考點7-3體積與表面積

侔練基礎(chǔ)J//

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為1,其側(cè)面展開圖是一個圓心角為120。的扇形，則該

圓錐的表面積為（）

A.24B.3%C.4%D.5/r

【答案】C

【分析】

先求出母線長，再由圓錐的表面積公式求解即可.

【詳解】

設(shè)圓錐的母線長為/，則/?整=2乃，解得/=3,則該圓錐的表面積為4x3xl+;rxl2=44.

故選：C.

2.（2022?全國?高考真題）已知正三樓臺的高為1,卜.、下底面山長分別為3百和46,其頂點都在同一球

面上，則該球的表面積為（）

A.IOOTIB.I28nC.144兀D.192兀

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，i，4,再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)

系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】

設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑小弓，所以24=*-,2八即彳=3,弓=4,設(shè)球心到上下底

sin60*sin60

面的距離分別為4M，球的半徑為R,所以4=斤%，4=7^二而，故|4-刈=1或4+dz=i,即

JRi-V/?2-16|=1或疹與+病二記=1，解得六=25符合題意，所以球的表面枳為S=4兀R?=1oo兀.

故選:A.

3.（2022.仝國?高三專題練習(xí)）如圖，一個四分之一球形狀的玩具儲物盒，若放入一個玩具小球，合上盒

蓋，可放小球的最大半徑為若是放入一個正方體，合上盒蓋，可放正方體的最大棱長為。，則匚=（)

A.與B.1C.2-V2D.g（0T）

【答案】D

【分析】

畫出截面圖，設(shè)儲物盒所在球的半徑為從而利用R表達(dá)出小球最大半徑「和正方體棱長”，進(jìn)而求出比

值.

【詳解】

設(shè)儲物盒所在球的半徑為R，如圖，

2

小球最大半徑，?滿足（女+山=~所以=

正方體的最大棱長”滿足（、&）2+（J=R2,解得：a=^R.

.E=烏二1=2（夜_］）

**a221），故達(dá)：D.

3

4.（2022?江西?模擬預(yù)測（文））如圖，在校長為2的正方體A8C。-AgG〃中，E是側(cè)面內(nèi)的一個

動點，則三棱錐。-AER的體積為.

【答案】|4

【分析】

根據(jù)三棱錐的體積公式可求出結(jié)果.

【詳解】

點E到平面4。。的距離為2,

1114

所以%ex乂-cmry=4&.A勺M=T^。Dn-C2=-x-x2x。2x2=-.

4

故答案為：—.

5.（2022?遼寧?二模）市面上出現(xiàn)某種如圖所示的冰激凌，它的下方可以看作一個圓臺，上方可以看作一

個圓錐，對該組合體進(jìn)行測量，圓臺下底面半徑為4cm，上底面半徑為2cm，高為6cm,上方的圓錐高為8cm,

則此冰激凌的體積為end.

【分析】

先計算圓臺的體積，再計算圓錐的體積，二者相加即可.

【詳解】圓臺的體積方=,〃X6X（42+2x4+22）=564,圓錐的體積篤=,入22凡"區(qū)8=%",

333

總體積為7=工+《=半，故答案為：華

JJ

2堆練能力

6.12022?天津?高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直

三棱柱的底面是頂角為120。，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（）

5M

A.75B.25/2C.M

~7~

【答案】c

【分析】

設(shè)母線長為/,甲圓錐底面半徑為小乙圓錐底面圓半徑為弓，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得4=2弓，再結(jié)合

圓心角之和可將小弓分別用/表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體枳公式即可得解.

【詳解】

解：設(shè)母線長為/,甲I員1錐底面半徑為小乙圓錐底面圓半徑為4,

則也_=g='=2,所以4二2弓，又華■+華i=2萬，貝ij與上=1,所以釬;"=：/

3乙乃曰4III33

所以甲圓錐的高,=j/2-\/2=9/,乙圓錐的島飛=

8.（2022?全國?高考真題）己知正四楂錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36乃，且

3</<373>則該正四楂錐體積的取值范圍是（）

【答案】C

【分析】

設(shè)正四棱錐的高為〃，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積

的取值范圍.

【詳解】

,/球的體積為36期，所以球的半徑R=3,

22

設(shè)正四棱錐的底面邊長為2a,高為力，則『=2々2+〃2,32=2/+（3-人尸,所以6〃=廣，2a=P-h

所以正四棱錐的體積V=W1a=Iqx4/x/?=2wX（/2一/4天）XI丁2二\二（八一I6\，所以

3333669136J

9（6）9[6）

當(dāng)3?”2卡時,r>0,當(dāng)2#</K3石時,V'<0,

所以當(dāng)/=2后時，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為"，又/=3時，V==,/=3。時，V=2,

344

77「2764-

所以正四棱錐的體枳V的最小值為今，所以該正四棱錐體積的取值范圍是—?故選：C.

4143」

9.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在三棱錐P八8c中，,垂直底面八8。，AP=6,舊，若三棱錐的

3

內(nèi)切球半徑為則此三棱錐的側(cè)面積為.

【答案】3舊

【分析】

設(shè)三棱錐內(nèi)切球圓心為。,以。為頂點將三棱錐P-A4C分為四個小三棱錐，通過三棱錐體積不變即可求

出三棱錐的表面積進(jìn)而可求得三棱錐的側(cè)面積.

【詳解】

設(shè)三棱錐內(nèi)切球圓心為。，以。為項點將三棱錐P-A8C分為四個小三棱錐，則三棱錐P-AEC的體積

13|313I313

vz=TxTx5%c+.xjxS月?,+a乂弓乂5/取.+,*5乂5人成.=4乂不）＜5總

PA垂直底面ABC,

???三棱錐P-ABC的體積V=gxS,AiPA=2布,則通過三棱錐體積不變可知S總=4#,

s=ss

-m&~ABC=4A/5-V5=3A/5.

故答案為：34.

10.（2022?全國?高三專題練習(xí)）中國古代的“牟合方蓋”可以看作是兩個圓柱垂直相交的公共部分，計算其

體積所用的“事勢即同，則積不容異'’是中國古代數(shù)學(xué)的研究成果，根據(jù)此原理，取牟合方蓋的一半，其體積

等于與其同底等高的止四棱柱中，去掉一個同底等高的正四棱錐之后剩余部分的體積（如圖1所示）.現(xiàn)

將三個直徑為4的圓柱放于同一水平面上，三個圓柱的軸所在的直線兩兩成角都相等，三個圓柱的公共部

分為如圖2所示的幾何體，該幾何體中間截面三角形邊長為半，則該幾何體的體積為

【分析】

由趣設(shè)求出中間截面三角形的面積，再類比體積公式求解即可

【詳解】

根據(jù)題意，圖2立體圖形的一半，其體積等于與其同底等高的正三棱柱中，去掉一個與其同底等高正三棱

錐之后的體積，

因為該幾何體中間截面三角形邊長為遞，

3

所以該底面積S=1.迪.迪sin60=峋叵，

2333

因為圓柱的直徑為4,所以該幾何體一半的高為2,

所以對應(yīng)正三棱柱及三棱錐的高均為2,

所以對應(yīng)正三棱柱的體積丫=吧巫＞2=也3,

33

正三棱錐的體積V；」XMX2=",

,339

所以該幾何體的體積為2(1/-乂)=超普.

故答案為：經(jīng)正

9

練素養(yǎng)fff

11.(2022?浙江?三模)在四棱錐尸一A4A4中,尸耳=為%此w(0,l),i=l,2,3,4.記三棱錐

p-A4A，p-B避【員的體積分別為匕匕，四棱錐尸-444人,0-8內(nèi)避.乃4的體積分別為

V^V4,A=X}X2X^JU=AX4,則()

A.四〈匕B.犯〉匕C.〃匕＜匕D.〃匕,匕

【答案】C

【分析】

V鼻S因8,.為

由K=V什M，匕=匕i叫見得寸——;—=2即可判斷A,B選項；設(shè)三棱錐P—AAA，P一m也的體

1qS

y[SPBB^'h4

積分別為吟匕，同理得才--------=中1＞〃，則匕=匕+嚎匕=匕+匕＞〃匕+〃匕=〃匕即可判斷0

D選項.

【詳解】

PB.PB,PB、PB.

由題意知：3=%，寸=占，6:=七，江-=%,設(shè)4,用到平面處A2的距圖分別為4,4，易得

F/4jr./1->F/I，F(xiàn)1

h、PB.

—=——-=x,,

4成

則K=匕?-&&仆=匕=QS小小"I，K=%_四%%=v%叫%=QS股處,^2?

JJ

C-PB.PB^sinZA.PA,

?/也怯_2_________________-rr

《一]一七”2，

3…5PAp4.sin幺PA]

?4

則巴v=—|sPBR

—=XXX-^=2,叩K=%K，則A,B錯誤;

K%}2

%

3

設(shè)三棱錐夕-444，2-8避/4的體積分別為匕，匕，設(shè)A，用到平面PA4的距離分別為/%九，易得

%

則V=匕=匕、"AA,=QS.%A?也M=匕1-4員a=V%_PB\B」=.PB島,兒，

5JJ

Sj”；P/P%sin/A時

q]

，外為APA.?PA,sinN&P&

VQS.%/也y々S明場也

則，---------=芭七七＞芭"/4=〃，即匕＞〃匕，又言="5------------=印了3=九＞〃，即匕＞〃K，

/―s-h**-S-h

3JP&4?〃3C°/*A&i

又匕=h+匕,匕=匕+匕>〃K+〃^i=〃匕，則C正確，D錯誤.

故選：c.

12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知球。的體積為學(xué)，高為1的圓錐內(nèi)接于球O,經(jīng)過圓錐頂點的平

面a截球。和圓錐所得的截面面積分別為E，52,若&=辭，則S?二（）

8

A.2B.>/5C.x/6D.2>/2

【答案】C

【分析】

根據(jù)給定條件，求出球。半徑，平面。截球。所得截面小圓半徑，圓錐底面圓半徑，再求出平面a截圓錐

所得的截面等腰三角形底邊長及高即可計算作答.

【詳解】

球。半徑為凡由?歲得R=：,平面。截球0所得截面小圓半徑小由S=兀/=等得（二2，

362825/2

因此，球心。到平面a的距離d=J/??一片=/=4,而球心。在圓錐的軸上，則圓錐的軸與平面。所成

的角為45，

因圓錐的高為I,則球心。到圓錐底面圓的距離為4=],于是得圓錐底面圓半徑

r=jR、d；=M）S=2,

令平面a截圓錐所得截面為等腰△PA8,線段A8為圓錐底面圓Q的弦，點C為弦43中點，如圖，

依題意，NCPQ=45,CQ=Pa=1,PC=42,弦A3=2j<-*2=2。

所以?尸C=〃.

?2

故選：C

13.（2022.全國?高三專題練習(xí)（理））已知某正四棱錐的體積是也，該兒何體的表面積最小值是我

3

們在繪畫該表面積最小的幾何體的直觀圖時所畫的底面積大小是邑，則5和邑的值分別是（）

A.3；叵B.4；；C.4；旦D.3；。

4242

【答案】C

【分析】

設(shè)該正四棱錐底面邊長為/,高為力，由體積得到=①，再算出側(cè)面積和底面積，進(jìn)而得到該四棱錐

33

的表面積，然后通過基本不等式求得答案.

【詳解】

如圖，。為底面43C。的中心，E為4C的中點，連接PO,

設(shè)該正四棱錐底面邊長為/，高為力，且入。＞0,由題意，L/h=^nt2h=4i.

33

易有，PE=/PO。+O爐=/2+：,則S=，

所以，￡=21肥+4+/,將人=更代入并化簡得：Si=2、S，

1V4t2'V/24

牙口°與fiiiiiiii7

丫4廠4廠4r4廠4廠4廠4廠4廠4

=f+1+肅+/“d,.涓.涓/=4

1r

當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)《4/24—1_］時，取〃=，，

易知，此時底面ABCD直觀圖的面積S2=1xJxsin45。）=￥.

故選：C.

14.（2022?江西?新余市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））以A8C為底的兩個正三棱錐尸-A8c和ABC內(nèi)接于

同一個球，并且正三棱錐尸-A8C的側(cè)面與底面ABC所成的角為45。，記正三楂錐P-ABC和正三楂錐

Q-ABC的體枳分別為匕和匕，則》=

V2

【答案】T##0.25

4

【分析】

作圖后由二面角的定義與勾股定理，列方程求出正三棱錐高與球的半徑之比，再得兩個三棱錐的高之比

【詳解】

如圖，

正三棱錐P-ABC和正三棱錐Q-ABC內(nèi)接于同一?個球，

設(shè)P到底面ABC的距離為九，。到底面A8C的距離為生,

匕It

則音=:，取A4的中點例，連接PM,CM,PQ,記PQ與平面A8C的交點為R,

由兩個正三棱錐P-4BC和Q-A8C內(nèi)接于同一個球，故尸Q一定為球。的直徑，

記其中點為0,且由題意可知，R為正三角形48c的中心，

因此，PR,QR分別為止三棱錐P-A8c和正三棱錐。-ABC的高％,%,

由P4=P8，QA=QB,C4=C8，且例為AB的中點，可得/W_LA8,QMJMB,CMLAB,

則4WR為正