC

C.P8JL平面ANMO

D.8。與平面ANM。所在的角為30。

【解答】解：A顯然錯誤；

若BDUC,由8Q_L附，則6O_L平面以C,則8O_L4C,顯然不成立；

C、PR工AN,又Pn，NM,可得到。成立；

D、連接DN,因為PB_L平面ADMN,所以NBDN是BD與平面ADMN所成的角在RMDN中,

BN1

sin^BDN=—=一，所以8。與平面AQMN所成的角為30。成立；故選：CD.

BD2

三.填空題（共4小題）

71

13.（2019秋?房山區(qū)期末）設(shè)。是直線與平面所成的角，則角G的取值范圍是」^

2

【解答】解：。是直線與平面所成的角，當(dāng)直線在平面內(nèi)或直線平行于平面時，0取最小值0,

717171

當(dāng)直線與平面垂直時，e取最大值2，???角e的取值范圍是［o,-j.故答案為：io,

14.（2019秋?溫州期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（-1,2）關(guān)于x軸的對稱點為4'（-1,-2）,那么，

在空間直角坐標(biāo)系中，B（-1,2,3）關(guān)于x軸的對稱軸點B'坐標(biāo)為（7,■中?3）,若點C

（1,-1,2）關(guān)于xOy平面的對稱點為點C,則

【解答】解：在空間直角坐標(biāo)系中，8(-1,2,3)關(guān)于x軸的對?稱軸點8坐標(biāo)為(-1,-2,-3),

若點C(l,-1,2)關(guān)于xO.y平面的對稱點為點C,則CM,-I,-2),

A\B'C\=7(1+1)2+(-1+2)24-(-2+3)2=V6.故答案為：(-1,-2,-3),乖.

71

15.(2020?楊浦區(qū)一模〉己知圓錐的底面半徑為1cm,側(cè)面積為2r.cm2,則母線與底面所成角的大小為一.

一3一

V1

【解答】解：由圓錐側(cè)面積公式5=?！?兀?1?/=2兀，解得1=2,設(shè)母線與底面所成角為0,則8sH=—=一,

I2

7171

???9=一，故答案為：一.

33

16.(2020春?和平區(qū)校級月考)如圖，在正四棱柱A8co-A|8|GQ|中，底面邊長為2,直線CQ與平面

1

AC。所成角的正弦值為一，則正四棱柱的高為4

3

【解答】解：以。為坐標(biāo)原點，DA,DC,所在直線分別為X軸，)，軸，z軸建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，

設(shè)=。，則A(2,0,0),C(0,2,0),Di(0,0,〃)，故

TTT

，4。=(-2,2,0),<。1=(-2,0,a),“i=(0,0,a)f

_?n?AC=-2x+2y=0-+2

設(shè)平面ACQ]的一個法向量為丁一(y則，可取n=(l,1,一)，

兀一1%,y,z)[nAD1=-2x+az=0a

--n,CCi22

故cosVn，CCj>=-----——二—

"InlICCJQ412a2+4'

1

乂直線CCi與平面ACD｝所成角的正弦值為一,

3

21

，=J,解得〃=4.故答案為：4.

12a2+43

匕::y

四.解答題（共5小題）

17.（2020?長春四模）如圖，四棱錐P-A8CQ中，底面A8C。為梯形，AB//DC,/84。=90。，點￡為

1

PB的中點，且CO=2人￡>=2AB=4,點”在C。上，旦。尸=一/C.

3

（I）求證：E/〃平面PAD；

（II）若平面％D_L平面/WCD,%=PO且附_LPO,求直線小與平面P8廠所成角的正弦值.

II1

【解答】解：（I）證明：取玄的中點，連接。M,EM,在△RtB中，ME為一條中位線，則MA'=[48,

2

it1it

乂由題意有，?！?—48，故ME=Z）戶???四邊形DFEM為平行四邊形,

2

：.EF//DM,又E/y平面必OMu平面粗。，,石尸〃平面以D；

（II）取中點M8c中點〃，連接PN,NH,

由平面以。_L平面A3C。，且PN_LA。，平面以0n平面A3CQ=A。，可知PNL平面A3CD,

又AD1NH,

故以N為原點，NA,NH,NP所在直線分別為x軸，），軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則

P(0,0,1),A(l,0,0),8(1,2,0),F(-1,1,0),BP=(-1,-2,1),8F=(-2,-1,0)'

一口->

川r,.m匕-B前P=-a-2b+c=0可取，，

設(shè)平面PB/的一個法向量為m=(06c)，=-2I+c=0'm=d-2,-3)

一PA-m2"

乂P/l=(l,0,_1)'故|cosVP/l,m>|=I———\=-,

\PA\\m\

2M

???直線PA與平面P8F所成角的正弦值為

7

18.(2020?沙坪壩區(qū)校級模擬)如圖，四棱臺A8CO-4B￡D|的底面是矩形，平面A8CQ_L平面ABB內(nèi),

A8=2A聞=2,M=2,BBI=G

(1)求證：OC_LA4i；

；10

(2)若二面角8-CG-。的二面角的余弦值為一^—,求,4力的長.

10

【解答】解：(1)取A8中點E,連接81E4E=4|B|,且

所以四邊形AE3|A|為平行四邊形，所以8|￡=AA|=2,BE=\,所以Z?。"=⑶產(chǎn)+小產(chǎn)，則歷E,

所以AA|_LAB,又平面ABCOJ_平面ABB',所以441_L平面ABCQ,所以。C_LA4i；

(2)由(1)知M_LAD,設(shè)40=2a(40),建系如圖，

則4(0,0,0),B(0,0,2),C(2d,0,2),D(2a,0,0),C\(a,2,I),

故CCI=(-Q,2,-1),DC=(0,0,2),?C=(2Q,0,Oy

?TT

,CC\-n=0-ax+2y-z=0->

設(shè)平面。的法向量*=(%,丫，,則/T=

CGz)2z=()?可取TI=(2,a,0)'

DCn=0

設(shè)平面BCG的法向量m=(%,y,/)，則--={2ax^=0，可取m=(0,1.2)

BC-m=0

--n-m

所以cos{n,m)=--------------

\n\-\m\

由二面角B?CC「D的二面角的余弦值為-a;10

J,洱-------.-.....

104.再410

解得。=2,所以AO=4.

19.(2019秋?清遠期末)如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面ABC。為平行四邊形，NQ4A=45。，夕。_1_平

[0ABCD,APLBD.

(1)證明：灰小平面2。&

(2)若4?=\憶P8與平面"。所成角為45。，求點8到立面APC的距離.

【解答】解：(1)證明：???PO_L平面ABC。，3c在平面A8C。內(nèi)，在平面A8C。內(nèi),

，PD_LBC,PD1BD,乂APLBD,APC\PD=P,且4P,。。均在平面4Po內(nèi)，

???8。_1_平面APO,又4。在平面APO內(nèi)，???8￡)_LA。，又底面A8CQ為平行四邊形，

1BCLBD,又PDCBD=D,且都在平面PB。內(nèi)，??平面加；

(2)由(1)知，尸8與平面4P。所成角即為N8PD,故NBPO=45。，

又AB=也,ZDAB=45°,

(1-

?'?AD=BD=PD=1,AP=Ql+1=>/2,pc=\/l+2=y/3.AC=2—h1=4，

」4

1J61廠超1

222X

：.AP+PC=AC,即AP_LCP,：.S^APC=-X^2X^=—^ABC=-1X42X—=-，

22乙乙乙

又Vp.ABC=yB-PAC^

111\，6J6....一J6

—SAABC,PD=—$△/>〃,》即一x1=—hf解得力=—?即點8至lj平面APC的距離為—.

332266

20.(2020?安徽模擬)如圖1,四邊形P8C。是等腰梯形，BC//PD,PB=BC=CD=2,PD=4,A為PD

的中點，將“HP沿A3折起，如圖2,點M是棱尸。上的點.

(1)若M為尸。的中點，證明：平面PCOJ_平面A8M：

廠護

(2)若0C=也，試確定M的位置，使二面角M-48-。的余弦值等于二.

【解答】解：(1)證明：由題意，AD=BC,且AO〃8C,故四邊形A8CO是平行四邊形，

又PB=BC=CD=2,尸。=4,???△尸84是正三角形，四邊形ABC。是菱形，

取AB的中點E,連接PE,CE,易知△ABC是正三角形，則AB_LPE,AB±EC,

又PECEC=E,??.A8_L平面PEC,/.AB±PC,

取尸。的中點N,連接MMBN,MMN//CD//AB,即A,B,N,M四點共面，

又PB=BC=2,則用V_LPC,又ABCBN=B,，夕。_1平面ABM,又PC在平面PC。內(nèi)，

，平面PCO_L平面ABM；

??^

(2)VPE=CE=2x—=木,pc=y/6f*?PEA.EC,

2

又AB_LP￡且A8_L￡C,則可以E8,EC,A8所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4-1,0,0),8(1,0,0),0(-2,80),P(0,0,我，設(shè)DM=AMP(A>0)'則

-2\B例

M(---------,----------,----------)，

1+A14-A14-A

易知平面ABD的一個法向量為：=(o,0,1),

TTT—1+A{3j3a

設(shè)平面MAA的一個法向量為巾=(x