三角形重點(diǎn)題型復(fù)習(xí)（14大題型68道）

劃重點(diǎn)?沖高分區(qū)

三角形

題型1三角形的相關(guān)概念

■■■■■,■MM■■MHB■■MM■■■■,■SMB■MM■W??W?■MM?■MM■MM■■■■>■■■■?■■■■■

u-

I）對(duì)于三角形的相關(guān)概念，切記死記硬背，要理解概念的本質(zhì)屬性，復(fù)雜的圖形應(yīng)重視圖形的分解與組i

I

A口?I

2）在復(fù)雜圖形中尋找三角形的方法是先以一個(gè)頂點(diǎn)為基礎(chǔ)，然后改變另外兩個(gè)頂點(diǎn)依次組成三角形，將!

I

含有這個(gè)頂點(diǎn)的所有三角形確定完全后，再以其他的頂點(diǎn)為基礎(chǔ)，依次找到所有的三角形，要注意去掠

重復(fù)計(jì)數(shù)的三角形.有些數(shù)三角形的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)線(xiàn)段的問(wèn)題.;

I

1.（2025?陜西延安?三模）如圖，在。中，48c=90。，BD1.4c于點(diǎn)、D,DE〃AB交BC于點(diǎn)

￡,則圖中的直角三角形共有（）

A.3個(gè)R.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

2.（23-24八年級(jí)下?湖南湘西?階段練習(xí)）3BC,若48=幾，8c=1+&，C/=g則下列式子成立

的是（）

A.Z/l>ZC>ZZ?B.NC>>NA

C.NB>N4>NCD.NC>Z4>NB

3.（24-25八年級(jí)上?湖北襄陽(yáng)?階段練習(xí)）以卜.是某數(shù)學(xué)興趣小組群內(nèi)進(jìn)行測(cè)試的聊天記錄，組長(zhǎng)：任

意說(shuō)出一個(gè)與三角形有關(guān)的結(jié)論.嘉嘉：三角形的中線(xiàn)、高、角平分線(xiàn)都是線(xiàn)段.琪琪：三角形的三條角

平分線(xiàn)交于一點(diǎn).亮亮：任意三角形的外角和都是360。.明明：三角形的外角大于任何一個(gè)內(nèi)角.其中回

答的結(jié)論錯(cuò)誤的人是（）

A.嘉嘉B.琪琪C.亮亮i）.明明

4.（24-25八年級(jí)上?山東威海?期末）若干個(gè)三角形中，共有2個(gè)鈍角、4個(gè)直角、21個(gè)銳角，這些三

角形中銳角三角形的個(gè)數(shù)為個(gè).

5.（24-25七年級(jí)上?山東青島?階段練習(xí)）△/8。中，/力是的2倍，且/C比N4+NB大12。，試

判斷△48C的形狀并說(shuō)明理由.

題型2與三角形高、中線(xiàn)有關(guān)的畫(huà)圖問(wèn)題

1）一個(gè)三角形有三條高，它們都是線(xiàn)段，它們的位置由三角形的形狀來(lái)決定:

【小結(jié)】三角形的高，一定記住垂足不一定落在三角形的邊上，有能落在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上.

2）一個(gè)三角形有三條中線(xiàn)，它們都是線(xiàn)段，都在三角形的內(nèi)部.

6.（22-23七年級(jí)下-黑龍江哈爾濱?期中）如圖，這是9X11的小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的

邊長(zhǎng)均為1,已知△力3c的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn).上，按要求畫(huà)圖：

⑴畫(huà)出AABC的邊上的中線(xiàn)AE.

⑵畫(huà)出3BC的邊BC上的高AD.

（3）若力C=10,求邊4c上的高的長(zhǎng)度.

7.（23-24七年級(jí)下?江蘇揚(yáng)州?期中）如圖，在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1的方格紙內(nèi)將△力8c經(jīng)過(guò)一次平

移后得到圖中標(biāo)出了點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)*.根據(jù)下列條件，利用格點(diǎn)和三角尺畫(huà)圖：

⑴補(bǔ)全"?C；

（2）請(qǐng)?jiān)诹?。邊上找一點(diǎn)〃使得線(xiàn)段8。平分△力4c的面積，在圖上作出線(xiàn)段80；

⑶找△力（要求各頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，尸不與點(diǎn)。重合），使其面積等于的面積.滿(mǎn)足這樣條件的點(diǎn)，

共一個(gè).

9.(22-23八年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí))如圖，在8x6的長(zhǎng)方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,

小正方形的每一個(gè)頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△力^。的頂點(diǎn)都在格點(diǎn).匕

圖1

⑴直接寫(xiě)出dABC的面積=；

(2)請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺完成下列畫(huà)圖，不寫(xiě)畫(huà)法，保留畫(huà)圖痕跡.

①請(qǐng)?jiān)趫D1中畫(huà)出△/1比?的高8W；

②請(qǐng)?jiān)趫D1中在線(xiàn)段8c上找一點(diǎn)〃，使N/MC=45。；

③在圖2中回出所有滿(mǎn)足條件ZUBC的面枳=ZX4CE的面積的格點(diǎn)￡.

題型3三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用

■■■■■■■MM■MHB?■MM-flHM?■MM?■MM?MM?■MM?-MM?■MM■MM?

v*

三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊.即已知三角形的兩邊長(zhǎng)為a,b,則第三i

邊滿(mǎn)足|a-b|VxV|a+b|,這種表述方式在解決已知兩邊求第三力的取值范圍問(wèn)題時(shí)有重要作用.

_________________________________________________________________________________________I

10.（2025?江蘇無(wú)錫?二:模）小毛在滑雪場(chǎng)沿著不同路徑滑冰.如圖中的灰色線(xiàn)條表示4條不同路徑，

分別標(biāo)記為只。、R、S.請(qǐng)問(wèn)這4條路徑從最短到最長(zhǎng)的正確排列順序是（)

C.Q,S,P,RD.R,P,S,Q

11.（24-25八年級(jí)上?安徽淮北?期中）已知a,b,c分別為三角形N8C的三邊，且滿(mǎn)足a+c=3b-2,

a-c=2/）-4,則力的取值范圍是（）

44

A.-<b<4B.1<6<4C.\<h<3D.-<b<3

12.（24-25八年級(jí)上?河南周口?期中）如圖，。是△48。的三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，連接。1,OB,

OC,若△0/8,&OAC,△O8C的面積分別為凡，52,S3,則下列關(guān)系正確的是（)

A.S)+S2=S3B.S{+S2>S3

C.S[+s]<s?D.S,+S2=2S3

13.（24-25八年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試）已知ZU8C中，力8=15,4C=11,則中線(xiàn)力。的取值范圍是

A.4<AD<26B.4<AD<\3

C.2</ID<26D.2<AD<\3

14.（2025七年級(jí)下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，48兩點(diǎn)都在直線(xiàn)MV的上方，AB=5,點(diǎn)4到直線(xiàn)徹N

的距離力。=8,點(diǎn)6到直線(xiàn)MV的距離80=5,點(diǎn)夕在宜線(xiàn)MY上運(yùn)動(dòng)，則|尸力一的最大值等于

15.（24-25七年級(jí)下-福建福外?期末）設(shè)△力8c的三邊〃力,。的長(zhǎng)度均為自然數(shù)，且

a<b<c,a+b+c=\3t請(qǐng)你分析以。，儀。為三邊長(zhǎng)的三角形可能有哪些，并求出出仇。對(duì)應(yīng)的值.

16.（24-25七年級(jí)下?廣東揭陽(yáng)?階段練習(xí)）已知：。的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c.

（1）化簡(jiǎn)：+/?+cj—+6—c|+|a-/?—c|—|—a-b+cj；

⑵若&b,。滿(mǎn)足區(qū)一。|+（。一。）2=0,試判斷△X8C的形狀.

17.（24-25七年級(jí)上-上海-階段練習(xí)）設(shè)三角形三邊長(zhǎng)為a、b、c,且三邊長(zhǎng)滿(mǎn)足方程組

lab+c?-。=91

?Ibc-a1+Z）=24,試求a+b-c的值.

2ac-b2-c=61

題型4與等腰三角形邊、角有關(guān)的分類(lèi)討論問(wèn)題（易錯(cuò)）

i等腰三角形的邊有腰、底之分，角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒(méi)有明確是底還是腰，角沒(méi)有明是頂角i

II

I還是底角，需要分類(lèi)討論.!

【易錯(cuò)點(diǎn)】邊所求結(jié)果需滿(mǎn)足三角形三邊關(guān)系.

!________________________________________________________________________________________________I

18.（24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期中）在等腰三角形力中，力8=4C,若中線(xiàn)將該三角形的周長(zhǎng)分為

5和3兩個(gè)部分，則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（）

445

A.-B.4C.1或4D.§或4

19.（21-22九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?期中）已知a"是一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，且滿(mǎn)足。2十人-6。一昉+25=0,

則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（）

A.10B.11C.10或11D.12

20.（24-25八年級(jí)上-江蘇揚(yáng)州?期末）定義：一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍，這樣的三角形叫

做“倍長(zhǎng)三角形”.若等腰ZUAC是“倍長(zhǎng)三角形”，腰48的長(zhǎng)為6,則△力4C的周長(zhǎng)為.

21.（23-24八年級(jí)下?安徽宿州?階段練習(xí)）在等腰△力8c中，AB=AC,一腰上的中線(xiàn)40將這個(gè)三角

形的周長(zhǎng)分成15cm和6cm兩部分，求這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng).

22.（21-22七年級(jí)下-四川成都-期末）在某等腰三角形中，一條腰上的中垂線(xiàn)與另一條腰上高所在直線(xiàn)

的夾角為40°,則該等腰三角形頂角的度數(shù)為.

23.（21-22八年級(jí)上?湖北十堰?期中）在等腰△力ZC中，一腰上的肩與另一腰的夾角為20。，則底角的

度數(shù)為一度.

題型5利用三角形的中線(xiàn)求解

ii）條件中有中點(diǎn)，想到作中線(xiàn)，更要想到作中位線(xiàn).中點(diǎn)必定與中線(xiàn)或者中位線(xiàn)相聯(lián)系.

II

!2）中線(xiàn)性質(zhì)：①中點(diǎn)將邊平分：②中線(xiàn)將面積平分；!

③三邊中線(xiàn)交點(diǎn)為重心，切記重心的性質(zhì).

!_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________I

24.（24-25七年級(jí)下?遼寧大連?期末）如圖，是△48C的中線(xiàn)，BC=a,AC=b,a>bf則△BCQ

的周長(zhǎng)比△力CO的周長(zhǎng)大（用含a,6的代數(shù)式表示）.

25.（24-25七年級(jí)下?江蘇南通?期末）如圖，在△4%'中，4。=6,點(diǎn)。，E分別是48,BC上的點(diǎn),

21

且AD=BD,CE=2BE,連接ZE,CO交于點(diǎn)尸，當(dāng)四邊形6石尸。的面積為不時(shí)，邊力C長(zhǎng)度的最小值

26.（24-25七年級(jí)下-海南省直轄縣級(jí)單位-期末）如圖是一塊面積為28cm?的三角形紙板，其中點(diǎn)。，區(qū)/

分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則陰影部分的面積是

27.（24-25七年級(jí)下?山西運(yùn)城?期末）若四邊形48。。的面積是12,點(diǎn)MMP,Q分別為48,BC,

CD,的中點(diǎn)，八⑺與N。相交于點(diǎn)”則圖中陰影部分的面積為.

28.（24-25七年級(jí)下?北京?開(kāi)學(xué)考試）如圖，在三角形中，BD:DC=1:2,E為4。的中點(diǎn)，若

三角形力8C的面積為120平方厘米，則陰影部分的面積是多少平方厘米？

29.（23-24八年級(jí)上?湖南永州-期末）發(fā)現(xiàn)與探究：三角形的重心.三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)叫三角形的

重心.重心是個(gè)物理名詞，從效果上看，我們可以認(rèn)為物體所受重力的合力集中于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫物體的

重心.如圖1,如果取一塊均勻的三角形紙板，用一根細(xì)線(xiàn)繩從重心。處將三角形提起來(lái)，紙板就會(huì)處于水

平狀態(tài).關(guān)于三角形的重心還有哪些性質(zhì)呢？希望你經(jīng)過(guò)下面的探索過(guò)程能得到答案.

A

圖4

⑴如圖2,力。是MBC的中線(xiàn)，△48。與等底等高，可以得到它們面積的大小關(guān)系為：S.BD—

S.ACD（填＞、（或=）；

（2）如圖3,若a/lBC三條中線(xiàn)力。、BE、CF交點(diǎn)、為G,則GZ）也是AGBC的中線(xiàn)，利用上述結(jié)論可得：

===

,^AGCDSdGBD,同理SQF,^^CCE?若設(shè)=X,S^GBF=y,SAC4E=Z,猜想X,必Z之間

的數(shù)量關(guān)系為：_____；

⑶如圖3,。被三條中線(xiàn)分成六個(gè)小三角形，點(diǎn)。為△ABC的重心，則絲=_______;

AG

⑷如圖4,點(diǎn)〃、￡在4/出。的邊/C、月8上，BD、CE交于G,G是△/女?的重心，40=6,CE=3,

BDLCE,求四邊形AEG。的面積.

題型6利用等面積法求高或底

|GO艮

i等面積法是一種方程思想，即用兩種不同的方法表示同一個(gè)三角形的面積，那么這兩個(gè)表示的面積是相i

II

I等的，就可以列方程求高或者求底了.一般情況卜.:一種是利用面積公式表示三角形面積，另一種是利用I

!割補(bǔ)法表示三角形的面積.

!__________________________________________________________________________________________I

30.（24-25七年級(jí)下?四川達(dá)州?期末）如圖，在△力8。中，，4E_L8C于點(diǎn)七，4B=9,BC=8,AE=7,p

為48邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,則CP的最小值為

31.（24-25七年級(jí)下?上海?階段練習(xí)）如圖，在等腰△48。中，AB=AC,其一腰上的高為力，材是底

邊8C上的任意一點(diǎn)，3到腰18,力。的距離分別為4,為2,則8。=

32.（2023七年級(jí)下?江蘇?專(zhuān)題練習(xí)）（1）如圖1,在Rta/SC中，NACB=9/,BC=3,AC=4,

AB=5,CD1AB于點(diǎn)求C'。的長(zhǎng)：

（2）如圖2,在△/8C中，AB=4,BC=2,求△NBC的高CO與力后的比；

（3）如圖3,在△ABC中，ZC=90°,點(diǎn)D,P分別在邊44,4c上，且32二力2，DEIBP,

圖1圖2圖3

33.（24-25八年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）【問(wèn)題情境】章老師給愛(ài)好學(xué)習(xí)的小毅提出這樣一個(gè)問(wèn)題:

如圖1,在灰？中，AB=AC,夕為邊AC上的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)夕作PEA,AC,垂足分別為〃

E,過(guò)點(diǎn)。作CF_L43,垂足為￡求證：PD+PE=CF.

(1)小毅的證明思路是：如圖②，連接八，由“必與△力CP面積之和等于UBC的面積可以證得:

。。+尸￡=6.請(qǐng)完成證明

請(qǐng)運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法完成下列兩題:

(2)【變式探究】如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸在8C延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，其余條件不變，求證：PF—PE=CD：

【結(jié)論運(yùn)用】

(3)如圖4,將矩形/出CO沿E/折疊，使點(diǎn)〃落在點(diǎn)夕上，點(diǎn)。落在點(diǎn)C處，點(diǎn)尸為折痕)上的任一點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)尸作尸PHLBG,垂足分別為G、H,若［0=8,CF=3,/出=4,則0G+P”的值為

題型7三角形高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)綜合

點(diǎn)

①三角形的高一90°的角：

I

②三角形的中線(xiàn)將一個(gè)大三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形（等底同高）；三角形的中線(xiàn)延長(zhǎng)1倍，容!

易構(gòu)造平行四邊形（倍長(zhǎng)中線(xiàn)模型）.

?

③三角形的角平分線(xiàn)一相等的角或成2倍關(guān)系的角.

■■.MM--MM?-MM--MM,-■?■-~■.MM-I

34.（24-25八年級(jí)上?海南省直轄縣級(jí)單位?期末）如圖，在△48C中，AD,/廠(chǎng)分別是△W8C的中線(xiàn)

和高，8E是△力4。的角平分線(xiàn).

（1）若々瓦）=60。，㈤Q=40。，求/8力/的度數(shù).

⑵若MBC面積為40,4）=5,求的長(zhǎng).

35.（21-22八年級(jí)上?江蘇宿遷?期中）如圖，力。是△力8C的角平分線(xiàn)，OE//C,垂足為E.AF是&ABC

的中線(xiàn)，力3=16,JC=6,DE=5.求的面積.

36.（24-25七年級(jí)下?河南南陽(yáng)?階段練習(xí)）如圖，4。為△/出C的中線(xiàn)，8E為△力4。的中線(xiàn).

（1）已知力A-4C=5cm,△力3。的周長(zhǎng)為25cm,求△4。。的周長(zhǎng);

⑵在△力￡?中作4E邊上的高；

⑶若。的面積為40,AE=5,則點(diǎn)8到/IE邊的距離為多少？

37.（24-25七年級(jí)下?河南鄭州?期中）如圖，彳。是△48。的高，CE是△/lAC的角平分線(xiàn)，BF是“BC

的中線(xiàn).

(1)若乙4c8=50°,NB4D=65。,求/NEC的度數(shù)；

(2)若45=9,BC>AB,abC尸與△A4尸的冏長(zhǎng)差為3,求6c的長(zhǎng).

題型8三角形內(nèi)角與外角綜合

1g"

i1）三角形的內(nèi)角和為180°：

II

!2）直角三角形中兩銳角和為90°；!

!3）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

!____________________________________________________________________________________________________________________________________________I

38.（24-25七年級(jí)下-山東煙臺(tái)?期中）如圖①，在△49C中，BD平分乙4BC,且與△48C的外角4CE

的平分線(xiàn)交于點(diǎn)D.

【問(wèn)題解決】

（1）若41BC=750,4c8=45。，求/。的度數(shù)；

（2）若4BC=80。，44=60。，則NO=_.

【猾想證明】

（3）當(dāng)48。和4C8在變化，而4始終保持不變，則NO是否變化？為什么？由此你能得出什么結(jié)論？

（用含有/力的式子表示NO）

【拓展提高】

（4）若把//截去，得到四邊形MNC8,如圖②，猜想。、ZM.NN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

39.（24-25七年級(jí)下?山東煙臺(tái)?期中）如圖，己知在△48C中.

D

B匕------------------

(1)若N/:N/4C:N/C8=3:4:5,求的最大內(nèi)角的度數(shù)；

(2)若BDtAC于點(diǎn)、D,CE是/4C5的平分線(xiàn)，4=69。，ZCTZ)=40°,求/3EC的度數(shù).

40.(24-25七年級(jí)下?江蘇揚(yáng)舛?期末)【問(wèn)題探究】

(1)已知：如圖1,在△/4C中，ZJ=60°,BP,CP分別平分和N/CB,N4PC的度數(shù)是

(2)已知：如圖2,/O8C與NECB分別是△48C的兩個(gè)外角，且4厲C+NEC3=210。，則N/=

【拓展與應(yīng)用】

(3)如圖3,在四邊形48。。中，N/為四邊形［8CO的N/18C的平分線(xiàn)及外角/OCE的平分線(xiàn)所在的直

線(xiàn)構(gòu)成的銳角，若設(shè)4=a,NQ=Q,求//的度數(shù)；(用含。，夕的式子表示)

(4)如圖4.8/平分NABC,C/平分N4CB,把折疊，使點(diǎn)力與點(diǎn)/重合，若N1+N2=13()。，

則4/C=_____.

41.(24-25七年級(jí)下?四川成都?期中)如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品一一圓規(guī).我們不妨

把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，

①如圖1,請(qǐng)直接寫(xiě)出的C與//、4B、NC之間的關(guān)系:

②如圖2,把一塊三角尺短放置在△48。上，使三角尺的兩條直角邊XX、應(yīng)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)8、C,若

4=50。，直接寫(xiě)出48X+4CY的結(jié)果；

③如圖3,DC平分4DB,平分若〃力E=50。，/DBE=T30。,求NZX為t的度數(shù)；

圖1圖2圖3

題型9三角形折疊中的角度問(wèn)題

42.（24-25七年級(jí)下?江蘇南京?期末）如圖，將△力8C紙片沿折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為方.若

/1+/2=146。，則N3+N4=°.

43.（23-24八年級(jí)上?遼寧葫蘆島?期末）如圖，ZUBC中，AB=AC,4=36。，〃點(diǎn)在邊力8上運(yùn)動(dòng)

（Q與兒夕不重合），設(shè)=將△XCO沿CO翻折至△HCO處，GT與N8邊相交于點(diǎn)￡若△4?！?/p>

是等腰二角形,則a的值為.

44.（23-24八年級(jí)上?河南安隹?期末）如圖，一個(gè)等腰三角形紙片期C,其中歷1.

圖1圖2圖3

(1)把a(bǔ)/iBC紙片按圖1所示折疊，使點(diǎn)月落在4C邊上的點(diǎn)尸處，是折痕，說(shuō)明8?！ǚ郑?/p>

(2)把△力8。紙片沿。E折疊，當(dāng)點(diǎn)力落在四邊形6CEQ內(nèi)部時(shí)(如圖2),探索/C與NI+N2之間的數(shù)量

關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)力落在四邊形8CEO外部時(shí)(如圖3),直接寫(xiě)出/C與Nl,N2之間的數(shù)量關(guān)系.

45.(24-25八年級(jí)上?江蘇鎮(zhèn)江?期中)綜合與探究：如圖，已知，△48。中，AB=AC,點(diǎn)D為BC邊

上一點(diǎn)，連接4。，將△/出。沿直線(xiàn)4。折疊，得到△力?！?作力/平分㈤C交8c于人.

【嘗試發(fā)現(xiàn)］（1）①若/。跖=80。，則

②若NDEF=ND4F,則N￡M"=_；

③若NDEF=a,則/。力尸=_（用含。的式子表示）；

【簡(jiǎn)單應(yīng)用】

（2）如圖1,若ZDEF=90。,ZEAF=2ZDAE,求證：DF=2BD；

【拓展延伸】

（3）如圖2,若ND比'=120。，過(guò)點(diǎn)尸作的的垂線(xiàn)交4）延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,在回G延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)〃，使

4HF+ZD4E=90。,BD=2FC,試探究GO,GH,G廠(chǎng)三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

圖1圖2

題型10三角板拼接問(wèn)題

46.（24-25七年級(jí)上?湖北武漢-階段練習(xí)）將一副直角三角尺按如圖1方式會(huì)放，點(diǎn)D,B,力在同一直

線(xiàn)上（NE="4C=90。，ZD="AE=45。,ZC=30°,ZJ5C=60°）,若將含30。的三隹尺44c繞頂

點(diǎn)力順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，直接寫(xiě)出符合條件的241。的度數(shù)為.

圖1圖2

47.（24-25七年級(jí)下-福建三明?期中）綜合與實(shí)踐

D

學(xué)習(xí)完《平行線(xiàn)的證明》，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)，小明和小穎將一副透明

A

OB

E

三角板中的兩個(gè)直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖所示的方式疊放在一起.

⑴操作判斷

若4）08=50。，則乙4CE=________；

若44cfi'rlSO。，則〃C8=________；

⑵性質(zhì)探究由（1）猜想力CE與〃C8的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）拓展應(yīng)用

當(dāng)N4CEC180。且點(diǎn)8在直線(xiàn)CE的上方時(shí)，如果這兩個(gè)三角尺存在一組邊互相平行，則NBCE的度數(shù)為:

（寫(xiě)出所有可能的結(jié)果）

48.（24-25八年級(jí)下?廣東深圳?期中）如圖1是一副三角尺，AC=BC,ZC=Z￡=90°,

4=4=45°,Z/J=3U°,/b=60°.

圖1

備用圖

⑴如圖2,直角頂點(diǎn)。與E重合,當(dāng)產(chǎn)?！ㄔ?時(shí)，求NR78的度數(shù).

(2)如圖3,直角頂點(diǎn)。與￡重合,當(dāng)點(diǎn)尸恰好落在48上時(shí)，在C。上截取CF=CF,連接8F',判斷江

和8k的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

⑶將三角尺力6c從圖4所示的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)。以每秒3。的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為，秒,

當(dāng)/。旋轉(zhuǎn)到尸。延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，停止旋轉(zhuǎn).

①如圖5.當(dāng)尸D〃,4C時(shí)，，的俏是____秒;

②當(dāng)三角板48c中的邊力8與三角板OE/中的某條邊平行時(shí)，1的值是秒.

49.(24-25七年級(jí)下?上海靜安-期中)如圖1,數(shù)學(xué)課上老師將一副三角板按圖中所示位置擺放，點(diǎn)

在直線(xiàn)力C上，且。廠(chǎng)與相交于點(diǎn)G,具中/4C4=90。，//HC=6U。，N/MC=3(T,

/EFD=90。，ZDEF=ZEDF=45。.

(1)求此時(shí)/OG力的度數(shù):

⑵如圖2,若三角板。/繞點(diǎn)廠(chǎng)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)七力力"時(shí)，求此時(shí)“刈的度數(shù);

⑶在(2)的前提下，三角板繞尸點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛞悦棵?。的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為f(O</<72)

秒，當(dāng)三角板。石廠(chǎng)第一次回到圖2的位置時(shí)，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否還存在三角板。石尸的某一條邊與/出

平行的情況？若存在，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足題意的，值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型11探究角度之間存在的關(guān)系

50.(24-25八年級(jí)上?安徽淮北?期中)直角三角形中，ZABC=90°,8。是斜邊力。上的高,

4=35。，請(qǐng)求出圖中所有銳角的值，并找出其中所有相等的銳角。

51.（2024八年級(jí)卜.?黑龍江?專(zhuān)題練習(xí)）（I）如圖①，在中,ZJCB=90%CDLAB,垂足

為Q,AACDNB.（填“>”“=”或“<”）

（2）如圖②，在RtAMC中，NC=90。，點(diǎn)。、?分別在力CAB上，且ZADE=/B,的形狀是

（3）如圖③，在RtA45C和RLQ8E中,ZC=90°,ZE=90°,AB1BD,點(diǎn)CB、E在同一直線(xiàn)上,

與一。的關(guān)系是

圖②

52.（24-25八年級(jí)上?貴州六盤(pán)水?期末）如圖，在△48C中，AD,CE分別為NBAC,/力C8的角平

分線(xiàn)，4。與CE相交于點(diǎn)P.

⑴若月C=70。，ZACB=60°,貝ij/月/50=度；

⑵求證：Z/IPC=180°-1(ZBAC+ABCA)；

(3)直接寫(xiě)出“力尸C與NB,/BAD,ZZ?CE的數(shù)量關(guān)系.

53.（24-25八年級(jí)上?四川成都?期末）如圖1,在△力8c中：力。平分/歷1C.

AA

P)

BEB

DCE^JDC

P

ffll圖2

(1)若尸為線(xiàn)段AD上的一個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)?作尸石工AD交線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.

①若N8=30。，Z4G9=80°,則/E=_；

②猜想NE與/6、N4C8之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.

⑵如圖2,若尸在線(xiàn)段力。的延長(zhǎng)線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)P作PE/4D交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E,請(qǐng)直接寫(xiě)出/PE。與28、

/。的數(shù)量關(guān)系.

題型12與三角形有關(guān)的熱考模型

54.(24-25八年級(jí)上-山東臨沂-期中)研究三角形的角平分線(xiàn):

(D尺規(guī)作圖：如圖1,作的平分線(xiàn)，不寫(xiě)作法，只保留作圖痕跡；

(2)如圖2,8C與/4C8的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)尸，若/4=60。，則/82。的度數(shù)是；

(3)如圖3,作△48C外角NMSC,NNC8的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)Q,試探索/。，/力之間的數(shù)量關(guān)系.

55.(24-25七年級(jí)下?吉林?期中)如圖I,△48C中，的角平分線(xiàn)和的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)

D

⑵從上述計(jì)算中，我們能發(fā)現(xiàn)：4BDC=（用含的代數(shù)式表示）；

⑶如圖2,△川?。中，/川北的角平分線(xiàn)和的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)4,請(qǐng)用含/力的代數(shù)式表示

并說(shuō)明理由.

⑷如圖3,N4BC的角平分線(xiàn)和的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)4,如此繼續(xù)下去，可得4，4,…，4,請(qǐng)

寫(xiě)出44與44的數(shù)量關(guān)系為.（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）.

56.（23-24八年級(jí)上?浙江杭舛?階段練習(xí)）△RBC中，力。是/A4c的角平分線(xiàn)，AE是△力8。的高.

A

(1)如圖1,若/8=40。,/。=62。，請(qǐng)說(shuō)明N0力E的度數(shù)；

(2)如圖2(Z5<ZC),試說(shuō)明/"￡、NB、NC的數(shù)量關(guān)系：

⑶如圖3,延長(zhǎng)力。到點(diǎn)用/C4E和4BC廠(chǎng)的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)￡求NG的度數(shù).

57.(24-25七年級(jí)下?江蘇宿遷?期末)【問(wèn)題背景】研究了三角形內(nèi)角和定理及其推論后，觀(guān)察飛鏢可

以抽象成圖①，我們把這個(gè)圖形形象地稱(chēng)為“飛鏢模型”，飛鏢模型中蘊(yùn)含著角的數(shù)顯關(guān)系.

（1）如圖1，探究/力、/B、NC、之間的數(shù)量關(guān)系，棄證明:

（2）請(qǐng)利用上述結(jié)論或解題方法，完成下面的問(wèn)題:

【類(lèi)比探究】

①如圖2,已知/4+/。+/￡=90。,/8+/。=150。，求Z/FE的度數(shù):

【拓展延伸】

②如圖3,已知4M〃上川,/4+/。=150。,/。+/七=5（）。，求的度數(shù).

圖1圖2圖3

58.（24-25八年級(jí)上-山東青忠?期末）【建立模型】如圖1,在-4內(nèi)部有一點(diǎn)戶(hù),連接BP、CP,求

證：ZP=Zl+ZJ+Z2：

【嘗試應(yīng)用】如圖2,利用上面的結(jié)論，直接寫(xiě)出五角星中，4+N3+NC+〃+NE=度；

【拓展創(chuàng)新】如圖3,將五角星截去一個(gè)角后多出一個(gè)角，求乙1+/4+NC+NO+NE+/G的度數(shù).

【提升思維】如圖4,將五角星的每個(gè)角都截去，則??共得到10個(gè)角，則這10個(gè)角的和

乙4+NB+NC+ND+NE+NF+NG+NH+〃+NJ的度數(shù)是度.

59.（24-25八年級(jí)上?河北滄州-階段練習(xí)）“8”字模型是初中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)模型之一，掌握了這種模型,

給同學(xué)們解答幾何題帶來(lái)很大的便捷.

(1)初識(shí)模型：如圖1,是我們常見(jiàn)的“8”字模型圖，它的結(jié)論是4+/8=/。+/七，請(qǐng)你給予證明.

⑵模型求解：如圖2,線(xiàn)段功在四邊形力8C7)內(nèi)部，連接4E、CF,相交于點(diǎn)0,請(qǐng)借助“8”字模型的

結(jié)論求：4+4BE+ZZ)CF+ZD+Z￡1+ZF的度數(shù).

(3)構(gòu)造模型：如圖3,是我們常見(jiàn)的“五角星”，請(qǐng)你添加輔助線(xiàn)，借助于“8”字模型求出

/4+/8+/。+/。+/￡的度數(shù).

(4)模型應(yīng)用：我們可以利用連接多邊形的某些對(duì)角線(xiàn)畫(huà)出類(lèi)似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、

“八角星”等，如圖4“七角星/BCQEPG”的七個(gè)內(nèi)角和：4+/2+N3+N4+N5+N6+N7=

________°;猜測(cè)“〃角星”的〃個(gè)內(nèi)角的和為_(kāi)________(用含〃的式子表示).

A東

_______A,------------f中

穴//\By-T\X:Y\\

DE

60.(22-23七年級(jí)下?吉林長(zhǎng)春?期末)【探索發(fā)現(xiàn)】在一次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，劉華遇到了下面的這個(gè)問(wèn)

題:

如圖①，在。中，BP平分N/1BC,CP平分N/4CB,請(qǐng)你判斷//和/P間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

劉華對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了判斷并給出了證明過(guò)程，下面是部分證明過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程.

解：結(jié)論：ZP=_________.

理由：?；BP平分Z/tBC,CP平分NACB,

???/尸8c=NPCB'NACB.

22

N產(chǎn)=180°-ZP5C-NPCB

=180°-1(ZJ^C+Zz4C5)

=1SO°-1(I8O°-ZJ)

【模型發(fā)展】如圖②，點(diǎn)夕是△力BC的外角平分線(xiàn)8尸與CP的交點(diǎn)，請(qǐng)你判斷,力和/尸間的數(shù)量關(guān)系并

說(shuō)明理由.

【解決問(wèn)題】如圖③，在△48C中，BP平分N4BC,CP平分/4C8,點(diǎn)。是△尸8c的外角平分線(xiàn)8。與

61.（24-25七年級(jí)下?遼寧大連?期末）已知NM4N=52。，點(diǎn)4,。分別在4M,AN上.

MM

(1)如圖1,連接8C,4BC=a,"CB=。，NA^?C的平分線(xiàn)與N8CN的平分線(xiàn)交于點(diǎn)O,則。+4=

,NO=°；

(2)如圖2,點(diǎn)E是線(xiàn)段4C延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作即J./1N,垂足為點(diǎn)尸，NM4N與/C瓦'的平分線(xiàn)交

于點(diǎn)。，求/力CE與/ZOE的數(shù)量關(guān)系：

⑶如圖3,若點(diǎn)G在/M4N內(nèi)部(點(diǎn)G不在線(xiàn)段5C上)，NCGB=108。，連接8G與CG,/GBM與/GCN

的平分線(xiàn)交于點(diǎn)〃，求/8H。的度數(shù).

題型13與三角形有關(guān)的新定義問(wèn)題

62.（24-25八年級(jí)下?山東青島?期中）【圖形定義】

有一條高線(xiàn)相等的兩個(gè)三角形稱(chēng)為等高三角形.

例如：如圖①.在△/AC和中，AD,HQ'分別是8C和"C邊上的高線(xiàn)，且4。=/。'，則△45C

和“?。是等高三角形.

BDCB'DC'BDCBD

圖①圖②圖?

【性質(zhì)探究】

如圖①，用'詆，分別表示和"FC的面積.

則Sfc=；BCYD,=\B'C",

vAD=AD1

??S^ABC-=BC:B'C'.

【性質(zhì)應(yīng)用】

⑴如圖②，。是△48C的邊8C上的一點(diǎn).若80=3,力C=4,則

⑵如圖③，在ZU4C中，D,￡分別是4c和他邊上的點(diǎn).若BE:AB=1:2,CD：BC=1,3tS△.=1,

則BEC~-----------?SMDE=-----------；

(3)如圖③，在△48C中，D,E分別是8c和48邊上的點(diǎn)，若BE:4B=l:m,CD:BC=\:n,SaABC=a,

則S△口

⑷在。中，4c8=90。，4=30。，CO是48邊上的高.

求：①“C。與△4CQ的面積之比；

②若SRIAMBC=16，求SAAC［）和S4BCD的具體值.

63.（24-25七年級(jí)下-遼寧沈BE?階段練習(xí)）【定義1】如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形

的三個(gè)角，那么稱(chēng)這兩個(gè)三角形互為“均等三角形”

【定義2】從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線(xiàn)與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線(xiàn)段把這個(gè)

三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原來(lái)三角形是“均

等三角形”，我們把這條線(xiàn)段叫做這個(gè)三角形的“均等分割線(xiàn)”.

（圖1）（圖2）（備用圖）

【概念理解】

（1）如圖1,在中，4CB=90。,CDLAB,△8CO和△ICQ均等三角形（填“是”或

者“不是”）.

（2）如圖2,在△川?。中，CO為的角平分線(xiàn)，=75°,NB=35。,試說(shuō)明CO為△44C的均等分

割線(xiàn).

【應(yīng)用拓展】

（3）在△48C中，4=47。，CD是△48C的均等分割線(xiàn)，若“CO是等腰三角形，則/XC8的度數(shù)為

64.（23-24七年級(jí)下?湖南衡陽(yáng)?期末）【定義】如果兩個(gè)角的差為30。，就稱(chēng)這兩個(gè)角互為“創(chuàng)新角”，

其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的“創(chuàng)新角”.

例如：a=80°,力=50。,a-夕=30。，則a和夕互為“創(chuàng)新角”,即a是"的“創(chuàng)新角”,《也是a的“創(chuàng)

新角”.

圖1圖2圖3

⑴已知N1和N2互為“創(chuàng)新角”，KZ1>Z2,若N1和N2互補(bǔ)，則N1=___________；

⑵如圖1所示，在中，4c3=90。，過(guò)點(diǎn)。作力4的平行線(xiàn)CM,/48C的平分線(xiàn)8。分別交力。、

CM于。、E兩點(diǎn).

①若ZA>ZBEC,且/力和28EC互為“創(chuàng)新角”，則N4=；

②如圖2所示，過(guò)點(diǎn)。作力B的垂線(xiàn),垂足為尸，B。、CF相交千點(diǎn)N.若NDCN與N8N6為“創(chuàng)新

角”，求/力的度數(shù)；

③如圖3所示，ZACM的平分線(xiàn)CH交8后于點(diǎn)〃，當(dāng)