專題13.1三角形中邊的關(guān)系(舉一反三講義)

【滬科版2024]

題型歸納

【題型I三角形的有關(guān)概念】....................................................................2

【題型2三角形的分類】........................................................................4

【題型3利用三邊關(guān)系判斷能否組成三角形】.....................................................7

【題型4利用三邊關(guān)系求參數(shù)范圍】.............................................................8

【題型5利用三邊關(guān)系化簡】...................................................................10

【題型6利用三邊關(guān)系求最值】.................................................................12

【題型7利用三邊關(guān)系取舍值】.................................................................15

【題型8利用三邊關(guān)系證明線段的不等關(guān)系】....................................................18

【題型9三邊關(guān)系的應(yīng)用】.....................................................................21

舉一反三

知識點(diǎn)1三角形的有關(guān)概念

1.三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

2.三角形的三要素

邊：組成三角形的淺段角：相鄰兩邊組成二角形的內(nèi)角，

_頂點(diǎn)“

叫做二角形的邊簡稱三角形的角

/頂點(diǎn)：相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角

頂點(diǎn)/訓(xùn)MC形的麻

3.三角形的表示：三角形用符號表示，三角形ABC用符號表示為AABC.

知識點(diǎn)2三角形的分類

L等腰三角形的定義

三邊都相相的三角形叫做等邊三角形;有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

在等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂魚，腰和底邊的夾

角叫做底角.

2.三角形的分類

(1)按邊分類

三邊都不相等的三角形

二角形_

一底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形，

，等邊三角形

（2）按角分類

r直角三角形

（一銳角三角形

鈍角三角形

知識點(diǎn)3三角形的三邊關(guān)系

1.定義：三角形兩邊的和大于第三邊,兩邊的差小于第三邊.

2.判斷三條線段能否組成三角形；若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三

角形；反之，則不能組成三角形.

【題型1三角形的有關(guān)概念】

【例1】（2425八年級上?浙江金華?期中）如圖，圖中的三角形共有（）個.

C.5D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)圖形及三角形的定義查找即可，注意以一條邊為基礎(chǔ)依次查找.

【詳解】根據(jù)圖形依次查找可得：△ABE、△4BC、△BCE、△BCD.△DCE,共5個三角形，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的定義，由不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接所組成的圖形叫做三角形；

熟練掌握定義是解題關(guān)鍵.

【變式11】（2425七年級下?江蘇赤州?期中）一位同學(xué)用三根木棒兩兩相交拼成如下圖形，則其中符合三角

形概念的是（）

A.B.

【詳解】解：A、三條線段沒有首尾順次相接，不合題意；

B、三條線段沒有首尾順次相接，不合題意；

C、三條線段沒有首尾順次相接，不合題意；

D、不在同一直線上的三條線段首尾順次相接，是三角形，符合題意：

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形圖形的知識，根據(jù)三角形的概念：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接

所組成的圖形叫做三角形。判斷是否三條線段首尾順次相接是解決本題的關(guān)鍵。

【變式12］（2425八年級上?廣西期中）已知：如圖，試回答下列問題：

（1）圖中有個三角形，其中直角三角形是.

（2）以線段AC為公共邊的三角形是.

（3）線段CO所在的三角形是,邊所對的角是.

【答案】6△ABD,AACD,△ADE△ABC,△ACD,△ACEAACD乙BAD

【分析】（1）直接觀察圖形可找出三角形的直角三角形；

（2）觀察圖形可找到以線段4c為公共邊的三角形：

（3）觀察圖形可知線段C。所在的三角形以及80邊所對的角；

【詳解】（1）由圖可知，

圖中三角形有△ABC、SRDB、LAEB.△AC。、△ACE、ADE,

A.甲、乙兩種分法均正確B.甲、乙兩種分法均錯誤

C.甲的分法錯誤，乙的分法正確D.甲的分法正確.乙的分法錯誤

【答案】D

【分析】三角形的分類：按邊分有普通三角形（三條邊都不相等），等腰三角（腰與底不等的等腰三角形、腰與

底相等的等腰三角形即等邊三角形）；按角分有直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等，其中銳角三角形

和鈍角三角形統(tǒng)稱斜三角形.據(jù)此判斷即可.

【詳解】解.：甲分法正確，乙正確的分類應(yīng)該為：

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的分類，解答的關(guān)鍵是熟知三角形的分類標(biāo)準(zhǔn)，易忽略等腰三角形包含等邊三角形.

【變式21］（2425八年級上?貴州銅仁?期中）如圖,△ABC被木條遮住了一部分，只露出乙4,則匕8與“可

A.一個直角，一個銳角B.兩個鈍角

C.一個鈍角，一個銳角D.兩個銳角

【答案】D

【分析】本題考查了三角形的分類，理解并掌握三角形的分類是解題的關(guān)鍵.

三角形根據(jù)角度分為：銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形，由此即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，乙4是鈍用,

回48與“可能是兩個銳角，

故選：D.

【變式22］如圖，在RtZiABC中，"1=90。，=30°.動點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CB,8A向點(diǎn)A運(yùn)動.在

點(diǎn)P運(yùn)動過程中，△24C可能成為的特殊三角形依次是（）

A

一

----LC

A.直角三角形好等邊三角形T直角三角形1等邊三角形1直角三角形

B.等腰三角形1直角三角形今等邊三角形■?直角三角形f等接直角三角形

C.直角三角形玲等邊三角形與直角三角形玲等腰直角三角形好直角三角形

D.等腰直角三角形O等腰三角形1直角三角形1等腰宜角三角形）直角三角形

【答案】C

【分析】本題考查動點(diǎn)問題，掌握三角形的分類是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，AP4c可能成為的特殊三角形依次是直角三角形■?等邊三角形與直角三角

形玲等腰直角三角形分直角三角形，

故選C.

【變式23］（2425七年級下.重慶期中）設(shè)〃表示直角三角形，N表示等腰三角形，。表示等邊三角形，Q

表示等腰直角三角形.下列四個圖中，能正確表示它們之間關(guān)系的是（）

人B.

c.D.CZ^

【答案】c

【分析】根據(jù)各類三角形的概念即可解答.

【詳解】解：根據(jù)各類三角形的概念可知，C可以表示它們彼此之間的包含關(guān)系.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查各種三角形的定義，要明白等邊三角形?定是等腰三角形，等腰直角三角形既是直角三角

形，又是等腰三角形.

【題型3利用三邊關(guān)系判斷能否組成三角形】

【例3】（2425七年級下?廣東揭陽?階段練習(xí)）現(xiàn)有長度分別為2cm,3cm,4cm,5cm,6cm的五條線段，

以其中的三條線段為邊組成三角形，最多可以組成一個.

【答案】7

【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系（三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊），解題

的關(guān)鍵是逐一判斷五條線段中任取三條的組合是否滿足二邊關(guān)系.

從五條線段中任取三條，根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷能否組成三角形，統(tǒng)計(jì)滿足條件的組合數(shù).

【詳解】以其中的三條線段為邊組成三角形的有：

2cm,3cm,4cm；

2cm,4cm,5cm：

2cm,5cm,6cm；

3cm,4cm,5cm；

3cm,4cm,6cm；

3cm,5cm,6cm；

4cm,5cm,6cm.

共有7種情況.

故答案為：7.

【變式31】（2025?河北邯鄲?二模）如圖，有甲、乙兩根小棒，現(xiàn)用剪刀把其中?根小棒剪開，若得到的兩

根小棒與另一根小棒能組成三角形，則剪開的小棒是（）

3V

k_______________________）

A.甲B.乙C.甲或乙D.甲或乙均不可以

【答案】B

【分析】本題主要考查三角形三邊關(guān)系，即三角形任意兩邊之和大于?第三邊，任意兩邊之差小「第三邊.通

過分別假設(shè)剪開甲、乙小棒，分析所得到的線段長度與另一根小棒長度之間是否滿足三邊關(guān)系來確定正確

答案.

【詳解】解.：假設(shè)剪開乙小棒，設(shè)乙小棒長度為a，剪成兩段長度分別為m、n,甲小棒長度為民

???乙小棒的長度大于甲小棒，即

m+n>b

???剪開乙小棒得到的兩根小棒與另一根小棒能組成三角形；

假設(shè)剪開甲小棒，

???乙小棒的長度大于甲小棒，

???同理可得，甲小棒減成的兩根小棒的和小于乙小棒，故圍不成三角形，不符合題意.

綜上所述，剪開的小棒是乙.

故選：B.

【變式32】（2425八年級上?浙江臺州?期中）用13根等長火柴棒拼成一個三角形，火柴棒不允許剩余、重

疊和折斷，則能擺出不同的三角形個數(shù)是（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【答案】C

【分析】本題考查的知識點(diǎn)是三角形三邊的關(guān)系，若三條線段能夠構(gòu)成三角形需滿足：任意兩邊之和大于第

二邊，兩邊之差小于第二邊.熟記定理足解題的關(guān)鍵.可以把二角形的周長看作13,再根據(jù)二角形二邊的關(guān)

系應(yīng)滿足：任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，從一條邊有1根開始，逐漸增多即可得出結(jié)

論.

【詳解】解：???三角形兩邊之和大于第三邊，

???只能有5種答案,即①1、6、6；②2、5、6；③3、5、5；④4、4、5；④3、4、6.

故選:C.

【變式33］（2425八年級上?河北滄州?期末）某同學(xué)用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒擺出不同形狀

的三角形的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】從4條線段里任取3條線段組合，可有4種情況，看哪種情況不符合三角形三邊關(guān)系，舍去即可.

【詳解】解：四條木棒的所有組合：5,7,9和5,9,13和5,7,13和7,9,13；

只有5,7,9和5,9,13和7,9,13能組成三角形.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考杳了三角形三邊關(guān)系，三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和>第三邊，任意兩邊之差〈第三邊;

注意情況的多解和取舍.

【題型4利用三邊關(guān)系求參數(shù)范圍】

【例4】（2425七年級下?江蘇無錫?期末）已知一個三角形中兩條邊的長分別是a、b,且a>b,那么這個三

角形的周長L的取值范圍是()

A.3b<L<3aB.2a<L<2(a+b)

C.a+2b<L<2a+bD.3a-b<L<3a+b

【答案】B

【詳解】分析：先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求得第三邊的取值范圍，再確定這個三角形的周長1的取值范圍即

可.

詳解：設(shè)第三邊長X.

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得abVxVa+b.

，這個三角形的周長m的取值范用是ab+a+b<L<a+b+a+b,即2a<L<2a+2b.

故選B.

點(diǎn)睛：考查三角形的三邊關(guān)系，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于

第二邊.

【變式411(2425八年級上?貴州銅仁?期末)三角形的三邊長分別為2,5,3-2%,則x的取值范圍是.

【答案】-2<%<0

【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系即可列出一元一次不等式組，求出不等式組的解集即可.

【詳解】根據(jù)題意可得不等式組，

：AX>-2,即-2VXV0.

tx<0

故答案為：-2VXV0.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊的關(guān)系以及解不等式組.解題的關(guān)鍵在于利用三角形三邊的關(guān)系列出?元一次

不等式組.

【變式42】(2425八年級上?湖北黃岡?階段練習(xí))等腰三角形周長是20cm,腰長為xcm,則x的取值范圍

為.

【答案】5<%<10

【分析】本題考查了三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，求不等式組的解集，由題意可得等腰三角形的底邊

長為(20-2x)cm,然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得關(guān)于x的不等式組，解不等式組即可求出答案.

【詳解】解：等腰三角形的周長為20cm,腰長為xcm,則底邊長為(20-2x)cm,

根據(jù)三邊關(guān)系可得，x+x>20-2x,解得，x>5；

x-x<20—2x,解得，x<10,

???無的取值范圍是5vxv10.

故答案為：5<x<10.

【變式43］(2425七年級下?江蘇無錫?期末)一個三角形的3邊長分別是xcm、(3x-3)cm,(x+2)cm,它

的周長不超過39cm.則x的取值范圍是()

A.<x<5B.5<x<8C.<x<8D.1<x<5

JO

【答案】A

［分析］根據(jù)三角形三邊關(guān)系和周長不超過39cm可列出不等式組求解即可.

x+(3x-3)>%4-2

【詳解】解:根據(jù)題意，可得｛(；為：卷3二3”，

x+(3x—3)+(x4-2)<39

A-<x<5.

3

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系和解不等式組，根據(jù)條件列出不等式組求解是解題的關(guān)鍵.

【題型5利用三邊關(guān)系化簡】

【例5】(2425八年級上?山東濟(jì)寧?階段練習(xí))設(shè)小兒c是△ABC的三邊，

(1)化簡|a-b+c\-2\b-c-a\

(2)若兒。滿足(6-3)2+仁一5|=0.且a為方程=2的解.判斷△力的形狀并說明理由.

【答案】(1)匕一c一a

(2)等腰三角形，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)三角形的三邊美系得出a-b+c=a+c-b>0,b-c-a=b-(c+a)<0,再利用

絕對值的性質(zhì)化簡即可；

(2)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出b=3,c=5,再解絕對值方程，求出。值，根據(jù)三角形三邊關(guān)系取舍，最后即

可判斷△的形狀.

【詳解】(1)解：:小b,c是△/1BC的三邊，

G4-c>b,

.*.a—b+c=a+c—b>0,b-c—a=b—(c+a)<0,

:.\a,-bc\—2|Z?-c—Q|

=G—b+c+2(b—c-a)

=a-b+c+2b-2c-2a

=b-c-a；

（2）解：V（Z?-3）2+|c-5|=0,

/.b-3=0月.c-5=0,

t=3,c=5,

??N為方程反一3|=2的解,

：.x-3=±2,

:?x=5或％=1,

??a=5或a=1,

當(dāng)a=l時(shí)，1+3V5,不能構(gòu)成三角形，不符合題意；

當(dāng)a=5時(shí)，3+5>5,能構(gòu)成三角形；

a=c=5>

力BC是等腰三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，化簡絕對值，等腰三角形的定義，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利

用三角形三邊關(guān)系得出式子的符號.

【變式51］（2425八年級上?安徽安慶?期中）若一個三角形的三邊長分別為2,x,7,化簡忱一5|-2氏一12|

的結(jié)果是（）

A.—x+19B.3x—29C.-x+7D.-x—29

【答案】B

【分析】本題主要考查了絕對值的化簡，三角形的三邊關(guān)系，整式的加減等知識點(diǎn)，首先根據(jù)三角形的三邊

關(guān)系確定”的取值范圍，再去絕對直計(jì)算即可解答，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系并能正確得出5<xv9是解

決此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?一個三角形的三邊長分別為2,x,7,

5<x<9,

*"?|x—5|2\x12|

=x-5+2%-24

=3%-29,

故選:B.

【變式52K2425八年級上?云南曲靖?期中）已知一個三角形的三邊長分別為的三加.化簡：|m-2|-|m-l|+

|m-6|.

【答案】5-m

【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系，絕對值的化簡.先由三角形的三邊關(guān)系得到2<機(jī)<6,進(jìn)而可對絕

對值進(jìn)行化簡.

【詳解】解：???三角形的三邊長分別為2,4,加，

4—2<m<4+2,

即2<m<6?

/.n—2>0,m—1>0,m—6<0,

|tn—2|—|TH—1|+|m—6|

=(TH—2)—(m—1)—(m-6)

=m—2-m+l-771+6

=5—in.

【變式53】(2425八年級上?四川涼山?階段練習(xí))已知a,b,c為三角形的三邊長，化簡：\a-b-c\-V

\b-a-c\—\b+c-a|=()

A.Q+c—bB.Q-b-3cC.Q+b+cD.2Q-b

【答案】A

【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系及化簡絕對值，先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到式子的正負(fù)，再化簡絕對?

值即可得到答案.

【詳解】解：???a,b,c為三角形的三邊長，

/.fc+c>a,a+c>b,

-b-c<0,b+c-a>0,b-a-c<0,

:.原式=—a+b+c+a+c—b—b—c+a

=a+c—b,

故選：A.

【題型6利用三邊關(guān)系求最值】

【例6】(2425八年級上?湖北武漢?期中)如圖，在△48C中，乙4CB=90。，AC=12,BC=9,。是48上

的一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)8重合).點(diǎn)8與點(diǎn)反關(guān)于直線PC對稱，連接C8',AB',PB1,則線段48'的最小值

是.

【答案】3

【分析】根據(jù)題意，得CB'=CB=9,結(jié)合C8'+4?Z4C,判定當(dāng)4夕,C三點(diǎn)共線時(shí)，線段八夕取得最小

值，解答即可.

本題考杳了三角形不等式求最值，構(gòu)造正確的三角形不等式存在的基礎(chǔ)三角形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)題意，得CB'=CB=9,

?/CB'+AB1>AC,

???當(dāng)力,8',C三點(diǎn)共線時(shí)，線段4夕取得最小值

'：AC=12,

?MB'=AC-BC=3,

故答案為：3.

【變式61］（2425七年級下?江蘇鎮(zhèn)江?期中）如圖，在△48。中，BC=3,將△4BC平移5個單位到△4BC',

則8U的最大值等于.

【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖示：連接8V,

A[

B。

???將△ABC平移5個單位到^A'B'C,

:?BB'=5,

又BC=3,

???B'C'=8C=3,

.?.在△BB'C中,BB'-B'C<BC'<BB'+B'C

即：5-3<Z?C"<5+3

A2<FC'<8

???BC'的最大值等于8,

故答案是：8.

【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，三角股的三邊關(guān)系，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式62］（2425八年級上?廣東湛江?階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5,D為BC邊

上一動點(diǎn)，將△ABD沿AD翻折得到△APD,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P,連接CP,則CP的最小值為.

【答案】2

【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用.由折置的性質(zhì)知4P=48=3,在△4PC中，由三角形三邊關(guān)

系得。尸>力。一力P,當(dāng)。在8。選上運(yùn)動時(shí)，總有CP工/。一/1尸，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知力P=48=3,

在AAPG3由三角形三邊關(guān)系得CP>/IC-4尸，

當(dāng)點(diǎn)P落在AC邊」二時(shí)，CP=AC-AP,

???當(dāng)。在8c邊上運(yùn)動時(shí)，總有CPN4C-AP,

，CP的最小值為CP=AC-AP=5-3=2,

故答案為：2.

【變式63](2425七年級上?江蘇鹽城?階段練習(xí))如圖，AC=6,8c=8,45=10,點(diǎn)。是平面內(nèi)一點(diǎn)，

且滿足=2CD,則28。+4D的最小值是.

B

K

CA

【答案】16

【分析】本題考查線段之和最小值問題，將28。+4D轉(zhuǎn)化為求2(BD+CD)的最小值，當(dāng)8、C。在同一直

線上時(shí)，最小值為28c.

【詳解】解：TAD=2CD,

??3泊

：.2BD+=2(BC+池)=2(BD+CD)>2BC,

???當(dāng)從C、。在同一直線上時(shí)，BO+09有最小值，最小值為8C,BC=S,

：.2BD+4。的最小值為2BC=2x8=16,

故答案為：16.

【題型7利用三邊關(guān)系取舍值】

【例7】(2425八年級上?新疆烏魯木齊?階段練習(xí))用一條長41cm的細(xì)繩圍成一個三角形，已知此三角形的

第一條邊為xcm,第二條邊是第一條邊的3倍少4cm.

(1)請用含x的式子表示第三條邊的長度.

(2)若此三角形恰好是一個等腰三角形，求這個等腰三角形的三邊長.

【答案]⑴(45-4x)cm

(2)7cm,17cm,17cm

【分析】(1)依據(jù)三角形的第一條邊為xcm,第二條邊是第一條邊的3倍少4cm,即可用含％的式子表示第

三條邊的長度.

<2)依據(jù)三角形恰好是一個等腰三角形，分三種情況討論，即可得到這個等腰三角形的三邊長.

【詳解】（1）解：???三角形的第一條邊長為xcm,第二條邊長比第一條邊長的3倍少4cm,

，第二條邊長為（3x-4）cm.

第三條邊長為41—x—（3%—4）=（45—4x）cm.

（2）解：若％=3x4,則X=2,此時(shí)三邊長分別為2cm,2cm和37cm,

根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，2,2,37不能組成三角形；

若1=454%,則x=9,此時(shí)三邊長分別為9cm,9cm和23cm,

根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，9,9,23不能組成三角形；

若3"=454x,則x=7,此時(shí)三邊長分別為7cm,17cm,17cm,

根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，7,17,17可以組成三角形.

???這個等腰三角形的三邊長分別為7cm,17cm,17cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)

行判斷.

【變式71］（2425七年級下?河北保定?期中）等腰三角形的兩邊a、b滿足（a-37+|b-8|=0,則該等腰

三角形的周長是（）

A.9B.14C.19D.14或19

【答案】C

【分析】本題考查了等腰三角形的定義，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得Q=3,b=8,

進(jìn)而根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得a是等腰三角形的底，b是等腰三角形的腰，即可求解，掌握以上知識點(diǎn)是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???（a-3）2+g-8|=0,

/.a-3=0,b—8=0,

,a=3,b=8,

V3+3<8,

???a是等腰三角形的底，匕是等腰三角形的腰，

???該等腰三角形的周長為8+8+3=19,

故選:C.

【變式72】（2425八年級上?山東德州?期末）用一條長為20cm的細(xì)繩圍成一個等腰三角形，使其一邊的長度

為5cm,另外兩邊的長為.

【答案】7.5cm,7.5cm

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形三邊之間的關(guān)系，熟練掌握以上知識，并且分類討論是

解題的關(guān)鍵.

分兩種情況進(jìn)行討論：①若5cm的邊為底邊，②若5cm的邊為腰.分別求出另外兩邊長，再根據(jù)三角形三邊

之間的關(guān)系判斷能否組成三角形進(jìn)行取舍.

【詳解】解:①若5cm的邊為底邊，則腰長為：!(20-5)=7.5cm,

???5+7.5>7.5,

，此時(shí)能構(gòu)成三角形，

，另兩邊的長度分別是7.5cm,7.5cm；

②若5cm的邊為腰，則另一腰也為5cm,則底邊長為：20-5-5=10cm,

???5+5=10,不滿足三角形三邊之間的關(guān)系，因此5cm的邊不能為腰.

綜上,另兩邊的長度分別是7.5cm,7.5cm.

故答案為:7.5cm,7.5cm.

【變式73】(2425七年級下?甘肅蘭州?期中)等腰三角形底邊長為5cm,一腰上的中線把這個三角形的周長

分為兩部分，其差為4cm,則該等腰三角形的腰長為()

A.1cmB.5cmC.9cmD.5cm或9cm

【答案】C

［分析】本題考杳了等腰三角形的性質(zhì)，設(shè)腰長為x,得出方程(2x+x)-(5+x)=4或(54-x)-(2x+x)=

4,求出x后根據(jù)三角形三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證即可.

【詳解】解?：如圖，

設(shè)腰長為加，一腰的中線為y,

則(2%+%)—(5+%)=4或(5+x)-(2x+x)=4,

解得：x=4.5,x=0.5,

：.2x=9或1,

①△ABC三邊長為9、9、1,符合三角形三邊關(guān)系定理;

②AABC三邊是1、I、9,1+1<9,不符合三角形三邊關(guān)系定理;

所以，該等腰三角形的腰長為9cm,

故選：C.

【題型8利用三邊關(guān)系證明線段的不等關(guān)系】

【例8】（2025八年級上?江蘇蘇州?專題練習(xí)）如圖，在A/IBC中，點(diǎn)。在48上，點(diǎn)。在。上.求證：AB+AO

OB+OC.

【答案】見解析

【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，掌握三角形的任意兩邊之和大于第三邊嗎，任

意兩邊之差小于第三邊是解題關(guān)鍵.延長8。交AC于點(diǎn)E,由三角形的三邊關(guān)系可得EO+EC>OC,AB+

AE>EB,進(jìn)而得到E8+EC>0C+08,AB+AOEB+EC,即可證明結(jié)論.

【詳解】證明：延長8。交4C于點(diǎn)E,如圖.

在AEOC中，EO+EOOC,

?*-EO+EC+OB>OC+OB，

即EB+EC>OC+OB.

在AABE中，AB+AE>EB,

*'?AB+AE4-EC>EB+EC,

即+4C>EB+EC,

AB+AC>OB+OC.

【變式81】（2425八年級上?安徽合肥?期中）如圖，。為△48c的邊BC上一點(diǎn)，試判斷24。與△48C的周長

之間的大小關(guān)系，并加以證明.

見解析

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，即可得出答案.

【詳解】證明：???在△48。中，AE+BD>AD,

在么"。中,AC+CD>AD,

：.AB+BD+AC+CD>2力。，

即4B+8C+AO24D,

???△ABC的周長>2AD

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟記其三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式82］（2425七年級下?江蘇蘇州?期中）如圖，AC,80是四邊形/BCD的對角線，且為C,相交于點(diǎn)

O.求證:

（2）AC+BD>^（AB+BC+CD+AD）.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）在△480和AC。。中，利用三角形三邊關(guān)系即可求證結(jié)論.

（2）由（1）得，48+。。<力。+BD,在4人。0和4中，利用三角形三邊關(guān)系可得<0+BC<AC+BD,

利用等量關(guān)系即可求證結(jié)論.

【詳解】（1）證明：：在△ABO和△C0。中，AO+BO>AB,CO+DO>DC,

+CO+BO+DO>AB+DC,即A8+CD<AC+BD.

(2)由(1)得，AB+CD<AC\BD,

同理可得，AD+BC<AC+BD,

：,AB+BC+CD+AD<204c+BD),

即<C+80>^（AB+BC+CD+AD）.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，熟練掌握三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式83］（2425八年級上?安徽安慶?期中）已知：如圖，點(diǎn)。是△ABC內(nèi)一點(diǎn).求證:

（1）8O+COVA8+AC；

（2）八。+8Q+CQVAB+8C+AC.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）延長BZ）交AC于E從而找到BQ+CD與AB+4C的中間量BE+CE,再利用不等式的傳遞性

（若〃<6b<c,則avc.）得出BQ+CO<4B+AC；

（2）同理可得4O+C7X/W+8C,BD+AEXBC+AC,與（I）結(jié)論左邊加左邊，右邊加右邊，再兩邊除以2即

可.

【詳解】（1）證明：延長4。交4c于￡

：.AB-\-AC=AB+AE+CE>BE+CE,

在乙七/)。中，有DE+CE>CD,

：.BE+CE=BD+DE+CE>BD^CD,

：.AB^-AC>BE+CE>BD+CD,

???8O+COVA3+AC；

(2)解：由(1)同理可得：

8O+CQVA8+AO?,

AD+CD<AB^-BC?,

5Q+AQV5C+40@,

①+②+③得：2（AD+BD+CD）<2（AB+BC+AC），

/.AD+BD+CLXAB+BC+AC.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，不等式的性質(zhì)，能否根據(jù)題意添加輔助線和利用不等式的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

【題型9三邊關(guān)系的應(yīng)用】

【例9】（2025?江蘇無錫?三模）小毛在滑雪場沿著不同路徑滑冰.如圖中的灰色線條表示4